2022-2023学年大连市重点中学九年级数学第一学期期末考试模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.在RtaABC中，ZC=90°,sinA=—,则NA的度数是（）

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.如图，是用一把直尺、含60。角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60。角与直尺交点，点3为光盘与直尺唯一

交点，若A8=3,则光盘的直径是（）.

A.6GB.3#>C.6D.3

3.如图，在平面直角坐标系中，点尸（2,5）、。（。,。）（。>2）在函数丫=K（％>0）的图象上，过点P分别作x轴、》

x

轴的垂线，垂足为A、B-,过点。分别作X轴、y轴的垂线，垂足为C、D.QD交PA于点E,随着。的增大，四

边形ACQE的面积（）

A.增大B.减小C.先减小后增大D,先增大后减小

4.在做针尖落地的实验中，正确的是（）

A.甲做了4000次，得出针尖触地的机会约为46%,于是他断定在做第4001次时，针尖肯定不会触地

B.乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统

计针尖触地的次数，这样大大提高了速度

C.老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取

D.老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）.同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不

满意的就不要

5.有三个质地、大小一样的纸条上面分别写着三个数，其中两个正数，一个负数，任意抽取一张，记下数的符号后，

放回摇匀，再重复同样的操作一次，试问两次抽到的数字之积是正数的概率为（）

1452

A.-B.-C.-D.一

3993

6.如图，。。是正方形4BC。与正六边形的外接圆.则正方形A8C。与正六边形AE/CG”的周长之比为

（）

G

A.272：3B.V2：1C.及：6D.1：6

7.下列事件中，是必然事件的是（）

A.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B.明天太阳从西方升起

C.三角形内角和是180D.购买一张彩票，中奖

8.根据阿里巴巴公布的实时数据，截至2018年11月11日24时，天猫双11全球狂欢节总交易额约2135亿元，2135

用科学记数法表示为（）

A.2.135xl03B.0.2135xl04C.2.135xl04D.21.35xl03

9.如图，已知四边形A8CQ是平行四边形，下列结论不正确的是（）

A.当AC=BD时，它是矩形B.当AC_L3。时，它是菱形

C.当A£>=DC时，它是菱形D.当NA6C=90°时，它是正方形

10.如图，小颖身高为160cm,在阳光下影长AB=240cm,当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投

射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（）

A.50B.60C.70D.80

11.二次函数y=3（x+4）2-5的图象的顶点坐标为（）

A.(4,5)B.(-4,5)C.(4,-5)D.(-4,-5)

113

12.若中2=2,-+-=2»则以斗%为根的一元二次方程是（）

A.x2+3x-2=0B.X2-3X+2=0

C.f+3x+2=OD.x2-3x-2=O

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图所示，等腰三角形八。4隹，AB2A3B3,…，△纥_出纥（”为正整数）的一直角边在x轴上,

双曲线y=七经过所有三角形的斜边中点G，G，G,…，C,,,已知斜边。A=4五，则点4的坐标为

x

14.已知A、8是线段MN上的两点，MN=4,MA=1,MB>1.以A为中心顺时针旋转点以B为中心逆时针旋转

点N,使"、N两点重合成一点C,构成△A8C.设48=x,请解答：（1）x的取值范围_____；

（2）若△48C是直角三角形，则x的值是.

15.有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），现将有

图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片的概率是.

16.如图，（DO与矩形ABCD的边AB、CD分别相交于点E、F、G、H,若AE+CH=6,贝!）BG+DF为.

17.若二次函数（分0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0,1）和（-1,0）.则S=a+6+c的值的变

化范围是

18.如果一个直角三角形的两条边的长度分别是3c机和4c/n,那么这个直角三角形的第三边的长度是

三、解答题（共78分）

19.（8分）中华人民共和国《城市道路路内停车泊位设置规范》规定：

12米以上的，可在两侧设停

方式3垂直式+

车泊位，路幅宽8米到12米的，可在单侧设停车泊位，路幅宽8米以下的，不能设停车泊位；6米，车位宽2.5米；4

米.

根据上述的规定，在不考虑车位间隔线和车道间隔线的宽度的情况下，如果在一条路幅宽为14米的型同通行车道设置

同一种排列方式的小型停车泊位，请回答下列问题：

（1）可在该道路两侧设置停车泊位的排列方式为；

（2）如果这段道路长1（）（）米，那么在道路网侧录多可以设置停车泊位_______个.

（参考数据：垃=1.4，V3»1.7）

20.（8分）用配方法解方程2X2-4X-3=0.

21.（8分）如图，在Rf/VIBC中，ZACB=90°,。为48的中点，以CD为直径的。。分别交AC,BC于点E,F

两点，过点尸作户GL45于点G.

（1）试判断FG与。。的位置关系，并说明理由;

（2）若AC=6,CD=5,求尸G的长.

22.（10分）解下列一元二次方程.

（1）x2+x—6=1；

（2）2（x-l）2-8=l.

23.（10分）如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角NDCE=30。，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶

B的仰角为60。，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45。，其中点A,C,E在同一直线上.

（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；

（2）求斜坡CD的长度.

24.（10分）如图，以A3为直径作半圆。，点C是半圆弧的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A、。重

合），BP交AC于点E,延长AP、BC交于点D,过点C作CF_LOE,垂足为尸.

（D求证：CT是」。的切线；

（2）若。。的半径为1,当点P运动到AC的三等分点时，求AE的长.

25.（12分）（1）若正整数X、》，满足/一,2=24,求X、》的值；

（2）已知如图，在A3C中，ZACB=90°,AC=8C=4,点。在边上移动（不与点B,点C重合），将BDE

沿着直线DE翻折，点3落在射线上点尸处，当.他尸为一个含30。内角的直角三角形时，试求区0的长度.

26.已知：在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x-4与二次函数），=一%2+2%+（；的图象交于点4（_1,m）.

（1）求加，C的值；

（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、C

【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值可得：NA=60。.

2、A

【分析】设三角板与圆的切点为C,连接。4、OB,由切线长定理得出A5=AC-3、ZOAB=60°,根据

tanZOAB=—可得答案.

AB

【详解】解：设三角板与圆的切点为G连接OB,如下图所示：

由切线长定理知AB=AC=3,04平分NBAC,

/.ZOAB=60°,

在RtABO中,tanZ0AB=—

AB

，0B=ABtanN0AB=3x6=3百

光盘的直径为6G，

故选A.

【点睛】

本题主要考查切线的性质，掌握切线长定理和解直角三角形的应用是解题关键.

3、A

【分析】首先利用a和b表示出AC和CQ的长，则四边形ACQE的面积即可利用a、b表示，然后根据函数的性质

判断.

【详解】解：AC=a-2,CQ=b,

贝（JS四边形ACQE=AC・CQ=（a—2）b=ab—2b.

•••尸(2,5)、Q(a,b)在函数y=£(x>0)的图象上，

.'.ab=2x5=k=10(常数).

AS四边形ACQE=AC*CQ=10-2b,

•.•当a>2时，b随a的增大而减小，

，S四边形ACQE=10-2b随a的增大而增大.

故选：A.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用b表示出四边形ACQE的面积是关键.

4、B

【解析】试题分析：根据模拟实验带有一定的偶然性，相应的条件性得到正确选项即可.

A、在做第4001次时，针尖可能触地，也可能不触地，故错误，不符合题意；

B、符合模拟实验的条件，正确，符合题意；

C、应选择相同的图钉，在类似的条件下实验，故错误，不符合题意；

D、所有的实验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意；

故选B.

考点：本题考查的是模拟实验的条件

点评：解答本题的关键是注意实验器具和实验环境应相同，实验的结果带有一定的偶然性.

5、C

【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的结果与两次抽到的数字之积是正数的情况数，然后利用概率公式求解

即可.

【详解】解：两个正数分别用a,b表示，一个负数用c表示，画树状图如下：

/NZNZN

abcabcabc

共有9种等情况数，其中两次抽到的数字之积是正数的有5种，

则两次抽到的数字之积是正数的概率是，；

9

故选：C.

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件;

树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

6、A

【分析】计算出在半径为R的圆中，内接正方形和内接正六边形的边长即可求出.

【详解】解：设此圆的半径为R,

则它的内接正方形的边长为立R,

它的内接正六边形的边长为R,

内接正方形和内接正六边形的周长比为：4血R：6R=2&：1.

故选：A.

【点睛】

本题考查了正多边形和圆，找出内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键.

7、C

【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断

【详解】解：A.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；

B.明天太阳从西方升起是不可能事件；

C.任意画一个三角形，其内角和是180是必然事件；

D.购买一张彩票，中奖是随机事件；

故选：C

【点睛】

本题考查的是必然事件，必然事件是一定发生的事件.

8、A

【解析】根据科学计数法的表示方法即可得出答案.

【详解】根据科学计数法的表示方法可得：2135应该表示为2.135x103,故答案选择A.

【点睛】

本题考查的是科学计数法的表示方式：axlO"（14同＜1（）,n为正整数）.

9、D

【解析】根据已知及各个四边形的判定对各个选项进行分析从而得到最后答案.

【详解】A.正确，对角线相等的平行四边形是矩形；

B.正确，对角线垂直的平行四边形是菱形；

C.正确，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；

D.不正确，有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

故选D

【点睛】

此题考查平行四边形的性质，矩形的判定，正方形的判定，解题关键在于掌握判定法则

10、B

【分析】过E作EF_LCG于F,利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可.

【详解】过E作EF_LCG于F,

ARCD

设投射在墙上的影子DE长度为x,由题意得：△GFES/^HAB,

AAB:FE=AH:(GC-x),

贝!I240:150=160:(160-x),

解得：x=60.

故选B.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质，解题突破口是过E作EF_LCG于F.

11、D

【分析】根据二次函数的顶点式即可直接得出顶点坐标.

【详解】•二次函数y=3(x+4『-5

...该函数图象的顶点坐标为(-4,-5),

故选：D.

【点睛】

本题考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数顶点式丁=。(》-。)2+攵的顶点坐标为(h,A).

12、B

【分析】由已知条件可得出土+々=3,再根据一元二次方程依法+o=()的根与系数的关系，

hr

%内•&=一，分别得出四个方程的两个根的和与积，即可得出答案.

aa

113

【详解】解：•.•％马=2,一+—=不

%!x22

:.%,+x2=3

A.x2+3x-2=0»方程的两个根的和为-3,积为-2,选项错误;

B.X2-3X+2=0.方程的两个根的和为3,积为2,选项正确;

C.X2+3X+2=0.方程的两个根的和为-3,积为2,选项错误;

D.丁一31一2=0,方程的两个根的和为3,积为-2,选项错误;

故选：B.

【点睛】

本题考查的知识点是根与系数的关键，熟记求根公式是解此题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、（-4\/n,4Vn—4y/n-\1

【分析】先求出双曲线的解析式，设8/=2叫，B遇=2〃％，分别求出网和网的值，从中找到规律表示出B“B,I的

值，据此可求得点A“的坐标.

【详解】解：•••04=4拒，AOA|B|是等腰三角形，

=OB1=4,

•••4的坐标是（-4,4）,

二G的坐标是（-2,2）,

4

双曲线解析式为丫=一一，

x

设=2mi,则=2mI,

:.A的坐标是（-4-2町，2ml）,

，G的坐标是（4叫，网），

:.（-4-叫）,叫=-4,

•••叫=2血一2（负值舍去），

B?B[=4>/2—4，

设B3B2=2m2,则可4=2〃％>

同理可求得m2=273-2V2，

•••B3B2=4>/3—4-\/29

******9

依此类推纥纥_尸4«-4JR，

：,B“A/纥纥-产4y/n—4y/n—l>

•・•0B“=OB/B2Bl+B3B2+……+纥纥_]

=4+4\/2—4+4-73—4>/2+......+4G—4\/n-l

=4>/n

**•A〃的坐标是（,4&-4Yn-\），

故答案是：（一4〃，4G-41n-l）.

【点睛】

k

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数丁二勺（k为常数，k#0）的图象是双曲线，图象上的点（x,

X

y）的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.也考查了等腰直角三角形的性质.

5-4

14、l<x<2x=一或x二一.

33

【分析】（1）因为所求AB或x在4ABC中，所以可利用三角形三边之间的关系即两边之和大于第三边，两边之差小

于第三边进行解答.

（2）应该分情况讨论，因为不知道在三角形中哪一个是作为斜边存在的.所以有三种情况，即：①若AC为斜边，则

l=x2+（3-x）2,即x2-3x+4=0,无解；②若AB为斜边，则3=（3-%>+1,解得丫=；,满足l<x<2；③若5c为斜边,

4

则（3-工）2=1+必，解得：x=-,满足1VXV2；

【详解】解：

（1）,：MN=4,MA=1,AB=x,

BN=4-1-x=3-x,

由旋转的性质得：MA=AC=1,BN=BC=3-x,

由三角形的三边关系得

3—x—1Vx

3—x+l>x

・・.x的取值范围是1VXV2.

故答案为：1VXV2；

(2)•••△45C是直角三角形，

，若AC为斜边，则1=4+(3-x)2,即x2-3尤+4=0,无解，

若为斜边，贝!jA?=(3-*)2+1,解得：x=满足1VXV2,

,4

若8c为斜边，则(3-*)2=1+*2,解得：X--,满足lVx<2,

故x的值为：x=±5或4

33

54

故答案为：或*=：；.

33

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质，一元一次不等式组的应用，三角形的三边关系，掌握一元一次不等式组的应用，旋转的

性质，三角形的三边关系是解题的关键.

4

15、-

5

【详解】•••圆、矩形、菱形、正方形是中心对称图案，

4

...抽到有中心对称图案的卡片的概率是不，

4

故答案为二.

16、6

【分析】作EM_LZ?C,HN1.AD,易证得EG=FH,继而证得RfEMG三RfHNF,利用等量代换即可求得答案.

【详解】过E作EM_LBC于M,过H作于N,如图，

•••四边形ABCD为矩形，

：.AD//BC,

：•EG=FH，

：.EG=FH,

,四边形ABCD为矩形，S.EMLBC,HN±AD,

.••四边形ABME、EMHN、NHCD均为矩形，

:.ME=NH,AE=BM,EN=MH,ND=HC,

在心和R9HNF中

ME=NH

EG=FH'

：.Rt^EMG=Rt^HNF(HL),

:.MG=NF,

二BG+FD=BM+MG+FD=BM+NF+FD=BM+ND=AE+CH=6,

【点睛】

本题考查了矩形的判定和性质、直角三角形的判定和性质、平行弦所夹的弧相等、等弧对等弦等知识，灵活运用等量

代换是解题的关键.

17、1<S<2

【分析】将已知两点坐标代入二次函数解析式，得出c的值及a、b的关系式，代入S=a+b+c中消元，再根据对称轴

的位置判断S的取值范围即可.

【详解】解：将点（1,1）和（-1,1）分别代入抛物线解析式，得c=L

.,.S=a+b+c=2h,

由题设知，对称轴X=—2>0且。<0,

2a

：.2b>l.

又由b=a+l及a<l可知2b=2a+2<2.

：.1<S<2.

故答案为：1VSV2.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，运用了消元法的思想，对称轴的性质，需要灵活运用这些性质解题.

18、5cm或近cm

【分析】分两种情况：当4cm为直角边时，利用勾股定理求出第三边；当4cm为斜边时，利用勾股定理求出第三边.

【详解】•••该三角形是直角三角形，

...①当4cm为直角边时，第三边长为J32+42=5cm；

②当4cm为斜边时，第三边长为在万=々cm,

故答案为：5cm或gem.

【点睛】

此题考查勾股定理，题中没有确定已知的两条边长是直角边或是斜边，故应分情况讨论，避免漏解.

三、解答题（共78分）

19、（1）平行式或倾斜式.（2）1.

【分析】（1）对应三种方式分别验证是否合适即可；

（2）分别按照第（1）问选出来的排列方式计算停车泊位，进行比较取较大者即可.

【详解】（1）除去两车道之后道路宽14—2x4=6，”

因为要在道路两旁设置停车泊位，所以每个停车泊位的宽必须小于等于3m,所以方式3垂直式不合适，排除；方式1

平行式满足要求,对于房市,它的宽度为6.sincr,要满足要求,必须有6・sin。<3,即0<a<30。，所以当0<0<30。

时，方式2倾斜式也能满足要求.

故答案为平行式或倾斜式

（2）若选择平行式，则可设置停车泊位的数量为2x（100+6）。32（个）

若选择倾斜式，每个停车泊位的宽度为上，要使停车泊位尽可能多，就要使宽度尽可能小，所以取a=30。，此

sintz

25

时每个停车位的宽度为^—=5,所以可设置停车泊位的数量为2x［（100-6.cos3（）o）+5卜2x18=36（个）

sin30°

故答案为1

【点睛】

本题主要考查理解能力以及锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

“、晒

20、xi=l+———,X2=,l--V--i-o-・

22

5

【分析】借助完全平方公式，将原方程变形为（X-1）02=77,开方，即可解决问题.

2

【详解】V2X2-4X-3=0,

..x2一2cx——3

2

・•.（1）2=：

VloVio

•-X\=1+-^-，%2=1----三

点睛：用配方法解一元二次方程的步骤：移项（常数项右移）、二次项系数化为1、配方（方程两边同加一次项一半的

平方）、开方、求解、定解

21、（1）FG与。相切，证明见详解；（2）FG3

【分析】（1）如图，连接OF,DF,根据直角三角形的性质得到由为直径，得到OFJ_5C,得到尸为

8c中点，证明。尸〃A5,进而证明GfU_OF,于是得到结论；

（2）根据勾股定理求出8C,BF,根据三角函数的定义即可得到结论.

【详解】解：（1）答：FG与O0相切.

证明：连接。凡DF,

,在RfZXABC中，ZACB=90",。为A8的中点，

1

：.CD=BD=-AB,

2

,:CD为。。直径，

J.DF1.BC,

二尸为8c中点，

'：OC=OD,

：.OF//AB,

'：FGA.AB,

:.FG上OF,

：.WG为。。的切线；

（2）•••□）为R/ZX45C斜边上中线，

：.AB=2CD=W,

在中，ZACB=90°,

BC=\[AB^-AC^=\/102—62=8»

.,.BF=—BC=4,

2

'JFGLAB,

GFAC

BF~\B

GF6

410

AFG=—

5

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的中位线，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键.

22、(1)为=—3；W=2；(2)X]=3;电=—1

【分析】(1)利用因式分解法解一元二次方方程；(2)用直接开平方法解一元二次方程.

【详解】解：(1)x2+x—6=1；

(x+3)(x—2)=0

=-3;无2=2

(2)2(x-l)2-8=l.

2(1)2=8

(1尸=4

x—1=±2

/•%=3;x,=-1

【点睛】

本题考查直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，掌握解题技巧正确计算是本题的解题关键.

23、(1)坡底C点到大楼距离AC的值为206米；(2)斜坡CD的长度为80世-120米.

【解析】分析：(1)在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；

(2)过点D作DF_LAB于点F,贝(J四边形AEDF为矩形，得AF=DE,DF=AE.利用DF=AE=AC+CE求解即可.

AB6026

详解：(1)在直角AABC中，ZBAC=90°,ZBCA=60°,AB=60米，贝ljAC=——=~j==20yl3(米)

tan6Q°,3

答：坡底C点到大楼距离AC的值是206米.

(2)过点D作DFJ_AB于点F,则四边形AEDF为矩形,

.♦.AF=DE,DF=AE.

im

设CD=x米，在RtACDE中，DE=-x米，CE=—

22

在RtABDF中，ZBDF=45°,

/.BF=DF=AB-AF=60--x（米）

2

VDF=AE=AC+CE,

.*.20J^+—x=60--x

22

解得：x=80百-120（米）

故斜坡CD的长度为（806-120）米.

点睛：此题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

24、（1）详见解析；（2）4£：=血一直或4£：=指一起

3

【分析】（1）连接OC,根据同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角等于90°和等弧所对的弦相等可得：N1=N3,

NACO=NBCE=90°,AC=BC,从而证出AACDgABCE,然后根据等腰三角形的性质即可求出NACF和

ZACO,从而求出NOCF,即可证出结论；

（2）先根据等腰直角三角形的性质求出AC、BC,再根据一个弧有两个三等分点分类讨论：情况一：当点尸为靠近

2

点A的三等分点时，根据三等分点即可求出N3=§NA8C=30。，再根据锐角三角函数即可求出CE,从而求出AE；

2

情况二：当点P为靠近点。的三等分点时，根据三等分点即可求出NABP=-ZABC=30°,从而求出AP,再推导

3

出NPDE=30°,设PE=x,用x表示出DE、CE和AE的长，从而利用勾股定理列出方程即可求出工,从而求出AE.

【详解】（1）证明：连接。C

p

/7\\

///\\

『।

-4-----------o--------5

图1

,:AB为O。的直径

,ZAPB=ZACB=90°

，ZACD=ZBCE^90°

根据同弧所对的圆周角相等可得，Z1=Z3

又：C是A3的中点

AC=BC

，AC=BC

在AACD与MCE中

乙ACD=4BCE

<AC^BC

Z1=Z3

/.MCD^^BCE(ASA)

：.CD=CE

又CF±DE

•••CF平分NAS

AZACF=-ZACD=45°

2

'：AC=BC,。为A8的中点

:.CO平分ZACB

・••ZACO=」NAC8=45°

2

:.ZOCF=ZACO+ZACF=90°

：.CF±OC

:.CF为.。的切线

(2)证明：如图2

D

图2

。的半径为1

:.AB=2

又,•,NACB=90。，AC=BC

二AC=BC=V2

ZC4B=ZCBA=45°

情况一：如图2

当点P为靠近点A的三等分点时

•.•点P是AC的三等分点

••­PC=2AP

二/3=2/钻。=30。

3

V6

在RtaBCE中，CE=BC・tanN3

3

二AE=AC-CE=O-旦

3

情况二：如图3

••,点P是AC的三等分点

•••AP=2PC

ZA8P=2NA3C=30°

3

:.AP^-AB^l

2

又：NCSA=45°

/.Z3+Z4BP=45°

又,•,NA8=90。，CD=CE

/y

ACD=CE=­D£

2

ZCDE=ZCED=45°

：.Z1+ZAD£=45°

:.ZADE=ZA8P=30°

二DE=2PE

设PE=x,则OE=2x

：,CD=CE=y/2x

：•AE=AC-CE=y/2->/2x

又•••/APB=90°

AP2+PE2AE2

即r+f=(0_&x)2

解出：玉=2—6或工2=2+6(应小于AC，故舍去)

二AE=近-瓜=R-&

综上所述：AE=®-旦或AE=A-O

3

【点睛】

此题考查的是圆的基本性质、圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质和解直角三角形，掌握同弧所对的圆周角

相等、直径所对的圆周角是90°、切线的判定定理和用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.

x=7x=5

25、(1)〈或＜；(2)8。=2百-2或6-2百.

y=5