专题13立体几何初步（原卷版）

专题13立体几何初步一、知识速览二、考点速览知识点1空间几何体的结构特征1、多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点，但不一定相等侧面形状平行四边形三角形梯形2、特殊的棱柱和棱锥（1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．（2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．【注意】（1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱．（2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台．（3）注意棱台的所有侧棱相交于一点．3、旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆形旋转轴任一边所在的直线任一直角边所在的直线垂直于底边的腰所在的直线直径所在的直线母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环4、空间几何体的直观图（1）画法：常用斜二测画法．（2）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．（3）直观图与原图形面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形；S原图形＝2eq\r(2)S直观图．知识点2空间几何体的表面积和体积1、空间几何体的表面积和体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)S底h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3几何体的表面积和侧面积的注意点=1\*GB3①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．=2\*GB3②组合体的表面积应注意重合部分的处理．2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系（1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥，则S正棱柱侧＝ch′eq\o(←,\s\up7(c′＝c))S正棱台侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′eq\o(→,\s\up7(c′＝0))S正棱锥侧＝eq\f(1,2)ch′.（2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，则S圆柱侧＝2πrleq\o(←,\s\up7(r′＝r))S圆台侧＝π(r＋r′)leq\o(→,\s\up7(r′＝0))S圆锥侧＝πrl.3、柱体、锥体、台体体积间的关系知识点3点、直线、平面之间的位置关系1、四个公理（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．作用：判断一条直线是否在某个平面内的依据（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．【拓展】公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．作用：公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．作用：公理3是证明三线共点或三点共线的依据（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3、直线与直线的位置关系（1）空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点（2）异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：(0°，90°]．4、直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示5、两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示知识点4直线、平面平行的判定与性质1、直线与平面平行（1）直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．（2）判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b2、平面与平面平行（1）平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面．（2）判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b3、平行关系之间的转化在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．知识点5直线、平面垂直的判定与性质1、直线与平面垂直（1）定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．（2）判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b2、直线和平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是eq\a\vs4\al(0).（2）范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3、平面与平面垂直（1）二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．（2）平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α谨记五个结论（1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．（5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．4、垂直关系之间的转化在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决．一、求空间几何体表面积的常见类型及思路1、求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积；2、求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系3、求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积；【注意】在求解组合题的表面积时，注意几何体表面的构成，尤其是重合部分，面积不要多加或少加【典例1】（2023秋·广东广州·高三校考阶段练习）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图l是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A是圆锥的顶点，B，C分别是圆柱的上､下底面圆的圆心，且，，底面圆的半径为1，则该陀螺的表面积是.【典例2】（2023春·海南海口·高三统考期中）如图是一个圆台形的水杯，圆台的母线长为12，上､下底面的半径分别为4和2.为了防烫和防滑，该水杯配有一个皮革杯套，包裹住水杯高度以下的外壁和杯底，水杯和杯套的厚度忽略不计，则此杯套使用的皮革的面积为（）A．B．C．D．【典例3】（2023·河南·校联考模拟预测）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（）A．B．C．D．二、空间几何体的体积1、处理空间几何体体积的基本思路（1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高；（2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算；（3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。2、求体积的常用方法（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；（2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；（3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换【典例1】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（）A．B．C．D．【典例2】（2023秋·广东珠海·高三校考阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，四棱锥的体积为.【典例3】（2023秋·浙江金华·高三阶段练习）如图，已知多面体的底面与顶面平行且均为矩形.若，，则该多面体的体积为（）A．B．37C．D．47三、共线共点共面证明方法1、证明点或线共面问题的2种方法（1）首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；（2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．2、证明点共线问题的2种方法（1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；（2）直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上．3、证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．【典例1】（2023秋·山西大同·高三校考阶段练习）（多选）已知正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（）A．三点共线B．四点共面C．四点共面D．四点共面【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在空间四边形中，分别在上，与交于点，求证：三点共线.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点．四、平移法求异面直线所成角的步骤第一步平移：平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移第二步证明：证明所作的角是异面直线所成的角或其补角第三步寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之第四步取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，圆柱的轴截面为矩形，点M，N分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【典例3】（2023秋·云南曲靖·高三校考阶段练习）如图，正方形的边长均为2，动点在线段上移动，分别为线段中点，且平面，则当取最大值时，异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．五、证明直线与平面平行的方法1、线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．2、线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．3、面面平行的性质：①两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，即α∥β，a⊂α⇒a∥β；②两个平面平行，不在两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行，即α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β.【典例1】（2022秋·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）如图甲，在梯形中，，，分别为的中点，以为折痕把折起（如图乙），求证：（1）//平面；（2）//平面．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，四边形是正方形，，，为的中点.求证：平面.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，，，、、的中点分别为、、，点在上，．求证：平面.六、证明面面平行的常用方法1、利用面面平行的定义．2、利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．3、利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．4、利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．5、利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．【典例1】（2022·全国·高三专题练习）正方体中，M，N，E，F分别是的中点，求证：面面.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，为所在平面外一点，、、分别为、、的重心．求证：平面平面．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）在圆柱中，等腰梯形ABCD为底面圆的内接四边形，且，矩形ABFE是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线．求证：平面平面ADE．七、证明线面垂直的方法1、线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.2、面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.3、性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α.4、α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用)【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，为的中点，，，，，，.证明：平面.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC．证明：面POD．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形中，，，，为中点，为中点.将沿折起到的位置，如图．证明：平面．八、证明面面垂直的两种方法法1：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角问题；法2：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化为证明线线垂直加以解决。【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，两两垂直，，且分别为线段的中点.求证：平面平面.【典例2】（2023·四川成都·校考模拟预测）在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为边长为2的正三角形，且平面平面ABCD，E为线段AD的中点，PE与平面ABCD所成角为45°.（1）证明：；（2）求证：平面平面PBC.【典例3】（2023·贵州·校联考模拟预测）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体.如图，在羡除中，底面是边长为2的正方形，.（1）证明：平面平面.（2）求四棱锥的体积.九、外接球和内切球的解题思路1、求解几何体外接球的半径的思路（1）根据球的截面的性质，利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系R2＝r2＋d2求解，其中，确定球心的位置是关键；（2）将几何体补成长方体，如本例(2)，利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解．2、解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：第一步定球心：如果是内切球，则球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，则球心到接点的距离相等且为半径；第二步作截面：选准最佳角度作截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；第三步求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解。【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，且，，则三棱锥的体积为．【典例2】（2023秋·广西·高三统考阶段练习）已知正四棱锥的每个顶点都在表面积为的球的球面上，，则（）A．或B．C．2或4D．4【典例3】（2023·全国·高三专题练习）三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．易错点1对斜二测法规则掌握不牢点拨：由斜二测法画直观图步骤如下：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半。【典例1】（2024·全国·高三专题练习）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形【典例2】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（）A．B．C．D．【典例3】（2023·山东济南·一模）已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（）A．B