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立体几何专题训练（十一）—证明平行、垂直（2）1．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．证明：（1）取中点，连接，，在三棱柱中，为的中点．，，四边形是平行四边形，，，平面，平面，，平面，平面，平面平面，平面，平面．（2），为的中点，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，．又，，面．2．在如图所示的多面体中，是正方形，，，，四点共面，面．（1）求证：面；（2）若，，，求证：平面．证明：（1）因为是正方形，所以，又面，面，所以面，因为面，，，平面，所以面面，又面，所以面．（2）在平面中，作交于点，因为面，平面，平面平面，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，，，因为，所以，所以，所以，所以，又，，，平面，所以平面．3．如图所示多面体中，平面，，，，，．（1）求证：；（2）在上求作点，使平面，请写出作法并说明理由．解：（1）证明：取的中点，连接，，，又，四边形是平行四边形，故，，，，是边长为2的正三角形，，，，，即，平面，，平面，，，又，所以，，又，，平面，平面，又平面，，平面，平面，，平面，平面，．（2）设交于点，连接，此时点即为所求作的点．证明如下：，，又，四边形是平行四边形，故，即，又平面，平面，平面．，平面，平面，平面．又平面，平面，，平面平面，平面，平面．4．如图，在四棱锥中，平面，，，，．（1）求证：平面平面；（2）若点满足，且平面，求的值．解：（1）证明：由平面，可得，又，，可得，由平面，，可得平面，，又，，可得，在中，，，，可得，即为，解得，由，可得，又，而，为平面内的两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）连接与交于，连接，由平面，平面，平面平面，可得，所以，在四边形中，，可得，所以．5．如图1，，是以为直径的圆上两点，且，，将所在的半圆沿直径折起，使得点在平面上的正投影在线段上，如图2．（1）求证：平面；（2）已知为中点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：由图1可知：，，由图2，为在平面的投影，平面，面，，，面，面，，，面．（2）解：不存在．不妨令，则，，，．，，，面，，在中，勾股定理可得，，取中点，中点，分别连，，为中点，易知，，面面，由图易知，线段与面不相交，线段上不存在点使面．6．已知四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，点在上，平面．（1）求证：平面；（2）若，在线段上是否存在一点，使得平面，请说明理由．（1）证明：平面，平面，，四棱锥的底面为平行四边形，，，平面平面，且平面平面，平面，平面．（2）解：存在，为上靠近的三等分点，取上靠近的三等分点为，取上靠近的三等分点
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