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文档简介

2024届广东省惠阳高级中学数学高一下期末考试试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.的周期为()A. B. C. D.2.已知无穷等比数列的公比为,前项和为,且,下列条件中,使得恒成立的是()A., B.,C., D.,3.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为()A.54 B. C.90 D.814.如图:样本A和B分别取自两个不同的总体,他们的样本平均数分别为和,样本标准差分别为和,则()A.B.C.D.5.已知向量,则与的夹角为()A. B. C. D.6.某学校的A,B,C三个社团分别有学生人,人,人,若采用分层抽样的方法从三个社团中共抽取人参加某项活动,则从A社团中应抽取的学生人数为()A.2 B.4 C.5 D.67.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.曲线与曲线的()A.长轴长相等 B.短轴长相等C.焦距相等 D.离心率相等9.半圆的直径,为圆心,是半圆上不同于的任意一点,若为半径上的动点,则的最小值是()A.2 B.0 C.-2 D.410.数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N+),那么a4的值为().A.4 B.8 C.15 D.31二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知椭圆的右焦点为,过点作圆的切线,若两条切线互相垂直,则_____________.12.已知直线:与直线:互相平行,则直线与之间的距离为______.13.已知扇形的面积为,圆心角为,则该扇形半径为__________.14.若扇形的周长是,圆心角是度,则扇形的面积(单位)是__________.15.将边长为1的正方形(及其内部)绕旋转一周形成圆柱,点、分别是圆和圆上的点,长为,长为,且与在平面的同侧,则与所成角的大小为______.16.已知正三棱锥的底面边长为,侧棱长为2,则该三棱锥的外接球的表面积_____.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.在锐角中,,,分别为内角,,所对的边,且满足.(1)求角的大小;(2)若,,求的面积.18.近年来,郑州经济快速发展,跻身新一线城市行列,备受全国瞩目.无论是市内的井字形快速交通网,还是辐射全国的米字形高铁路网,郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右.为了调查郑州市民对出行的满意程度,研究人员随机抽取了1000名市民进行调查,并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图,其中.(I)求的值;(Ⅱ)求被调查的市民的满意程度的平均数,众数,中位数;(Ⅲ)若按照分层抽样从,中随机抽取8人,再从这8人中随机抽取2人,求至少有1人的分数在的概率.19.某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市15~65岁的人群抽样了人,回答问题统计结果如图表所示.组号

分组

回答正确

的人数

回答正确的人数

占本组的概率

第1组

5

0.5

第2组

0.9

第3组

27

第4组

0.36

第5组

3

(Ⅰ)分别求出的值;(Ⅱ)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,则第2,3,4组每组应各抽取多少人?(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.20.数列中,,,数列满足.(1)求数列中的前四项;(2)求证:数列是等差数列;(3)若,试判断数列是否有最小项,若有最小项,求出最小项.21.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价为3元,根据以往的经验售价为4元时,可卖出280桶;若销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶,则这个经营部怎样定价才能获得最大利润?最大利润是多少?

参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

根据正弦型函数最小正周期的结论即可得到结果.【详解】函数的最小正周期故选:【点睛】本题考查正弦型函数周期的求解问题,关键是明确正弦型函数的最小正周期.2、B【解析】

由已知推导出,由此利用排除法能求出结果.【详解】,,,,,若,则,故A与C不可能成立;若,则,故B成立,D不成立.故选:B【点睛】本题考查了等比数列的前项和公式以及排除法在选择题中的应用,属于中档题.3、A【解析】

由已知中的三视图可得:该几何体是一个以正方形为底面的斜四棱柱,进而得到答案.【详解】由三视图可知,该多面体是一个以正方形为底面的斜四棱柱,四棱柱的底面是边长为3的正方形,四棱柱的高为6,则该多面体的体积为.故选:A.【点睛】本题考查三视图知识及几何体体积的计算,根据三视图判断几何体的形状,再由几何体体积公式求解,属于简单题.4、B【解析】

从图形中可以看出样本A的数据均不大于10,而样本B的数据均不小于10,A中数据波动程度较大,B中数据较稳定,由此得到结论.【详解】∵样本A的数据均不大于10,而样本B的数据均不小于10,,由图可知A中数据波动程度较大,B中数据较稳定,.故选B.5、D【解析】

根据题意,由向量数量积的计算公式可得cosθ的值,据此分析可得答案.【详解】设与的夹角为θ,由、的坐标可得||=5,||=3,•5×0+5×(﹣3)=﹣15,故,所以.故选D【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算,涉及向量夹角的计算,属于基础题.6、B【解析】

分层抽样每部分占比一样,通过A,B,C三个社团为,易得A中的人数。【详解】A,B,C三个社团人数比为,所以12中A有人,B有人,C有人。故选:B【点睛】此题考查分层抽样原理,根据抽样前后每部分占比一样求解即可,属于简单题目。7、A【解析】

根据和之间能否推出的关系,得到答案.【详解】由可得,由,得到或,,不能得到,所以“”是“”的充分不必要条件,故选:A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断,属于简单题.8、D【解析】

首先将后面的曲线化简为标准形式,分别求两个曲线的几何性质,比较后得出选项.【详解】首先化简为标准方程,,由方程形式可知,曲线的长轴长是8,短轴长是6,焦距是,离心率,,的长轴长是,短轴长是,焦距是,离心率,所以离心率相等.故选D.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,属于基础题型.9、C【解析】

将转化为,利用向量数量积运算化简,然后利用基本不等式求得表达式的最小值.【详解】画出图像如下图所示,,等号在,即为的中点时成立.故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算,考查平面向量的数量积运算,考查利用基本不等式求最值,属于中档题.10、C【解析】试题分析:,,,故选C.考点:数列的递推公式二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】

首先分析直线与圆的位置关系,然后结合已知可判断四边形的形状,得出的比值,最后得到答案.【详解】设切点为,根据已知两切线垂直,四边形是正方形,,根据,可得.故填:.【点睛】本题考查了直线与圆的几何性质,以及椭圆的性质,考查了转化与化归的能力,属于基础题型.12、10【解析】

利用两直线平行,先求出,再由两平行线的距离公式求解即可【详解】由题意,,所以,,所以直线:,化简得,由两平行线的距离公式:.故答案为:10【点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件,两直线和平行的充要条件是,考查两平行线间的距离公式,属于基础题.13、2【解析】

将圆心角化为弧度制,再利用扇形面积得到答案.【详解】圆心角为扇形的面积为故答案为2【点睛】本题考查了扇形的面积公式,属于简单题.14、16【解析】

根据已知条件可计算出扇形的半径,然后根据面积公式即可计算出扇形的面积.【详解】设扇形的半径为,圆心角弧度数为,所以即,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查角度与弧度的转化以及扇形的弧长和面积公式,难度较易.扇形的弧长公式:,扇形的面积公式:.15、【解析】

画出几何体示意图,将平移至于直线相交,在三角形中求解角度.【详解】根据题意,过B点作BH//交弧于点H,作图如下:因为BH//,故即为所求异面直线的夹角,在中,,在中,因为,故该三角形为等边三角形,即:,在中,,,且母线BH垂直于底面,故:,又异面直线夹角范围为,故,故答案为:.【点睛】本题考查异面直线的夹角求解,一般解决方法为平移至直线相交,在三角形中求角.16、.【解析】

由题意推出球心O到四个顶点的距离相等,利用直角三角形BOE,求出球的半径,即可求出外接球的表面积.【详解】如图,∵正三棱锥A﹣BCD中,底面边长为,底面外接圆半径为侧棱长为2,BE=1,在三角形ABE中,根据勾股定理得到:高AE得到球心O到四个顶点的距离相等,O点在AE上,在直角三角形BOE中BO=R,EOR,BE=1,由BO2=BE2+EO2,得R∴外接球的半径为,表面积为:故答案为.【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】

(1)利用正弦定理化简已知的等式,根据sinA不为0,可得出sinB的值,由B为锐角,利用特殊角的三角函数值,即可求出B的度数;(2)由b及cosB的值,利用余弦定理列出关于a与c的关系式,利用完全平方公式变形后,将a+c的值代入,求出ac的值,将a+c=5与ac=6联立,并根据a大于c,求出a与c的值,再由a,b及c的值,利用余弦定理求出cosA的值,将b,c及cosA的值代入即可求出值.【详解】(1),由正弦定理得,所以,因为三角形ABC为锐角三角形,所以.(2)由余弦定理得,,所以所以.18、(Ⅰ)(Ⅱ)平均数74.9,众数75.14,中位数75;(Ш)【解析】

(I)根据频率之和为列方程,结合求出的值.(II)利用各组中点值乘以频率然后相加,求得平均数.利用中位数是面积之和为的地方,列式求得中位数.以频率分布直方图最高一组的中点作为中位数.(III)先计算出从,中分别抽取人和人,再利用列举法和古典概型概率计算公式,计算出所求的概率.【详解】解:(I)依题意得,所以,又,所以.(Ⅱ)平均数为中位数为众数为(Ш)依题意,知分数在的市民抽取了2人,记为,分数在的市民抽取了6人,记为1,2,3,4,5,6,所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为:,共28种,其中满足条件的为,共13种,设“至少有1人的分数在”的事件为,则【点睛】本小题主要考查求解频率分布直方图上的未知数,考查利用频率分布直方图估计平均数、中位数和众数的方法,考查利用古典概型求概率.属于中档题.19、(Ⅰ);(Ⅱ)第2组抽人;第3组抽3人;第4组抽1人;(III).【解析】

(Ⅰ)由频率表中第1组数据可知,第1组总人数为,再结合频率分布直方图可知∴=100×0.020×10×0.9=18,b=100×0.025×10×0.36=9,,(Ⅱ)第2,3,4组中回答正确的共有54人.∴利用分层抽样在54人中抽取6人,每组分别抽取的人数为:第2组:人,第3组:人,第4组:人.(Ⅲ)设第2组的2人为、,第3组的3人为、、,第4组的1人为,则从6人中抽2人所有可能的结果有:,,,,,,,,,,,,,,,共15个基本事件,其中第2组至少有1人被抽中的有,,,,,,,,这9个基本事件.∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为本题考查分层抽样方法、统计基础知识与等可能事件的概率.注意等可能事件中的基本事件数的准确性.20、(1),,,;(2)见解析;(3)有最小项,最小项是.【解析】

(1)由数列的递推公式,可计算出数列的前四项,代入,即可计算出数列中的前四项;(2)利用数列的递推公式计算出为常数,结合等差数列的定义可证明出数列是等差数列;(3)求出数列的通项公式,可求出,进而得出,利用作商法判断数列的单调性,从而可求出数列的最小项.【详解】(1)且,,,.,,,,;(2),而,,.因此,数列是首项为,公差为的等差数列;(3)由(2)得,则.,显然,,当时,,则;当时,,则;当时,,则;当且时,,

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