2022年河北省廊坊市下学期高考数学四模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z满足匚=1+3贝!|z=（）

2.如图，在底面边长为1,高为2的正四棱柱4用6。1中，点尸是平面4AG2内一点，则三棱锥P—BCD

的正视图与侧视图的面积之和为（）

x+j<10

3.设实数X、y满足约束条件x-y<2,则z=2x+3y的最小值为(

x>4

22

4.已知双曲线4=1（。〉0］〉0）的左、右焦点分别为耳，鸟，过工作一条直线与双曲线右支交于4B两点,

ab

坐标原点为0,若|。4『=〃+/,忸用=5°,则该双曲线的离心率为（）

R而715

15.--------D.丹

于

5.定义在尺上的偶函数/(x)满足/(x+2)=/(x),当xC[-3,-2]时，/(*)=-*-2,贝!!()

71

A.B.f(s加3)<f(cos3)

小呜>小。吟6

D.f(2020)>f(2019)

6.设向量a,6满足同=2,忖=1,(痴)=60，,则忖+间的取值范围是

7.已知复数z满足z—2=0,且ze=9,则2=()

A.3B.3iC.±3D.±3i

8.定义：N{/(x)③g(x)}表示不等式;'(x)<g(x)的解集中的整数解之和.若/(无)=|咋2尤|,g(x)=a(x-l>+2,

N{/(x)(8)g(x)}=6,则实数。的取值范围是

——

A.(℃,1]B.(log23—2,0)C.(2—log26,0]D.(—------,0]

2

9.双曲线2L=i的渐近线方程为()

2

A.y=土叵X

B.y=±xC.y=±0xD.y=+>j3x

-2

10.某校在高一年级进行了数学竞赛(总分100分)，下表为高一♦一班40名同学的数学竞赛成绩:

55575961686462598088

98956073887486777994

971009997898180607960

82959093908580779968

如图的算法框图中输入的%为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出加，”的值，则根-〃=()

mw0.n-0Jw1I

（季束）

A.6B.8C.10D.12

11.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工

厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%）,根据该图，以下结论一定正确的是（）

A.2019年该工厂的棉签产量最少

B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显

C.三年累计下来产量最多的是口罩

D.口罩的产量逐年增加

12.E（—c,0）为双曲线E：「—4=1的左焦点，过点b的直线与圆必+丁=0?交于人、3两点，（4在尸、B

ab4

3

之间）与双曲线E在第一象限的交点为P,。为坐标原点，若FA=BP，且=-砺°92,则双曲线后的离心

率为（）

A.75B.-C.好D.5

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数/（x）=cosx-&在［0,+°°）的零点个数为.

14.《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”

借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还

差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有人；所合买的物品价格为_______元.

15.已知随机变量X服从正态分布N（402）,P（X<6）=0.78,则P（X<2）=.

2x-y<6

16.设x,丁满足约束条件<%+y23,若z=x+3y+a的最大值是10,则。=.

”3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.（12分）如图，椭圆C:j+与=1（。〉6〉0）的左、右顶点分别为4,4,上、下顶点分别为耳，当，且用（0,1）,

a~b~

4与昆为等边三角形，过点（1,0）的直线与椭圆c在y轴右侧的部分交于〃、N两点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求四边形与MN用面积的取值范围.

18.（12分）已知数列｛为｝是公比为正数的等比数列，其前九项和为S，满足q=2,且％，2§2，%成等差数列.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）若数列也｝满足优=题2%,求斤—以+公-反+公-年+…+必9-瓦）o的值.

19.（12分）如图，四棱锥P-A3CD的底面ABC。中，AABD为等边三角形，是等腰三角形，且顶角

ZBCD=120°,PCLBD,平面。皮），平面ABC。，以为Q4中点.

（1）求证：£）“//平面尸5C；

（2）若P"PB,求二面角C—B4—3的余弦值大小.

20.（12分）每年3月20日是国际幸福日，某电视台随机调查某一社区人们的幸福度.现从该社区群中随机抽取18名,

用“10分制”记录了他们的幸福度指数，结果见如图所示茎叶图，其中以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为

叶.若幸福度不低于8.5分，则称该人的幸福度为“很幸福”.

(I)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；

(II)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记X表示抽到“很幸福”的人数,

求X的分布列及£(X).

21.(12分)已知函数/(x)=(x+a)ln(x+a)+e*+x.

(1)当时，求函数的图象在％=0处的切线方程;

(2)讨论函数〃(x)=/(x)-靖-x的单调性；

⑶当a=0时，若方程%0=/(X)—e'—x=帆有两个不相等的实数根%,马,求证：In(%+X2)〉ln2-1.

22.(10分)在平面直角坐标系二二二中，以二为极点，二轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线二:

-,直线-的参数方程为(-为参数).直线-与曲线-交于两点.

二COST二一一二sin二

(I)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程(不要求具体过程);

(H)设一若一，一，-成等比数列，求的值.

，・A1IUMTI|ULa/1|UMTIXA

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据复数运算，即可容易求得结果.

【详解】

f-Z（l-z）-l-i11.

z-----------=---=----1

1+z（1+z）（l-0222

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，属基础题.

2.A

【解析】

根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果.

【详解】

由三视图的性质和定义知，三棱锥P-BCD的正视图与侧视图都是底边长为2高为1的三角形，其面积都是

4xlx2=l,正视图与侧视图的面积之和为1+1=2,

2

故选：A.

【点睛】

本题考查几何体正视图和侧视图的面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算

能力，属于基础题.

3.D

【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.

【详解】

x+y<10

做出满足x-丁《2的可行域，如下图阴影部分，

x>4

根据图象，当目标函数z=2x+3y过点A时，取得最小值，

x=4fx=4

由解得即44,2），

x-y=2[y=2

所以z=2x+3y的最小值为14.

故选：D.

【点睛】

本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.

4.B

【解析】

由题可知|。4|=°=3片闾，g=90。，再结合双曲线第一定义，可得|相|=恒闾+2a,对孔明5有

|前『+|阴2=网「，

即闾+2可闾+3a）2=（5a）2,解得,闾=即再对RtA4£%由勾股定理可得/+（3姨=（2c）?,化简

即可求解

【详解】

如图，因为|明=5〃，所以忸囚=5a—2a=3a.因为|。4|=。=3片闾所以/呼4玛=90。.

在RtA65中，|然『+W同2=忸周2,即（卜村+242+（卜闾+3“=（5。）2,

得|A/』=a,则=a+2a=3a.在RtZ\A4月中，由a?+（3a）2=（2。丫得6=£=，^.

故选：B

【点睛】

本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题

5.B

【解析】

根据函数的周期性以及xd［-3,-2］的解析式，可作出函数/(x)在定义域上的图象，由此结合选项判断即可.

【详解】

由/(x+2)=/G),得/(x)是周期函数且周期为2,

先作出/(X)在-2］时的图象，然后根据周期为2依次平移,

并结合/(x)是偶函数作出/(x)在尺上的图象如下,

选项A,O<sin—=—<=cos—<1,

6226

所以/［沅£</卜。5彳n，选项A错误;

6

选项B,因为二-<3<］，所以OVs加3〈'^V—cos3<l，

42

所以f(si"3)</(-cos3),即/(si〃3)<f(cos3),选项B正确;

选项

c,Sm—^-^,cos—=--,\>-sin—>-cos—>Q,

323233

所以了(一5，子4乃，即/(s加与。畤

-cos——

3

选项C错误;

选项D,/(2020)=/(O)<f(1)=/(2019),选项D错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.

6.B

【解析】

由模长公式求解即可.

【详解】

|tz+|=J(a+tb)~=y]ci~+2tz,bt+t~b~=，4+2f+厂=+1)~+32y/3,

当/=—1时取等号，所以本题答案为B.

【点睛】

本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.

7.C

【解析】

设2=。+4・，则5=a—初，利用z-2=0和z-5=9求得即可.

【详解】

设2=。+沅，则彳-a-bi,

因为z—5=0,则(a+6)一(a—6)=2次=0,所以6=0,

又zN=9,即42=9,所以a=±3,

所以z=±3,

故选:C

【点睛】

本题考查复数的乘法法则的应用，考查共甄复数的应用.

8.D

【解析】

2

由题意得，N{f(x)®g(x)}=6表示不等式|log2x|<a(x-I)+2的解集中整数解之和为6.

当a>0时，数形结合(如图)得llogzxK。(尤-iy+2的解集中的整数解有无数多个，|1082尤|<。(了-1)2+2解集中的

整数解之和一定大于6.

当吗。时，g(x)=2,数形结合(如图)，由小)<2解得.在。4)内有3个整数解’为L2,31满足

N{7(元)(8)g(x)}=6,所以a=0符合题意.

当a<0时,作出函数/（尤）=|log?尤I和gO）=a（尤-l）?+2的图象，如图所示.

若N{7(x)®g(x)}=6,即llog?龙|<。(龙一1)2+2的整数解只有1,2,3.

”且⑶Jlog3<4a+2log,3-2“八log,3-2

只需满足-2c-，解得—<a<0,所fiC以h|一^—<a<0n.

1/(4)>g(4)|2>9a+244

综上，当N{/（x）③或无）}=6时，实数a的取值范围是（幽尹⑼.故选D.

9.C

【解析】

根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.

【详解】

2

双曲线下—匕=1,

2

二双曲线的渐近线方程为y=上应x,

故选：C

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.

10.D

【解析】

根据程序框图判断出〃，相的意义，由此求得加，”的值，进而求得的值.

【详解】

由题意可得n的取值为成绩大于等于90的人数，m的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故加=24,”=12,

所以机—“=24—12=12.

故选：D

【点睛】

本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识.

11.C

【解析】

根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的

正误.综合可得出结论.

【详解】

由于该工厂2017年至2019年的产量未知，所以，从2017年至2019年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法

比较，故A、B、D选项错误；

由堆积图可知，从2017年至2019年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最

多的是口罩，C选项正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.

12.D

【解析】

3。

过点。作厂，可得出点"为A5的中点，由=-赤可求得C0S/AO5的值，可计算出

cos笞理的值，进而可得出叫，结合=可知点〃为P尸的中点，可得出归尸|,利用勾股定理求得怛耳

（广为双曲线的右焦点），再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.

【详解】

如下图所示，过点。作设该双曲线的右焦点为b'，连接PP.

OA-OB=——c-~~~c-cosNAOB=——c2»cosAAOB=----.

2210025

...8s3=Jl+cosNAOB=...M=侬c°s幺叽丸，

2V2525

FA=BP，：.M为PF的中低，：.PF7/0M，NFPF'=9。＞\PF'\=2\OM\=^~,

.•.|PF|=7（2c）2-|PFf=1,

由双曲线的定义得|PF|-|P尸|=2a,即g=2a,

因此，该双曲线的离心率为e=£=5.

a

故选：D.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

本问题转化为曲线y=cosx,y=&(xe[0,+8))交点个数问题，在同一直角坐标系内，画出函数

y=cosx,y=G(xe[0,+8))的图象，利用数形结合思想进行求解即可.

【详解】

问题函数/(x)=cosx—在[0,+co)的零点个数，可以转化为曲线y=cosx,y=«(Xe[0,+8))交点个数问题.

在同一直角坐标系内，画出函数y=cosx,y=«（xe[0,+8））的图象，如下图所示:

由图象可知：当xe[O,+s）时，两个函数只有一个交点.

故答案为：1

【点睛】

本题考查了求函数的零点个数问题，考查了转化思想和数形结合思想.

14.753

【解析】

根据物品价格不变，可设共有x人，列出方程求解即可

【详解】

设共有x人，

由题意知8x-3=7x+4,

解得x=7,可知商品价格为53元.

即共有7人，商品价格为53元.

【点睛】

本题主要考查了数学文化及一元一次方程的应用，属于中档题.

15.0.22.

【解析】

正态曲线关于x=ji对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。

【详解】

P（X<2）=l-P（X<6）=0.22

【点睛】

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题.

7

16.——

2

【解析】

画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可容易求得结果.

【详解】

97

故可得10=—+9+。，解得——.

22

7

故答案为：-7.

【点睛】

本题考查由目标函数的最值求参数值，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x2(3,而

17.(1)---y-9=1；(2)—,1+——.

31--(23_

【解析】

(1)根据用坐标和的与均为等边三角形可得。涉，进而得到椭圆方程；

(2)①当直线斜率不存在时，易求坐标，从而得到所求面积；②当直线MN的斜率存在时，设方程为

y=Zr(x-l),与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定k的取值范围；利用S=S*+SAOMN+SAMOB2,代

73

入韦达定理的结论可求得S关于左的表达式，采用换元法将问题转化为S=

m+±-26me

m

域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果.

【详解】

(1)4(0,1),."=1,

_2

的百色为等边三角形，扬=6，；•椭圆的标准方程为\+/=1.

(2)设四边形的面积为s.

B2MNBX

①当直线MN的斜率不存在时，可得〃

.,S=lxf2+^xl=l+^

2I3J3

②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k(x-1),

设时（4％），N（9,%），

「2

尤।2_]

联立（耳+y一得：（3左2+1）尤2—6左2%+3左2—3=0,

y=^（x-1）

6k23k2—3.26|左|，2-2+1

•F+X2=^TT7r小「封诽（国一马）卜一—

xt>0,x2>0,z.xrx2>0,.\|^|>1,

面积

11_3k26\kN2k2+1_3

S=S4NOB]+S^OMN+=7x（x1+%2）*]+彳义]/一必卜]3k2+13k2+1Q1

223+P

Vsx、2+—j

+J

3+F

令仁则5=胃，

n_y/3

令加=%+石，则S=,77——二一4c6,+百,2百)，

m2-2^3m+4mH2.3'

m

s(m)在定义域内单调递减，，|<S<1+丰.

综上所述：四边形4MN用面积的取值范围是；,1+".

【点睛】

本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的四边形面积的取值范围的求解问题；关键是

能够将所求面积表示为关于某一变量的函数，将问题转化为函数值域的求解问题.

18.(1)q=22"T(〃GN*)(2)-20000

【解析】

(1)由公比q表示出生，。3,52，由。2,2S2，生成等差数列可求得彘从而数列的通项公式；

(2)求(1)得句，然后对和式月-尺+届-#+公-发+…+酸-瓦)0两两并项后利用等差数列的前〃项和公式可

求解.

【详解】

(1)•••｛凡｝是等比数列，且。2,2$2,生成等差数列

/.4S2=a2+03,即4(4+4Q)=0tq+44?

；.4+4q=q+q2,解得：q=—1或q=4

*：q>0,・'q=4

Vq=2

2-4n-'=22n-'(HeA^,)

(2)=log2a„=2n-l

•••l2-32+52-72+---+1972-1992

=(1-3)(1+3)+(5-7)(5+7)+•••+(197-199)(197+199)

=(—2)(l+3+5+7+…+199)

c1+199

=-2----------100

2

=-20000

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式，考查并项求和法及等差数列的九项和公式.本题求数列通项公式所用方法为基本量法,

求和是用并项求和法.数列的求和除公式法外，还有错位相关法、裂项相消法、分组(并项)求和法等等.

19.(1)见解析；(2)叵

7

【解析】

(1)设中点为N,连接MN、DN,首先通过条件得出CBLAB,加。可得DN//BC,进而可得

DN//平面PBC,再加上ACV//平面尸3C,可得平面QMN//平面尸5C,则DM7/平面「5C；

(2)设3。中点为。，连接AO、CO,可得尸0,平面ABCD,加上班＞，平面PCO,则可如图建立直角坐标系

O-xyz,求出平面R钻的法向量和平面PAC的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：设中点为N,连接MN、DN,

_ABD为等边三角形,

:.DN±AB,

DC=CB,ZDCB=120°,

:.ZCBD=30°,

.•.ZABC=60o+30°=90°,即CBLAB,

DNLAB,

：.DN//BC,

■：BCu平面PBC,DN<z平面PBC,

:.DN//平面PBC,

MN为△PAB的中位线，

:.MN//PB,

-Mu平面「5C,MN6平面PBC,

:.MN//平面PBC,

MN、DN为平面。肱V内二相交直线，

•••平面DMN//平面PBC,

ZM/u平面OMN,

」.£)河7/平面「5c；

(2)设BD中点为。，连接A。、CO

m为等边三角形，5CD是等腰三角形，且顶角N5CD=120。

:.AO±BD,COLBD,

.-.A,C、。共线，

PC±BD,BD±CO,PCCO=C,PC,COu平面PCO

..班)，平面PCO.

POu平面PCO

:.BD^PO

平面平面ABCD，交线为BD,POu平面尸

.,.POL平面ABCD

设AB=2,则AO=3

在BCD中，由余弦定理，得：BD2=BC~+CD2-2BCCD-cos/BCD

又BC=CD,

.-.22=2BC2-2BC2COS120°«

.__2百_百

..Cr/R)—CrznJ-----，CC7-----，

33

PD±PB,。为BD中点，

:.PO=-BD=1,

2

建立直角坐标系。-孙z(如图)，则

C-日,0,0,<(o,o,l),A(A/3,0,0),3(0,1,0).

I3)

.•.BA=(A/3,-1,0),PA=(^,0,-1),

设平面R43的法向量为〃=(%,%z),贝！

n-BA=0y/3x-y=0

n-PA=O-z=0

取x=l,则y=z=后，

平面PAC的法向量为OB=(0,1,0),

cos（n,OB）=

'/W•网7

二面角C—B4—5为锐角,

二二面角C-K4-3的余弦值大小为叵.

7

【点睛】

本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.

199

20.(I)“a.(II)见解析.

204

【解析】

(1)18人中很幸福的有12人，可以先计算其逆事件，即3人都认为不很幸福的概率，再用1减去3人都认为不很幸福

的概率即可；(II)根据题意，随机变量X5b,列出分布列，根据公式求出期望即可.

【详解】

(I)设事件A=｛抽出的3人至少有1人是“很幸福”的),则无表示3人都认为不很幸福

199

P（A）=1-P（A）=1-=1-高

204

(II)根据题意，随机变量X-5^3,1

,X的可能的取值为0』,2,3

Pg"%）4；P（X=l）=^x|xgJ=|

…）5肌$P（X=3）NJW

所以随机变量X的分布列为:

X0123

1248

P

279927

］248

所以X的期望E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=2

v'T19927

【点睛】

本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望的求解，概率分布中的二项分布问题，属于常规题型.

21.⑴3x-y+l=0；(2)当时，//(%)在(一。一一a1上是减函数;当时，在

上是增函数；(3)证明见解析.

【解析】

(1)当。=1时，f(x)^(x+l)ln(x+l)+ex+x,求得其导函数f'(x),f'(0),f(0),可求得函数/(尤)的图象在

x=0处的切线方程；

(2)由已知得7z(x)=/(x)-eX-x=(x+a)ln(x+a)(x>-a),得出导函数"(x)=ln(x+a)+l,并得出导函数取

得正负的区间，可得出函数的单调性；

(3)当。=0时，h(x)=xlnx,hXx)=lnx+l,由(2)得/z(x)的单调区间，以当方程必乃="有两个不相等的

实数根占,马，不妨设占，且有。<药<±1<*2<1，--<m<Q,构造函数〃(%)=%(％)-/212-4,(0<了<，］,

分析其导函数的正负得出函数的单调性，得出其最值，所证的不等式可得证.

【详解】

(1)当a=l时，/(%)=(%+1)ln(x+l)+ex+x,

所以/'(x)=ln(x+l)+l+/+l=ln(x+l)+eX+2,二/'(O)=3"(0)=1,

所以函数/Xx)的图象在％=0处的切线方程为y—l=3(x—O),即3x—y+l=O；

(2)由已知得7z(x)=/(x)-e*-x=(x+a)ln(x+a)(x〉-a),二/(x)=ln(x+a)+l,令/z'(x)=O,^x=--a,