2022年河北省石家庄市高考数学质检试卷（二模）【答案版】

2022年河北省石家庄市高考数学质检试卷（二）（二模）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

■yI,2

1.已知集合/={-3,-2,-1,0,1},8={xCZ|罟V0},则/C2=（）

A.[-3,1）B.[-3,1]

C.{-3,-2,-1,0,1}D.{-2,-1,0}

2.已知复数z满足z（1+z）=2+33则复数z在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知s讥a+cosa=曰则sin2a=（）

4.等差数列｛斯｝的前"项和记为S”若。2+。2021=6,则52022=()

A.3033B.4044C.6066D.8088

5.图形是信息传播、互通的重要的视觉语言《画法几何》是法国著名数学家蒙日的数学巨著，该书在投影

的基础上，用“三视图”来表示三维空间中立体图形.其体来说.做一个几何的“三视图”，需要观测者分

3T2T2T2T3T3T2T3T

A.一a+—bB.-a+-bC.-a+-bD.-a+-b

43334434

第1页（共21页）

7.已知，点尸是抛物线C：/=4x上的动点，过点尸向y轴作垂线，垂足记为点N,点M（3,4）,则

1PM+1印的最小值是（）

A.2V5-1B.V5-1C.V5+1D.275+1

8.已知x=（g）4,y=log45,z=log34,则x、y、z的大小关系为（）

A.y>x>zB.x>y>zC.z>x>yD.x>z>y

二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设①6为两条不同的直线，a,0为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）

A.若a〃b,b//a,贝！Ja〃aB.若allb,a//a,b//P，则a〃0

C.若。_16,a_La,b〃0,贝！Ja_L0D.若。，。，b//a,则a_Lb

10.设正实数加，〃满足加+〃=2,则下列说法正确的是（）

11

A.一+—的最小值为2B.加〃的最大值为1

mn

C.标+伤的最大值为4D.%2+〃2的最小值为9

4

11.已知圆Cl：（尤-l）2+（y-3）2=ll与圆C2：尤2+y2+2x-2叩+n72-3=0,则下列说法正确的是（）

A.若圆。2与无轴相切，则%=2

B.若加=-3,则圆。与圆C2相离

C.若圆Ci与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x+（6-2加y+/+2=0

D.直线船-y-2左+1=0与圆Ci始终有两个交点

12.已知函数/G）=sin（sinx）+cos（cosx）,则下列结论正确的是（）

A.函数/G）的一个周期为2n

B.函数无）在（0,刍上单调递增

C.函数/（x）的最大值为企

D.函数/G）图象关于直线x=5对称

第2页（共21页）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中15题第一空2分，第二空3分.

13.某中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200、1000、800,为迎接春季运动会的到来，根据

要求，按照年级人数进行分层抽样，抽选出30名志愿者，则高一年级应抽选的人数为.

14.在（3+y）G-y）4的展开式中尤2y3的系数为.

\\loq^x\,0<%<3

15.已知函数/（x）=7T，若存在实数XI，X2，X3，X4.满足肛〈X2Vx3<工4，且/（XI）

3<%<15

=f（X2）=f（X3）=f（X4），则X1X2=,（X3-3）（g-3）的取值范围是.

16.已知椭圆Cl和双曲线Q有公共的焦点为、尸2,曲线Ci和Q在第一象限相交于点尸.且尸2=

60。，若椭圆Ci的离心率的取值范围是［字，孝］,则双曲线C2的离心率的取值范围是

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在△/BC中，角/,B,C的对边分别为①b,c.已知6=2,csin^^=asinC.

（1）求角”的大小；

（II）请在①sinB=浮®a+c=7两个条件任选一个，求△/BC的面积.

第3页（共21页）

18.（12分）设数列｛斯｝的前〃项和为见.已知“1=1,2a〃+i=S〃+2（吒N*）・

（I）求数列｛斯｝的通项公式；

（II）数列｛仇｝满足岳=3（log3斯-1）（w£N*）,求数列出〃｝的前〃项和二.

2

第4页（共21页）

19.(12分)北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会.南京青奥

会后，第三次举办的奥运赛事，为助力冬奥，进一步增强群众的法治意识.提高群众奥运法律知识水平和

文明素质，让法治精神携手冬奥走进千家万户.某市有关部门在该市市民中开展了“迎接冬奥•法治同行”

主题法治宣传教育活动.该活动采取线上线下相结合的方式，线上有“知识大闯关”冬奥法律知识普及类

趣味答题，线下有“冬奥普法”知识讲座，实现“冬奥+普法”的全新模式.其中线上“知识大闯关”答题

环节共计30个题目，每个题目2分，满分60分，现在从参与作答''知识大闯关”题目的市民中随机抽取

1000名市民,将他们的作答成绩分成6组：[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60].并

绘制了如图所示的频率分布直方图.

(I)请估计被抽取的1000名市民作答成绩的平均数和中位数；

(II)视频率为概率.现从所有参与“知识大闯关”活动的市民中随机取20名，调查其掌握各类冬奥法律

知识的情况.记人名市民的成绩在[40,60]的概率为尸(X=E),左=0,1,2,20.请估计这20名市民

的作答成绩在[40,60]的人数为多少时尸(X=k)最大？并说明理由.

频率

J

o3O'组距

O.25

20

.o15

.oc10

^05

o

0102030405060成绩（分）

第5页(共21页)

20.(12分)已知点E(VL0),F0),点/满足|/月=四|4%点/的轨迹为曲线C

(I)求曲线C的方程；

22

(II)若直线/：y—kx+m与双曲线：——=1交于M,N两点，且NMON=*为坐标原点)，求点

/到直线/距离的取值范围.

第6页(共21页)

21.(12分)如图.平行六面体的底面48co是矩形，P为棱/旧1上一点.且以=尸2、

F为CD的中点.

(I)证明：AB上PF；

(II)若/8=4D=PD=2.当直线期与平面尸CE•所成的角为45°,且二面角尸-CD的平面角为锐

角时，求三棱锥8-NPD的体积.

第7页(共21页)

22.(12分)已知函数/(x)=，・sinm(rGN*),其中e为自然对数的底数.

(I)若r=1,求函数歹=/(x)的单调区间；

(II)证明：对于任意的正实数总存在大于〃的实数a、b,使得当b］肘，\f(x)|W1.

第8页(共21页)

2022年河北省石家庄市高考数学质检试卷（二）（二模）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知集合力={-3,-2,-1,0,1},B={%ezi^j<0},则NA8=（）

A.[-3,1）B.[-3,1]

C.{-3,-2,-1,0,1）D.{-2,-1,0}

解:I•集合4={-3,-2,-1,0,1},

B={xGZ|g1<0]={-2,-1,0},

：.ACtB={-2,-1,0}.

故选：D.

2.已知复数z满足z（1+z）=2+3z,则复数z在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

所以对应的点在第一象限，

故选：A.

3.已知sina+cosa=彳贝！Jsin2a=（）

12I?24?4

A.—B.一"C.—D.一薨

25252525

解：因为s讥a+cosa=q,

所以两边平方，可得sin2a+cos2a+2sinacosa=l+sin2a=

则sin2a=

故选：C.

4.等差数列{劭}的前〃项和记为若。2+〃2021=6,则$2022=（）

A.3033B.4044C.6066D.8088

解：等差数列{斯}的前〃项和记为S7,若。2+。2021=6,则52022=2022（"3+02°22）=1011（。1+。2022）=

1011（。2十。2021）=6066,

故选：C.

第9页（共21页）

5.图形是信息传播、互通的重要的视觉语言《画法几何》是法国著名数学家蒙日的数学巨著，该书在投影

的基础上，用“三视图”来表示三维空间中立体图形.其体来说.做一个几何的“三视图”，需要观测

者分别从几何体正面、左面、上面三个不同角度观察，从正投影的角度作图.图中粗实线画出的是某三

棱锥的三视图，且网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱锥的外接球的表面积为（）

C.48TTD.96TT

解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥;

如图所示：

设外接球的半径为凡

所以（2R）2=32+32+32=27,

解得R2="

27

故S球=4•兀•彳=27兀

故选：B.

―>_>—>—>―>

6.在平行四边形N3CD中.M、N分别是CQ的中点，若=*BN=b,贝加。=（

3T2T2T2T3T3T2T3T

A--a+-bB--a+-bC.-a+~bD.-a+-b

43334434

解：如图所示，设48=TH,AD=n,5.BD=xa+yb,

——T171T

则BD=xa+yb=x(^n—m)+y(n一］血)=+y)n—(%+

又因为丽=n-m,

第10页（共21页）

jx+y=l

所以解得x=|,y=|,

x+”=1

故选：B.

7.已知，点尸是抛物线C：V=4x上的动点，过点尸向y轴作垂线，垂足记为点N,点M(3,4),则

1PM+FW的最小值是()

A.2V5-1B.V5-1C.V5+1D.275+1

解：由抛物线C：/=4x知，焦点尸(1,0),准线方程尤=-1,

过点尸作抛物线准线的垂线，垂足为0,如图，

由抛物线定义知1PM+|尸网=|尸。-1+1尸-1，

当F,P,M三点共线时，FM+FN最小为1防1-1=J(3_1)2+(4-0)2T=275-1.

故选：A.

8.已知x=(a)4,y=log45,z=log34,则x、>、z的大小关系为()

A.y>x>zB.x>y'>zC.z'>x>yD.x>z>y

解：\y=log45>log44=1,z=logs4>logs3=1,

log^S,-c^(log5+log3)2log215log216

=log45Hog43<---~4~--4=-f—4<—f—4=1...yVz,

z10*4

々/I4AA

V43<34,：.4<3^,/.log34<1,即zV*

Vx=辞>◎=]**.y<z<x,

第11页(共21页)

故选：D.

二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设〃，6为两条不同的直线，a,0为两个不同的平面，则下列结论不正确的是()

A.若a〃b,b//a,则a〃aB.若a〃b,a//a,b//P，贝!Ja〃0

C.若〃_16,a_La,b〃仇贝！Ja_L0D.若b//a,则aJ_6

解：A：当aua时，a//b,b〃a可以成立，本选项结论不正确；

B：当aGB=c时，若a〃b,QU0,bua,此时a〃a,b〃0成立，因此本选项结论不正确；

C：当a〃B时，若6ua,a_La,止匕时a_L6,b〃B成立，因此本选项结论不正确；

D：因为b〃a,所以三丫，buy,丫门。=力所以b〃d，而a_La,dua,

所以a_Ld,而6〃d,因此a_Lb,所以本选项结论正确，

故选：ABC.

10.设正实数加，〃满足加+及=2,则下列说法正确的是()

11,

A.一+—的最小值为2B.加〃的最大值为1

mn

C.而+低的最大值为4D.%2+〃2的最小值为9

4

解：因为正实数加，〃满足加+〃=2,

所以2+-=~(—―+——)=/(2+—+—)22,当且m=n=1时取等号，A正确；

mn2mn2mn

机〃〈("F)2=l,当且仅当加=〃=1时取等号，2正确；

(Vm+Vn)2=2+2mn^4,当且仅当加=〃=1时取等号，

所以标+①32,C错误；

m~+rr=("?+〃)2-2加〃=4-2"?"22,当且仅当机="=1时取等号，D错误.

故选：AB.

11.已知圆Ci：(尤-l)2+(y-3)2=ll与圆。2：x^+y2+2x-2my+m2-3=0,则下列说法正确的是()

A.若圆。2与x轴相切，则机=2

B.若加=-3,则圆Ci与圆C2相离

C.若圆Ci与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x+(6-2m)y+m2+2=0

D.直线kx-y-2左+1=0与圆Ci始终有两个交点

解：根据题意，依次分析选项：

对于/,圆C2：?+/+2x-Imy+n？-3=0,即(x+1)2+(y-zn)2=4,若圆。2与x轴相切，则加=±

第12页(共21页)

2,A错误；

对于3,若机=-3,圆C2为(x+1)2+(.3)2=4,其圆心为(-1,-3),半径厂=2,圆Q：(x-

1)2+(厂3)2=11,其圆心为(1,3),半径

圆心距d=QC2|=74+36=2”U>R+r,两圆外离，8正确；

2

对于C,若圆Ci与圆C2有公共弦，联立两个圆的方程可得4x+(6-2m)j^m-2=0,即公共弦所在

的直线方程为4x+(6-2m)y+m2-2=0,C错误；

对于。，直线Ax-y-2左+1=0,即y-1=左(x-2),恒过定点(2,1),

又由(2-1)2+(1-3)2=5<11,则点(2,1)在圆Ci内部，故直线区-厂2狂1=0与圆Ci始终有

两个交点，。正确；

故选：BD.

12.已知函数/(x)=sin(sinx)+cos(cosx),则下列结论正确的是()

A.函数/(无)的一个周期为2n

B.函数八%)在(0,刍上单调递增

C.函数/(x)的最大值为迎

D.函数/G)图象关于直线％对称

解：,:f(x+2n)=sin[sin(x+2n)]+cos[cos(X+2TI)]=sin(sinx)+cos(cosx)—f(x),

・・・函数/G)的一个周期为2筋故/正确；

*770，7C

当在(0,2)时，sinxG(0,1)且单调递增，.\y=sin(sinx)在(0,-)上是增函数，

当x€(0,*)时，cosxG(0,1)且单调递减，.*.y=cos(cosx)在(0,步上是增函数，

则函数/(x)在(0,刍上单调递增，故3正确；

,:f(it-x)=sin[sin(IT-x)]+cos[cos(n-x)]=sin(sinx)+cos(-cosx)=sin(sinx)+cos(cosx)

=f(x)，

：.f(x)的图象关于直线x=2对称，故。正确；

JL

函数/(x)=sin(sinx)+cos(cosx)在(0，今上单调递增，图象关于直线对称，

TCTCTC

又f(一)=sin(sin-)+cos(cos-)=sinl+cos0=1+sinl,

J222

・,・函数/(x)的最大值为1+sinl,故C错误.

故选：ABD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中15题第一空2分，第二空3分.

第13页(共21页)

13.某中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200、1000、800,为迎接春季运动会的到来，根据

要求，按照年级人数进行分层抽样，抽选出30名志愿者，则高一年级应抽选的人数为12.

解：根据分层抽样原理知，抽选出30名志愿者时，高一年级应抽选的人数为：

30x_____1200_____

1200+1000+800-

故答案为：12.

14.在（3+y）（无“）4的展开式中无2y3的系数为6.

解:'.'（3+y）（x-y）4=（3+y）-（C°•x4--x3y+C4-x2y2—Cf-xy3+C^y4）,

,展开式中含尤2y3的项为y.C4-x2y2=C1x2y3=6x2y3,

故它的展开式中xV的系数为6,

故答案为：6.

\log3x\,0<x<3

15.已知函数/（x），若存在实数XI，必X3，14.满足X1〈X2<X3〈X4，且/（XI）

3<%<15

=/（X2）=f（X3）=/（X4），则X1X2=1，（X3-3）（X4-3）的取值范围是（0,27）

\logx\0<x<3

解：作出函数/（%）=3f广的图象，如图,

sin(^x),3<%<15

因为/（XI）—f（X2）~f（X3）=/（X4），X1<X2<X3<X4

所以由图可知，Tog3Xi=log3X2,即％62=L=9,且3VX3<6,

X

(x3—3)(%4—3)=%34—3(X3+%4)+9=%3(18—%3)-45=—%3+18%3—45,

•・？=-刀+18%3-45在(3,6)上单调递增，

,・.0<歹<27,

即（X3-3）（X4-3）的取值范围是（0,27）.

故答案为：1；（0,27）.

16.已知椭圆G和双曲线Q有公共的焦点尸1、尸2,曲线Ci和Q在第一象限相交于点尸.且NQP尸2=

60。，若椭圆Ci的离心率的取值范围是［母，［1,则双曲线C2的离心率的取值范围是「日，百1.

解：在△尸为尸2中，/尸1尸尸2=60°,由余弦定理可得四尸2『=|尸"2+甲g|2-2甲人|FF2|COSN尸1P尸2=

（|PF1|+|PF2|）2-3\PF1\\PF2\,

第14页（共21页）

即4c2=4〃/一3|尸产i||尸乃|,①

222

而「1尸2『=尸尸1『+尸尸2『-2\PFi\\PF2\cosZFxPF2=C\PFi\-|PF2|)+|PFI||PF2|,即4c=4a2+\PFi\\PF2\,

②

①②联立可得16c^—4tzi^+12d;2^，即4=--oH—

e/02

V3V21

由题意，eiG[—,—],可得3],

所以£^曰1,2],可得3],可得C24，，V3],

由双曲线的离心率的范围可得02日?，V3],

故答案为：[f，V3].

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)在△4BC中，角/,B,C的对边分别为a,b,c.已知6=2,csin号上=asinC.

(I)求角力的大小；

(II)请在①sinB=孚②a+c=7两个条件任选一个，求"BC的面积.

解：(/)因为csinB'C=csinC,

一B+C

由正弦定理得sinCsin----=siiL4sinC,

2

因为sinOO,

、iB+C..IT-AA

所以sin----=siib4=sin(-----)=cos-,

222

AAA

所以2sin-cos-=cos—,

222

4

因为cos-〉0,

2

41

所以sin—=

22

所以/=*

(〃)若选①sinB=亭，

a2

由正弦定理得，亘=屋，

7

所以Q=V7,

由余弦定理得cosA=|=4+；-乙

L4c

第15页（共21页）

解得。=3,

故的面积S=2bcsinA=x2x3=^-；

若选②a+c=7,

由余弦定理得，a2—b2+c2-2bccosA,

即(7-c)2=4+02-2C,

解得C=学，

所以△NBC的面积S*bc=噌.

qo

18.(12分)设数列｛a”｝的前〃项和为S〃.已知ai=L2a“+i=S〃+2(MGN*).

(T)求数列｛斯｝的通项公式；

(II)数列｛瓦｝满足6"=即Vlog3a»-1)(«GN*),求数列｛姗的前"项和〃.

2

解：(I)当〃22时，

由2a〃+i=S〃+2,得2a〃=S〃-i+2,

两式相减得2劭+1-2cin=an，

所以皿=

an2

▽1旬+23

乂。1=1,(72=~^2-=］，

do3

所以一=；，

ar2

所以数列｛斯｝是以1为首项，I为公比得等比数列，

所以册=(务7T；

n-1

(II)解：bn=an-(logsan-1)=(n-2)-(|),

2/

则”=-1x(务。+0x+1x弓产+…+(九—2)•G)71-1,

333333

23n1

-Tn=-lx-+0x(-)+1x(-)+-+(n-3).(-)-+(n-2).(-)\

两式相减得7^=—1+.+(^)2+—卜(I-)71-1—(n—2)•(^)71——24---粤--(n—2)(5)n,

1一2

一2

所以以=2(n—4)(2)n+8.

19.(12分)北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会.南京青奥

会后，第三次举办的奥运赛事，为助力冬奥，进一步增强群众的法治意识.提高群众奥运法律知识水平

和文明素质，让法治精神携手冬奥走进千家万户.某市有关部门在该市市民中开展了“迎接冬奥・法治

第16页(共21页)

同行”主题法治宣传教育活动.该活动采取线上线下相结合的方式，线上有“知识大闯关”冬奥法律知

识普及类趣味答题，线下有“冬奥普法”知识讲座，实现“冬奥+普法”的全新模式.其中线上“知识

大闯关”答题环节共计30个题目，每个题目2分，满分60分，现在从参与作答“知识大闯关”题目的

市民中随机抽取1000名市民,将他们的作答成绩分成6组：［0,10),［10,20),［20,30),［30,40),

［40,50),［50,60］.并绘制了如图所示的频率分布直方图.

(I)请估计被抽取的1000名市民作答成绩的平均数和中位数；

(II)视频率为概率.现从所有参与“知识大闯关”活动的市民中随机取20名，调查其掌握各类冬奥

法律知识的情况.记上名市民的成绩在［40,60］的概率为尸(X=8,k=0,1,2,…，20.请估计这20

名市民的作答成绩在［40,60］的人数为多少时尸(X=k)最大？并说明理由.

o3O

os.25

s

c20

i.()15

i.co10

s^05

o

102030405060成绩（分）

解：(I)由频率分布直方图可知，抽取的1000名市民作答成绩的平均数为：

x=5X0.05+15X0.1+25X0.2+35X0.3+45X0.25+55X0.1=34(岁),

设1000名市民作答成绩的中位数为x,则0.05+0.1+0.2+0.03X(x-30)=0.5,

解得x=35,

...这1000名市民作答成绩的平均数为34,中位数为35.

(II)设在抽取的20名市民中，作答成绩在［40,60］的人数为X,X服从二项分布，

由频率分布直方图知作答成绩在［40,60］的人数为X,X服从二项分布，

由频率分布直方图可知，作答成绩在［40,60］的频率为(0.025+0.010)X10=0.35,

〜(20,0.35),

：.P(X=k)=C^)(0.35)fc(l-0.35)2°-fe,k=0,1,2,?20,

一“

.lP(X=k)一嘘kO35£k0.6522°0-7(21/

.JP(X=k—l)-1丁.0.35"106521此一j，?，，

若>1,贝1］后<7.35,P(X=k-1)<P(X=k),

若贝1］后>7.35,P(X=k-1)>P(X=k),

当人=7时，P(X=k)最大，即当P(X=k)最大时，k=7,

所以这20名市民的作答成绩在［40,60］的人数为7时P(X=k)最大.

20.(12分)已知点E(鱼，0),F(y,0),点/满足|/E|=四|/尸|,点/的轨迹为曲线C.

(I)求曲线C的方程；

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x2y2

（II）若直线/：y=kx+m与双曲线：———=1交于Af,N两点,且NM9N=（。为坐标原点），求

点Z到直线/距离的取值范围.

解：（I）设/（x,y）,

因为|/月=夜|/「|,

所以J（X—&）2+0-0）2=&XJ（x-孝）2+（y-0）2,

化简得，x2+y2=l.

y=kx+m

（II）联立直线/与双曲线的方程，得卜2y2_,

（彳一g=1

所以（4必-9）7+8bnx+4机2+36=0,

设M（xi，yi）,N（X2，”），

f4fc2-90

所以

[(8/cm)2—4•(4k2—9)(4m2+36)>0，

3

得冽2+9>49且EW±一,

2

8km4nl2+36

所以Xl+X2=-X\X2=--------5----------

4/c-94k一9

因为NMON=W，

—>—>

所以。M・ON=0,

所以xm+y\yi—0,

所以xix2+(Axi+m)(te+m)=0,

化简，得(Q+l)x\X2+km(xi+%2)+加2=0,

8km47n2+36

寸巴xi+%2=—，X\X2=代入，得

4/一94k2—9

4nl2+368km、

(M+1A+km(—2)+加2=0,

4k2-94k—9

化简得加2=36(f+l),

3

因为m2+9>4/^且kW±-,

2

36(/+1)…3

所以有一^-----+9>49且k#±-

52

3

解得k^+~,

圆，+_/=1的圆心为(0,0),半径为1,

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6"+16国

圆心（0,0）到直线/：尸丘+加的距离为d==吗

Jk2+1J丁丁

所以点/到直线的距离的最大值为卓+1,最小值为卓-1,

所以点/到直线I的距离的取值范围为[尊-1,w+1].

21.（12分）如图.平行六面体4BCD-/bBiCbDi的底面48co是矩形，P为棱4以上一点.且孙=尸8、

F为CD的中点.

（I）证明：AB±PF；

（II）若4B=4D=PD=2.当直线P2与平面尸CD所成的角为45°,且二面角尸-CD-4的平面角

为锐角时，求三棱锥3-APD的体积.

解：（I）证明：取力2的中点E,连接尸E,EF,

'：PA=PB,

：.PE±AB,

;四边形48Go是矩形，

C.BCLAB,

■:E,尸分别为4B、CD的中点,

：.EF//BC,

：.EF±AB,

•：PECEF=E,

,平面PEF,

:尸Fu平面PEF,

：.ABLPF^

（II）如图，以尸为坐标原点，以过/与平面/BCD垂直的直线向上的方向为z轴正方向,

以尸C所在直线为无轴，以£尸所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图,

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则N(-1,-2,0),B(1,-2,0),C(1,0,0),Z)(-1,0,0),

设尸(0,a,h),〃为尸到平面/BCD的距离，

->—>—>

则尸8=(1,-h),PD=(-1,-a,-h),CD=(-2,0,0),

设平面PCD的法向量几=(x,y,z),

-

rn.rn-PD=—x—ay—hz=0而7rml--/八7、