圆与二次函数结合型压轴题（解析版）-2024年中考数学重难点

圜与二次函数结合型度轴题专题

知识剖析

通用的解题思路：

一、点在圆上的使用技巧,①没告诉半短，利用圆上的点到圆心的距离等于半径可以表示出半径的长度;②告

诉半径,18上的点到圆心的距离等于半径这个等找关系可以求出一个参数。

二、判断直线与圆的位置关系的标准流程:第一步，利用圆上的点到圆心的距离等于半径表示出半径r,第二

步，表示出圆心到直线的距离原第三步，比较半径r和距离d的大小:若半径r＞距离d,则直线与圆相交，若

半径r=距离原则直线与圆相切,若半径r＜距离d,则直线与圆相离。

三、记直线I被圆。检得的弦长为爵目的常用方法

弦长公式:48=2拧二？

经典例题

:题目Q（长沙中考）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，aR0）的对称轴为y轴,且经过（0,0）和

（瓶，上）两点,点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的。P总经过定点4（0,2）.

16

⑴求a,b,c的值；

（2）求证:在点P运动的过程中，。P始终与力轴相交；

（3）设。P与/轴相交于河（的,0）,N（g，0）（如V电）两点，当ZVLMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐

【解答】解：（1）;抛物线y—ax2-\-bx+c（a,b,c是常数，aW。）的对称轴为g轴，且经过（0,0）和（、0,工1）

16

两点，,抛物线的一般式为：y=ax2,-77=a（Va）2,解得：a=±二,*.*图象开口向上，I.a=二，，抛物线

1644

解析式为：y—:小，故a=：,b=c=0;

⑵设_P（/,y）,。P的半径厂=J了+（g—2）2,又g=十/2,则r=a?2+（^j;2—2）2,

化简得：T=/上—+4＞.,.点P在运动过程中，。P始终与力轴相交；

V164•••

⑶设PQ,彳冷，.../一才=4,...团=7VH=2,.•.MG—2,0),N(t+2,0),40,2),

AAMN为等腰三角形，二4W=4V,AM=MN,AN=MN,(t-2)2+(2-0)2=(t+2)2+(2-O)2,

：.t=O,(t-2)2+(2-0)2=42,：.t=2±2V3,(t+2)2+(2-0)2=42,At=-2+2-73,

①当力=0时，P的纵坐标为0,

②当t=2±2盗时，?(2±2盗)2=4±2,，P的纵坐标为4±2,，

③当力=一2±2通时，以=半2±2何4±2服，p的纵坐标为4±2遍，

题目0（岳麓区校级月考）如图，已知直线/：9=-1和抛物线L：y=ax2+bx+c（a20），抛物线L的顶点为

原点，且经过点A,直线y=kc+1与夕轴交于点F,与抛物线入交于点B（g,阴），C（x2,沙2）,且g

<x2-

（1）求抛物线乙的解析式；

（2）点P是抛物线L上一动点.

①以点P为圆心，PF为半径作。P,试判断。P与直线Z的位置关系,并说明理由;

②若点Q（2,3）,当|PQ—PF\的值最大时,求点P的坐标；

（3）求证:无论A;为何值，直线Z总是与以BC为直径的圆相切.

【解答】解：⑴抛物线的表达式为：g=aa：2,将点A坐标代入上式得：?解得：a=:,

故抛物线的表达式为："=!/…①;

⑵①点F(0,1),设：点P{m,-^-m2),则PF=,病+(十病—=-^-m2+l,

•M

而点P到直线I的距离为：jm2+l，则。P与直线/的位置关系为相切；

②当点P、Q、F三点共线时,\PQ一最大，将点FQ的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b并解得：

直线FQ的函数表达式为：？/=2+1…②，联立①②并解得：c=2土2皿，

故点P的坐标为：（2+22，3+22）或（2—2也，3—22）；

（3）将抛物线的表达式与直线g=far+1联立并整理得：力2—4心力—4=0,则力i+g=4k,力避2=—4,

2

则依+纺=k（力1+/2）+2=4fc+2,则x2—x1=J（g+/a）?—4/巡2=4,

设直线8。的倾斜角为a,则tana=k,则cosa=J，贝UBC=^>=4（兴+1）,则-i-BC=2fc2+2,

Vfc2+1Vfc2+12

设BC的中点为何（2%,21+1）,则点闻到直线Z的距离为：2*+2,故直线/总是与以为直径的圆相切.

「题目区在平面直角坐标系①。夕中，已知二次函数y=1/+?TO：；+八的图象经过点力（2,0）和点B（l,—1■）,

直线I经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q.

⑴求该二次函数的表达式；

（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标见随时间t（t>0）的变化规律为更

=—：+2九现以线段OP为直径作③C.

①当点P在起始位置点B处时,试判断直线I与6c的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线

，与。。是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由.

②若在点P开始运动的同时，直线，也向上平行移动,且垂足Q的纵坐标於随时间t的变化规律为y2=-l

+33则当t在什么范围内变化时，直线，与O。相交？此时,若直线I被O。所截得的弦长为a,试求a2的

最大值.

【解答】解：⑴将点42,0）和点B（1,—1~）分别代入y=+ri中，得：

1

--X4+2m+n=0r_Q

,4、，解得：恒―，・•.抛物线的解析式：沙=：/—1；

--+m+n=一-—1九—一1

44

⑵①将_P点纵坐标代入⑴的解析式，得：《力2—1=—+2力，x—〃8方+1,P{y/8t+1,—+2力）,

圆心。（,—+1），］.点、C到直线2的距离：—+1—（―1）=力+；

2ooo

而Op2=8力+1+（—+2力y,得OP=2力+；,半径OC—t-\~・；・••直线，与。。始终保持相切.

448

②I、由①可知，若直线/与。。相切，则：2力—!"=力+=

・・.当ov£v~!■时，直线Z与。C相交;

II、・・・0VtV；时，圆心。到直线/的距离为d=|2右一哥，又半径为丁=力+3

4oo•••

a2=4c=4[(t+-1-|2]=-12t2+15t,，1='■时，a的平方取得最大值为品

题目④(长沙中考)如图半径分别为的两圆。Oi和相交于P，Q两点，且点P(4,1),

两圆同时与两坐标轴相切，。Q与c轴，沙轴分别切于点河，点N,。。2与，轴，沙轴分别切于点儿点H.

(1)求两圆的圆心Oi，Q所在直线的解析式；

(2)求两圆的圆心Q,。2之间的距离由

(3)令四边形POiQO2的面积为S,四边形RMOQ2的面积为S2.

试探究:是否存在一条经过P,Q两点、开口向下,且在，轴上截得的线段长为止二时的抛物线?若存在，

V2d

请求出此抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.

【解答】解：(1)由题意可知。2(九，九)，设过点。2的直线解析式为y=+则有：

(mk+b7。＜n),解得】]，.•.所求直线的解析式为：沙=0.

[nk+b=n[b=Q

(2)由相交两圆的性质，可知P、Q点关于对称.,/F(4,1),直线002解析式为y=x,

・・・。(1,4).如解答图1,连接QQ.・・・Q(1,4),OI(M,M),根据两点间距离公式得到：

OiQ=-J(m—l)2+(m-4)2=V2m2—10m+17，又QQ为小圆半径，即QC\=m,V2m2-10m+17=

m9

22

化简得：m—10m+17=0①如解答图1,连接O2Q,同理可得：n—10n+17=0②

由①,②式可知，m、n是一^元二次方程/—10N+17=0③的两个根，解③得：/=5土2\/2,

22

*/0<m<n,m=5—2V2,n=5+2A/2.*.*O^m,m),O2(^,n),d=010^—V(m—n)+(m—n)

=8.

⑶假设存在这样的抛物线，其解析式为g=a/+b/+c,因为开口向下，所以QVO.如解答图2,连接PQ.

由相交两圆性质可知，PQ±。。2・•••P(4,1),Q(1,4),・・.PQ=V(4-l)2+(l-4)2=372,

又。1。2=8,Si=-^-FQ•OIO2—x3A/2x8=12V2;又S?=-^-(O2R+OXM)*MR--^-(n+m)(n—m)

=20V2;Js[S2]=|12=1,即抛物线在立轴上截得的线段长为1.♦.•抛物线过点P(4,1),Q

J2dA/2X8

2

(1,4),，0‘a+4b+°1,解得(5。+抛物线解析式为：y=ax—(5a+l)x+5+4Q,

Ia+b+c=41C=5+4Q

2

令g=0,则有：ax—(5a+l)力+5+4Q=0,设两根为xlf62,则有：力i+g=5a+1,g62=5+4a,

aa

在X轴上截得的线段长为1,即|力1一名21=1,工(的―旬三1,工(力1+多2)2—46巡2=1,

即(®±L)2-4(且也)=1,化简得：8Q2—I0a+i=o,解得Q二a±卢，可见Q的两个根均大于0,这与

aa8

抛物线开口向下(即a<0)矛盾，.•.不存在这样的抛物线.

(1)求P,Q的坐标并写出的面积；

⑵如图2,已知M(m,m),N(n,n)，其中(0VmVn),若分别以7W,N为圆心的圆均与①轴相切，切点分

别为A,B,并且点P既在O河上又在©N上.

①求直线的解析式；

②求出线段MN的长度d；

⑶在⑵的前提上,记四边形PMQN的面积为&，四边形AMNB的面积为S2,已知抛物线y=ax2+bx+

c满足两个条件：①经过点P和点Q,②该抛物线截c轴得到的线段长度为匕闻,请求出抛物线二次项系

a

数a的值.

\y=-x+^<_1ro

12

【解答】解：⑴由题意得：3.解这个方程组得：,.

[y=—底=3〔纺=1

•••P在Q的右侧，.-.p(3,1),Q(l,3).设直线PQ交加轴于点。，如图，则<7(4,0).

.•.00=4.过点。作QE，于E,过点P作PF，OC于F,则QE=3,PF=1.•M

SAOPQ=SAOQC-S&OPC=/xOCxQE—xPF=6-2=4.

（2）0VM（m,m）,N（n,力，.•.直线MN的解析式为：y=工.

②；以M,N为圆心的圆均与，轴相切，切点分别为A,B,••.K4_L4B,NB_LAB.

过点P作PE_LMA于E,PF_LNB与,过点“作MG工NB于G,如图，

则/7WG=45°.：.MN=V2MG.•：M(m,m),7V(n,n),F(3,1),

/.MA=m,NB=n,PE=3—m,PM—y/(3—m)2+(m—l)2,ME=m—1,PF—n—3,NF=n—l.

・・•点P既在。河上又在。N上，.・.PM=MA,PN=NB.：.PM2=AM2,PN2=NB2.

/.(3—m)2+(m—1)2=m2,(n—3)2+(n—1)2=n2.整理得：m2—8m+10=0,n2—8n+10=0.

m,n(0VmV71)是方程X2—8X+10=0的两个根.m+n=8,mn—10.(n—m)2—(m+n)2

—4mn=24.n—m=2V6.*.*7V/G=AB—n—m,/.MG=2V6.MN—V2MG=4A/3,d—4V3.

Ja+b+c=3b=-1—4a

⑶抛物线y=ax2-\-bx+c满足经过点P和点Q,

、9Q+3b+c=1c=3Q+4

S产yFQxMN=yx2V2x4A/3=476,

|S1—S21

Sz=-1-(M24+MB)•AB=-^-(m+n)x(n—m)=]x8x2V6=8A/6,/.

d

2

设抛物线y—aa?+bx+c与力轴的交点为(g,0),(x2,0),/.\xr—x2\—V2.:.(a?i—x2)=2.

2

(力i+g)2—4力r12=2.*.*比1,劣2是方程ax+bx+C=0的两个根，工0+力2=—~6r/2=£■.

aa

：.V-4x—=2./.(-X-4a)2-4x3a+4：

整理得：2Q2—8Q+1=0.解得：a=4±，iZ.

：.抛物线二次项系数a的值为：4+V14或4一V14.

题目回已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c（a丰O）经过X轴上的两点人⑶，0）、3（灰，0）和9轴上的点。

（0,—1）,0P的圆心P在沙轴上,且经过B、。两点，若6=岛,48=2存

（1）求抛物线的解析式；

（2）设D在抛物线上，且C,。两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P,并说明理由；

（3）设直线BD交OP于另一点E,求经过E点的OP的切线的解析式.

【解答】解：（1），.•轴上的点C（0,―/.c=―又b=V3a,AB=2A/3,4"—1~=0,E—/2

|二2，5\解得：a=三,b=2£；.•・抛物线的解析式是：y=（4分）

OOOOZi

⑵。（一。一日），直线为：片毕立一看连接BP,设。P的半径为凡

毋一五）2,五=1,P（O,-y）,点P的坐标满足直线BD的解析式y=*r--y

直线B。经过圆心P.

⑶过点E作班_L9轴于F,得△QPB笃/\FPE,E（一日,一1）,设经过E点0P的切线七交g轴于点Q.

则ZPEQ=90°,EF±PQ,：.PE2^PF・PQ,：.PQ=2,Q（0,一2.5）,.•.切线L为：？/=一遍3；—2.5.

题目R（青竹湖）定义:如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁,称之为直线与

曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点.

（1）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点4。，一3）为圆心，5为半径作圆A,交力轴的负半轴

于点B,求过点5的圆A的切线的解析式；

（2）若抛物线g=aa?（aA0）与直线y=for+b（k20）相切于点（2,2）,求直线的解析式；

（3）若函数"=：*/+（n—k—l）ic+m+fc—2的图象与直线夕=—c相切，且当一1WnW2时，m的最小值

为七求k的值.

【解答】解：(1)如图1,连接记过点B的。力切线交沙轴于点E,.♦.AB=5,AABE=9Q°,

•：A(O,-3),AAOB=90°,：.OA^3,：.OB=VAB2-OA2=V52-32=4,二B(-4,0),

•：ZOAB=ZBAE,ZAOB=/ABE=90°,/\OAB〜^BAE,：.於=普,：.AE="产=学,

ABJD^X.CZJT.J

.•.OE=AB—O4=^-3=¥，.•.E(0,苧)，设直线BE解析式为：？/=A;c+苧，.•.-4%+¥=0,解

ooooo•••

得：%=今，过点B的。4的切线的解析式为y=-^-x+,

OOO

方法二：设直线BE的解析式为y=A;(a;+4),/.E(Q,4k),：.AB=5,AE=4k+3,BE=y/^+(4fc)2,

由勾股定理可得，...25+16+16%2=i6A：2+9+24A;,.•.%=〈，.•.过点B的04的切线的

解析式为"=今力+;

OO

(2)V抛物线y=a/经过点(2,2),4a=2,解得：a=,/.抛物线解析式：y=］2、

直线y—kx+b经过点(2,2),・，.2k+b=2,可得：b=2—2k,：,直线解析式为：y=kx+2—2k,

直线与抛物线相切，

・,・关于力的方程］/=k力+2—2左有两个相等的实数根，方程整理得：/—2fcr+4k—4=0,

，△=(―2fc)2—4(4fc—4)=0,解得：K=k2=2,直线解析式为y=2x—2,

(3)V函数g=(n—fc—l)x+m+k—2的图象与直线g=—/相切，

六关于力的方程十/+(n—fc—1)T+m+k—2=—x有两个相等的实数根，

方程整理得：［■/2+(n—k)力+m+fc-2=0,

:.△=(n—fc)2—4x+fc-2)=0,整理得：m=(九—fc)2—fc+2,

可看作m关于?i的二次函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线k,

・・・当一14九〈2时，山的最小值为上

①如图2,当kV—l时，在一1《九《2时小随九的增大而增大，

/.n=—1时，m取得最小值k,二.(―1—k丫—k+2=k,方程无解，

②如图3,当一时=k时，nz取得最小值k,k+2=k,解得：k=l,

③如图4,当k>2时，在一14九42时?n随n的增大而减小，71=2时，m取得最小值k,

(2—fc)2—k+2=k,解得：ki~3+V3,e=3—■(舍去)，综上所述，k的值为1或3+-\/3.

题目回(麓山国际)如图，经过定点A的直线沙=%(/—2)+l(fc<0)交抛物线g=—/+4/于_B,。两点(点

。在点B的右侧)，。为抛物线的顶点.•••

⑴直接写出点A的坐标；

⑵如图(1),若△A。。的面积是△入灰?面积的两倍，求％的值;

【解答】解：(1)：A为直线?/=M2—2)+1上的定点，的坐标与%无关，.•.2—2=0,

，c=2,此时y=1,.•.点A的坐标为(2,1);

(2)；y=—z2+4a；=-3—2)2+4,.•.顶点。的坐标为(2,4),二•点4的坐标为(2,1),

.•.AD_Lc轴.如图(1),分别过点8,。作直线AD的垂线，垂足分别为W,N,设。的横坐标分别为

；A4。。的面积是△ABD面积的两倍，.•.CN=2BA/,曲一2=2(2—g),2xx+x2—6.

联立["="+4"，得〉+依一4加一2^+1=0,①解得二=——，肥+12,g=4一k+,兴+12,

[y=kx—2k+l22

2xi-胪+12+4—%+产+12=6,化简得：V^+12=-3k，解得k=—乎.

2

另解:接上解，由①得Xi+x2=4—k,又由2g+力2=6,得Xr=2+k.：.(2+fc)+(fc—4)(2+fc)—2fc+1=

0,

解得k=±.*.*fc<C0,/.k；

(3)如图(2),设。E与直线。=力交于点G,H,点。的坐标为(Q,-a2+4a).・.・石是的中点，

工将线段沿47方向平移与石。重合，工磔一/4=%—力目，VE~yA~VC~VE

・•・3=5(以+力。)，VE=5⑨人+沙。).

.­.£?(l+y,-a-+^Q+1).分别过点E,4作2轴，沙轴的平行线交于点F,在次ZVIEF中，由勾股定理

得:EA2=(1+2)+(~a2+^a+1-1丫=管-]J+(_a2+；a+l-1)\•M

过点E作PE_LGH,垂足为P,连接EH,：.GH=2PH,EP2=(-a'+^a+1t)2,

叉；AE=EH,：.G』4PH2=4(EH2—EPD=4(£；A2-£；P2)

=4[偿—.+(-a?+；a+l_I)?—「/+}+1—)2]

22

=4[亨—a+1+(一吊+丁+1-1了—(~a+4a+1)+1-(一/+丁+1户(^^+北+i)-t]

=4[(-^—t)a，+(4t—5)a+1+1—t2].GH的长为定值，

==

——10f且4t——50,,,t——.

I题目回（长郡）如图,在平面直角坐标系中，点M■的坐标是（5,4）,与v轴相切于点。，与多轴相交于4、

B两点.

（1）分别求力、B、。三点的坐标；

（2）如图1,设经过A、B两点的抛物线解析式为夕=—5>+%,它的顶点为H,求证:直线及4与。河相

切；

（3）如图2,过点初作直线FG〃沙轴，与圆分别交于F、G两点，点P为弧FB上任意一点（不与B、F重

合），连接F尸、AP,FN±BP的延长线于点N.请问AP瑟°是否为定值，若为定值,请求出这个值，若

不为定值,请说明理由.

图1图2

【解答】解：⑴如图1,连接CM、连接7WE交2轴于点。，则轴,

图1

•；OM与沙轴相切于点。，点河的坐标是（5,4）,.•.（W_L夕轴，即。（0,4）,。河的半径为5,

二AW=5,DM=4,/.AD^DB^y/AM2-DM2=V52-42=3,二OA=5-3=2,34（2,0）,B（8,0）;

（2）证明：将A（2,0）代入y=）（工一5）2+（中，可得\二号，.•.七（5,-卜）,：.DE=^,

ME=DE+MD=?+4=^，则AE2=32+(-^y=^~,M^+AE2=52+^-=,ME'2=

44v47161616

=警，.•.AM2+AE2=7WE2,...3,AE,又•••〃>!为半径，.•.直线瓦4与。Al相切；

16

⑶为定值，理由如下：

连接AF.BF,作FQ_LAP于点Q,

图2

/EPN为圆内接四边形ABFF的外角，二NFPN=NFAB,又；MF_LAB,；.AF^BF,：.NFAB=

Z.FBA=AFPA,NFPN=2FPA,•：FQ1AP,FN_LPN,：.FQ=FN,又；FP=FP,

：.RtAFPQ空RtAFPN(HL),：.