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文档简介

2024年邵阳市高三第一次联考试题卷

数学

本试卷共4页,22个小题。满分150分。考试用时120分钟。

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自口的姓名、班级、考号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题

卡上“条形码粘贴区”。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息

点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区

域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔

和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.保持答题卡的整洁。考试结束后,只交答题卡,试题卷自行保存。

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的)

1.已知集合4={%|%=3/1"eN},目妾4,5,6,7},则集合4(13的元素个数为

A.1B.2C.3D.4

2.若i(l+z)=l(i为虚数单位),则z+三

A.-2B.-1C.1D.2

3.命题“V+ER,7-2%+3>0”的否定为

A.3A;eR,X2-2X+3>0B.三%£R,%2-2%+3WO

C.VxeR,%2-2X+3<0D.V%eR,x2-2%+3>0

4.若抛物线y2=2p%(p>0)上一点M(3,m)到焦点的距离是5p,则p的值为

AAB土c2c3

A,43C.—D.—

32

城步苗族国治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一,至今已举办・25届.假设在

即将举办的第26届“六月六山歌节”中,绿委会要在原定排好的,10个“本土歌舞”节目中

增加2个“歌王对唱”节目.若保持原来讪广节目的相对顺序不变,则不同的排法种数为

A.110B.144C.132D.156

6.已知向量。=0,2),5=(2广1).若。若。的夹角的余弦值为一学■,则实数》的值为

5口5

A.-B.--

22C,TD-T

7.在某次美术专业测试中,若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6,0.7和0.5,且

三人的测试结果相互独立,则测试结束后J■在甲、乙丙三人中恰有两人没达优秀等级的

前提条件下,乙没有达优秀等级的概率为

A15„7pA17

A.-B.-D

2980-29

2024年邵阳市高三第一次联考试题卷(数字)第1页(共4页)

8.已知。=10联/=9崂,c=8酸,贝」a,b,c的大小关系为

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题

目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

9.已知平面直角坐标系中,加(-2,0),以2,0),动点尸(%,7)满足|「用|="|尸"|.点尸的轨

迹为曲线C,点P到直线Z:%+y+6三0的距离的最小值为d,下列结论正确的有

A.曲线C的方程为(%-6)2+/=32B.d=2^2

C.曲线C的方程为(%+6)2+/=32

10.下列命题中,说法正确的有

A.设随机变量X~B00,扑则Z)(X)=5

B.成对样本数据的线性相关程度越强,样本相关系数r越接近于1

C.决定系数十越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好

D.基于小概率值a的检验规则是:当时,我们就推断Ho不成立,即认为X和丫

不独立,该推断犯错误的概率不超过以;当时.我们没有充分证据推断为不成

立,可以认为x和y独立

11.已知函数/(%)与其导函数g(%)的定义域均为R,且大功,与g(—2球均为偶函数,则

下列说法一定正确的有)

A.f(%)关于4=1对称B.&^关于点(0,1)对称

X

C.g(“+2)+g⑺=2DJ(0)=l

12.如图(一)所示,四边形ABCO是长方形,4B=3,BC=4,半圆面4尸。_L平面点尸为

半圆弧前上一动点(点尸不与点4,。重合).下列说法正确的有

A.三棱锥P-ABD的四个面都是直角三角形

B.三棱锥P-ABD体积的最大值为4

C.异面直线P4与的距离的取值范围为[4,5]

D.当直线P3与平面ABCD所成角最大时,平面截

15TT

四棱锥PTBCD外接球的截面面积为丁

三、填空题(本大题共4小题、然小题§分,共20分)

13.已知数列{册}的首项为l,Q“am=3"5wN"),则.

14.已知(1+/)8=“0+%%+42/2+…贝42/+。2+%+。6+。8=•

15.已知y3sinw-VJcosw=2sina,3sin<pcos<p=sin2S,则4cos22a-cos22fl=.

lb已知椭圆和双曲线有相同的焦点F{它们的离心率分别为e,0,点P为它们的一个

交点,且cos4乙尸的=-9.当3e"4取最小值时者的值为•

2024年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学)第2页(共4页:)

四、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)甲、乙、丙三名同学准备参加本校知识竞赛,规定比赛成绩达到90分以上(含90分

获优秀等级.为预测他们的知识竞赛情况,收集了甲、乙、丙三人在学校的以往知识竞招

成绩,整理得到如下数据(单位:分):

甲:86,87,89,92加89,89;95),88,94

乙:88,89,95,94,94,88.

^•96,93,90,89.

假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的知识竞赛成绩相互独立.

(1)估计甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率;

(2)设X表示甲、乙、丙三人在本次知识竞赛中获得优秀等级的总人数,估计片的

数学期望EX.

18.(12分)在△ABC中,角所对的边分别为向量加=(c+6,"a-b),

向量加=(c-b,"a+6),且m±n.

(1)求证:W?=3tan4-:

(2)延长至点刀,使得=当乙ZMC最大时,求tanB的值.

19.(12分)如图(二)所示,圆台的上、下底面圆半径分别为4cm和6cm,阴,%为圆台的

两条不同的母线.

(1)求证:人反

(2)截面府]从与下底面所成的夹角大小为60。,且截面截得圆台上底面圆的劣弧

A\B.的长度为望,求费面ABBA的面积.

图(二)

20.(12分)已知递增的等差数列{*}(兀wN*)满足:az+a产。6=21%,a5成等比数列.

(1)求数列的通项公式;

5

(2)记S“为数列{册}的前兀项和=三,求数列{4}的前n项和Tn

21.(12分)已知椭圆C:-+^-=l(a>6>0)的短轴长为2百,左顶点到左焦点的距离为1.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)如图(三)所示,点4是椭圆C的右顶点,过点(6,0)的直线I与椭圆C交于不同的两点

E,F,且都在%轴的上方,点P的坐标为(弓,。).证明:乙4PE=ZLOPE

图(三)

2

22.(12分)已知函数/(4)=3\nx+ax-4x+b(a>0,beR).

(1)讨论函数/1(*)的单调性;

(2)当a=;时,方程人工)=0有三个不相等的实数根,分别记为勺(岸1,2,3),

①求b的取值范围;

甑明1牝-引<4«=1,2,3亦1,2,3).

2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准

数学(副卷)

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的)

题号12345678

答案CDDADBCD

7.C解析:由eZ,得等-gwxW等+1上eZ,

・••/(%)的单调增区间为等得等+/,3Z.

[7-[7*TT8*77

•:/(%)在0,六。上递增,.二0<——0<a^—.

J、'>7272Q]7

由2ICFT—3x+~—2A:7r+—IT,kGZ,得——这支W---I——-TT,kGZ,「./(%)的单调减区

2623939八

2ATTTT4,~7P17107F10

间为----1-——,~-—F--1TaGZ.—~T~(lWaW—1T.

9991717

77T8TT

综上,一Wa<—・

1717

aS7e'r(r-1)

8D解析于TV7,设/(,)=”x<l/(xe)=-^,"(x)<°,

8

.,./(X)在(0,l)上单调递减.又>>京,六不7).w),,a<A又。-c=R(e‘-7),

设g(*)=ex-ex,g'(x)=ex-e,x<\时,g,(x)<0g(x)在(-8,1)单调递减.

g(7)>g(I)=0,-'-a>c.综上c<a<b.

二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题

目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

题号9101112

答案ADBCDBCACD

11.BC解析:A错.B.C,P,J■平面AA.DiD,:.G2IDE.又DE!DtE,.\OEJ•平面

2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学•副卷)第1页(共7页)

对.C.冏〃4圈〃平面CDE.:.匕依E为定值,C对.D.设外接球球心

为。,即为对角线4C中点.0到平面。。£距离为人到平面。。£距离的一半到平面

72

CDE距离为&,()到平面C0£距离为了,正四棱柱外接球半径为而,.•・截面圆半径r=

6-1=与…S="=”,D错.

22'2

12.ACD解析:因为/(工-1)为奇函数,所以/(x-l)=二/'(-x-1),所以/(xT)=r(-x-l),

即8设-1)=8(-光-1),所以g(\)的图象关于直线I=-1对称.因为g(2x+l)为奇函数,

所以函数g(x)的图象关于点(1,0)对称,所以8是函数g(x)的一个周期.因为g(0)=

111112

工,所以g(2)=-;,g(4)=-=,g(6)二=,所以2kg(2k)=(-1-2+34-4-5-64-7+8-9-

3333A=1

10+ll+12)Xy=4.故选ACD.

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

7

13.2514.915.116,一

8

.ATjxr-八一八"八2sin0cos0cos20cos40sin20cos20cos402sin28cos28cos43

15.1解析:cos0cos20cos40=-------——--------=-----——-----=------——------=

2sin82smU4sm0

2sin4^cos43sin801己乙,.八八.八人.八.c八八〃c八/八、

...------=—;-=—■,所以sin80=-sin6^?sin。抬in80=0,;故80+(-0)=

8sin98sin08

F+2AF(LwZ)或8。一(一9)=2kF(keZ),因为Os所以故2cos~4。-cos0-

i87T27r16TT2IT

2cos----co-^cos1-f1-cos一丁=1.

s999

7d.

16.—解析:设椭圆方程为工---1(>61>0),双曲线方程为:——--1(a^>0,60>0).

8a;b;a;°;

(ISI+F.,则II=Q1+g1

不妨设点P为第一象限的交点,由题意知:

1|日|-加%|=2”

|PF2I=a1-a2.

由余弦定理得:4J=|/'储「+「一2|/";||•cos乙"P%=4c2=3a;+4

31

4=—+—.

eie2

1221(44).牌旨

\e{e21\1Z2

2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学•副卷)第2页(共7页)

当且仅当:e;=e:时取等号,J.e;=

4-~2+~2~T~2•e\~^o~'

et2et2e,o

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)

解:(1)不难知,第1台加工零件的次品率为5%,第2台加工零件的次品率为7%.

记事件A表示“从混放的零件中任取一个零件,该零件是次品”,

事件B,表示“从混放的零件中任取一个零件,该零件是第,・台车床加工的”,泮1,2.

则,‘(吗")=P⑷=0.6x0.05+0.4x0.07=29'..........5分

(2)X的可能取值为0,1,2,3,…,10,且X服从二项分布.

由(I)知,P(4)=0.6x0.05+0.4x0.07=0.058.

X~B(10,0.058)./.E{X}=10x0.058=0.58......................................................10分

18.(12分)

解:⑴由已知2sin(24-看)=2,二sin(24-£)=1.............................................................2分

*/----<24-----<—IT.

666

5分

(2)v1)C=2BD,:.13D=^BC=^AC-AB).

―►―►——►2―►

乂/10="+。。=3AB

\AD\_\2AR+AC4c2+2bc+b

8分

\BD\|AC-AB|\/h2-be+c2

•\AD\­Vr+2i+4»/r]^+(7+iy—/I-J-3(/+1)

|前Iy?-7+TTt2-t+\N(z+l)2-3(Z+1)+3

1+3c-W/1+3=72^4-4=73+1..................................10分

Q+I)+J__37273-3

7/+1

当且仅当£=6-1取等号.

2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学•副卷)第3页(共7页)

・••理的最大值为有+L.........................................................................................12分

\BD\

19.(12分)

(1)证明:・.•圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到,所以圆台的母线

也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.

•••母线与母线BBi的延长线必交于一点,

.♦.4,4,8,4四点共面..................................................2分

;圆面0/圆面。,且平面4884n圆面。1=4向,平面488』A圆面0=AB.

....................................................................................................................5分

(2)解:;AAB0为等边三角形,

=1T如图建立空间直角坐标系0-xyz,

设I。。I=z(/>0).

4(3,0,0),B,4(2,0,,).

可=(-1,0/),薪=(菖,号0)

设平面48当4的一个法向量〃尸(叫y,z).则有:

-%+/z=0,

yj

,3373令x=贝I]y=1/=丁,.\〃尸..................................8分

-^x+-y=0.1

底面的一个法向量%=(0,0/),

因为截面与下底面所成的夹角大小为60°,

所以cos60°=lcos〈〃],n)I=

21B2

2

........................................................................................................................10分

・・・立=卜1,0弓),又就=1^=(-1,后,0),二方坐标为(1,石弓

。冉=(1,73,0),

.—>-----A4j,0lBi—i—J13

cos〈44|MB|〉=一-.

IA4.IIO.BJ巫013

/n

异面直线与。川所成角的余弦是言.12分

2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学•副卷)第4页(共7页)

20.(12分)

解:(1)<…1.

2n

02an-\)

a+—+**H-----=(n-1)~,ziN2.

[2n-1

--=n2-(n-l)2=2n-l.BPa=n(2n-l),n^2....................................................2分

nn

当n=1时,。产1,满足上式.

2/,~|

an=n(2n-l)=2n-n,6n=2................................................................................4分

ab

(2)由(1)知:an=n(2zi-l)-2T

n

・•♦Tn=l-20+3•2'+---+(2n-l)-2",...................................................................5分

2T〃=1-2'+--+(2n-3)-2/,-,+(2n-l)・2”.

n-,

・•・-Tn=1+2-2]+・・・+2•2-(2n-l)-2"...............................................................7分

2(1—2"T)

=1+2•—~~—^-(2n-l)-2n......................................................................9分

1—2

=1+4(2,,-1-1)-(2/1-1)•2"

=2•2"-(2n-l)•2"-3

=(3-2n)-2"-3...............................................................................................11分

/.r„=(2n-3)2"+3.......................................................................................................12分

21.(12分)

26=x/3,

解:(1)依题意得,Q-C=y,..........................................................................................2分

a2=b2+c2.

/Ti

解得a=l,/>=»-,c=5,

2

.♦•椭圆C的标准方程为二=1...............................................................................4分

~4

(2)存在点P,使44PE=40PF,点P的坐标为(;,0).理由如下:.............5分

4

直线/过点(3,0),与椭圆C:f+尹2=1交于不同的两点E,F.且都在X轴上方.

直线I的斜率存在且不为0,设直线I的方程为y=k(x-3)go.

y=k(x-3),

联立方程242,消去y可得:

F+门•

(3+4后)£-24入+36/-3=0.

2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学•副卷)第5页(共7页)

24A236k2-3

设£(町,力),尸(工2,%),则%1+%2=..........................................7分

3+4必-'------3+必2

Z^APE=Z.OPF,

j\y^(Xj-3)(x-m)+A(%-3)(xj-m)

2=-------+--2-----=-------2----------------------------------------

Xj-znx^-m(%!-m)(x2-m)

72--6.24一

2/工2-(3+加)(/+工2)+6所,3+4/+'"3+4炉+

-----7-----77-----;-----=k•-----------------------------------

(/一m)(x2~m)(x,-m)(x2-m)

72储一6-72公-24,欣2+18m+24//

-=0.***************.•・・・・•••・・・・・・・10分

(X1-zn)(x2-m)•(3+4内)

1

18zn-6=0,.\

存在。点满足条件.

P点坐标为.....................................................12分

22.(12分)

(a+2)(%-1)+a(a+2)%-2

(1)解:/(x)=,7+。+2=

X-I

2

当a=-2时/(%)=7<0,.・./(%)在(1,+8)上单调递减.

x-1

当-2<a<0时,/(x)在[1,-q^j上单调递减,(二J,+8)上单调递增.

当a>0时,(Q+2)x>2,(a+2)*-2>0,,f(工)在(1,+8)上单调递增.

当a<-2时,《+2<0,(°+2)%-2<0,.\/(工)在(1,+8)上单调递减.

综上所述,当-2<a<0时,f(x)在(1,焉)上单调递减,(总

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