2024年山东省枣庄市滕州市九年级中考数学一模试卷

2024年山东省枣庄市滕州市滕南中学中考数学一模试卷

一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列实数/<9,-g3.14中，无理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.我国航天事业发展越来越吸引人们关注，刚返回地面的神州17号三名航天员接受采访的短视频最近在短

视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为（）

A.1.5X105B.0.15X105C.1.5X106D.1.5x107

3.实数a,6在数轴上的位置如图所示，则化简-a?+2a+」一｛垓一4。+4的结果正确的是()

ab

I■II■立

一101

A.-a—b+1B.—CL+b+1C.CL—b—1D.a+b—1

4.“致中和，天地位焉，万物育焉对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘

画、标识等作品的设计上，使对称美惊艳了千年的时光.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）

卷邈D。）

5.2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1

次，达到400元可抽奖2次，…，依次类推.抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小

球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样；抽奖1次，随机从四个小球抽

取一个；抽奖2次时，记录第1次抽奖的结果后放回箱子中再进行第2次抽取，…，依次类推.小明和妈妈一

共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会，则小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率为（）

1131

A.7B，4C.[D4

6482

6.已知下列各图中的四边形是平行四边形，根据各图中保留的作图痕迹，能得到菱形的有（）

7.马面裙（图1）,又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，如图2,马面裙可以近似地看

作扇环力BCDQ4D和8c的圆心为点。），4为。8的中点，BC=OB=8dm,则该马面裙裙面（阴影部分）的面

积为（）

图1

A.47rdm2B.87rdm2D.IGndm2

8.如图，等边△ABC的边长为1,。是BC边上的一动点，过点。作边的垂线，交4B于

点G,设线段4G的长度为x,AGB。的面积为y,贝的关于x的函数图象正确的是（）

2

9.已知Pi（Xi，yi）P2（%2，y2）是抛物线y=ax2+4ax+3（a是常数，a丰0）上的点，现有以下四个结论：①该

抛物线的对称轴是直线X=-2;②点（0,3）在抛物线上；③若刀1>刀2>-2,则为>;/2；④若乃=丫2，则

x1+x2=-2,其中，正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

10.已知山的平方根是k+1和2k-2,则小的值是.

11.已知数轴上两点4,B,其中4表示的数为-3,B表示的数为2.给出如下定义：若在数轴上存在一点C,

使得+=则称点C叫做点4,8的和距离点”.如图，若点C表示的数为0,有4C+8C=5,

则称点C为点a,B的“5和距离点”.如果点。在数轴上（不与a,B重合），满足BD=*D,且此时点。为点

A,B的“小和距离点”，则小的值为.

CB

JiII

O234

12.如图，直线y=%+b与直线y=kr+6父于点P（3,5）,则关于％的

不等式h+6<%+b的解集是.

13.如图，将矩形/BCD沿对角线所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C',8。与40交于点

E,若48=3,BC=4,贝UDE的长为.

B

14.如图，点A,B在反比例函数y=((x>0)的图象上，延长48交x轴于点

C,若AAOC的面积为12,且祭=2,则k=.

15.如图，已知直线L：丫=%+2交》轴于点4,交y轴于点&,点4，

公,…在直线心上点B2,殳，…在x轴的正半轴上，若△&0/，A

A2B1B2,△4B2B3,…均为等腰直角三角形,直角顶点都在久轴上，则

△力2024B2023B2024的面积为-

三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题8分)

（-1产24+（|）-2+tan60°-<27+1.

17.(本小题8分)

先化简，再求代数式号+(a-蜜)的值，其中：a=2cos30o+l.

18.(本小题8分)

一次函数y=-％+4与反比例函数y=g(x>0)的图象交于4,B两点，与x轴交于点C,其中4(1,a).

(1)求反比例函数表达式；

(2)结合图象，直接写出一支+42勺寸，久的取值范围；

(3)若点P在x轴上，且AZPC是直角三角形，求点P的坐标.

19.(本小题8分)

如图，在△ABC中，AB=BC,AB为。。的直径，力C与。。相交于点D,过点D作DE1BC于点E,CB延

长线交O。于点口

(1)求证：DE为。。的切线；

(2)若BE=1,BF=2,求4。的长.

20.(本小题8分)

如图，滕州的著名建筑龙泉塔，某校数学爱好者小明决定利用数学方法计算龙泉塔的高度用无人机在龙泉

塔的顶端C处测得地面上4、B两点的俯角分别为45。和30。，又测得4、B两点的距离为17m,且点。、2、B

在同一水平直线上，于是很快算出龙泉塔CD的高度.请你写出解答过程.(结果精确到参考数据代，

1.41,后«1.73)

21.(本小题8分)

某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

(1)问题发现：如图1,在等边4BC中，点P是边BC上任意一点，连接4P,以AP为边作等边AAPQ,连接

CQ,BP与CQ的数量关系是；

(2)变式探究：如图2,在等腰△力BC中，AB=BC,点P是边BC上任意一点，以4P为腰作等腰△4PQ,使

AP=PQ,^APQ-AABC,连接CQ,判断“8C和乙4CQ的数量关系，并说明理由；

(3)解决问题：如图3,在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以4P为边作正方形APEF,Q是正方形

4PEF的中心，连接CQ.若正方形4PEF的边长为5,CQ=苧，求正方形ZDBC的边长.

22.(本小题8分)

在平面直角坐标系中，抛物线丫=。/+/^-3与刀轴交于点4(—1,0)和点3(3,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；

(2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当APBC面积最大时，求点P的坐标；

(3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点(点Q不与两端点重合)，是否存在以P、Q、。为顶点的三

角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

P

备用图

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：79=3,

下列实数，-y,一，7、3.14中，无理数有?一，7,共2个，

故选：B.

初中范围内常见的无理数有三类：①兀类，如2兀，处等；②开方开不尽的数，如，2遮等；③虽有规律

但却是无限不循环的小数，如0.1010010001...(两个1之间依次增加1个0),0.2121121112…(两个2之间依

次增加1个1)等.

本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，熟练掌握无理数概念是关键.

2.【答案】C

【解析】解：150万=1500000=1.5x1()6.

故选：C.

绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为ax10~71为整数位数减1,据此即可解答.

本题考查用科学记数法，掌握形式为ax10巳n为整数位数减1是关键.

3.【答案】D

【解析】解：由数轴可知，—l<a<0,l<b<2,

，a+l>0,b—2<0,

•••Va2+2a+1-Vft2—4Z?+4=(a+l)2—J(6—2.=|a+l|—|/?-2|=a+l—(2—/?)=a+

b-1,

故选：D.

根据数轴推出a+l>0,b-2<0,再根据二次根式的性质化简即可.

本题考查了数轴，二次根式的性质，根据数轴判断出式子的正负是解题关键.

4.【答案】B

【解析】解：A,C,。选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，所以不是轴对称图形；

B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称

图形；

故选：B.

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线

叫做对称轴进行分析即可.

本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

5.【答案】C

【解析】解：列表得：

101520谢谢惠顾

1020253010

1525303515

2030354020

谢谢惠顾1015200

由表格可得，共有16种等可能出现的结果，其中小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的情况有6种，

••・小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率=母=1

loO

故选：C.

列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可.

本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两

步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解答本题的关键是掌握概率的求法：概率等于

所求情况数与总情况数之比.

6.【答案】C

【解析】解:①能得到菱形的有①、②、③，

故选：C.

根据菱形的判定定理即可得到结论.

本题考查了作图-基本作图，菱形的判定，掌握地识别图形是解题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：••・BC=OB=8dm,OB=OC,力为。B的中点，

BOC为等边三角形，。4=4dm,

.­.Z.BOC=60°,

_607rx82607rx42

,,,、阴影="^60360-=8兀(dm?)；

故选：B.

依据扇形的面积计算公式解答即可.

此题主要考查阴影部分面积求解，解题的关键是熟知扇形的面积公式.

8.【答案】A

【解析】解：当时，BG=1—x,DG=C(1—%)，

11=

y=]BG.DG=2.(1-x).<3(1-x)

=?，-V-3x+^,

根据解析式可知A正确，

故选：A.

根据题意可知，点C为临界点，分别研究。在C点两侧时的情况即可.

本题是动点问题的函数图象探究题，考查了二次函数图象性质和锐角三角函数的先关知识，解答关键是分

析动点到达临界点前后的图形变化.

9.【答案】B

【解析】解：•••抛物线y=a%2+4ax+3的对称轴为直线％=—合=—2,

・•.①正确；

当％=0时，y=3,则点点(0,3)在抛物线上，

②正确；

当。>0时，%i>x2>—2,则yi>y2;

当a<0时，/>%2>-2，则当<丫2；

•••③错误；

当月=乃，则%1+%2=-4,

•••④错误；

故正确的有2个，

故选：B.

根据题目中的二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题.

本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的

性质解答.

10.【答案】y

【解析】解：•：山的平方根是k+1和2k-2,

■■-k+l+2k-2=0,解得：fc=1,

机=G+1)2=y.

故答案为：学.

根据一个数的两个平方根互为相反数列式求得k的值，进而求得税的值.

本题主要考查了平方根的概念，熟知一个数的两个平方根互为相反数是解题的关键.

11.【答案】5或15

【解析】解：设。点表示的数为X,

•••BD=^AD,

。的位置有两种可能，

当。点在线段4B上时(不与A,B重合)，

AD=x—(-3)=久+3,BD=2—x,

1

2—%=-(%+3),

解得：x=|,

11

此时nt=AD+BD=§+3+2—§=5；

当D点在线段力B延长线上时(不与B重合)，

AD—x—(—3)—x+3,BD=x—2,

1

x—2.=-(x+3),

解得：x=7,

此时m=XD+BD=7-2+74-3=15,

综上所述，m的值为5或15.

故答案为：5或15.

设D点表示的数为》,需要分类讨论：①当。点在线段上时(不与4,B重合)，②当。点在线段4B延长线

上时(不与B重合)，列方程可得结论.

本题考查数轴，一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，解题的关键是掌握“机和距离点”的概念和运

算法则，找出题中的等量关系，列出方程并解答，难度一般.

12.【答案】x>3

【解析】【分析】

本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察函数图象得到当X〉3时，函数y=x+b的图象都在

y=kx+6的图象上方，所以关于x的不等式kx+6（久+b的解集为x>3,即可解答.

【解答】

解：当％>3时，kx+6<x+b,

即不等式k久+6<x+b的解集为x>3

故答案为x>3.

13.【答案】等

【解析】【分析】

先根据等角对等边，得出=再设。E=BE=x,在直角三角形2BE中，根据勾股定理列出关于x的

方程，求得久的值即可.

本题以折叠问题为背景，主要考查了折叠的性质以及勾股定理.折叠前后图形的对应边和对应角相等.解

题时，我们常设所求的线段长为X,然后用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运

用勾股定理列出方程求解.

【解答】

解:由折叠得，乙CBD=4EBD,

由4D//BC得，/-CBD=乙EDB,

Z.EBD=Z.EDB,

DE=BE,

设DE=BE=久，贝iME=4-x,

在直角三角形2BE中，AE2+AB2=BE2,即（4一支>+3?=/,

解得x=京

O

•••0E的长为京

O

故答案为：

O

14.【答案】8

【解析】解：作4M10C,BN10C,

设。M=a,

•・,点/在反比例函数y=

.k

AM=一，

a

•••8是AC的中点，

AB=BC,

vAMIOC,BNIOC,

・•.BN//AM,

NC_BC_BN_BC_1

：'~MN=~AB=fAM=AC=2f

・•.NM=NC,BN=9AM=j

22a

•・,点B在反比例函数y=g,

ON=2a,

又•・•OM=a,

・•.OM=MN=NC=a,

OC=3a,

i1“a

S^=--OC•AM=-x3ax-=-k=12,

△A0"C22a2

解得k=8；

故答案为：8.

设OM的长度为a,利用反比例函数解析式表示出2M的长度，再表示出。C的长度，然后利用三角形的面积

公式列式计算表示面积即可得解.

本题综合考查了反比例函数与三角形的面积，根据反比例函数的特点，用。M的长度表示出力M、OC的长度

是解题的关键，本题设计巧妙，是不错的好题.

15.【答案】2的47.

【解析】解：y=尤+2交y轴于点儿,

•••久(0,2),

•■•A4。/是等腰直角三角形，

•••51(2,0),

•.■若△4。4,AA2B1B2,4&殳邑，…均为等腰直角三角形,

・・・〃2(2,4),殳(6,0),4(6,8),B3(14,0),...

135

•••S—iOBi=-x2x2=2,S^AZBIB2=-X4X4=2,*S*Ayi3B2B3=-x8x8=2,S^AnBn_iBn—

22九t,

.，.△742024殳023殳024的面积为=24047；

故答案为：24。47.

-1

根据题意分别求出4式0,2),人2(2,4),当(2,0),B2(6,0),713(6,8),邑(14,0),…，进而求出SM】OB=/X

-1-11

13

2x2=2=2］，SAA^OBI=-x2x2=2.,S^A1B1B2=-x4x4=2,^^A3B2B3=3X8x8=2‘，…，

21

^AnBn_1Bn=2"-,以探索三角形面积的规律，即可求解・

本题考查一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，探索面积规律；能够通过作图确定点的关系,

探索直角三角形面积存在的规律是解题的关键.

16.【答案】解：(-1)2024+(1)-2+tan60°-727+1

=1+9+73-3<3+1

=11-2<3.

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答.

本题考查了实数的运算，负整数指数幕，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键.

17"答案】解：等+噜)

a+1.3a2—(l+2a2)

a3a

a+1.a2—1

CL3a

a+13a

a(a+l)(a—1)

3

a^l，

当a=2cos30°+l=2x号+1=V3+1时,

原式=1=W=6.

v3+1—1V3

【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求

出答案即可.

本题考查了特殊角的三角函数值和分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关

键.

18.【答案】解：(1)将4(1,a)代入y=—x+4得，a=—1+4=3,

・•・4(1,3),

将4(1,3)代入y=*(x>0)得，/c=1X3=3,

・••反比例函数解析式为y=|；

(2)当一x+4=:时，

解得%1=1，汽2=3，

•••8(3,1),

-x+4>维勺解集为：1<x<3；

X

(3)当乙4PC=90。时，AP1%轴于P,

•••P(l,0)，

当NPAC=90。时，

•••/-ACO=^CAP1=45°,

.・.NP2Api=45°,

*，•APi=P$2—3,

•••尸2（-2,0），

当乙4cp=90。时，不存在，

综上：。（1,0）或（一2,0）.

【解析】（1）将4（1,a）代入y=-％+4求得点”的坐标，再代入y=>0）即可;

（2）当当-久+4=|时，求出点B的坐标，从而根据图象解决问题；

⑶分当乙4PC=90。或NP4C=90。或乙4cp=90。三种情形，分别计算即可.

本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，函数与不等式的关系，直角三角形的

性质等知识，运用分类思想是解题的关键.

19.【答案】（1）证明：••・OB=0D,

Z.ABD=ZJJDB,

•••AB=AC,

・•・/.ABC=Z.ACB,

・•・Z-ODB=Z-ACB,

・•.OD//AC.

DE1AC,

・•.DE1OD,

•・•。。是o。的半径,

•・.DE是。。的切线;

(2)解：如图，过点。作12F于点贝I|NODE=乙DEH=^OHE=90°,

••.四边形。是矩形，

OD=EH,OH=DE,

OF—0B,

BH=FH=1,

.・.OD=EH=EH=2,

AB=20D=4,OH=VOB2-BH2=6,

：.DE=OH=<3,

BD=y/DE2+BE2=2，

AD=y]AB2-BD2=V42-22=2<3.

[解析】（1）根据已知条件证得OD〃AC即可得到结论；

（2）如图，过点。作OH14F于点H,则NODE=乙DEH="HE=90°,构建矩形。DEH,根据矩形的性质

和勾股定理即可得到结论.

本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的性质.解题的关

键：（1）熟练掌握切线的判定；（2）利用勾股定理构建方程求出

20.【答案】解：如图：

由题意得：CD1BD,CE//BD,

・•.Z,ECB=乙CBD=30°,Z.ECA=Z.CAD=45°,

设/。=xm,

AB—17m,

BD=AB+AD=(X+17)m,

在Rt△ACD中，CD=AD•tan45°=x(m),

在RtACBD中，CD=BD-tan300=m(%+17)m，

.,.%=—(%+17)，

解得：x=17,+17

17/3+17

CD=23(7n)，

••・龙泉塔CD的高度约为23M.

【解析】根据题意可得：CDA.BD,CE//BD,从而可得NECB=NCBD=30。，Z.ECA=/LCAD=45°,然

后设力。=久小，贝UBD=（久+17）小，分另I」在RtAACD和RtACBD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的

长，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解

题的关键.

21.【答案】解：⑴BP=CQ；

（2）变式探究：AABC=AACQ,

理由如下：AB=8C,

n.》1800-AABC

・•・Z.BAC=----------,

AP—PQ,

^PAQ=*幽，

•・•乙APQ=乙ABC,

•••Z-BAC=Z.PAQ,

•••△BACs^PAQ,

tAB__AP_

•'AC=AQf

v/.BAP+Z.PAC=Z.PAC+Z.CAQ,

・•・乙BAP=Z-CAQ,

BAPs〉CAQ,

・•.Z.ABC=N/CQ；

(3)解决问题：如图3,连接ZB、AQ,

•••四边形4D8C是正方形，

图3

絮=四,4BAC=45°,

•••Q是正方形4PEF的中心，

AD_

•••泰=2，NP4Q=45。，

.­./.BAP+/.PAC=/.PAC+a4Q,即NBAP=ACAQ,

ttAB__AP_

V下二而‘

ABPs〉ACQ,

.CQ_AC_1

75，

BP=1,

设PC=%,贝1JBC=AC=l+

在中，AP2=AC2+PC2,即52=(l+%)2+%2,

解得，%i=-4(舍去),&=3,

・•.正方形4)8。的边长为：3+1=4.

【解析】【分析】

(1)利用S4S定理证明△CAQ,根据全等三角形的性质解答；

(2)先证明△BACSA/MQ,得到笫=箓再证明△BAPSASQ,根据相似三角形的