2019-2023年真题分类汇编（新高考）专题05平面解析几何(原卷版+解析)

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题05平面解析几何考点一两条平行直线间的距离1．（2020•上海）已知直线，，若，则与的距离为．考点二圆的一般方程2．（2021•上海）若，求圆心坐标为．3．（2023•上海）已知圆的面积为，则．考点三直线与圆的位置关系4．【多选】（2021•新高考Ⅱ）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆外，则直线与圆相离 C．若点在直线上，则直线与圆相切 D．若点在圆内，则直线与圆相离5．【多选】（2021•新高考Ⅰ）已知点在圆上，点，，则A．点到直线的距离小于10 B．点到直线的距离大于2 C．当最小时， D．当最大时，6．（2022•新高考Ⅱ）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是．7．（2022•上海）设集合，，①存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧；②存在直线，使得集合中存在无数点在上；A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立8．（2023•新高考Ⅱ）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值．考点四圆的切线方程9．（2023•新高考Ⅰ）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则A．1 B． C． D．10．（2019•浙江）已知圆的圆心坐标是，半径长是．若直线与圆相切于点，则，．11．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆和都相切的一条直线的方程．12．（2020•浙江）已知直线与圆和圆均相切，则，．考点五椭圆的性质13．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆，的离心率分别为，．若，则A． B． C． D．14．（2021•新高考Ⅰ）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为A．13 B．12 C．9 D．615．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆的左焦点和右焦点分别为和，直线与交于点，两点，若△面积是△面积的两倍，则A． B． C． D．16．（2022•新高考Ⅱ）已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别相交于，两点，且，，则的方程为．17．（2021•上海）已知椭圆的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是．18．（2021•浙江）已知椭圆，焦点，，．若过的直线和圆相切，与椭圆的第一象限交于点，且轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是．19．（2019•浙江）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是．20．（2019•上海）已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．（1）若直线垂直于轴，求；（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．考点六直线与椭圆的综合21．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是．22．（2020•海南）已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为．（1）求的方程；（2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值．23．（2020•山东）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求的方程；（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．考点七双曲线的性质24．（2022•上海）双曲线的实轴长为．25．（2019•浙江）渐近线方程为的双曲线的离心率是A． B．1 C． D．226．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线的离心率，则该双曲线的渐近线方程为．27．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为．28．（2022•浙江）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是．考点八直线与双曲线的综合29．（2022•新高考Ⅰ）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．（1）求的斜率；（2）若，求的面积．30．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系中，已知点，，，，点满足．记的轨迹为．（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．31．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．（1）求的方程；（2）过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，点，，，在上，且，．过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．32．（2020•上海）已知双曲线与圆交于点，（第一象限），曲线为、上取满足的部分．（1）若，求的值；（2）当，与轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求；（3）过点斜率为的直线与曲线只有两个交点，记为、，用表示，并求的取值范围．33．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为．（1）求的方程；（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上．考点九．抛物线的性质（2021•新高考Ⅱ）若抛物线的焦点到直线的距离为，则A．1 B．2 C． D．435．【多选】（2022•新高考Ⅱ）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点．若，则A．直线的斜率为 B． C． D．36．（2021•上海）已知抛物线，若第一象限的，在抛物线上，焦点为，，，，求直线的斜率为．37．（2021•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且．若，则的准线方程为．38．（2020•山东）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则．39．（2019•上海）过曲线的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线交于，，在上方，为抛物线上一点，，则．考点十直线与抛物线的综合40．【多选】（2023•新高考Ⅱ）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形41．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则A．的准线为 B．直线与相切 C． D．42．（2023•上海）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．（1）若到抛物线准线的距离为3，求的值；（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；（3）直线，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．43．（2020•浙江）如图，已知椭圆，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点，不同于．（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最大值．44．（2019•浙江）如图，已知点为抛物线的焦点．过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记，的面积分别为，．（Ⅰ）求的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求的最小值及此时点的坐标．考点十一圆锥曲线的综合45．（2020•浙江）已知点，，．设点满足，且为函数图象上的点，则A． B． C． D．46．【多选】（2020•海南）已知曲线．A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则是两条直线47．（2022•上海）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，．（1），中点在轴上，求点的坐标；（2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求；（3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值．48．（2022•浙江）如图，已知椭圆．设，是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线，分别交直线于，两点．（Ⅰ）求点到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求的最小值．49．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆的方程为，右焦点为，，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，是椭圆上的两点，直线与曲线相切．证明：，，三点共线的充要条件是．50．（2021•浙江）如图，已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且．（Ⅰ）求抛物线的方程：（Ⅱ）设过点的直线交抛物线于，两点，若斜率为2的直线与直线，，，轴依次交于点，，，，且满足，求直线在轴上截距的取值范围．考点十二圆锥曲线的轨迹问题51．（2021•浙江）已知，，，函数．若，，成等比数列，则平面上点的轨迹是A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线52．（2020•上海）已知椭圆，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹是A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线53．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题05平面解析几何考点一两条平行直线间的距离1．（2020•上海）已知直线，，若，则与的距离为．【解析】直线，，当时，，解得；当时与重合，不满足题意；当时，此时，；则与的距离为．故答案为：．考点二圆的一般方程2．（2021•上海）若，求圆心坐标为．【解析】由，可得圆的标准方程为，所以圆心坐标为．故答案为：．3．（2023•上海）已知圆的面积为，则．【解析】圆化为标准方程为：，圆的面积为，圆的半径为1，，．故答案为：．考点三直线与圆的位置关系4．【多选】（2021•新高考Ⅱ）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆外，则直线与圆相离 C．若点在直线上，则直线与圆相切 D．若点在圆内，则直线与圆相离【解析】中，若在圆上，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，即正确；中，点在圆外，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以不正确；中，点在直线上，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，所以正确；中，点在圆内，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，所以正确；故选：．5．【多选】（2021•新高考Ⅰ）已知点在圆上，点，，则A．点到直线的距离小于10 B．点到直线的距离大于2 C．当最小时， D．当最大时，【解析】，，过、的直线方程为，即，圆的圆心坐标为，圆心到直线的距离，点到直线的距离的范围为，，，，，点到直线的距离小于10，但不一定大于2，故正确，错误；如图，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大点位于时最小，位于时最大），此时，，故正确．故选：．6．（2022•新高考Ⅱ）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是．【解析】点，，，所以直线关于对称的直线的斜率为：，所以对称直线方程为：，即：，的圆心，半径为1，所以，得，解得，．故答案为：，．7．（2022•上海）设集合，，①存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧；②存在直线，使得集合中存在无数点在上；A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立【解析】当时，集合，，，当时，集合，，，表示圆心为，半径为的圆，圆的圆心在直线上，半径单调递增，相邻两个圆的圆心距，相邻两个圆的半径之和为，因为有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，当时，同的情况，故存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧，故①正确，若直线斜率不存在，显然不成立，设直线，若考虑直线与圆的焦点个数，，，给定，，当足够大时，均有，故直线只与有限个圆相交，②错误．故选：．8．（2023•新高考Ⅱ）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值．【解析】由圆，可得圆心坐标为，半径为，因为的面积为，可得，解得，设所以，可得，，或，或，圆心眼到直线的距离或，或，解得或．故答案为：2（或或或．考点四圆的切线方程9．（2023•新高考Ⅰ）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则A．1 B． C． D．【解析】圆可化为，则圆心，半径为；设，切线为、，则，中，，所以，所以．故选：．10．（2019•浙江）已知圆的圆心坐标是，半径长是．若直线与圆相切于点，则，．【解析】如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得．圆心为，则半径．故答案为：，．11．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆和都相切的一条直线的方程．【解析】圆的圆心坐标为，半径，圆的圆心坐标为，半径，如图：，两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．，的斜率为，设直线，即，由，解得（负值舍去），则；由图可知，；与关于直线对称，联立，解得与的一个交点为，在上取一点，该点关于的对称点为，，则，解得对称点为，．，则，即．与圆和都相切的一条直线的方程为：（填，都正确）．故答案为：（填，都正确）．12．（2020•浙江）已知直线与圆和圆均相切，则，．【解析】由条件得，，，，因为直线与，都相切，故有，，则有，故可得，整理得，因为，所以，即，代入，解得，则，故答案为：；．考点五椭圆的性质13．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆，的离心率分别为，．若，则A． B． C． D．【解析】由椭圆可得，，，椭圆的离心率为，，，，，或（舍去）．故选：．14．（2021•新高考Ⅰ）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为A．13 B．12 C．9 D．6【解析】，是椭圆的两个焦点，点在上，，所以，当且仅当时，取等号，所以的最大值为9．故选：．15．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆的左焦点和右焦点分别为和，直线与交于点，两点，若△面积是△面积的两倍，则A． B． C． D．【解析】记直线与轴交于，椭圆的左，右焦点分别为，，，，由△面积是△的2倍，可得，，解得或，或，或，联立可得，，直线与相交，所以△，解得，不符合题意，故．故选：．16．（2022•新高考Ⅱ）已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别相交于，两点，且，，则的方程为．【解析】设，，，，线段的中点为，由，，相减可得：，则，设直线的方程为：，，，，，，，，，，解得，，，化为：．，，解得．的方程为，即，故答案为：．17．（2021•上海）已知椭圆的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是．【解析】设，，则抛物线，直线，联立方程组，解得，，所以点的坐标为，所以，又所以，则，所以抛物线的准线方程为：，故答案为：．18．（2021•浙江）已知椭圆，焦点，，．若过的直线和圆相切，与椭圆的第一象限交于点，且轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是．【解析】直线斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意；由直线过，设直线的方程为，直线和圆相切，圆心到直线的距离与半径相等，，解得，将代入，可得点坐标为，，，，．故答案为：．19．（2019•浙江）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是．【解析】椭圆的，，，，设椭圆的右焦点为，连接，线段的中点在以原点为圆心，2为半径的圆，连接，可得，设的坐标为，可得，可得，，由，可得直线的斜率为．另解：由，，，可得，，可得直线的斜率为．故答案为：．20．（2019•上海）已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．（1）若直线垂直于轴，求；（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【解析】（1）依题意，，当轴时，则，，得；（2）设，，，，又在椭圆上，满足，即，，解得，即．直线，联立，解得，；（3）设，，，，，，直线，则，．联立，得．则，．由直线的方程：，得纵坐标；由直线的方程：，得的纵坐标．若，即，，，，代入根与系数的关系，得，解得．存在直线或满足题意．考点六直线与椭圆的综合21．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是．【解析】椭圆的离心率为，不妨可设椭圆，，的上顶点为，两个焦点为，，△为等边三角形，过且垂直于的直线与交于，两点，，由等腰三角形的性质可得，，，设直线方程为，，，，，将其与椭圆联立化简可得，，由韦达定理可得，，，，解得，的周长等价于．故答案为：13．22．（2020•海南）已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为．（1）求的方程；（2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值．【解析】（1）由题意可知直线的方程为：，即，当时，解得，所以，椭圆过点，可得，解得，所以的方程：．（2）设与直线平行的直线方程为：，当直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为，此时的面积取得最大值．代入椭圆方程：．化简可得：，所以△，即，解得，与距离比较远的直线方程：，利用平行线之间的距离为：，．所以的面积的最大值：．23．（2020•山东）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求的方程；（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．【解析】（1）离心率，，又，，，把点代入椭圆方程得，，解得，故椭圆的方程为．（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，联立，得，由△，知，设，，，，则，，，，，，即，，化简整理得，，或，当时，，过定点，不符合题意，舍去；当时，，过定点．，点在以为直径的圆上，故当点为的中点，即，时，，为定值；②当直线的斜率不存在时，设其方程为，，，且，，，，，解得或2（舍，，，此时，为定值．综上所述，存在定点，，使得为定值，且该定值为．考点七双曲线的性质24．（2022•上海）双曲线的实轴长为．【解析】由双曲线，可知：，所以双曲线的实轴长．故答案为：6．25．（2019•浙江）渐近线方程为的双曲线的离心率是A． B．1 C． D．2【解析】根据渐近线方程为的双曲线，可得，所以则该双曲线的离心率为，故选：．26．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线的离心率，则该双曲线的渐近线方程为．【解析】双曲线的方程是，双曲线渐近线为又离心率为，可得，即，可得由此可得双曲线渐近线为故答案为：27．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为．【解析】（法一）如图，设，，，设，则，又，则，可得，又，且，则，化简得．又点在上，则，整理可得，代，可得，即，解得或（舍去），故．（法二）由，得，设，由对称性可得，则，设，则，所以，解得，所以，在△中，由余弦定理可得，即，则．故答案为：．28．（2022•浙江）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是．【解析】（法一）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，由于，且，则点在渐近线上，不妨设，设直线的倾斜角为，则，则，即，则，，又，则，又，则，则，点的坐标为，，即，．（法二）由，解得，又，所以点的纵坐标为，代入方程中，解得，所以，代入双曲线方程中，可得，所以．故答案为：．考点八直线与双曲线的综合29．（2022•新高考Ⅰ）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．（1）求的斜率；（2）若，求的面积．【解析】（1）将点代入双曲线方程得，化简得，，故双曲线方程为，由题显然直线的斜率存在，设，设，，，则联立双曲线得：，故，，，化简得：，故，即，而直线不过点，故；（2）设直线的倾斜角为，由，，得由，，得，即，联立，及得，同理，故，而，由，得，故．30．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系中，已知点，，，，点满足．记的轨迹为．（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．【解析】（1）由双曲线的定义可知，的轨迹是双曲线的右支，设的方程为，根据题意，解得，的方程为；（2）（法一）设，直线的参数方程为，将其代入的方程并整理可得，，由参数的几何意义可知，，，则，设直线的参数方程为，，，同理可得，，依题意，，则，又，故，则，即直线的斜率与直线的斜率之和为0．（法二）设，直线的方程为，，，，，设，将直线方程代入的方程化简并整理可得，，由韦达定理有，，又由可得，同理可得，，设直线的方程为，设，同理可得，又，则，化简可得，又，则，即，即直线的斜率与直线的斜率之和为0．31．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．（1）求的方程；（2）过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，点，，，在上，且，．过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解析】（1）由题意可得，，解得，，因此的方程为，（2）解法一：设直线的方程为，，将直线的方程代入可得，△，，，，，设点的坐标为，，则，两式相减可得，，，解得，两式相加可得，，，解得，，其中为直线的斜率；若选择①②：设直线的方程为，并设的坐标为，，的坐标为，，则，解得，，同理可得，，，，此时点的坐标满足，解得，，为的中点，即；若选择①③：当直线的斜率不存在时，点即为点，此时不在直线上，矛盾，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，并设的坐标为，，的坐标为，，则，解得，，同理可得，，此时，，由于点同时在直线上，故，解得，因此．若选择②③，设直线的方程为，并设的坐标为，，的坐标为，，则，解得，，同理可得，，设的中点，，则，，由于，故在的垂直平分线上，即点在直线上，将该直线联立，解得，，即点恰为中点，故点在直线上．（2）解法二：由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②③，或选由②③①：由②成立可知直线的斜率存在且不为0．若选①③②，则为线段的中点，假设的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点，此时由对称性可知、关于轴对称，从而，已知不符．综上，直线的斜率存在且不为0，直线的斜率为，直线的方程为．则条件①在直线上，等价于，两渐近线的方程合并为，联立方程组，消去并化简得：，设，，，，线段中点为，，则．，设，，则条件③等价于，移项并利用平方差公式整理得：，，，，，，由题意知直线的斜率为，直线的斜率为，由，，，直线的斜率，直线，即，代入双曲线的方程为，即中，得，解得的横坐标为，同理，，，，条件②等价于，综上所述：条件①在上等价于，条件②等价于，条件③等价于．选①②③：由①②解得，③成立；选①③②：由①③解得：，，，②成立；选②③①：由②③解得：，，，①成立．32．（2020•上海）已知双曲线与圆交于点，（第一象限），曲线为、上取满足的部分．（1）若，求的值；（2）当，与轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求；（3）过点斜率为的直线与曲线只有两个交点，记为、，用表示，并求的取值范围．【解析】（1）由，点为曲线与曲线的交点，联立，解得，；（2）由题意可得，为曲线的两个焦点，由双曲线的定义可得，又，，所以，因为，则，所以，在△中，由余弦定理可得，由，可得；（3）设直线，可得原点到直线的距离，所以直线是圆的切线，设切点为，所以，并设与圆联立，可得，可得，，即，注意直线与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当时，直线才能与曲线有两个交点，由，可得，所以有，解得或（舍去），因为为在上的投影可得，，所以，则，．33．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为．（1）求的方程；（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上．【解析】（1）双曲线中心为原点，左焦点为，，离心率为，则，解得，故双曲线的方程为；（2）证明：过点的直线与的左支交于，两点，则可设直线的方程为，，，，，记的左，右顶点分别为，，则，，联立，化简整理可得，，故△且，，，直线的方程为，直线方程，故，故，解得，所以，故点在定直线上运动．考点九．抛物线的性质（2021•新高考Ⅱ）若抛物线的焦点到直线的距离为，则A．1 B．2 C． D．4【解析】抛物线的焦点，到直线的距离为，可得，解得．故选：．35．【多选】（2022•新高考Ⅱ）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点．若，则A．直线的斜率为 B． C． D．【解析】如图，，，，且，，，由抛物线焦点弦的性质可得，则，则，，，故正确；，，，故错误；，故正确；，，，，，，，，均为锐角，可得，故正确．故选：．36．（2021•上海）已知抛物线，若第一象限的，在抛物线上，焦点为，，，，求直线的斜率为．【解析】如图所示，设抛物线的准线为，作于点，于点，于点，由抛物线的定义，可得，，，直线的斜率．故答案为：．37．（2021•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且．若，则的准线方程为．【解析】法一：由题意，不妨设在第一象限，则，，，．所以，所以的方程为：，时，，，所以，解得，所以抛物线的准线方程为：．法二：根据射影定理，可得，可得，解得，因此，抛物线的准线方程为：．故答案为：．38．（2020•山东）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则．【解析】由题意可得抛物线焦点，直线的方程为，代入并化简得，设，，，，则；，由抛物线的定义可得．故答案为：．39．（2019•上海）过曲线的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线交于，，在上方，为抛物线上一点，，则．【解析】过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于，，在上方，依题意：得到：，，，设点，所以：为抛物线上一点，，则：，，，，，代入，得到：．故答案为：3考点十直线与抛物线的综合40．【多选】（2023•新高考Ⅱ）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形【解析】直线过抛物线的焦点，可得，所以，所以正确；抛物线方程为：，与交于，两点，直线方程代入抛物线方程可得：，，所以，所以不正确；，的中点的横坐标：，中点到抛物线的准线的距离为：，所以以为直径的圆与相切，所以正确；，不妨可得，，，，，，，所以不是等腰三角形，所以不正确．故选：．41．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则A．的准线为 B．直线与相切 C． D．【解析】点在抛物线上，，解得，抛物线的方程为，准线方程为，选项错误；由于，，则，直线的方程为，联立，可得，解得，故直线与抛物线相切，选项正确；根据对称性及选项的分析，不妨设过点的直线方程为，与抛物线在第一象限交于，，，，联立，消去并整理可得，则，，，，由于等号在时才能取到，故等号不成立，选项正确；，选项正确．故选：．42．（2023•上海）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．（1）若到抛物线准线的距离为3，求的值；（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；（3）直线，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．【解析】（1）抛物线的准线为，由于到抛物线准线的距离为3，则点的横坐标为2，则，解得；（2）当时，点的横坐标为，则，设，则的中点为，由题意可得，解得，所以，则，由点斜式可得，直线的方程为，即，所以原点到直线的距离为；（3）如图，设，则，故直线的方程为，令，可得，即，则，依题意，恒成立，又，则最小值为，即，即，则，解得，又当时，，当且仅当时等号成立，而，即当时，也符合题意．故实数的取值范围为，．43．（2020•浙江）如图，已知椭圆，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点，不同于．（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最大值．【解析】（Ⅰ），则，则抛物线的焦点坐标，，（Ⅱ）直线与轴垂直时，此时点与点或点重合，不满足题意，设直线的方程为，，，，，，，由，消可得，△，即，，，，，，点在抛物线上，，，联立，解得，，代入椭圆方程可得，解得，，当且仅当，即，时等号成立，故的最大值为．44．（2019•浙江）如图，已知点为抛物线的焦点．过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记，的面积分别为，．（Ⅰ）求的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求的最小值及此时点的坐标．【解析】（Ⅰ）由抛物线的性质可得：，，抛物线的准线方程为；（Ⅱ）设，，，，，，重心，，令，，则，由于直线过，故直线的方程为，代入，得：，，即，，，又，，重心在轴上，，，，，，直线的方程为，得，，在焦点的右侧，，，令，则，，当时，取得最小值为，此时．考点十一圆锥曲线的综合45．（2020•浙江）已知点，，．设点满足，且为函数图象上的点，则A． B． C． D．【解析】点，，．设点满足，可知的轨迹是双曲线的右支上的点，为函数图象上的点，即在第一象限的点，联立两个方程，解得，，所以．故选：．46．【多选】（2020•海南）已知曲线．A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则是两条直线【解析】．若，则，则根据椭圆定义，知表示焦点在轴上的椭圆，故正确；．若，则方程为，表示半径为的圆，故错误；．若，，则方程为，表示焦点在轴的双曲线，故此时渐近线方程为，若，，则方程为，表示焦点在轴的双曲线，故此时渐近线方程为，故正确；．当，时，则方程为表示两条直线，故正确；故选：．47．（2022•上海）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，．（1），中点在轴上，求点的坐标；（2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求；（3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值．【解析】（1）由题意可得，，的中点在轴上，的纵坐标为，代入得．（2）由直线方程可知，①若，则，即，，．②若，则，，，，．即，，，综上或．（3）设，由点到直线距离公式可得，很明显椭圆在直线的左下方，则，即，，，据此可得，，整理可得，即，从而．即的最小值为．48．（2022•浙江）如图，已知椭圆．设，是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线，分别交直线于，两点．（Ⅰ）求点到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求的最小值．【解析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点，则，，，而函数的对称轴为，则其最大值为，，即点到椭圆上点的距离