浙江省中考数学总复习阶段检测12开放探索问题试题

阶段检测12开放探索问题一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各小题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分)1．甲、乙两支同样的温度计如图所示放置，如果向左平移甲温度计，使其度数20正对着乙温度计的度数－10，那么此时甲温度计的度数－5正对着乙温度计的度数是()A．5B．15C．25D．30第1题图第2题图第3题图2．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为()A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°3．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO＝CO＝eq\f(1,2)AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有()A．0个B．1个C．2个D．3个4．对于反比例函数y＝eq\f(k,x)，如果当－2≤x≤－1时有最大值y＝4，则当x≥8时，有()A．最小值y＝－eq\f(1,2)B．最小值y＝－1C．最大值y＝－eq\f(1,2)D．最大值y＝－15．如图，以矩形ABCD的A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点；再以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点．若AD＝5，CD＝eq\f(17,3)，则EF的长度为何？()A．2B．3C.eq\f(2,3)D.eq\f(7,3)第5题图第6题图第7题图第8题图6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为()A．1.2B．1.3C．1.4D．2.47．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t＝eq\f(5,4)或eq\f(15,4).其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3，若∠B＋∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为()A．25∶9B．5∶3C.eq\r(5)∶eq\r(3)D．5eq\r(5)∶3eq\r(3)9．我区A，B，C，D，E五校学生足球队参加区级足球邀请赛，五位同学对比赛结果进行了预测，每人预测两个名次如下：甲预测：B校第2名，A校第3名；乙预测：D校第2名，E校第4名；丙预测：E校第1名，C校第5名；丁预测：D校第3名，C校第4名；戊预测：A校第2名，B校第5名．结果表明每人都恰好猜对了一个名次，并且每一个名次都有一人猜对．则实际比赛各校足球队的名次为()学校ABCDE名次14352A.学校ABCDE名次53412B.学校ABCDE名次35421C.学校ABCDE名次35241D.如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B、C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连结FB，交DE于点Q，给出以下结论：第10题图①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确的结论的个数是()A．1B．2C．3D．4二、填空题(本大题有6小题，每小题5分，共30分)11．如图1，折线段AOB将面积为S的⊙O分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为S1、S2，若eq\f(S1,S)＝eq\f(S2,S1)＝0.618，则称分成的小扇形为“黄金扇形”，生活中的折扇(如图2)，大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为°.(精确到0.1)第11题图第12题图第13题图12．在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C(4，0)，B(6，2)，直线y＝2x＋1以每秒1个单位的速度向下平移，经过秒该直线可将▱OABC的面积平分．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边上的中点，点P在AB上，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AB＝6，BC＝3，则PE＋PF＝.14．在平面直角坐标系中，有三条直线l1，l2，l3，它们的函数解析式分别是y＝x，y＝x＋1，y＝x＋2.在这三条直线上各有一个动点，依次为A，B，C，它们的横坐标分别为a，b，c，则当a，b，c满足条件时，这三点不能构成△ABC.15．如图1是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互连通，已知∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水．(1)如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为；(2)如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O，则Ⅱ中有水部分的面积为.第15题图如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝eq\r(3)，BO＝1，AB的垂直平分线交AB于点E，交射线BO于点F.点P从点A出发沿射线AO以每秒2eq\r(3)个单位的速度运动，同时点Q从点O出发沿OB方向以每秒1个单位的速度运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动的时间为t秒．第16题图(1)当t＝时，PQ∥EF；(2)若P、Q关于点O的对称点分别为P′、Q′，当线段P′Q′与线段EF有公共点时，t的取值范围是.三、解答题(本大题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分)17．小航在正方形网格的格点上，用9粒围棋子摆成如图1所示图形．现请你去掉4颗棋子，使剩下的5颗棋子具有如下性质(去掉的棋子用“⊗”表示，即在棋子上加一个×)．(1)是轴对称图形但不是中心对称图形(在图2上作答)；(2)是中心对称图形但不是轴对称图形(在图3上作答)．第17题图18．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且eq\o(DE,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵)).(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求cos∠BAD的值．第18题图19．数学老师布置了这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tanα＝eq\f(1,3)，tanβ＝eq\f(1,2)，求α＋β的度数．甲，乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题，他们分别设计了图1和图2.(1)请你分别利用图1，图2，求出α＋β的度数，并说明理由；第19题图(2)请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：如果α，β都为锐角，当tanα＝5，tanβ＝eq\f(2,3)时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON，使得∠MON＝α－β，求出α－β的度数，并说明理由．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发，在AC上以每秒5cm的速度向点C匀速运动，同时动点Q从点D出发，在DA边上以每秒4cm的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒(0<t<2)，连结PQ.第20题图(1)若△APQ与△ADC相似，求t的值；(2)连结CQ，DP，若CQ⊥DP，求t的值；(3)连结BQ，PD，请问BQ能和PD平行吗？若能，求出t的值；若不能，说明理由．21．如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，现有一根长为80cm的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设BD＝xcm，菱形ABCD的面积为ycm2.第21题图(1)写出y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2)如图3，在所给的直角坐标系中画出(1)中的函数图象；(3)为了使风筝在空中有较好的稳定性，骨架AC长度必须大于骨架BD长度且小于BD长度的两倍，现已知菱形ABCD的面积为375cm2，则骨架BD和AC的长为多少？我们定义：有两边长度满足二倍关系的三角形叫做“倍长三角形”．第22题图(1)概念理解请你根据上述定义画一个倍长三角形，并注明相关数据；(2)问题探究如图1，等腰△ABC是倍长三角形，点D为AC边上一动点，当DC＝eq\f(1,3)AD时，求证：△ABD是倍长三角形；(3)应用拓展如图2，△ABC为倍长三角形，∠ACB＝120°，AC＞BC，BC＝2，过点B作CB的垂线交∠ACB的平分线于点D，连结AD，求AD2的值．23．如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．(1)请直接写出线段BE与线段CD的关系：；(2)如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α(0°＜α＜360°)，①(1)中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；②当AC＝eq\f(1,2)ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．第23题图24．如图，点O为坐标原点，直线l：y＝kx＋2(k＜0)与x轴、y轴分别交于点G(m，0)，点C(0，2)，B是直线l上的一点，且点A(2，0)．第24题图(1)若∠GCA＝15°，m＞2，求直线l的解析式；(2)若AB⊥BC，AB＝1，求m的值；(3)若点B在第一象限，且AB＝AO，△OBC是等腰三角形．直接写出点B的坐标．参考答案阶段检测12开放探索问题一、1—5.BDDAA6—10.ABACD二、11.137.512.613.eq\f(6\r(5),5)14.a＋c＝2b15．(1)16(2)eq\f(7,2)16.(1)eq\f(3,5)(2)eq\f(2,3)≤t≤1三、17.(1)略；(2)略．18．(1)连结AE，∵eq\o(DE,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵))，∴∠DAE＝∠BAE.∵AB为直径，∴∠AEB＝90°.即∠AEB＝∠AEC＝90°.∴∠ABC＝∠C，∴△ABC为等腰三角形．(2)由(1)知AE⊥BC.E为BC中点，∴BE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×12＝6.∵AB＝10.∴AE＝eq\r(102－62)＝8.∵BC·AE＝AC·BD.∴BD＝eq\f(BC·AE,AC).∵∠ABC＝∠C，∴AC＝AB＝10.∴BD＝eq\f(12×8,10)＝eq\f(48,5).∴AD＝eq\r(102－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48,5)))\s\up12(2))＝eq\f(14,5).∴cos∠BAD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\f(14,5),10)＝eq\f(7,25).19．(1)如图1，α＋β＝45°.理由如下：连结BC，则BC＝AC＝eq\r(5).∵△AGC≌△CFB.∴∠ACG＝∠CBF.∵∠CBF＋∠BCF＝90°.∴∠ACG＋∠BCF＝90°.∴∠ACB＝90°，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠BAC＝α＋β＝45°.如图2，α＋β＝45°.理由如下．如图2，连结AF，BE，则AF＝eq\r(2)，FB＝2，AB＝eq\r(10)，CE＝1，BE＝eq\r(2)，BC＝eq\r(5).∴eq\f(CE,AF)＝eq\f(BE,FB)＝eq\f(BC,AB).∴△CEB∽△AFB，∴∠FAB＝∠BCD＝β，∵∠FAC＝45°，∴α＋β＝45°.(2)如图3，∠MOC＝α，∠NOC＝β，∴∠MON＝α－β.连结MN，则MN＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13).NO＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13).∴MN＝ON.∵△MDN≌△NCO，∴∠DMN＝∠ONC.∵∠MND＋∠NMD＝90°，∴∠MND＋∠ONC＝90°，即∠MNO＝90°，∴△MNO为等腰直角三角形，∴∠MON＝45°，即α－β＝45°.第19题图20.(1)①△APQ∽△ADC时，有eq\f(AP,AD)＝eq\f(AQ,AC).∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10cm.由题意得：AP＝5tcm，AD＝8cm，AQ＝(8－4t)cm，∴eq\f(5t,8)＝eq\f(8－4t,10)，∴t＝eq\f(32,41)；②△APQ∽△ACD时，有eq\f(AP,AC)＝eq\f(AQ,AD)，则eq\f(5t,10)＝eq\f(8－4t,8)，∴t＝1.∴若△APQ与△ADC相似，则t＝1或t＝eq\f(32,41).(2)如图，过P作PE⊥AD.∵△APE∽△ACD.∴AP＝5t，AE＝4t，PE＝3t，则ED＝8－4t.∵CQ⊥PD，∠ADC＝90°.∴∠EDP＋∠PDC＝90°，∠PDC＋∠DCQ＝90°，∴∠EDP＝∠DCQ.∵∠PED＝∠ADC＝90°，∴△PED∽△QDC，∴eq\f(PE,QD)＝eq\f(ED,DC).∴eq\f(3t,4t)＝eq\f(8－4t,6)，∴t＝eq\f(7,8).∴若CQ⊥PD，则t＝eq\f(7,8).(3)如图，若BQ∥PD，则可证△AGB≌△CPD，∵PC＝10－5t，∴AG＝10－5t，∵QB∥PD，∴△AGQ∽△APD，∴eq\f(AG,AP)＝eq\f(AQ,AD)，即eq\f(10－5t,5t)＝eq\f(8－4t,8)，得(t－2)2＝0，t＝2.这与0<t<2矛盾．∴BQ不能和PD平行．第20题图21.(1)∵E，F为AB，AD中点，∴EF＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)x，同理GH＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)x.∵四边形ABCD是菱形，∴y＝eq\f(1,2)x(80－2x)＝－x2＋40x，∴自变量x的取值范围是：0<x<40.(2)如图所示．(3)y＝－(x－20)2＋400＝375，∴(x－20)2＝25，解得x＝25或x＝15.∵AC长度必须大于BD长度且小于BD长度的两倍，∴x＝25，即BD＝25cm，AC＝30cm.第21题图22．(1)答案不唯一，只要满足二倍关系即可．(2)∵等腰△ABC是倍长三角形，∴AB＝AC＝2BC，∵DC＝eq\f(1,3)AD，∴eq\f(DC,BC)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(1,2)，∠C＝∠C，∴△DCB∽△BCA，∴eq\f(BD,AB)＝eq\f(1,2)，∴△ABD是倍长三角形．(3)∵∠ACB＝120°，∴AB＞AC＞BC，需讨论①AC＝2BC；②AB＝2BC；③AB＝2AC.①AC＝2BC＝4，如图1，作DE⊥AC于点E，易证△ECD≌△BCD，∴CE＝CB＝2，∠ECD＝∠BCD＝60°，∴易得△ADC为等边三角形，即AD＝4，AD2＝16.②AB＝2BC＝4，如图2，作DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，易证△ECD≌△BCD，∴CE＝CB＝2，∠ECD＝∠BCD＝60°，∴DE＝2eq\r(3)，在直角△BCF中，CF＝1，BF＝eq\r(3)，在直角△ABF中，AB2＝BF2＋AF2，解得AF＝eq\r(13).∴AE＝eq\r(13)－3，在直角△AED中，AD2＝AE2＋DE2＝(eq\r(13)－3