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立体几何专题训练(十一)—证明平行、垂直(2)1.如图,在三棱柱中,平面平面,,,,,为的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面.证明:(1)取中点,连接,,在三棱柱中,为的中点.,,四边形是平行四边形,,,平面,平面,,平面,平面,平面平面,平面,平面.(2),为的中点,,又平面平面,平面平面,平面,平面,又平面,.又,,面.2.在如图所示的多面体中,是正方形,,,,四点共面,面.(1)求证:面;(2)若,,,求证:平面.证明:(1)因为是正方形,所以,又面,面,所以面,因为面,,,平面,所以面面,又面,所以面.(2)在平面中,作交于点,因为面,平面,平面平面,所以,又,所以四边形为平行四边形,所以,,,因为,所以,所以,所以,所以,又,,,平面,所以平面.3.如图所示多面体中,平面,,,,,.(1)求证:;(2)在上求作点,使平面,请写出作法并说明理由.解:(1)证明:取的中点,连接,,,又,四边形是平行四边形,故,,,,是边长为2的正三角形,,,,,即,平面,,平面,,,又,所以,,又,,平面,平面,又平面,,平面,平面,,平面,平面,.(2)设交于点,连接,此时点即为所求作的点.证明如下:,,又,四边形是平行四边形,故,即,又平面,平面,平面.,平面,平面,平面.又平面,平面,,平面平面,平面,平面.4.如图,在四棱锥中,平面,,,,.(1)求证:平面平面;(2)若点满足,且平面,求的值.解:(1)证明:由平面,可得,又,,可得,由平面,,可得平面,,又,,可得,在中,,,,可得,即为,解得,由,可得,又,而,为平面内的两条相交直线,所以平面,又平面,所以平面平面;(2)连接与交于,连接,由平面,平面,平面平面,可得,所以,在四边形中,,可得,所以.5.如图1,,是以为直径的圆上两点,且,,将所在的半圆沿直径折起,使得点在平面上的正投影在线段上,如图2.(1)求证:平面;(2)已知为中点,在线段上是否存在点,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.(1)证明:由图1可知:,,由图2,为在平面的投影,平面,面,,,面,面,,,面.(2)解:不存在.不妨令,则,,,.,,,面,,在中,勾股定理可得,,取中点,中点,分别连,,为中点,易知,,面面,由图易知,线段与面不相交,线段上不存在点使面.6.已知四棱锥的底面为平行四边形,平面平面,点在上,平面.(1)求证:平面;(2)若,在线段上是否存在一点,使得平面,请说明理由.(1)证明:平面,平面,,四棱锥的底面为平行四边形,,,平面平面,且平面平面,平面,平面.(2)解:存在,为上靠近的三等分点,取上靠近的三等分点为,取上靠近的三等分点
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