平面向量的应用（完整版讲）（原卷版）

10.3平面向量的应用（精讲）考点一夹角【例11】（2023·江苏）若向量，与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（）A． B．C． D．【例12】．（2023秋·福建莆田）已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023春·福建厦门）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则.2．（2023春·湖南怀化）在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为3．（2023秋·山东枣庄）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则．考点二最值【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（

）A． B．1C． D．2【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2022春·辽宁大连·）设平面向量满足与的夹角为且，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·河北保定）已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（

）A．0 B． C． D．3

考点三平面向量与四心【例31】（2023春·四川成都）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（

）A．若，则为的重心B．若为的内心，则C．若，，为的外心，则D．若为的垂心，，则【例32】（2023·全国·高三专题练习）（多选）点O在△所在的平面内，则以下说法正确的是（

）A．已知平面向量满足，且，则△是等边三角形B．若，则点O为△的重心C．若，则点O为△的外心；D．若，则点O为△的垂心【一隅三反】1．（2023春·黑龙江哈尔滨）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为、、，则有，设O是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的是（

）．A．若，则O为的重心B．若，则C．若O为（不为直角三角形）的垂心，则D．若，，，则2．（2023春·湖北武汉）（多选）下列说法中正确的是（

）A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B．已知点在所在平面内，满足，则是的重心C．已知点在所在平面内，满足，则点的轨迹一定经过的内心D．若平面向量，共线，且，满足，则为5或13．（2023春·广东佛山）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（

）A．若，则B．，，，则C．若为的内心，，则D．若为的重心，则考点四平面向量与三角函数【例41】（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）在中，，，，则的取值范围是．【例42】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）在中，角所对的边分别为，.(1)求角的值；(2)若，边上的中点为，求的长度.【一隅三反】1．（2023春·湖北）如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，，与交于点．(1)设，，试用，表示；(2)求的长．2．（2023春·吉林长春）的内角的对边分别为，且．(1)求A；(2)若，三角形面积，求边上的中线的长．3．（2023春·北京）在中，D为边AC上一点，满足，若，，，则（

）A． B． C． D．考点五平面向量证明线段垂直【例5】（2023·云南）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．(1)求重心E的坐标；(2)用向量法证明：．【一隅三反】1．（2023春·陕西西安）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.(1)请用、表示向量；(2)设和的夹角为，若，且，求证：.2．（2023春·上海浦东新）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．(1)请用，表示向量；(2)若，设，的夹角为，若，求证：．3．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，直线，点到直线的距离为，若点满足，记的轨迹为.(1)求的方程；(2)过点且斜率不为零的直线与交于两点，设，证明：.考点六向量在物理上的应用【例6】（2023春·广东清远）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少.（

）A．km/h B．km/hC．km/h D．km/h【一隅三反】1（2022·全国·高三专题练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（

）A． B．61 C．75 D．602．（2022·全国·高三专题练习）物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（

）A．3N B． C．2N D．3．（2023广东）（多选）在水流