2024年浙江高三数学（文）3月模拟联考试卷及答案解释

2024年浙江强基联校高三数学(文)3月模拟联考试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合5={3%>-2},T=[x\x2+3x-4<0},贝i]S?T()

A.(fl]B.C.(-2,1]D.[l,+oo)

2.已知i是虚数单位,则—=()

1-i

l-2i-1+i2+il+2i

A.B.C.——D.------

2222

3.现有一项需要用时两天的活动，每天要从5人中安排2人参加，若其中甲、乙2人在这两天都没有参

加，则不同的安排方式有()

A.20种B.10种C.8种D.6种

4.已知x>0,y>。，则()

Aylnx+lnj_71nx+B71n(x+y)_71nxylny

Cylnxlny_71nx+D71n(孙)_ylnx.ylny

5.若0<x苦,贝geos?尤<1”是"XCOSJC<1”的<)

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.(l+x)6(l-x)4的展开式中，x6的系数为()

A.2B.-2C.8D.10

7.已知函数的定义域为R,且〃0)=/图=1,若/(x+y)+/a-y)=2/(x)-cosy,则函数

()

A.以兀为周期B.最大值是1

1

C.在区间上单调递减D.既不是奇函数也不是偶函数

8.设点A,B,C是抛物线V=4x上3个不同的点，S.AB1AC,若抛物线上存在点。，使得线段AD

总被直线8C平分，则点A的横坐标是（）

A.1B.2C.3D.4

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.有两组样本数据：玉,马，一•"2024；%,%，・，力024淇中％=%•+2024（，=1,2,.,2024）,则这两组样本数

据的（）

A.样本平均数相同B.样本中位数相同

C.样本方差相同D.样本极差相同

10.已知.ABC的内角的对边分别是a,b,c,（）

A.若asin=bsinA,贝！］8=工

23

B.若（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC,则A二—

6

jr

c.若。也C成等比数列，则

Ar

D.若成等差数列，则tan—F3tan—>2

22

11.已知正方体ABC。-a3GA的棱长为2,过棱CG，AA，4用的中点作正方体的截面，则（）

A.截面多边形的周长为忘+29

B.截面多边形的面积为工万

C.截面多边形存在外接圆

D.截面所在平面与平面A5CD所成角的正弦值为姮

11

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量〃=（2,1）,Z?=（2r,4）,若〃_L/?,则实数力=.

13.点P（3,〃）关于直线x+y-a=。的对称点在圆（x-2）2+（y-4）2=13内，则实数。的取值范围是.

14.用国表示不超过％的最大整数，已知数列｛叫满足：4=g，%+1=丸4-M为T），〃£N*.若2=。，

2

2024i

〃=-2,则%=______；若％=〃=1,则Z——=______.

a

L-ii\

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=sinx-J§cosx.

⑴求原的值，

⑵求函数y=/(x)-sinx的单调递增区间.

16.小强和小基两位同学组成“联盟队”参加两轮猜灯谜活动.每轮活动由小强、小基各猜一个灯谜，他们

猜对与否互不影响.若两人都猜对，则得3分；若仅一人猜对，则得1分；若两人都没猜对，则得0分.

已知小强每轮猜对的概率是］，小基每轮猜对的概率是：，各轮结果互不影响.

43

⑴求“联盟队”猜对4个灯谜的概率；

(2)求“联盟队”两轮得分之和X的分布列和数学期望.

17.如图，在四棱锥中，四边形ABC。为直角梯形，CD//AB,BCLAB,平面平面

ABCD,QA=QD,点以是4)的中点.

⑴证明：QMVBD.

(2)点N是CQ的中点，AD=AB=2CD=2,当直线MN与平面QBC所成角的正弦值为立1时，求四棱

7

锥。-A3CD的体积.

18.已知椭圆6：工+产=1的左、右顶点分别为A，4，点尸为直线/:x=2上的动点.

(1)求椭圆G的离心率.

(2)若尸4，尸4,求点尸的坐标.

(3)若直线PA和直线％分别交椭圆G于3,C两点，请问：直线BC是否过定点？若是，求出定点坐标;

若不是，请说明理由.

3

19.已知函数

⑴当时，记函数的导数为f(%),求广⑼的值.

3

(2)当〃=1,时，证明：/(x)>-cosx.

(3)当aN2时，令g(x)=e[a+l-〃x)],g(x)的图象在天=机，尤=〃(机＜〃)处切线的斜率相同，记

g(rn)+g(n)的最小值为五(。),求人⑷的最小值.

(注：e=2.71828•是自然对数的底数).

1.C

【分析】

由一元二次不等式的解法和交集的运算得出即可.

所以S?T{x\-2<x?1}(-2,1],

故选：C

2.B

【分析】

利用复数的四则运算法则即可得出结论.

【详解】广i强i(l言+i)=一-1+i

故选：B.

3.D

【分析】

根据排列数的定义和公式，即可求解.

【详解】由题意可知，从除甲和乙之外的3人中选2人，安排2天的活动，有A；=6种方法.

故选：D

4.D

【分析】

A、B、C选项可用赋值法判断正误，D选项根据指数与对数计算法则判断.

【详解】设x=Ly=2贝|

4

7lnl+ln2=7ln27il+7ln21A错误；

7M(1+2)=7I113w71nl.71n2,B错误；

7lnl.|n2=17t7lnl+7ln2；C错误;

71n(孙)_ylnx+lny_71nxjiny,£)正确.

故选：D.

5.C

【分析】

构建函数/(x)=sinx-xco&r,利用导数结合三角函数性质可得1>sinx>xcosx>xcos?x,xe］。，鼻，进

而分析判断.

【详解】设/(x)=sinx-xcosx,/'(x)=cosx-(co&x-xsinx)=xsinx,

当0<x<］时r(x)>0,可知/(X)在(0，T内单调递增，且"0)=0,

所以当0<x苦时，i>sinx>XCOSX>XCOS2X恒成立，

故若。,贝『'xcos2x<l"是"XCOSA：<1”的充分必要条件

故选：C.

6.A

【分析】

先将原式化为(1+2尤+尤2)(1一/『，再用二项式通项计算即可.

［详解］(1+尤)6(1_彳)4=(1+同2(1-X2)4=(l+2x+x2)(l-x2)4,

(1-x2)4的通项为加=c1-琰0,

前面括号内出1时，令2左=6=左=3,此时C：(-L)3=—4；

前面括号内出2x时，k无解,

前面括号内出V时,令2%=4n左=2,此时C：(-I)?=6,

所以1的系数为T+6=2,

故选：A.

7.D

【分析】利用赋值法，分别令x=0,y=t,x=^+t,y=g,x=g,y=g+f,得到

5

/(x)=sinx+cosx=及sin逐项判断.

【详解】解：令x=0,y=t,得/«)+/(f)=2cosr,

令x=]+t,y=j,得/(兀+f)+/«)=0,

令工=9y=g+f,得/(71+。+〃-。=-253，

乙L

由以上3式，得/«)=sinf+cosr,

即/(x)=sinx+cosx=\/5sin[x+；J.

则八》)的周期为7=2兀，故A错误；

"%）的最大值为后，故B错误；

令则计：心,亳，故的在区间［-3］上不单调递减，故C错误;

因为〃-x）=A/^sin］-x+；）所以且

所以/（x）既不是奇函数也不是偶函数，故D正确.

故选：D.

8.A

【分析】

说明直线8C过定点石（4+%,-％）,并求出A关于点E的对称点代入抛物线即可求解.

=%一%.444

则凝c

y；£%+%，同理心C二---#AB=--一

44

故直线BC方程为：y=4

X+双4J

整理得(％+%)v=以+%%，①

44

由AB/AC得•=T，整理得(％+%)%+X%+尤+16=0,②

%十巴十%

由①②两式得（乂+%）（丁+%）=4（1一4一%0）,即直线3C过点石（4+%,一%）,

6

A关于点E的对称点即为点以8+%,-3%)在抛物线上，

代入得4(8+%)=9*=36%,解得%=1.

故选:A.

【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线中的定点问题，关键是利用垂直得斜率的关系进而求出定点坐标.

9.CD

【分析】

根据题意，求出两组数据的平均数、方差、中位数和极差，依次分析选项即可得答案.

【详解】

根据题意，对于数据X],巧，L,X2024,

假设不<%<<马024，

设其平均数为亍、中位数为机、方差为三、极差为〃，

贝!IT=20241+*2+…+工2024)'m=~(X1012+X1013),

n=^2024—Xi>

S2=2024[(苍_1)2+(工2―5)2+(X3_彳)~+...+(^2024_彳)~],

又由％=为+2024。=1,2,L,2024),

设其平均数为了、中位数为加、方差为S〃、极差为〃，

则数据为,为，L，>2024的平均数为

y=2024+2°24+9+2024+超期+2024)=+，2++”2024)=%+2024,

中位数加=g(芭012+2024+%0]3+2024)=g(^012+x,013)+2024=m+2024,

讨=%。24一K=(九2024+2024)—(再+2024)=n,

2222

方差S'=[(看+2024-X-2024)2+(x2+2024-jc-2024)+......+(三的+2024-J-2024)]=S,

故这两组样本数据的方差相同、极差也相同，平均数和中位数不同.

故选：CD.

10.ACD

【分析】

利用正弦定理、余弦定理边角互化，结合三角恒等变换逐一判断即可.

7

【详解】

A-L-C

选项A：由正弦定理可得sinAsin-------=sinBsinA,

2

因为ABC中A3e(0,兀)，A+B+C=n,所以sin。=sin3,

所以sin工Oucos「Zsingcosg,解得8=g,A说法正确；

22223

选项B：若sin?B-2sinBsinC+sin2C=sin2A-sinBsinC,

则由正弦定理整理可得a2=b2+c2-bc,

又由余弦定理可得cosA=1

2bc2

因为Ae(O,7r),所以4=],B说法错误；

选项C：若。，4c成等比数列，则〃=在,

根据余弦定理可得cosB=>2aC~aC=当且仅当a=c时等号成立，

2aclac2

jr

所以c说法正确；

选项D：若〃，瓦c成等差数列，则2A=a+c,

C+CA—C

根据正弦定理可得2sin5=sinA+sinC,lU2sin(A+C)=4sin^—cos^—=2sin^—cos^—,

4:「A-C

因为ACE(O,TI),所以2cos^|^=cos^^，展开得

。AC.A.CAC.A.C

2cos—cos-----2sin—sin—=cos—cos——Fsin—sm一,

22222222

AC*c.A.C八

艮nn「cos-cos----3sin—sin一=0,

2222

AcACAC1

两边同除cos—cos一得l-3tan—tan—=0,即tan—tan一,

2222223

ArIACAC

所以tan—+3tan—>2/3tan—tan—=2,当且仅当tan—=3tan—时等号成立，D说法正确；

22VA2222

故选：ACD

11.AB

【分析】

根据题意画出正方体，将题中截面画出，根据边长关系即可求出边长和面积；判断截面多边形各边长垂

直平分线是否交于一点即可判断出多边形是否存在外接圆；根据二面角定义和余弦定理求出截面所在平

面与平面ABCD所成角.

【详解】连QR,延长交直线GA，c蜴的延长线于点尸，E,连PF交DD\于N,连PE交8用于",

8

连QN,RM得到截面五边形尸AQRM,连接尸与fE的中点0.

由Q,R为中点，|MP|=|NP|=2gO,|QR|=&,|力阖=|N@=半，因此周长为0+2如，故A正

确.

阀=30，附=何，|尸。卜年，S—.警出手,

SFNQ=SMRE=\-^APFE-\FN\-\FQ\=^~,

Zo

截面多边形的面积为SPFE-SFN@-SMRE=［屈，故B正确.

YPNQ与,是公用一个顶点的全等三角形，两个三角形的外心不重合，所以这个五边形没有外接圆，

故C错误.

根据二面角定义可知乙4。尸为截面与底面所成角，同。|=亭，RH=3,根据余弦定理可得

cosZ^OP=^OP,故sin/AOP=叵，故D错误.

2AOOP11-11

故选AB.

12.-1

【分析】

依题意可得4为=0,根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】因为。=（2,1）,1=（2f,4）且打九

所以0=2x2/+1x4=0，解得％=—1.

故答案为：-1

13.4vavl0

【分析】

首先求对称点，再根据点与圆的位置关系，列式求解.

【详解】设点P（3M）关于直线入+y-。=0的对称点为（x,y）,

9

y-a

x—3zox=0

则，得

3a+xa+y八y=a-3,

----+——--tz=O

[22

又题意可知，(0—2)2+(a—3—4)2v13,解得：4<6i<10.

故答案为：4v，vl0

2n

14.2--,2

3

【分析】

当4=0,〃=-2时，利用构造法可得出数列｛4-2｝是等比数列，求出4,-2=-/2，1,进而得出％;

111

当％=必=1时，由题目中的递推关系式可得＞%,—=―r-----7,内必＞2,即可求解.

【详解】

当2=0,〃=-2时，即。〃+1-2=2(%-2),

7

则数列｛4-2｝是以3-2=-1为首项，2为公比的等比数列.

所以%—2=-§X2"T,即%=2—

当4=〃=1时，%=。；一(4一1),即4+1-1=%(％-1),且%1)2=0,

111

anl>an，

+T

4

因为％=-

20241111

所以工厂——+——++-----

出024

11、11111

+++

%-1a?-],。一1/T,、々2024—1々2025-1

11

41T〃2025-1

1

=3-

。202511

413133"+1>2.

由q4+1=4一（见一1）可得:a3='a4

39O16561

因为4+i>a„，

01<1

所以出025>2,<——1',

〃2025—1

10

2024i

则=2.

_Z=1

2〃

故答案为：2-—；2.

3

【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合，数列的通项公式及前〃项和.利用构造法即可求解第

一空；借助递推关系式得出—=—^7—-\，。2025>2是解答第二空的关键.

anan-1an+\-1

15.(1)—1(2)—+kii,+kii(keZ)

【分析】

(1)将X=£71代入化简即可得出答案；

O

(2)化简y=/(x)-siru,求、=1411(2苫+。|的单调递增区间即求y=sin(2x+1的单调递减区间，

TT7T3TT

令一+2MW2x+—W—+2M/eZ,即可得出答案.

262

【详解】(1)/f-^=sin--^cos-=--V3x^=-l.

I6j6622

求y=；-sin12x+"的单调递增区间即求y=sin（2x+"的单调递减区间,

TTTT47r

令一■F2kli<2x+—<---FIku,kwZ,

262

jr27r

解得：—+kn<x<—+AJI,左$Z,

63

所以所求的单调增区间为1E乡+e］仕eZ）.

o3

123

16.⑴;⑵分布列见解析，£（%）=—

4、,6

【分析】

(1)题意可知小强和小基两位同学两轮猜谜都猜对，根据独立重复事件计算方式计算即可;

(2)“联盟队”两轮得分之和X=0,1,2,3,4,6,根据独立重复事件计算方式计算这6种情况概率即可.

【详解】(1)解：记事4：两轮猜谜中，小强猜中第i个；事件与：两轮猜谜中，小基猜中第i个.(7=1,2)

P=P（A44§2）二

4

11

(2)“联盟队”两轮得分之和X=0,1,2,3,4,6

2

尸（x=o）=II$

p（x=i）=T[J

12

所以“联盟队”两轮得分之和X的分布列为

X012346

152515j_

P

1447214412124

所求数学期望E(X)=?.

17.⑴证明见解析⑵;或记

【分析】

(1)根据等腰三角形三线合一性质和面面垂直的性质可得QM，平面ABCD,由线面垂直性质可得结论;

(2)方法一：取BC中点尸，作MGLQF,由线面垂直的性质和判定可证得平面QBC,由线面

角定义可知sinNMNG=里，根据长度关系可构造方程求得QM，代入棱锥体积公式可求得结果；

7

方法二：取BC中点歹，以尸为坐标原点可建立空间直角坐标系，由线面角的向量求法可构造方程求得

QM,代入棱锥体积公式可求得结果.

【详解】(1)M是AD中点，QA=QD,..QM1AD,

平面04。_L平面ABC。，平面QAOc平面ABCD=AD,QMu平面QAO,

平面ABC。，又BDu平面A3CD,

(2)方法一：取3c中点/，连接"EQ尸，作MG，。尸，垂足为G,连接NG,MC,

12

vG

/，尸分别为A£>,BC中点，ABI/CD,MFIIAB,又BCLAB,:.MFLBC；

由（1）知：QM-L平面ABCD,8。匚平面45。£）,二。四，8。；

。河,凡尸匚平面。肘F，QM\\MF=M,.1BC，平面QWF,

MGu平面QMP,:.BC±MG,

又MGLQF,QFBC=F,。尸,8。匚平面@<7,：.欣7_1平面@0,

•・・直线MN与平面沙。所成角为NMNG,.・.sinNMNG=叵，

7

设QM=tz（6z>0）,

其r=5（A5+CD）=5,BC=JAD2—f

:.MC=JMF2+^BC^=A/3,:.MN=^QC=^a2+3,

3

Q尸存可彳

3a

9+42

:.sinZMNG=—=y^=,解得：a=g或。=?，

MN72

VQ_ABCD=^X^AB+CD）-BC-QM=^-QM,

^Q-ABCD=务；当QM=g时，V_=^~.

.,.当时，QABCD

综上所述：四棱锥ABC。的体积为:或也.

24

方法二：取BC中点尸，连接叱，

/，产分别为A£＞，BC中点，AB//CD,:.MF//AB,又BC1,AB,；.MFLBC；

由（1）知：QA/L平面A3cD,

13

以F为坐标原点，9,尸8正方向为x,y轴正方向，过下作z轴〃。M,可建立如图所示空间直角坐标系,

1/

设QM=a（a>0）,

13BC=JAD2-f^ABj=6,

MF=-（AB+CD）=-,

二呢,。,0),唱。，d，心当可，C,一字。］,4,岑'

:.MN=-,BC=^0,—A/3,0J,CQ=；

设平面QBC的法向量〃=(x,y,z),

BC-n二—yfiy=0

贝卜3^3，令x=2a,解得：y=。，z=—3〃=（2a,0,-3）；

CQ,n=—xH---y+az=0

、22

%"=；x；(AB+C0.8C.QM=苧QM,

...当QM=6时，V„=|;当时，VQABCD=^1.

综上所述：四棱锥。-ABCD的体积为:或土叵.

24

18.(1)当⑵伍司或(2,-灼(3)(|,o]

【分析】

(1)直接由定义求出即可；

(2)设出坐标，结合已知条件由射影定理求出即可;

14

（3）两次利用直曲联立，表示出点反C的坐标和直线BC的斜率，由点斜式写出直线BC方程，即可求

出直线过的顶点.

设P（2,p）,直线x=2交x轴于点Q,由必，尸人,.•.|PQ『=|31H依|=5

.•.尸（2,君）或尸（2,-石）

P（2,P）,4（-3,0）,4（3,0）,

，4尸：V=g（x+3）代入，+9尸=9得：

22

（9/+25*+54px+81p-225=0,

A=（54/72）2-4x（9p2+25）x（81/72-225）＞0

设矶不凡）,C（孙％）

…二叫一2到,不「时一25）,y（x+3）1

9P2+2519P2+2559P+25

.J-3（9/-25）30?'

"9"+25，9p2+25'

\7

L：y=-P（x-3）代入_?+9/=9得:

（9p2+l）x2-54p2%+81p2-9=0,

15

A=(54/)2-4X(9/72+1)X(81/?2-9)>0

81P2-9.3(9p2-l)LP-3)=乙

9P2+1，"9/+1

"工12P（9/-1）।6P

9p'+5（9p2+5）（9