2024届江西省赣州市蓉江新区八年级数学第二学期期末经典模拟试题含解析

2024届江西省篝州市蓉江新区谭东中学八年级数学第二学期期末经典模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后

来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校.如图是他们从家到学校已走的路程s

（米）和所用时间，（分钟）的关系图.则下列说法中

①小明家与学校的距离1200米；

②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分；

③小华乘坐公共汽车后7:50与小明相遇；

④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校.其中正

确的个数是（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

2.直角三角形中，两直角边分别是12和5,则斜边上的中线长是（）

A.13B.9C.8.5D.6.5

3.如图，已知点P是NAOB平分线上的一点，NAOB=60。，PD±OA,M是OP的中点，DM=4cm.若点C是OB

上一个动点，则PC的最小值为（）cm.

OB

A.7B.6C.5D.4

4.若关于x的方程f+6x+c=0有两个相等的实数根，则常数c的值是（）

A.6B.9C.24D.36

5.下面四个应用图标中，属于中心对称图形的是（）

6.二次根式斤G中x的取值范围是（）

A.x25B.xW5C.x》-5D.x<5

7.下列调查方法合适的是（）

A.为了了解冰箱的使用寿命，采用普查的方式

B.为了了解全国中学生的视力状况，采用普查的方式

C.为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式

D.对“神舟十一号载人飞船”零部件的检查，采用抽样调查的方式

8.式子有意义，则x的取值范围是（）

A.x>lB.x<lC.x>lD.x<l

9.己知直角三角形一个锐角60。，斜边长为2,那么此直角三角形的周长是（）

A.—B.3C.y/3+2D.A/3+3

2

10.在44BC中，“，LB,NC的对边分别是a,b,c,下列条件中，不能判定4ZBC是直角三角形的是（）

A.=90°B.N4+/8=NC

C.a=1,b=3fc=D.a:b:c=1:2:2

11.关于圆的性质有以下四个判断：①垂直于弦的直径平分弦，②平分弦的直径垂直于弦，③在同圆或等圆中，相等

的弦所对的圆周角相等，④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，则四个判断中正确的是（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

12.如图，。是AB上一点，DF交AC于点E,DE=FE，FCIIAB,若AB=4,CF=3,则5。的长是（）

A.0.5B.1C.1.5D.2

二、填空题（每题4分，共24分）

13.计算（b+2）（近-2）的结果等于

14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,AB=5,BD=6,则菱形ABCD的面积是

15.若甲、乙、丙、丁四个同学一学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为sb=0.80,s1=1.31,

s丙2=1.72,s丁2=0.42,则成绩最稳定的同学是

16.从一副扑克牌中任意抽取1张：①这张牌是“A”；②这张牌是“红心”；③这张牌是“大王”.其中发生的可

能性最大的事件是.（填序号）

17.伤与最简二次根式3疝二1是同类二次根式，则@=

18.关于％的一元二次方程Ax?+4%-2=0有实数根，则上的取值范围是.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图①，在平面直角坐标系中，直线y=T2x+2与y=-工x+2交坐标轴于A,B两点.以AB为斜边在

2

第一象限作等腰直角三角形ABC,C为直角顶点，连接OC.

（1）求线段AB的长度

（2）求直线BC的解析式;

⑶如图②，将线段AB绕B点沿顺时针方向旋转至BD,且直线DO交直线y=x+3y=x+3于P点,

求P点坐标.

20.（8分）某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽样获得的50

个家庭去年的月均用水量（单位：吨），并将调查数据进行了如下整理：

4.72.13.12.35.22.87.34.34.86.7

4.55.16.58.92.24.53.23.24.53.5

3.53.53.64.93.73.85.65.55.96.2

5.73.94.04.07.03.79.54.26.43.5

4.54.54.65.45.66.65.84.56.27.5

画频数分布直方图:

列频数分布表：卜频数(户)

.彳

分组划记频数25—

2.0<xW3.5正正一1120

3.5<xS5.0正正正止1915

5.0cxW6.510

6.5<xW8.05

8.0<xW9.5T2.1—1

合计500123.556.589・5用水量,屯

(1)把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；

(2)从直方图中你能得到什么信息？(写出两条即可)

(3)为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使60%的家庭收费

不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？

21.(8分)某市计划修建一条长60千米的地铁，根据甲，乙两个地铁修建公司标书数据发现：甲，乙两公司每天修

建地铁长度之比为3：5；甲公司单独完成此项工程比乙公司单独完成此项工程要多用240天.

(1)求甲，乙两个公司每天分别修建地铁多少千米？

(2)该市规定：“该工程由甲，乙两个公司轮流施工完成，工期不超过450天，且甲公司工作天数不少于乙公司工作

天数的3”.设甲公司工作a天，乙公司工作b天.

①请求出分与a的函数关系式及a的取值范围；

②设完成此项工程的工期为W天，请求出W的最小值.

x—2%2—11

22.(10分)(1)计算:

x-l%2—4%+4x—2

x2%+3

(2)解方程：1—

X+1Jr2—1

23.(10分)如图，在4x3正方形网格中，每个小正方形的边长都是L

⑴分别求出线段AB,CD的长度;

⑵在图中画线段EF,使得EF的长为百，以AB,CD,EF三条线段能否构成直角三角形，并说明理由.

24.(10分)在菱形ABCD中，NABC=60。，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边AAPE,连接CE.

(1)如图1,当点P在菱形ABCD内部时，则BP与CE的数量关系是,CE与AD的位置关系是.

(2)如图2,当点P在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由;

(3)如图2,连接BE,若AB=26,BE=2」历，求AP的长.

八、一6ab+9/(5b2。八1-二

25.(12分)先化简，再求值-----------------------a—2b，其中a=3,b=-1.

a"-2ab(a-2b)a

26.如图，△ABC中，AB=BC,BE_LAC于点E,AD_LBC于点D,ZBAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.

(1)求证：BF=2AE；

(2)若CD=0,求AD的长.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、D

【解题分析】

根据函数图象中各拐点的实际意义求解可得.

【题目详解】

①.根据图形可知小明家与学校的距离1200米，此选项正确；

②.小华到学校的平均速度是1200+（13-8尸240（米/分），此选项正确；

③.（480+240）+8=10分，所以小华乘坐公共汽车后7:50与小明相遇，此选项正确；

④.小华跑步的平均速度是1200+（20-8）=100（米/分）他们可以同时到达学校，此选项正确；

故选：D.

【题目点拨】

此题考查函数图象，看懂图中数据是解题关键根据.

2、D

【解题分析】

根据题意首先利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行解答即可.

【题目详解】

解：由勾股定理得，斜边=,122+52=13,

所以斜边上的中线长=^xl3=6.5.

2

故选：D.

【题目点拨】

本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理，熟记相关性质是解题的关键.

3、D

【解题分析】

根据题意由角平分线先得到△〃＞口是含有30。角的直角三角形，结合直角三角形斜边上中线的性质进而的到OP,DP

的值，再根据角平分线的性质以及垂线段最短等相关内容即可得到PC的最小值.

【题目详解】

•.•点P是NA03平分线上的一点，ZAOB=6Q°

：.ZAOP=-ZAOB=3Q°

2

•：PD±OA,M是。尸的中点，DM=4cm

OP=2DM=8cm

/.PD=—OP=4cm

2

•••点C是05上一个动点

...当时，PC的值最小

TOP平分NAQB,PDLOA,PCA.OB

PC最小值=PD=4cm，

故选：D.

【题目点拨】

本题主要考查了角平分线的性质、含有30。角的直角三角形的选择，直角三角形斜边上中线的性质、垂线段最短等相

关内容，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键.

4、B

【解题分析】

根据判别式的意义得到△=62-4C=0,然后解关于c的一次方程即可.

【题目详解】

•••方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，

A=62-4xlxc=0,

解得：c=9,

故选B.

【题目点拨】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0)的根与A=b2-4ac有如下关系：当△>()时，方程有两个不相

等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当△<()时，方程无实数根.

5、A

【解题分析】

根据中心对称图形的概念进行判断即可.

【题目详解】

解：A-.图形是中心对称图形；

B、图形不是中心对称图形；

C、图形不是中心对称图形；

D、图形不是中心对称图形，

故选：A.

【题目点拨】

本题考查的是中心对称图形的概念.掌握定义是解题的关键，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能与自

身重合.

6、B

【解题分析】

根据二次根式有意义的条件列出不等式，再求解即可.

【题目详解】

解：由题意，得：5—x，0,解得xW5.

故答案为B.

【题目点拨】

本题考查了二次根式有意义的条件，明确二次根式而中的被开方数是解题的关键.

7、C

【解题分析】

A.为了了解冰箱的使用寿命，采用普查的方式，故A错误；

B.为了了解全国中学生的视力状况，采用普查的方式，故B错误；

C.为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式，故C正确；

D.对“神舟十一号载人飞船”零部件的检查，采用抽样调查的方式，故D错误；

故选C.

【题目点拨】

根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可.

8、C

【解题分析】

试题分析：由二次根式的概念可知被开方数为非负数，由此有x-GO,所以立1,C正确

考点：二次根式有意义的条件

9、D

【解题分析】

根据直角三角形的性质及勾股定理即可解答.

【题目详解】

如图所示，

...NA=90-60=30,

故3C=工AB=!义2=1,AC=VAB2-BC2=722-12=&

22

故此三角形的周长是0+3.

故选:D.

【题目点拨】

考查勾股定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.

10、D

【解题分析】

根据三角形内角和定理以及直角三角形的性质即可求出答案.

【题目详解】

A.VZA+ZB=9O°,Z4+ZB+ZC=180",/.ZC=90°,.."ABC是直角三角形，故能确定；

B.乙4+4B=NC,Z4+ZB+ZC=180",.,.ZC=90",.'"ABC是直角三角形，故能确定；

C.•••12+32=（8）2,.•"ABC是直角三角形，故能确定；

D.设a=Lb=2,c=2,

•.T2+22W22,.•.△ABC不是直角三角形，故D不能判断.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了三角形的内角和，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练运用三角形的性质，本题属于基础题型.

11、C

【解题分析】

垂直于弦的直径平分弦，所以①正确；

平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②错误；

在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以③错误；

在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所以④正确.

故选C.

点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角线段，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

12、B

【解题分析】

根据平行线的性质，得出NA=NECE,ZADE=ZF,根据全等三角形的判定，得出AADEwACEE,根据全等

三角形的性质，得出AO=CF,根据A5=4,CF=3,即可求线段08的长.

【题目详解】

:CF//AB,

：.ZA=ZFCE,ZADE=ZF,

Z=ZFCE

在和"。后中<ZADE=ZF,

DE=FE

：.AADE=ACFE（AAS）,

：.AD=CF=3,

•；AB=4,

:.£>B=AB-AD=4-3=1.

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定AADEMAFCE是解此题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、3

【解题分析】

根据平方差公式（（。+勿（。-6）=/—〃）即可运算.

【题目详解】

解：原式=（J7）2—2?=7—4=3.

【题目点拨】

本题考查了平方差公式，熟记平方差公式是解决此题的关键.

14、24

【解题分析】

根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OA,再根据菱形的对角线互相平分求出AC,然后利用菱形的面

积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解.

【题目详解】

•.•四边形ABCD是菱形，

.•.OB=OD=3,OA=OC,AC±BD,

在RSAOB中，ZAOB=90°,

根据勾股定理，得：OA=ylAB--OB2=>/52-32=4.

AAC=2OA=8,

11

:.S菱形ABCD=—xACxBD=—x6x8=24.

22

故答案为：24.

【题目点拨】

此题考查菱形的性质，勾股定理求线段，菱形的面积有两种求法：①底乘以高；②对角线乘积的一半，解题中根据题

中的已知条件选择合适的方法.

15、丁

【解题分析】

首先比较出S『、s/、S丙2、5一的大小关系，然后根据方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小;反之，则

它与其平均值的离散程度越，小,稳定性越好，判断出成绩最稳定的同学是谁即可.

【题目详解】

,.•S/=o.80,SZ,2=1.31,S丙2=1.72,S丁42,

•Qt2c2c2c2

・・»丁AD甲AJ乙AJ丙,

...成绩最稳定的是丁，

故答案为：丁.

【题目点拨】

此题主要考查了方差的含义和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确:方差是反映一组数据的波动大小的

一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小;反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

16、②

【解题分析】

根据可能性等于所求情况与总数情况之比即可解题.

【题目详解】

42

解：一副扑克一共有54张扑克牌,A一共有4张,.•.这张牌是“A”的概率是互=方,

这张牌是“红心”的概率是1上3，

54

这张牌是“大王”的概率是-1-,

54

...其中发生的可能性最大的事件是②.

【题目点拨】

本题考查了简单的概率计算，属于简单题，熟悉概率公式是解题关键.

17、3

【解题分析】

先将A化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于。的方程，解出即可.

【题目详解】

V745=375

A/45与最简二次根式3A/2a-1是同类二次根式

**.2a—1=5,解得：a=3

故答案为：3

【题目点拨】

本题考查了最简二次根式的化简以及同类二次根式等知识点，能够正确得到关于“的方程是解题的关键.

18、上...一2且左wO

【解题分析】

根据A20,且k#0列式求解即可.

【题目详解】

由题意得

A=16+8k》O且kWO,

解之得

左…—2且左w0.

故答案为：女…—2且女/0.

【题目点拨】

本题考查了一元二次方程“/+公+c=0(存0)的根的判别式小庐-4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式

解答本题的关键.当40时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当+0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当

山0时，一元二次方程没有实数根.

三、解答题(共78分)

](33、

19、(1)AB=245;(2)y=-x+2；(3)P点的坐标是1—3,5).

【解题分析】

(1)先确定出点A,B坐标，利用勾股定理计算即可；

(2)如图1中，作CE_Lx轴于E,作CFLy轴于F,进而判断出CBF=CAE,即可判断出四边形OECF是正方

形，求出点C坐标即可解决问题.

(3)如图2中，先判断出点B是AM的中点，进而求出M的坐标，即可求出DP的解析式，联立y=%+3成方程组

求解即可得出结论.

【题目详解】

解：(1)•.•直线y=—」x+2交坐标轴于A、B两点.

2

.•.令x=0,y=2,.'B点的坐标是(0,2),

OB=2,

令y=0,x=4,.'A点的坐标是(4,0),

:.OA=4,

根据勾股定理得：AB=^O^+OB-=742+22=2^/5-

(2)如图，作CELx轴于E,作CFLy轴于F,

二四边形OECF是矩形.

•••.ABC是等腰直角三角形，

:.CB=CA,ZFCB+ZBCE=90°,ZACE+ZBCE^90°,

:.ZFCB=ZACE,

-CBF=..CAE,:.CF=CF,BF=AE.

二四边形OECF是正方形，

:.OE=OF,

OA=4,OB=2,:.OE=CE=3.

.•.C点坐标(3,3)

设直线BC的解析式为：y=kx+b,

、f2=b

.•.将3(0,2)、C(3,3)代入得：，

3—JK+D

解得：k=~,b=2.

3

...直线BC的解析式为：y=gx+2.

(3)延长AB交DP于M,

由旋转知，BD=AB,

；.NBAD=NBDA,

VAD1DP,

；.NADP=90。，

/.ZBDA+ZBDM=90°,NBAD+NAMD=90。,

，NAMD=NBDM,

/.BD=BM,

，BM=AB,

.••点B是AM的中点，

VA(4,0),B(0,2),

AM(-4,4),

直线DP的解析式为y=-x,

.直线DO交直线y=x+3于P点，

y=-x

将直线y=%+3与丁=一x联立得：

[y=x+3

【题目点拨】

此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，

等腰三角形的判定和性质等，解(2)的关键是求出点C的坐标，解(3)的关键是证明点B是AM的中点，求出直线

DP的解析式.

20、(1)见解析；(2)答案不唯一；(3)我觉得家庭月均用水量应该定为5吨

【解题分析】

(1)根据题中给出的50个数据，从中分别找出5.0VXW6.5与6.5VXW8.0的个数，进行划记，得到对应的频数，进而

完成频数分布表和频数分布直方图；

(2)从直方图可以看出：居民月平均用水量大部分在2.0至6.5之间；居民月平均用水量在3.5VxW5.0范围内的最多,

有19户；

居民月均用水量在8.0<xW9.5范围内的最少，只有2户等.

(3)根据共有50个家庭，要使60%的家庭收费不受影响，即要使30户的家庭收费不受影响，而11+19=30,故家庭

月均用水量应该定为5吨，即可得出答案.

【题目详解】

(1)(1)5.0V烂6.5共有13个,则频数是13,

6.5<xW8.0共有5个，则频数是5,

填表如下：

分组划记频数

2.0<x<3.5正正一11

3.5<x<5,0IFIFIFIF19

5.0<x<6.5IFTFT13

6.5<x<8.0正5

8.0<x<9.52

合计50

如图:

频数分布直方图

2.03.55.06.58.09.5用水量（吨）

（2）从直方图可以看出：①居民月平均用水量大部分在2.0至6.5之间；②居民月平均用水量在3.5VXS5.0范围内的

最多，有19户；

③居民月均用水量在8.0VX/9.5范围内的最少，只有2户等.

（3）因为在2.0至5.0之间的用户数为11+19=30,而30:50=0.6,所以要使60%的家庭收费不受影响，我觉得家庭月均

用水量应该定为5吨.

【题目点拨】

本题考查读频数分布直方图和频数分布表的能力及利用统计图表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真

观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

113

21、（1）甲公司每天修建地铁一千米，乙公司每天修建地铁一千米；（2）①b=-—。+360（200＜。＜225）；②W

1065

最小值为440天

【解题分析】

（1）甲公司每天修3%千米，乙公司每天修5x千米，根据题意列分式方程解答即可;

（2）①由题意得'”+工人=60,再根据题意列不等式组即可求出。的取值范围;

106

②写出W与。、b之间的关系式，再根据一次函数的性质解答即可.

【题目详解】

解：（1）设甲公司每天修3x千米，乙公司每天修5x千米，根据题意得,

60601

-------=240,解得x=—，

3%5x----------------30

经检验，x=鼻为原方程的根,

3x——，5x——，

106

答：甲公司每天修建地铁1千米，乙公司每天修建地铁,千米;

106

(2)①由题意得，-a+-b=6G,

106

3

••b——a+360,

5

a+b„450

又5,

a..—b

6

，2(Wz225；

②由题意得卬=。+/?,

32

■,W=a+(--a+360),即卬=1“+360,

2

a=—>0,

5

.♦.W随x的增大而增大，

又2•以225,

=200时，W最小值为440天.

【题目点拨】

本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分式方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出数量关系

并利用该数量关系求解.

x

22、(1)------；(2)%=

x—2

【解题分析】

(1)先把分子分母因式分解，再把计算乘法，最后相加减；

(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【题目详解】

x-2(x+1)(%-1)1

解:(1)原式=力

(%-2)2x—2

_x+11

%—2%—2

x

(2)去分母:犬—1—%(x—1)=2%+3

%=-4.

经检验x=T是原方程的根

所以，原方程的解是x=T

【题目点拨】

此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

23、(1)AB=V13；CD=2肥.(2)以43、CD.E歹三条线段可以组成直角三角形

【解题分析】

(1)利用勾股定理求出A5、3的长即可；

(2)根据勾股定理的逆定理，即可作出判断.

【题目详解】

?

(1)AB=&+*=®CZ>=A/F+2=2A/2.

⑵如图，£F=722+12=V5»

,.,CZ>2+£F2=8+5=13,AB2=13,J.CI^+EF^AB2,...以A5、CD.EF三条线段可以组成直角三角形.

【题目点拨】

本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，充分利用网格是解题的关键.

24、(1)BP=CE,CE±AD；(2)结论仍然成立，理由见解析；(3)277

【解题分析】

(1)由菱形ABCD和NABC=60。可证AABC与AACD是等边三角形，由等边AAPE可得AP=AE,ZPAE=ZBAC=60°,

减去公共角NPAC得NBAP=NCAE,根据SAS可证得ABAPGZ\CAE,故有BP=CE,NABP=NACE.由菱形对角

线平分一组对角可证NABP=30。，故NACE=30。即CE平分NACD,由AC=CD等腰三角形三线合一可得CE_LAD.

(2)结论不变.证明过程同(1).

(3)在R3AOP中，求出OA,OP即可解决问题.

【题目详解】

(1)BP=CE,CE1AD.

理由：•.•菱形ABCD中，ZABC=60°

/.AB=BC=CD=AD,ZADC=ZABC=60°

.,.△ABC、AACD是等边三角形

/.AB=AC,AC=CD,ZBAC=ZACD=60°

•••△APE是等边三角形

；.AP=AE,ZPAE=60°

ZBAC-ZPAC=ZPAE-ZPAC

BPZBAP=ZCAE,

/.△BAP^ACAE(SAS)

；.BP=CE,ZABP=ZACE

VBD平分NABC

1

，NACE=NABP=—NABC=30°

2

；.CE平分NACD

/.CE±AD.

故答案为BP=CE,CE1AD.

(2)结论仍然成立.理由如下：如图，设CE交AD于H,连接AC.

•••四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,

.,.△ABC,AACD都是等边三角形，ZABD=ZCBD=30°.

VAAPE是等边三角形，

.\AB=AC,AP=AE,ZBAC=ZPAE=60°.

/.△BAP^ACAE.

；.BP=CE,ZABP=ZACE=30°.

；NCAH=60。，

.•.ZCAH+ZACH=90°.

/.ZAHC=90o,即CE_LAD.

(3)如图，连接BE,

由⑵可知CE_LAD,BP=CE.

在菱形ABCD中，AD/7BC,.*.CE±BC.

；BC=AB=2BBE=2M，

在RtABCE中，CE=JQM)2_(2代了=1.

，BP=CE=L

VAC与BD是菱形的对角线，

1

/.ZABD=-ZABC=30°,AC±BD.

2

1