考向24 平面向量的基本定理及坐标表示（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向24平面向量的基本定理及坐标表示1．（2021·全国高考真题（理））已知向量，若，则__________．【答案】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为，所以由可得，，解得．故答案为：．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，，注意与平面向量平行的坐标表示区分．2．（2019·江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.【答案】.【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.1.应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．4.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．.1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1）.3．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），|a|=，|a＋b|=.4．平面向量共线的坐标表示设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1=0.5．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.【知识拓展】向量共线（平行）的坐标表示1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为()，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便．3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.1．（2021·天水市第一中学高一期末）如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且，记，，则（）A． B． C． D．2．（2021·广东高三其他模拟）在四边形中，，单位向量与平行，是的中点，，若在､､､中选两个作为基本向量，来表示向量，则___________.3．（2021·全国高三其他模拟（文））已知向量，，，，___________.4．（2021·全国高三其他模拟（理））若向量，，则___________.1．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））在平行四边形中，，，，为的中点，则（）A．9 B．12 C．18 D．222．（2021·全国高三其他模拟（文））已知向量，，，，则的值为（）A． B． C．2 D．103．（2021·福建三明一中高三其他模拟）已知向量，，且与共线，则x=（）A． B． C． D．4．（2021·北京高一其他模拟）已知向量，向量，若，则（）A． B．5 C． D．5．（2021·云南省文山壮族苗族自治州第一中学高一期末）在中，，D是上的点，若，则实数x的值为（）A． B． C． D．6．（2021·全国高三其他模拟（文））在中，点是边上的点，满足，，，则的最大值为（）A． B． C． D．7．（2021·全国）（多选题）已知向量，则下列结论正确的是（）A．，使得B．，使得C．小于D．8．（2021·河北唐山一中高三其他模拟）（多选题）设是已知的平面向量且，向量，和在同一平面内且两两不共线，关于向量的分解，下列说法正确的是（）A．给定向量，总存在向量，使；B．给定向量和，总存在实数和，使；C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；D．给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使.9．（2021·全国高三其他模拟（文））已知向量+=(0，5)，2﹣=(3，1)，则的值为___________.10．（2021·全国高三其他模拟（理））在平行四边形中，点为边的中点，，则________．11．（2021·宁夏高三其他模拟（理））已知(1，1)，(0，1)，(1，0)，为线段上一点，且，若，则实数的取值范围是___________.12．（2021·辽宁高三其他模拟）在边长为2的正三角形中，D是的中点，，交于F．①若，则___________；②___________．1．（2013·陕西高考真题（文））已知向量，，若，则实数等于（）A． B． C．或 D．02．（2012·广东高考真题（文））若向量=（1,2），=（3,4），则=A．（4,6） B．(-4，-6) C．(-2，-2) D．(2,2)3．（2015·四川高考真题（理））设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，则（）A．20 B．15 C．9 D．64．（2013·广东高考真题（文））设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数和，使；③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．45．（2014·福建高考真题（理））在下列向量组中，可以把向量表示出来的是A． B．C． D．6．（2013·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是A． B． C． D．7．（2016·四川高考真题（文））已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是A． B． C． D．8．（2014·上海高考真题（文））已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为.9．（2018·全国高考真题（理））已知向量，，．若，则________．10．（2017·江苏高考真题）在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．1．【答案】D【分析】取，作为基底，把用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出.【详解】取，作为基底，则.因为，所以，所以.故选：D.2．【答案】【分析】根据向量的线性运算即可得解.【详解】；故答案为：3．【答案】【分析】利用向量的坐标运算求出，进而求出，，结合向量的数量积公式即可求解.【详解】，又，利用向量的数量积公式可知故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查向量的线性运算与向量的数量积公式的应用，解题的关键是熟悉公式的应用，考查学生的运算求解能力，属于基础题.4．【答案】48【分析】直接利用平面向量的坐标运算求解.【详解】.故答案为：481．【答案】B【分析】利用基底向量表示出，再根据数量积的运算律以及定义即可求出．【详解】因为，所以．故选：B．2．【答案】C【分析】先求出的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解.【详解】因，，则，而，，于是得，即，解得，所以的值为2.故选：C3．【答案】B【分析】先表示出向量和的坐标，然后由与共线，列方程可求出的值【详解】∵，，与共线，∴，解得．故选：B．4．【答案】A【分析】根据向量共线的坐标表示，求出的值，从而得到的坐标，然后由向量模长的坐标公式求出.【详解】向量，向量，且，所以，解得，所以，所以．故选：A.5．【答案】D【分析】由得到，然后带入，进而得到，然后根据B，D，E三点共线，即可求出结果.【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵B，D，E三点共线，∴，∴．故选：D．6．【答案】C【分析】利用向量的线性运算，结合解三角形余弦定理可得，再利用基本不等式进行求解即可.【详解】，，又，所以，，所以，即，，故，根据基本不等式可得，解得：，当且仅当，即，时取等号，故的最大值为.故选：C.7．【答案】AC【分析】根据平面向量数量积、线性运算的坐标表示一一验证即可；【详解】解：因为，所以，令，因为，且所以与异号，故A正确；，若，则，解得，即当时，故B错误；设与的夹角为，则若夹角为小于，则，解得因为，所以小于，故C正确；因为，所以，显然当时，故D错误；故选：AC8．【答案】AB【分析】由平面向量的加减法可判断A，由平面向量基本定理可判断B，举出反例可判断C、D.【详解】对于A，给定向量，总存在向量，使，故A正确；对于B，因为向量，，在同一平面内且两两不共线，由平面向量基本定理可得：总存在实数和，使，故B正确；对于C，设，给定，则不存在单位向量和实数，使，故C错误；对于D,设，给定，则不存在单位向量和单位向量，使，故D错误.故选：AB.9．【答案】【分析】利用向量坐标的线性运算求出，再由向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由+=(0，5)，2﹣=(3，1)，两式相加可得，解得，所以，所以.故答案为：10．【答案】【分析】找一组基向量分别表示出，再用待定系数法即可求得．【详解】，又因为，所以，解得所以．故答案为：11．【答案】【分析】根据可得，再表示出坐标，由条件可得，再将代入可得关于的不等式，从而可得答案.【详解】解析：设点，由，得，所以.因为，所以，即，化简得将代入，得，即，解得.因为为线段上一点，且，所以.综上，可知.故实数的取值范围是.【点睛】关键点睛：本题主要考查向量的线性运算，数量积的坐标运算，解答本题的关键是由条件可得和，然后代入消去，得到关于的不等式，属于中档题.12．【答案】【分析】作辅助线，利用平行线的性质，确定出F点是AD的几等分点，利用平面向量的线性运算即可用表示，求得x,y进而得解；再用来表示，用平面向量的数量积即可，即可得解.【详解】如图，过E作交于M，由，得，，又D是的中点，得，，故，即，所以所以，故易知由已知得所以故答案为：，【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积的运算，解题的关键是利用平面向量的线性运算用表示，，考查学生的分析与转化能力，及计算能力，属于中档题.1．【答案】C【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得；【详解】解：因为，，且所以解得故选：C.【点睛】本题考查向量共线求参数的值，属于基础题.2．【答案】A【详解】.3．【答案】C【分析】根据图形得出,,,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD为平行四边形,点M、N满足,

根据图形可得:,

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故选C.本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.考点：向量运算.4．【答案】B【详解】试题分析：利用向量加法的三角形法则，易知①正确；利用平面向量的基本定理，易知正确；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，故③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题．综上，本题选B．考点：1．平面向量的基本定理；2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则．5．【答案】B【详解】试题分析：由于平面向量的基本定理可得,不共线的向量都可与作为基底.只有成立.故选B.考点：平面向量的基本定理.6．【答案】D【详解】，则知是等边三角形，以为直角坐标系原点，在轴，则，当，表示的区域是下图中的①；当，表示的区域是下图中的②；当，表示的区域是下图中的③；当，表示的区域是下图中的④；则表示的区域就是图中的平行四边形，其面积为【考点定位】考查平面向量的概念，平面向量基本定理，以及线性规划面积，以及考查逻辑思维能力和转化思想.7．【答案】B【详解】试题分析：如图可得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．8．【答案】【详解】故答案为.9．【答案】【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．【详解】由题可得