2024年东北三省高考模拟数学试题（二）（含答案解析）

2024年东北三省高考模拟数学试题(二)

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知全集。=A_8={1,2,3,4,5,6},A@3)={2,4},则集合3=()

A.{2,4,6}B.{1,3,5}C.{1,2,3,4,5,6}D.{1,3,5,6}

【答案】D

【分析】

由题意可得{2,4}=4{2,4}=屯3,再根据U=A3={1,2,3,4,5,6},即可得解.

【详解】因为4@3)={2,4},所以{2,4}=4{2,4}/e3,

所以2e民4比8,

又全集。=A3={1,2,3,4,5,6},

所以8=1,3,5,6}.

故选：D.

2.复数:一的虚部是()

1-1

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】C

【分析】

利用复数的四则运算，结合复数虚部的定义即可得解.

【详解】因为丁丁=\.<=2+i,

所以复数U的虚部为1.

1-1

故选：C.

已知向量〃与。的夹角为。，忖忖=则卜目=(

3.60=2,1,-2)

A.1B.V3C.2D.2月

【答案】C

【分析】

根据数量积的运算律，结合数量积的定义，可得答案.

［详解］卜一20=q-26）=\la-4a-b+4b=A/4-4X2COS60°+4=2.

故选：C.

4.某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可

达到50%,每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投入再生产，设该

企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为…则表示。用与。”之间关系的递推

公式为（）

3

A.an+l=-an-50B.an+l-an=450

33

C.4.+i=—（«„-50）D.an+l=-an-25

【答案】A

【分析】

根据题意列式即可得解.

【详解】依题意，^=1000,。角=（1+50%）%-50=5凡-50.

故选：A.

5.两条平行直线jx+y+l=0,l2：x+y-1=0之间的距离是（）

A.1B.&C.2应D.2

【答案】B

【分析】

利用平行直线间的距离公式即可得解.

【详解】因为4：尤+y+l=0,l2：x+y-1^0,

所以它们之间的距离为d==后.

V1+1

故选：B.

6.刍（chti）薨（meng）是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方

形，顶棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体.已

知一个刍薨底边长为4,底边宽为3,上棱长为2,高为2,则它的表面积是（）

试卷第2页，共17页

上棱长

27+3A/3D.42+6^

【答案】A

【分析】由题意可得刍鲁的左右两个三角形为全等的等腰三角形，前后两个四边形为全

等的等腰梯形，利用勾股定理分别求出三角形和梯形的高，从而可求出各个面的面积，

即可得出答案.

【详解】解：由题意可得刍薨的左右两个三角形为全等的等腰三角形，

前后两个四边形为全等的等腰梯形，

等腰三角形的高为布4=石,

等腰梯形的高为、2+4=3,

Y42

则一个等腰三角形的面积为_Lx3x^=地，

22

一个等腰梯形的面积为(2+4)'|15,

2-2

所以止匕刍薯的表面积为2x拽+2x"+4x3=27+3-.

22

故选：A.

7.已知函数/(x)=sin(5+e)(o>0,0W0W7i)为偶函数，其图象上相邻两对称轴之间

,,-»r.up./\2匚川sin2a—cos2a+1人心//、1、

的距禺为无，右sma+/r(a)=彳，则---------------的值为()

31+tana

A.-B.--C.-D.--

9999

【答案】D

【分析】

先根据函数的奇偶性和对称性求出函数解析式，利用同角三角关系结合二倍角公式整理

2

可得所求=2sinacosa,再由sina+=§即可得解.

7T

【详解】•••/(X)为偶函数，.■，=5+E,%eZ,

71

又-0<(/)<7t,：.(p=-,

又：函数/(X)图象上相邻对称轴之间的距离为兀，

2兀

T=—=2兀，则⑦=1,

3

f(x)=sin[1+]]=cosx,

24

则sina+/(a)=sina+cosa=l+2sinacosa=§,

即2sinacosa=-g,

sin2cr-cos2a+1_2sinacos«--2sin2a)+l_2sinorcos<7+2sin2a

rsinacosa+sina

,,I+tanal+-------

coscrcosa

2sinacosa(cosa+sina)c•5

=zsincrcoscr=——.

cosa+sina9

故选：D.

8.已知偶函数了(%)满足/(x)=〃2—%),且当％£(0,1)时，〃%)=2、1,则/log119

\27

的值为()

，35-3-29-35

A.—B.—C.-----D.—

29163516

【答案】D

【分析】

由偶函数满足〃x)=/(2-x),可得函数〃尤)是以2为周期的周期函数，再根据

函数的周期性求解即可.

【详解】因为函数〃x)为偶函数，所以/(x)=f(-力，

又〃x)=〃2-x),所以〃-x)=〃2r),即/(X)=/(2+X),

所以函数〃x)是以2为周期的周期函数,

因为4=log216<log219<log232=5,

所以/log119=/(-log219)=/(log219)=/(log219-4)=

k27

log^

219135

=216+1=—+l=—

1616

故选：D.

【点睛】

方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题,

而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合,

试卷第4页，共17页

并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；

（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶

函数图象的对称性.

（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行

交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；

（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所

在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.

二、多选题

9.社区卫生服务中心（站）是我国医疗卫生服务和公共卫生应急管理体系的网底，是

政府履行提供基本卫生服务职能的平台.社区卫生服务中心（站）可促进社区居民的基

本需求（如疫苗接种、基本诊疗等）就近在社区得到解决，图中记录的是从2010年起

十二年间我国社区卫生服务中心（站）的个数，根据此图可得关于这十二年间卫生服务

中心（站）个数的结论正确的是（）

36500

36160

36000

35500

35000

34500

34000

33500

33000

3250032793

A.逐年增多B.中位数为34324

C.每年相对于前一年的增量连续增大D.从2013年到2021年的增幅约6%

【答案】ABD

【分析】

根据题意，利用折线图中的数据，结合数据的变换趋势，中位数、数据差，以及增幅得

的计算公式，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，由折线图可得，这十二年减卫生服务中心（站）个数逐年增多，

所以A正确；

对于B中，由折线图，将数据从小到大排列，共有12个数据，

根据中位数的定义和计算，可得、°/=34324,所以B正确；

对于C中，由折线图中的数据，可得32860-32793=67,33646-32860=786,

33965-33646=319,34238-33965=273,■,所以C不正确；

对于D中，由折线图中的数据，可得从2013年到2021年的增幅约为：

--------——xl00%«6%,所以D正确.

33965

故选：ABD.

10.已知抛物线C：y2=4x,焦点为E,直线y=xT与抛物线C交于A,B两点，过A,

B两点作抛物线准线的垂线,垂足分别为P,Q,且M为A8的中点，则（）

A.|AB|=10B.PF1QF

C.梯形4PQB的面积是16D./到y轴距离为3.

【答案】BD

【分析】

先判断得直线y=xT经过点产，再联立直线与抛物线方程，得到％+%，%为，进而得

到玉+%，从而判断AD,利用两点求斜率与直线垂直时斜率之积为-1可判断B,分别

求得|API+18。|,|尸。|,结合梯形的面积公式可判断C.

设4(%,%),8(尤2,%)，则X+强产4,%%=-4,

则%+%=%+1+%+1=6,所以I48|=占+毛+2=8,故A错误；

对于B,由题意得尸（T%）,Q（T%），

所以原,浮?=¥=T，所以P尸，。尸，故B正确;

对于C,由题意可得|4尸|+|8。|=占+%+2=8,

试卷第6页，共17页

\PQ\=\yl-y2\=+=A/16+16=4A/2,

所以梯形APQ2的面积是g(|AP|+|BQ|>|PQ|=gx8x4应=16应，故C错误；

对于D,因为X”=：(%+%)=3,所以M到>轴距离为3,故D正确.

故选：BD.

11.已知数列｛为｝是公差为d的等差数列，S”是其前〃项的和，若％<。，昆灿=星。24，

则()

A.d>0B.%0i2=0C.$4024=°D.Sn>S20l2

【答案】ACD

【分析】

2

由题意可得。2网+%必=。，从而可求出d=-砌4,即可判断A；再结合等差数列的

性质及前〃项和公式即可判断BCD.

【详解】因为邑000=邑024,所以4001+“2002++“2024=°，

24(“224)2+«=

所以。。|+%。=0,所以«2001+«2024=q刈201324+4023d=0,

2

2

又因为q<0,所以d=-茄万%>0,故A正确；

40221、

“2012=%+2011d=q_4023%=4023乌<0，故B错误；

=4024(]+%)=2012(%+*)=0,故C正确；

a

因为出012<°，“2013=~2012>01

所以当“<2012时，an<0,当〃22013时，an>0,

所以凶卷=邑皿，所以S.NSw，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】

方法点睛：在等差数列中，求S“的最小(大)值的方法：

(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和最小

(大)；

(2)借助二次函数的图象及性质求解.

三、填空题

12.设(1—2x)=4+Cl^X+/X2H-----F,贝！JQ]+〃2〃5=-

【答案】-2

【分析】

分别令％=0,%=1即可得解.

【详解】令%=0,则为=1,

令1=1,贝U〃0+4+〃2■*-----!■%=—1，

所以q+〃2"I-----卜氏=-2.

故答案为：-2.

22

13.椭圆土+匕=1的左，右焦点分别为耳，居，过焦点耳的直线交椭圆于A，B两点,

169

设4（占,yj,B（x2,y2）,若△ABg的面积是4,贝.

【答案】近金不

77

【分析】

根据5旗a=\%-）4|£司=4求解即可.

【详解】由题意出一近,。）,与（耳,。），贝U阳闾=2夕，

因为SABF2=片闾=4,

由i、ilI_8_8_4y/1

所以帆-%仁际

故答案为：疸.

7

14.已知函数〃力=产（"0）,过点A（。,。）作与y轴平行的直线交函数〃尤）的图象

于点尸，过点尸作“X）图象的切线交x轴于点8,则ZVIPB面积的最小值为.

【答案】叵

2

【分析】

求出/（x）的导数，令x=。，求得尸的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切

试卷第8页，共17页

线的方程，令y=o,可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得△做面积S,求出导

数，利用导数求最值，即可得到所求值.

【详解】函"耳=附("0)的导数为7''(x)=a-e",

由题意可令x=a,解得y=e/，可得尸(a,e『)，

即有切线的斜率为左=./，切线的方程为y-e*=ae'(x-a),

令y=o,可得尤=---1"。，即----

a\a)

在直角三角形R4B中,网=冏，囤=.,

1112

则△APB面积为S(")=5|A训AP|=j•同.e",(“0),

11,

因为Sj)=5•时e「=S(a),所以函数S(a)为偶函数，

112

不妨取。>0,贝i]S(a)=/♦7e"

则S'⑷=-4•e/+Le『.2a]=：e'(-4+2]，

21aa)2\aJ

当ae[l,乎j时，S'(a)<0,S(a)单调递减；

当a｛乎,+m时，S'(a)〉0,S(a)单调递增，

即有a=等处S(a)取得极小值，且为最小值年，

所以AAPB面积的最小值为叵.

2

故答案为：叵.

2

【点睛】方法点睛：求函数〃尤)在区间上的最值的方法：

(1)若函数“X)在区间•上单调，则〃。)与/(R一个为最大值，另一个为最小

值；

(2)若函数在区间[a,国内有极值，则要求先求出函数〃x)在区间目上的极值,

再与f(4)、/修)比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；

(3)若函数/(x)在区间,,可上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大(最小)

值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.

四、解答题

15.已知S“是数列｛见｝的前w项和，4=2,是公差为1的等差数列.

(1)求数列｛“〃｝的通项公式;

1111

(2)证明:----1----1---1-----<—

aa4

%出a2a3„n+l

【答案】⑴％=2〃

(2)证明见解析

【分析】(1)求出给定的等差数列通项公式，再利用前“项和求通项的方法求解作答即

可;

(2)利用(1)的结论，结合裂项相消法即可得解.

【详解】(1)因是公差为1的等差数列，而4=2,则｝=2,

因止匕存=2+(”一l)xl=〃+l,即S“=M〃+1),

n

当应2时,an=Sn-Sn_i=n(«+l)-(n-l)n=2n,

经检验，q=2满足上式,

所以｛〃〃｝的通项公式是为=2〃.

1111111

(2)由(1)知：-----=­x

aa2〃(2〃+2)4n(n+1)4nn+1

„n+1

11111」+」+

所以——+——+++—

dy^"2Cl?^^34223nn+1

11

1-<—

4H+14

16.如图，一个几何体是由半径和高均为2的圆柱00,和三棱锥石-ABC组合而成，圆

柱的轴截面为点A,8,C在圆。的圆周上，平面ABC,AB1AC,AB=AC,

AE=2.

试卷第10页，共17页

(1)求证：AC1BD；

(2)求平面4步与平面BDC的夹角.

【答案】(1)证明见解析

【分析】

(1)根据线面垂直的性质证明ADJLAC,再证明AC_L平面43D,再根据线面垂直的

性质即可得证；

(2)以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】(1)因为平面ABC,ACu平面ABC,

所以ADLAC,

又AB_LAC,ABcAD=A,AB,ADu平面ABD,

所以AC_L平面ABD,

又BDu平面ABD,

所以AC13。；

(2)因为点A,B,C在圆。的圆周上，AB±AC,

所以3C为圆。的直径，

又因为胡，平面ABC,所以。A,E三点共线，

如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，

则0(0,0,0),A(0,0,2),3(2,2,2),C(2,-2,2),

所以3C=(O,T,O),DB=(2,2,2),

设〃=(x,y,z)是平面BCD的法向量,

n•BC=-4y=0

令z=-l,贝。"=(1,O,-D，

ri-DB=2x+2y+2z=0

由(1)知，ACABD,

所以AC=(2,-2,0)是平面4©的一个法向量，

।।«•AC21

故|cos",AC=-----1=~i=------j==-,

11\n\-\AC\A/2X2A/22

所以平面ABD与平面即C所成角的余弦值为:，

所以平面ABD与平面即C的夹角为土

17.如图，双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为《，g分别是其渐

近线4，4上的两个点，△片。鸟的面积为9,尸是双曲线C上的一点，且6P=3年.

(1)求双曲线C的渐近线方程;

(2)求双曲线C的标准方程.

试卷第12页，共17页

【答案】（l）y=±3

⑵9

44

【分析】

（1）设双曲线的方程为力-』=1（。＞01＞0）,根据双曲线的离心率求出2,即可求

aba

得双曲线的渐近线方程；

（2）设6（-3乂,%卜£（3%,%）（乂＞。，%＞。），根据

S的号=（%+%）,%+%）_J—苧=9,求出M%，再根据6P=3年求出点尸的坐

标，再代入双曲线方程求得/,即可得解.

22

【详解】⑴设双曲线的方程为与-'=l（a＞0,6＞0）,

ab

因为双曲线的离心率为M,

所以e=J^=M，解得2=3,所以?=[

Va2ab3

所以双曲线C的渐近线方程为y=±gx；

（2）设6（-3%,乂）,£（3%,%乂%＞。，%＞。），

（%+%）（3%+%）券-*3叱=9,

则spfip

22

所以X%=3,

设尸（%，%）,则《p=（%+3%,%-,理=（3%-〜%一％），

因为耳尸=3理，

-3%+9%

xo=

尤o+3%=3（3%-%）4

所以，所以,

%-%=3（%一%）M+3%

4

所以尸产詈,空习，

22

由⑴得6=3。，则双曲线的方程为当一J=l,

a29a2

2

再将点《小产，巴生）代入得1X+3%

4

=1

9a2

3Q

化简得3%%=4〃，即“2=1%%=工，

22

所以双曲线的标准方程为981

44

18.恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，

甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名

顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（下简称甲直播间、乙直播间）

购买的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买大米），得到以下数据：

在直播间购买大米的情况

网民类型合计

在甲直播间购买在乙直播间购买

本地区网民50555

外地区网民301545

合计8020100

（1）依据小概率值a=QOO5的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米

与网民所处地区有关；

（2）用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有100000名网民在甲、乙直播间

购买大米，且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买

大米的网民数为X,求使事件“X=k”的概率取最大值时％的值.

n(ad-bc]

附:r2=、/其中几=a+b+c+d.

a+b)yc+d)^a+c)[b+d)

a0.10.050.010.005

%2.7063.8416.6357.879

【答案】（1）能认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关

(2)80000

【分析】（1）根据列联表信息，计算出/的观测值，结合临界值表可得出结论；

（2）根据二项分布求出在甲直播间购买大米的网民人数为女的概率，利用作商法判断

概率的大小即可得解.

【详解】（1）提出零假设〃o：网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区没有

试卷第14页，共17页

关联,

100x(50xl5-30x5)2

经计算得/写,9.091>7.879=%00s，

80x20x55x45

依据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断Ho不成立，

即认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关联.

(2)利用样本分布的频率估计总体分布的概率，

可知网民选择在甲直播间购买夏橙的概率为P=黑=g，

则X~B(100000,£|,记附=100000,p=：,

则尸(X=左)=C>上。一p)n~k(^=0,1,2,•••,100000),

则问题等价于求当k取何值时P(X=k)=C：pk取最大值，

禺出0<.<1-(X=1C：pk("p)i+("+l)pj

4

X(«+l)p=100001x-=80000.8,

所以当左<("+1)0=80000.8时，P(X=k)>P(X=k-l)-

当上=(〃+l)p=80000.8时，P(X=左)=P(X=左一1)；

当左>(〃+1)0=80000.8时，P(X=k)<P(X=k-l)；

所以P(X=80000)>P(X=79999)>>P(X=1),

尸(X=100000)<.<尸(X=80001)<P(X=80000),

所以当X=80000时，P(X=A)取最大值，

即使事件"X=K'的概率取最大值的左的值为80000.

4

【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，借助参数〃=100000,p=j,简化

了计算，从而得解.

19.设定义在[0,2]函数”X)满足下列条件：

①对于xe[0,2],总有