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文档简介
2024年邵阳市高三第一次联考试题卷
数学
本试卷共4页,22个小题。满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自口的姓名、班级、考号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题
卡上“条形码粘贴区”。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息
点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区
域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔
和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.保持答题卡的整洁。考试结束后,只交答题卡,试题卷自行保存。
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
1.已知集合4={%|%=3/1"eN},目妾4,5,6,7},则集合4(13的元素个数为
A.1B.2C.3D.4
2.若i(l+z)=l(i为虚数单位),则z+三
A.-2B.-1C.1D.2
3.命题“V+ER,7-2%+3>0”的否定为
A.3A;eR,X2-2X+3>0B.三%£R,%2-2%+3WO
C.VxeR,%2-2X+3<0D.V%eR,x2-2%+3>0
4.若抛物线y2=2p%(p>0)上一点M(3,m)到焦点的距离是5p,则p的值为
AAB土c2c3
A,43C.—D.—
32
城步苗族国治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一,至今已举办・25届.假设在
即将举办的第26届“六月六山歌节”中,绿委会要在原定排好的,10个“本土歌舞”节目中
增加2个“歌王对唱”节目.若保持原来讪广节目的相对顺序不变,则不同的排法种数为
A.110B.144C.132D.156
6.已知向量。=0,2),5=(2广1).若。若。的夹角的余弦值为一学■,则实数》的值为
5口5
A.-B.--
22C,TD-T
7.在某次美术专业测试中,若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6,0.7和0.5,且
三人的测试结果相互独立,则测试结束后J■在甲、乙丙三人中恰有两人没达优秀等级的
前提条件下,乙没有达优秀等级的概率为
A15„7pA17
A.-B.-D
2980-29
2024年邵阳市高三第一次联考试题卷(数字)第1页(共4页)
8.已知。=10联/=9崂,c=8酸,贝」a,b,c的大小关系为
A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a
二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知平面直角坐标系中,加(-2,0),以2,0),动点尸(%,7)满足|「用|="|尸"|.点尸的轨
迹为曲线C,点P到直线Z:%+y+6三0的距离的最小值为d,下列结论正确的有
A.曲线C的方程为(%-6)2+/=32B.d=2^2
C.曲线C的方程为(%+6)2+/=32
10.下列命题中,说法正确的有
A.设随机变量X~B00,扑则Z)(X)=5
B.成对样本数据的线性相关程度越强,样本相关系数r越接近于1
C.决定系数十越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好
D.基于小概率值a的检验规则是:当时,我们就推断Ho不成立,即认为X和丫
不独立,该推断犯错误的概率不超过以;当时.我们没有充分证据推断为不成
立,可以认为x和y独立
11.已知函数/(%)与其导函数g(%)的定义域均为R,且大功,与g(—2球均为偶函数,则
下列说法一定正确的有)
A.f(%)关于4=1对称B.&^关于点(0,1)对称
X
C.g(“+2)+g⑺=2DJ(0)=l
12.如图(一)所示,四边形ABCO是长方形,4B=3,BC=4,半圆面4尸。_L平面点尸为
半圆弧前上一动点(点尸不与点4,。重合).下列说法正确的有
A.三棱锥P-ABD的四个面都是直角三角形
B.三棱锥P-ABD体积的最大值为4
C.异面直线P4与的距离的取值范围为[4,5]
D.当直线P3与平面ABCD所成角最大时,平面截
15TT
四棱锥PTBCD外接球的截面面积为丁
三、填空题(本大题共4小题、然小题§分,共20分)
13.已知数列{册}的首项为l,Q“am=3"5wN"),则.
14.已知(1+/)8=“0+%%+42/2+…贝42/+。2+%+。6+。8=•
15.已知y3sinw-VJcosw=2sina,3sin<pcos<p=sin2S,则4cos22a-cos22fl=.
lb已知椭圆和双曲线有相同的焦点F{它们的离心率分别为e,0,点P为它们的一个
交点,且cos4乙尸的=-9.当3e"4取最小值时者的值为•
2024年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学)第2页(共4页:)
四、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)甲、乙、丙三名同学准备参加本校知识竞赛,规定比赛成绩达到90分以上(含90分
获优秀等级.为预测他们的知识竞赛情况,收集了甲、乙、丙三人在学校的以往知识竞招
成绩,整理得到如下数据(单位:分):
甲:86,87,89,92加89,89;95),88,94
乙:88,89,95,94,94,88.
^•96,93,90,89.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的知识竞赛成绩相互独立.
(1)估计甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率;
(2)设X表示甲、乙、丙三人在本次知识竞赛中获得优秀等级的总人数,估计片的
数学期望EX.
18.(12分)在△ABC中,角所对的边分别为向量加=(c+6,"a-b),
向量加=(c-b,"a+6),且m±n.
(1)求证:W?=3tan4-:
(2)延长至点刀,使得=当乙ZMC最大时,求tanB的值.
19.(12分)如图(二)所示,圆台的上、下底面圆半径分别为4cm和6cm,阴,%为圆台的
两条不同的母线.
(1)求证:人反
(2)截面府]从与下底面所成的夹角大小为60。,且截面截得圆台上底面圆的劣弧
A\B.的长度为望,求费面ABBA的面积.
图(二)
20.(12分)已知递增的等差数列{*}(兀wN*)满足:az+a产。6=21%,a5成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
5
(2)记S“为数列{册}的前兀项和=三,求数列{4}的前n项和Tn
21.(12分)已知椭圆C:-+^-=l(a>6>0)的短轴长为2百,左顶点到左焦点的距离为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)如图(三)所示,点4是椭圆C的右顶点,过点(6,0)的直线I与椭圆C交于不同的两点
E,F,且都在%轴的上方,点P的坐标为(弓,。).证明:乙4PE=ZLOPE
图(三)
2
22.(12分)已知函数/(4)=3\nx+ax-4x+b(a>0,beR).
(1)讨论函数/1(*)的单调性;
(2)当a=;时,方程人工)=0有三个不相等的实数根,分别记为勺(岸1,2,3),
①求b的取值范围;
甑明1牝-引<4«=1,2,3亦1,2,3).
2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准
数学(副卷)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
题号12345678
答案CDDADBCD
7.C解析:由eZ,得等-gwxW等+1上eZ,
・••/(%)的单调增区间为等得等+/,3Z.
[7-[7*TT8*77
•:/(%)在0,六。上递增,.二0<——0<a^—.
J、'>7272Q]7
由2ICFT—3x+~—2A:7r+—IT,kGZ,得——这支W---I——-TT,kGZ,「./(%)的单调减区
2623939八
2ATTTT4,~7P17107F10
间为----1-——,~-—F--1TaGZ.—~T~(lWaW—1T.
9991717
77T8TT
综上,一Wa<—・
1717
aS7e'r(r-1)
8D解析于TV7,设/(,)=”x<l/(xe)=-^,"(x)<°,
8
.,./(X)在(0,l)上单调递减.又>>京,六不7).w),,a<A又。-c=R(e‘-7),
设g(*)=ex-ex,g'(x)=ex-e,x<\时,g,(x)<0g(x)在(-8,1)单调递减.
g(7)>g(I)=0,-'-a>c.综上c<a<b.
二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
题号9101112
答案ADBCDBCACD
11.BC解析:A错.B.C,P,J■平面AA.DiD,:.G2IDE.又DE!DtE,.\OEJ•平面
2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学•副卷)第1页(共7页)
对.C.冏〃4圈〃平面CDE.:.匕依E为定值,C对.D.设外接球球心
为。,即为对角线4C中点.0到平面。。£距离为人到平面。。£距离的一半到平面
72
CDE距离为&,()到平面C0£距离为了,正四棱柱外接球半径为而,.•・截面圆半径r=
6-1=与…S="=”,D错.
22'2
12.ACD解析:因为/(工-1)为奇函数,所以/(x-l)=二/'(-x-1),所以/(xT)=r(-x-l),
即8设-1)=8(-光-1),所以g(\)的图象关于直线I=-1对称.因为g(2x+l)为奇函数,
所以函数g(x)的图象关于点(1,0)对称,所以8是函数g(x)的一个周期.因为g(0)=
111112
工,所以g(2)=-;,g(4)=-=,g(6)二=,所以2kg(2k)=(-1-2+34-4-5-64-7+8-9-
3333A=1
10+ll+12)Xy=4.故选ACD.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
7
13.2514.915.116,一
8
.ATjxr-八一八"八2sin0cos0cos20cos40sin20cos20cos402sin28cos28cos43
15.1解析:cos0cos20cos40=-------——--------=-----——-----=------——------=
2sin82smU4sm0
2sin4^cos43sin801己乙,.八八.八人.八.c八八〃c八/八、
...------=—;-=—■,所以sin80=-sin6^?sin。抬in80=0,;故80+(-0)=
8sin98sin08
F+2AF(LwZ)或8。一(一9)=2kF(keZ),因为Os所以故2cos~4。-cos0-
i87T27r16TT2IT
2cos----co-^cos1-f1-cos一丁=1.
s999
7d.
16.—解析:设椭圆方程为工---1(>61>0),双曲线方程为:——--1(a^>0,60>0).
8a;b;a;°;
(ISI+F.,则II=Q1+g1
不妨设点P为第一象限的交点,由题意知:
1|日|-加%|=2”
|PF2I=a1-a2.
由余弦定理得:4J=|/'储「+「一2|/";||•cos乙"P%=4c2=3a;+4
31
4=—+—.
eie2
1221(44).牌旨
\e{e21\1Z2
2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学•副卷)第2页(共7页)
当且仅当:e;=e:时取等号,J.e;=
4-~2+~2~T~2•e\~^o~'
et2et2e,o
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)
解:(1)不难知,第1台加工零件的次品率为5%,第2台加工零件的次品率为7%.
记事件A表示“从混放的零件中任取一个零件,该零件是次品”,
事件B,表示“从混放的零件中任取一个零件,该零件是第,・台车床加工的”,泮1,2.
则,‘(吗")=P⑷=0.6x0.05+0.4x0.07=29'..........5分
(2)X的可能取值为0,1,2,3,…,10,且X服从二项分布.
由(I)知,P(4)=0.6x0.05+0.4x0.07=0.058.
X~B(10,0.058)./.E{X}=10x0.058=0.58......................................................10分
18.(12分)
解:⑴由已知2sin(24-看)=2,二sin(24-£)=1.............................................................2分
*/----<24-----<—IT.
666
5分
(2)v1)C=2BD,:.13D=^BC=^AC-AB).
―►―►——►2―►
乂/10="+。。=3AB
\AD\_\2AR+AC4c2+2bc+b
8分
\BD\|AC-AB|\/h2-be+c2
•\AD\Vr+2i+4»/r]^+(7+iy—/I-J-3(/+1)
|前Iy?-7+TTt2-t+\N(z+l)2-3(Z+1)+3
1+3c-W/1+3=72^4-4=73+1..................................10分
Q+I)+J__37273-3
7/+1
当且仅当£=6-1取等号.
2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学•副卷)第3页(共7页)
・••理的最大值为有+L.........................................................................................12分
\BD\
19.(12分)
(1)证明:・.•圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到,所以圆台的母线
也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
•••母线与母线BBi的延长线必交于一点,
.♦.4,4,8,4四点共面..................................................2分
;圆面0/圆面。,且平面4884n圆面。1=4向,平面488』A圆面0=AB.
....................................................................................................................5分
(2)解:;AAB0为等边三角形,
=1T如图建立空间直角坐标系0-xyz,
设I。。I=z(/>0).
4(3,0,0),B,4(2,0,,).
可=(-1,0/),薪=(菖,号0)
设平面48当4的一个法向量〃尸(叫y,z).则有:
-%+/z=0,
yj
,3373令x=贝I]y=1/=丁,.\〃尸..................................8分
-^x+-y=0.1
底面的一个法向量%=(0,0/),
因为截面与下底面所成的夹角大小为60°,
所以cos60°=lcos〈〃],n)I=
21B2
2
........................................................................................................................10分
・・・立=卜1,0弓),又就=1^=(-1,后,0),二方坐标为(1,石弓
。冉=(1,73,0),
.—>-----A4j,0lBi—i—J13
cos〈44|MB|〉=一-.
IA4.IIO.BJ巫013
/n
异面直线与。川所成角的余弦是言.12分
2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学•副卷)第4页(共7页)
20.(12分)
解:(1)<…1.
2n
02an-\)
a+—+**H-----=(n-1)~,ziN2.
[2n-1
--=n2-(n-l)2=2n-l.BPa=n(2n-l),n^2....................................................2分
nn
当n=1时,。产1,满足上式.
2/,~|
an=n(2n-l)=2n-n,6n=2................................................................................4分
ab
(2)由(1)知:an=n(2zi-l)-2T
n
・•♦Tn=l-20+3•2'+---+(2n-l)-2",...................................................................5分
2T〃=1-2'+--+(2n-3)-2/,-,+(2n-l)・2”.
n-,
・•・-Tn=1+2-2]+・・・+2•2-(2n-l)-2"...............................................................7分
2(1—2"T)
=1+2•—~~—^-(2n-l)-2n......................................................................9分
1—2
=1+4(2,,-1-1)-(2/1-1)•2"
=2•2"-(2n-l)•2"-3
=(3-2n)-2"-3...............................................................................................11分
/.r„=(2n-3)2"+3.......................................................................................................12分
21.(12分)
26=x/3,
解:(1)依题意得,Q-C=y,..........................................................................................2分
a2=b2+c2.
/Ti
解得a=l,/>=»-,c=5,
2
.♦•椭圆C的标准方程为二=1...............................................................................4分
~4
(2)存在点P,使44PE=40PF,点P的坐标为(;,0).理由如下:.............5分
4
直线/过点(3,0),与椭圆C:f+尹2=1交于不同的两点E,F.且都在X轴上方.
直线I的斜率存在且不为0,设直线I的方程为y=k(x-3)go.
y=k(x-3),
联立方程242,消去y可得:
F+门•
(3+4后)£-24入+36/-3=0.
2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学•副卷)第5页(共7页)
24A236k2-3
设£(町,力),尸(工2,%),则%1+%2=..........................................7分
3+4必-'------3+必2
Z^APE=Z.OPF,
j\y^(Xj-3)(x-m)+A(%-3)(xj-m)
2=-------+--2-----=-------2----------------------------------------
Xj-znx^-m(%!-m)(x2-m)
72--6.24一
2/工2-(3+加)(/+工2)+6所,3+4/+'"3+4炉+
-----7-----77-----;-----=k•-----------------------------------
(/一m)(x2~m)(x,-m)(x2-m)
72储一6-72公-24,欣2+18m+24//
-=0.***************.•・・・・•••・・・・・・・10分
(X1-zn)(x2-m)•(3+4内)
1
18zn-6=0,.\
存在。点满足条件.
P点坐标为.....................................................12分
22.(12分)
(a+2)(%-1)+a(a+2)%-2
(1)解:/(x)=,7+。+2=
X-I
2
当a=-2时/(%)=7<0,.・./(%)在(1,+8)上单调递减.
x-1
当-2<a<0时,/(x)在[1,-q^j上单调递减,(二J,+8)上单调递增.
当a>0时,(Q+2)x>2,(a+2)*-2>0,,f(工)在(1,+8)上单调递增.
当a<-2时,《+2<0,(°+2)%-2<0,.\/(工)在(1,+8)上单调递减.
综上所述,当-2<a<0时,f(x)在(1,焉)上单调递减,(总
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