2024年邵阳市高三第一次联考试题卷数学试卷（含标准答案解析）

2024年邵阳市高三第一次联考试题卷

数学

本试卷共4页,22个小题。满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自口的姓名、班级、考号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题

卡上“条形码粘贴区”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息

点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区

域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔

和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.已知集合4={%|%=3/1"eN},目妾4,5,6,7},则集合4（13的元素个数为

A.1B.2C.3D.4

2.若i(l+z)=l(i为虚数单位)，则z+三

A.-2B.-1C.1D.2

3.命题“V+ER,7-2%+3>0”的否定为

A.3A；eR,X2-2X+3>0B.三%£R,%2-2%+3WO

C.VxeR,%2-2X+3<0D.V%eR,x2-2%+3>0

4.若抛物线y2=2p%（p>0）上一点M（3,m）到焦点的距离是5p,则p的值为

AAB土c2c3

A，43C.—D.—

32

城步苗族国治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办・25届.假设在

即将举办的第26届“六月六山歌节”中,绿委会要在原定排好的，10个“本土歌舞”节目中

增加2个“歌王对唱”节目.若保持原来讪广节目的相对顺序不变,则不同的排法种数为

A.110B.144C.132D.156

6.已知向量。=0,2）,5=（2广1）.若。若。的夹角的余弦值为一学■，则实数》的值为

5口5

A.-B.--

22C,TD-T

7.在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6,0.7和0.5,且

三人的测试结果相互独立，则测试结束后J■在甲、乙丙三人中恰有两人没达优秀等级的

前提条件下,乙没有达优秀等级的概率为

A15„7pA17

A.-B.-D

2980-29

2024年邵阳市高三第一次联考试题卷（数字）第1页（共4页）

8.已知。=10联/=9崂,c=8酸，贝」a,b,c的大小关系为

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

二、多选题（本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知平面直角坐标系中,加（-2,0）,以2,0）,动点尸（％,7）满足|「用|="|尸"|.点尸的轨

迹为曲线C,点P到直线Z：%+y+6三0的距离的最小值为d,下列结论正确的有

A.曲线C的方程为（％-6）2+/=32B.d=2^2

C.曲线C的方程为（％+6）2+/=32

10.下列命题中,说法正确的有

A.设随机变量X~B00,扑则Z）（X）=5

B.成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数r越接近于1

C.决定系数十越大,表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好

D.基于小概率值a的检验规则是：当时，我们就推断Ho不成立，即认为X和丫

不独立，该推断犯错误的概率不超过以；当时.我们没有充分证据推断为不成

立，可以认为x和y独立

11.已知函数/（%）与其导函数g（%）的定义域均为R,且大功，与g（—2球均为偶函数，则

下列说法一定正确的有）

A.f（%）关于4=1对称B.&^关于点（0,1）对称

X

C.g（“+2）+g⑺=2DJ（0）=l

12.如图（一）所示，四边形ABCO是长方形,4B=3,BC=4,半圆面4尸。_L平面点尸为

半圆弧前上一动点（点尸不与点4,。重合）.下列说法正确的有

A.三棱锥P-ABD的四个面都是直角三角形

B.三棱锥P-ABD体积的最大值为4

C.异面直线P4与的距离的取值范围为[4,5]

D.当直线P3与平面ABCD所成角最大时，平面截

15TT

四棱锥PTBCD外接球的截面面积为丁

三、填空题（本大题共4小题、然小题§分，共20分）

13.已知数列｛册｝的首项为l,Q“am=3"5wN"），则.

14.已知（1+/）8=“0+%%+42/2+…贝42/+。2+%+。6+。8=•

15.已知y3sinw-VJcosw=2sina,3sin<pcos<p=sin2S,则4cos22a-cos22fl=.

lb已知椭圆和双曲线有相同的焦点F｛它们的离心率分别为e,0,点P为它们的一个

交点，且cos4乙尸的=-9.当3e"4取最小值时者的值为•

2024年邵阳市高三第一次联考试题卷（数学）第2页（共4页：）

四、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)甲、乙、丙三名同学准备参加本校知识竞赛，规定比赛成绩达到90分以上(含90分

获优秀等级.为预测他们的知识竞赛情况，收集了甲、乙、丙三人在学校的以往知识竞招

成绩，整理得到如下数据(单位:分)：

甲：86,87,89,92加89,89；95),88,94

乙：88,89,95,94,94,88.

^•96,93,90,89.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的知识竞赛成绩相互独立.

(1)估计甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率；

(2)设X表示甲、乙、丙三人在本次知识竞赛中获得优秀等级的总人数,估计片的

数学期望EX.

18.(12分)在△ABC中，角所对的边分别为向量加=(c+6,"a-b),

向量加=(c-b,"a+6)，且m±n.

(1)求证:W?=3tan4-：

(2)延长至点刀，使得=当乙ZMC最大时，求tanB的值.

19.(12分)如图(二)所示，圆台的上、下底面圆半径分别为4cm和6cm,阴，%为圆台的

两条不同的母线.

(1)求证:人反

(2)截面府］从与下底面所成的夹角大小为60。,且截面截得圆台上底面圆的劣弧

A\B.的长度为望，求费面ABBA的面积.

图(二)

20.(12分)已知递增的等差数列｛*｝(兀wN*)满足:az+a产。6=21%,a5成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

5

(2)记S“为数列｛册｝的前兀项和=三,求数列｛4｝的前n项和Tn

21.(12分)已知椭圆C：-+^-=l(a>6>0)的短轴长为2百，左顶点到左焦点的距离为1.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图(三)所示，点4是椭圆C的右顶点，过点(6,0)的直线I与椭圆C交于不同的两点

E,F,且都在％轴的上方，点P的坐标为(弓,。).证明:乙4PE=ZLOPE

图(三)

2

22.(12分)已知函数/(4)=3\nx+ax-4x+b(a>0,beR).

(1)讨论函数/1(*)的单调性；

(2)当a=；时，方程人工)=0有三个不相等的实数根，分别记为勺(岸1,2,3),

①求b的取值范围；

甑明1牝-引<4«=1,2,3亦1,2,3).

2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准

数学（副卷）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

题号12345678

答案CDDADBCD

7.C解析：由eZ,得等-gwxW等+1上eZ,

・••/(%)的单调增区间为等得等+/，3Z.

[7-[7*TT8*77

•:/(%)在0,六。上递增，.二0<——0<a^—.

J、'>7272Q]7

由2ICFT—3x+~—2A：7r+—IT,kGZ,得——这支W---I——-TT,kGZ,「./(%)的单调减区

2623939八

2ATTTT4,~7P17107F10

间为----1-——,~-—F--1TaGZ.—~T~(lWaW—1T.

9991717

77T8TT

综上,一Wa<—・

1717

aS7e'r(r-1)

8D解析于TV7，设/(，)=”x<l/(xe)=-^，"(x)<°，

8

.,./（X）在（0,l）上单调递减.又>>京，六不7）.w），,a<A又。-c=R（e‘-7），

设g（*）=ex-ex,g'（x）=ex-e,x<\时,g，（x）<0g（x）在（-8,1）单调递减.

g（7）>g（I）=0,-'-a>c.综上c<a<b.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分）

题号9101112

答案ADBCDBCACD

11.BC解析：A错.B.C,P,J■平面AA.DiD,:.G2IDE.又DE!DtE,.\OEJ•平面

2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准（数学•副卷）第1页（共7页）

对.C.冏〃4圈〃平面CDE.:.匕依E为定值,C对.D.设外接球球心

为。，即为对角线4C中点.0到平面。。£距离为人到平面。。£距离的一半到平面

72

CDE距离为&,()到平面C0£距离为了，正四棱柱外接球半径为而，.•・截面圆半径r=

6-1=与…S="=”，D错.

22'2

12.ACD解析：因为/(工-1)为奇函数，所以/(x-l)=二/'(-x-1),所以/(xT)=r(-x-l),

即8设-1)=8(-光-1),所以g(\)的图象关于直线I=-1对称.因为g(2x+l)为奇函数，

所以函数g(x)的图象关于点(1,0)对称，所以8是函数g(x)的一个周期.因为g(0)=

111112

工，所以g(2)=-；,g(4)=-=,g(6)二=，所以2kg(2k)=(-1-2+34-4-5-64-7+8-9-

3333A=1

10+ll+12)Xy=4.故选ACD.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

7

13.2514.915.116,一

8

.ATjxr-八一八"八2sin0cos0cos20cos40sin20cos20cos402sin28cos28cos43

15.1解析：cos0cos20cos40=-------——--------=-----——-----=------——------=

2sin82smU4sm0

2sin4^cos43sin801己乙，.八八.八人.八.c八八〃c八/八、

...------=—；-=—■，所以sin80=-sin6^?sin。抬in80=0,；故80+(-0)=

8sin98sin08

F+2AF(LwZ)或8。一(一9)=2kF(keZ),因为Os所以故2cos~4。-cos0-

i87T27r16TT2IT

2cos----co-^cos1-f1-cos一丁=1.

s999

7d.

16.—解析：设椭圆方程为工---1(>61>0)，双曲线方程为：——--1(a^>0,60>0).

8a；b；a；°；

(ISI+F.,则II=Q1+g1

不妨设点P为第一象限的交点，由题意知:

1|日|-加％|=2”

|PF2I=a1-a2.

由余弦定理得：4J=|/'储「+「一2|/"；||•cos乙"P%=4c2=3a；+4

31

4=—+—.

eie2

1221(44).牌旨

\e{e21\1Z2

2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学•副卷)第2页(共7页)

当且仅当:e；=e：时取等号，J.e；=

4-~2+~2~T~2•e\~^o~'

et2et2e,o

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）

解:（1）不难知，第1台加工零件的次品率为5%,第2台加工零件的次品率为7%.

记事件A表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是次品”，

事件B,表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是第，・台车床加工的”，泮1,2.

则，‘(吗")=P⑷=0.6x0.05+0.4x0.07=29'..........5分

(2)X的可能取值为0,1,2,3,…，10,且X服从二项分布.

由(I)知,P(4)=0.6x0.05+0.4x0.07=0.058.

X~B(10,0.058)./.E{X}=10x0.058=0.58......................................................10分

18.(12分)

解:⑴由已知2sin(24-看)=2,二sin(24-£)=1.............................................................2分

*/----<24-----<—IT.

666

5分

(2)v1)C=2BD,:.13D=^BC=^AC-AB).

―►―►——►2―►

乂/10="+。。=3AB

\AD\_\2AR+AC4c2+2bc+b

8分

\BD\|AC-AB|\/h2-be+c2

•\AD\­Vr+2i+4»/r]^+(7+iy—/I-J-3(/+1)

|前Iy?-7+TTt2-t+\N(z+l)2-3(Z+1)+3

1+3c-W/1+3=72^4-4=73+1..................................10分

Q+I)+J__37273-3

7/+1

当且仅当£=6-1取等号.

2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准（数学•副卷）第3页（共7页）

・••理的最大值为有+L.........................................................................................12分

\BD\

19.（12分）

（1）证明：・.•圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆台的母线

也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.

•••母线与母线BBi的延长线必交于一点，

.♦.4,4,8,4四点共面..................................................2分

;圆面0/圆面。，且平面4884n圆面。1=4向，平面488』A圆面0=AB.

....................................................................................................................5分

（2）解:；AAB0为等边三角形，

=1T如图建立空间直角坐标系0-xyz,

设I。。I=z(/>0).

4(3,0,0),B,4(2,0,，).

可=（-1,0/）,薪=（菖,号0）

设平面48当4的一个法向量〃尸（叫y,z）.则有:

-%+/z=0,

yj

,3373令x=贝I]y=1/=丁,.\〃尸..................................8分

-^x+-y=0.1

底面的一个法向量％=（0,0/）,

因为截面与下底面所成的夹角大小为60°,

所以cos60°=lcos〈〃],n)I=

21B2

2

........................................................................................................................10分

・・・立=卜1,0弓),又就=1^=(-1,后,0),二方坐标为(1,石弓

。冉=(1,73,0),

.—>-----A4j,0lBi—i—J13

cos〈44|MB|〉=一-.

IA4.IIO.BJ巫013

/n

异面直线与。川所成角的余弦是言.12分

2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准（数学•副卷）第4页（共7页）

20.(12分)

解：(1)<…1.

2n

02an-\)

a+—+**H-----=(n-1)~,ziN2.

[2n-1

--=n2-(n-l)2=2n-l.BPa=n(2n-l),n^2....................................................2分

nn

当n=1时，。产1，满足上式.

2/,~|

an=n(2n-l)=2n-n,6n=2................................................................................4分

ab

(2)由(1)知：an=n(2zi-l)-2T

n

・•♦Tn=l-20+3•2'+---+(2n-l)-2"，...................................................................5分

2T〃=1-2'+--+(2n-3)-2/,-,+(2n-l)・2”.

n-,

・•・-Tn=1+2-2]+・・・+2•2-(2n-l)-2"...............................................................7分

2(1—2"T)

=1+2•—~~—^-(2n-l)-2n......................................................................9分

1—2

=1+4(2,,-1-1)-(2/1-1)•2"

=2•2"-(2n-l)•2"-3

=(3-2n)-2"-3...............................................................................................11分

/.r„=(2n-3)2"+3.......................................................................................................12分

21.(12分)

26=x/3,

解:(1)依题意得，Q-C=y,..........................................................................................2分

a2=b2+c2.

/Ti

解得a=l,/>=»-,c=5，

2

.♦•椭圆C的标准方程为二=1...............................................................................4分

~4

（2）存在点P,使44PE=40PF,点P的坐标为（；,0）.理由如下：.............5分

4

直线/过点（3,0）,与椭圆C：f+尹2=1交于不同的两点E,F.且都在X轴上方.

直线I的斜率存在且不为0,设直线I的方程为y=k（x-3）go.

y=k（x-3）,

联立方程242,消去y可得：

F+门•

（3+4后）£-24入+36/-3=0.

2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准（数学•副卷）第5页（共7页）

24A236k2-3

设£（町，力），尸（工2，%），则％1+%2=..........................................7分

3+4必-'------3+必2

Z^APE=Z.OPF,

j\y^(Xj-3)(x-m)+A(%-3)(xj-m)

2=-------+--2-----=-------2----------------------------------------

Xj-znx^-m(%!-m)(x2-m)

72--6.24一

2/工2-(3+加)(/+工2)+6所,3+4/+'"3+4炉+

-----7-----77-----；-----=k•-----------------------------------

(/一m)(x2~m)(x,-m)(x2-m)

72储一6-72公-24,欣2+18m+24//

-=0.***************.•・・・・•••・・・・・・・10分

(X1-zn)(x2-m)•(3+4内)

1

18zn-6=0,.\

存在。点满足条件.

P点坐标为.....................................................12分

22.(12分)

(a+2)(%-1)+a(a+2)%-2

(1)解:/(x)=，7+。+2=

X-I

2

当a=-2时/（%）=7<0,.・./（%）在（1,+8）上单调递减.

x-1

当-2<a<0时,/（x）在［1,-q^j上单调递减,（二J，+8）上单调递增.

当a>0时，（Q+2）x>2,（a+2）*-2>0,，f（工）在（1,+8）上单调递增.

当a<-2时,《+2<0,（°+2）%-2<0,.\/（工）在（1,+8）上单调递减.

综上所述，当-2<a<0时,f（x）在（1,焉）上单调递减，（总