2024年中考数学几何模型 阿基米德折弦定理含解析

2024年中考数学几何模型19阿基米德折弦定理

一、方法突破

【问题呈现】

阿基米德（WC瓦”依/es,公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学

家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.

折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

阿基米德折弦定理:一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在

较长弦上的射影，就是折弦的中点。

如下图所示，和BC是。O的两条弦（即A3C是圆的一条折弦），BOAB,M是ABC

的中点，则从M向8C所作垂线之垂足。是折弦ABC的中点，即8=48+8。。

【证明方法】

方法1:补短法

如图，延长。3至R使5b二84

・・・/是A5c的中点

・：ZMCA=^MAC=/MBC

：・M、B、A、。四点共圆

・：NMCA+/MBA=180°

：,/MBC+NMBF=180

・：NMBA=/MBF

TMB=MB,BF=BA

/.AMBF^AMBA

・：/F=/MAB=/MCB

.,.MF=MC

VMD±CF

・：CD=DF=DB+BF=AB+BD

方法2:截长法

如图，在CO上截取

'：MD±BG

；・MB=MG,ZMGB=ZMBC=ZMAC

・・・M是A8C的中点

・：ZMAC=NMCA=NMGB

即/MGB=/MCB+NBCA=NMC8+ZBMA

又NMGB=/MCB+NGMC

・・・NBMA=NGMC

TMA=MC

・：AMBA^AMGC(SAS)

・：AB=GC

・：CD=CG+GD=AB+BD

方法3:垂线法

如图，作MH_L射线A3,垂足为"。

:加是A5c的中点

/.MA=MC

VMD1BC

・・・NMDC=90o=NH

：・NMAB=NMCB

・：AMHA^ZXMDC(AAS)

・：AH=CD,MH=MD

灾VMB=MB

.,.RtAMHB^RtAMDB(HL)

/.HB=BD

・：CD=AH=AB+BH=AB+BD

二、典例精析

1.如图，AC是劣弧，M是AC的中点，3为A以上任意一点.自知向3c弦引垂线，垂

足为D,求证：AB+BD=DC.

2.如图所示，在。中，BC=2,AB=AC,点。为劣弧AC上的动点，且cosA2C=叵

-10

(1)求然的长度；

(2)求的值；

(3)过A点作求证：BH=CD+DH.

3.小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究.

(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1,在。中，C是劣弧的中点，

直线CD_LAB于点E,则AE=BE.请证明此结论；

(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2,PA,PB

组成O的一条折弦.C是劣弧AB的中点，直线COLM于点E,则/归=FE+PB.可

以通过延长。6、"相交于点再连接"(证明结论成立.请写出证明过程；

(3)如图3,PA.组成一。的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CDLP4于点E,

则AE,M与尸3之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明.

4.已知A、B、C、。是,O上的四点，CD=BD,AC是四边形ABCD的对角线

(1)如图1,连接33,若NCZ)5=6O。，求证：AC是NZMB的平分线；

(2)如图2,过点。作DE_LAC,垂足为E,若AC=7,AB=5,求线段AE1的长度.

图1图2

5.如图，AABC内接于O,BC=2,AB=AC,点。为AC上的动点，J.cosZABC=—.

10

(1)求AB的长度；

(2)在点。的运动过程中，弦AD的延长线交3c延长线于点E,^AD-AE的值是否变化？

若不变，请求出4>/场的值；若变化，请说明理由；

(3)在点。的运动过程中，过4点作AH_LBD,求证：BH=CD+DH.

三、巩固练习

1.先阅读命题及证明思路，再解答下列问题.

命题：如图1,在正方形ABCD中，已知：ZEAF=45°,角的两边AE、AF分别与3C、CD

相交于点E、F,连接£F.求证：EF=BE+DF.

证明思路：

如图2,将AABE绕点A逆时针旋转90。至AADE.AB=AD,ZBAD=90°,:.AB^AD

重合.ZADC=ZB=90°,=180。，点F、D、£是一条直线.

根据&4S,得证,^EF=EF=ED+DF=BE+DF.

(1)特例应用

如图1,命题中，如果BE=2,DF=3,求正方形ABCD的边长.

(2)类比变式

如图3,在正方形ABCD中，已知NE49=45。，角的两边AE\AF分别与3C、CO的延

长线相交于点E、F,连接£F.写出砂、BE、DF之间的关系式，并证明你的结论.

(3)拓展深入

如图4,在O中，AB.AD是O的弦，且=M>N是O上的两点，

ZMAN=-ZBAD.

2

①如图5,连接MN、MD,求证：MH=BM+DH,DMLAN；

②若点C在(点C不与点A、D、N、M重合)上，连接CB、CD分别交线段AM、

2.问题提出

如图①，AB.AC是一O的两条弦，AC>AB,M是BAC的中点MD_LAC,垂足为。,

求证：CD^BA+AD.

小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下:

如图②，延长C4至E,使连接M4、MB、MC.ME、BC.

(请你在下面的空白处完成小敏的证明过程.)

推广运用

如图③，等边AA5c内接于O,AB^l,。是AC上一点，NABD=45°,AE±BD,垂

足为E,则ABDC的周长是.

拓展研究

如图④，若将“问题提出”中“加是BAC的中点”改成是2c的中点”，其余条件不

变，“8=加+AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出CD、BA.

A3三者之间存在的关系并说明理由.

3.在：。中AB=AC,顺次连接A、B、C.

(1)如图1,若点〃是AC的中点，且MN//AC交3c延长线于点N,求证：MN为O

的切线；

(2)如图2,在(1)的条件下，连接MC,过点A作AP_L5M于点尸，若BP=a,MP=b,

CM=c,则a、b、c有何数量关系？

(3)如图3,当N54C=60。时，E是3c延长线上一点，。是线段至上一点，且BD=CE,

若BE=5,AAEF的周长为9,请求出邑的的值？

4.【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes,公元前287-公元前212年，

古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.如图1,

至和3c是‘。的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），点/是ABC的中

点，则从M向3C所作垂线的垂足。是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA.下面是运用“截

长法”证明8=08+54的部分证明过程.

证明：如图2,在CD上截取CG=AB,连接M4、MB、MC和MG.

M是ABC的中点，

:.MA=MC,

又・ZA=ZC,BA=GC,

:.AMAB=AMCG,

:.MB=MG,

又-MDLBC,

:.BD=DG,

:.AB+BD=CG+DG^CD=DB+BA.

【理解运用】如图1,AB.BC是。的两条弦，AB=4,BC=6,点"是ABC的中点,

MD_L8C于点。，则；

【变式探究】如图3,若点M是AC的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、

DB、54之间存在怎样的数量关系？并加以证明.

【实践应用】如图4,3c是一O的直径，点A圆上一定点,点。圆上一动点，且满足

ZDAC=45°,若AB=6,O的半径为5,则">=____.

［三,

图1图2图3图4

5.古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”.如图1,A3和BC是O的两条弦

（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB,M是优弧ABC的中点，则从“向3c所作

垂线的垂足。是折弦"C的中点，即CD=43+瓦）.

(1)请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分;

证明：如图2,在CB上截取CG=AB,

连接MB,和MG.

M是ABC的中点，

MA=MC,

:.MA=MC.

(2)如图(3),已知等边AABC内接于.O,AB=2,D为。上一点，ZABD=45。,

AELBD,垂足为E,请你运用“折弦定理”求ABDC的周长.

专题19阿基米德折弦定理

一、方法突破

【问题呈现】

阿基米德（WC瓦”依/es,公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学

家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.

折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

阿基米德折弦定理:一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在

较长弦上的射影，就是折弦的中点。

如下图所示，和BC是。0的两条弦（即A3C是圆的一条折弦），BOAB,M是ABC

的中点，则从M向8C所作垂线之垂足。是折弦ABC的中点，即8=48+8。。

---------------、八

【证明方法】

方法1:补短法

如图，延长。3至R使5b二84

・・・/是A5c的中点

・：ZMCA=^MAC=/MBC

：・M、B、A、。四点共圆

・：NMCA+/MBA=180°

：,/MBC+NMBF=180

・：NMBA=/MBF

TMB=MB,BF=BA

/.AMBF^AMBA

・：/F=/MAB=/MCB

.,.MF=MC

VMD±CF

・：CD=DF=DB+BF=AB+BD

方法2:截长法

如图，在CO上截取

'：MD±BG

；・MB=MG,ZMGB=ZMBC=ZMAC

・・・M是A8C的中点

・：ZMAC=NMCA=NMGB

即/MGB=/MCB+NBCA=NMC8+ZBMA

又NMGB=/MCB+NGMC

・・・NBMA=NGMC

TMA=MC

・：AMBA^AMGC(SAS)

・：AB=GC

・：CD=CG+GD=AB+BD

方法3:垂线法

如图，作MH_L射线A3,垂足为"。

:加是A5c的中点

/.MA=MC

VMD1BC

・・・NMDC=90o=NH

：・NMAB=NMCB

・：AMHA^ZXMDC(AAS)

・：AH=CD,MH=MD

灾VMB=MB

.,.RtAMHB^RtAMDB（HL）

/.HB=BD

・：CD=AH=AB+BH=AB+BD

二、典例精析

1.如图，AC是劣弧，M是AC的中点，3为A以上任意一点.自知向3c弦引垂线，垂

足为D,求证：AB+BD=DC.

M

【解答】证明：在CD上取点N,使QV=AB,连接CM,MN

M是AC的中点,

AM=CM,

:.AM=CM（等弧对等弦），

又ZBAM=ZBCM,

在和ACNM中，

'CN=AB

<ZBAM=ZBCM,

AM=CM

=ACNM（SAS）,

:.BM=MN,

.•.MMZV为等腰三角形（BN为底），

又MD1BN,

二。为BN中点（等腰三角形三线合一），

:.BD=DN

AB+BD=CD.

2.如图所示，在：O中，BC=2,AB=AC,点。为劣弧AC上的动点，且cosA2C=^°

-10

(1)求他的长度；

(2)求"*.AE的值；

(3)过A点作AH_L3D,求证：BH=CD+DH.

【解答】解：(1)作

AB=AC,AM±BC,BC=2BM,

CM=-BC=1,

2

/fBMA/W

cosZABC=-----=-----

AB10

在RtAAMB中，BM=19

BM

:.AB=

cosZABC

(2)连接DC,

AB=ACf

ZACB=ZABC,

四边形ABCD内接于圆O,

ZAPC+ZABC=180°,

ZACE+ZACB=180°,

ZADC=ZACE9

ZCAE公共角，

:.\EAC^\CAD,

.AC_AE

,AD-AC'

:.ADAE=AC2=10；

(3)证明：在BD上取一点N,使得3N=CD,

N1与N3所对的弧是A£),

.-.Z1=Z3,

AB=AC

在AABN和AACE>中，Z3=Z1,

BN=CD

AABNAACD(SAS),

:.AN^AD,

AN=AD,AHLBD,

:.NH=HD,

BN=CD,NH=HD,

:.BN+NH=CD+HD=BH.

3.小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究.

(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1,在。中，C是劣弧4?的中点，

直线CD_LAB于点E,则请证明此结论；

(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2,PA,PB

组成O的一条折弦.C是劣弧AB的中点，直线COLM于点E,则/归=PE+PB.可

以通过延长DB、"相交于点再连接4)证明结论成立.请写出证明过程；

(3)如图3,PA.PB组成。的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线于点E,

则AE,也与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明.

【解答】证明：(1)如图1,连接AD,BD,

C是劣弧AB的中点，

,\ZCDA=ZCDB,

DELAB,

:.ZAED=ZDEB=9GQ,

..ZA-^-ZADE=90°9ZB+NCDB=90。，

:.ZA=ZB,

「.AADB为等腰三角形，

CD±AB,

AE=BE；

(2)如图2,延长。5、AP相交于点尸，再连接AD,

4)5尸是圆内接四边形，

:.ZPBF=ZPADf

。是劣弧AB的中点，

:.NCDA=NCDF,

CD±PA,

.•・AATO为等腰三角形，

:.ZF=ZA9AE=EF,

：.ZPBF=ZF9

：.PB=PF,

:.AE=PE+PB

(3)AE=PE-PB.

连接4),BD,AB9DB、AP相交于点方，

MAC=MBC,

.\ZADC=ZBDC,

CD±AP,

:.ZDEA=ZDEF,ZADE^ZFDE,

DE=DE,

:.\DAE^^DFE,

:.AD=DF,AE=EF9

:.ZDAF=ZDFA,

.\ZDFA=ZPFB9ZPBD=ZDAP9

:.ZPFB=ZPBF,

:.PF=PB,

:.AE=PE-PB.

4.已知A、B、C、。是O上的四点，CD=BD,AC是四边形ABCD的对角线

(1)如图1,连接BO,若NCDB=60。，求证：AC是NZ14B的平分线；

(2)如图2,过点。作。£_LAC,垂足为£,若AC=7,AB=5,求线段AE的长度.

DD

圈1圈2

【解答】(1)证明：CD=BD9

CD=BD9

ZCDB=60°f

」.ABCD是等边三角形,

CD=BC9

:.ZCAD=ZBAC9即AC是ND4B的平分线;

(2)解：连接在线段CE上取点尸，使得£F=AE,连接止,

DE.LAC,

:.DF=DA,

:.ZDFE=ZDAE,

CD=BD,

;.CD=BD,ZDAC=ZDCB9

:.ZDFE=ZDCB,

四边形ABCO是圆的内接四边形,

.\ZDAB-^ZDCB=18Q°,

ZDFC+ZDFE=180。，

:.ZDFC=ZDAB,

在ACD尸和AB/M中，

ZDFC=/DAB

</DCF=/DBA

CD=BD

:.\CDF=\BDA{AAS),

,\CF=AB=59

AC=7,AB=5,

:.AE=^AF=^(AC-CF)=1.

5.如图，AABC内接于O,BC=2,=AC，点。为AC上的动点，5.cosZABC=—

10

(1)求AB的长度；

(2)在点D的运动过程中，弦AD的延长线交3c延长线于点E，问AD-AE的值是否变化?

若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；

(3)在点。的运动过程中，过A点作求证：BH=CD+DH.

【解答】解：(1)作

AB=AC,AM±BC,BC=1BM,

:.CM=-BC=l,

2

_BM_410

cos/7AKC-------,

AB10

在RtAAMB中，BM=1,

(2)连接DC,

AB=AC,

\ZACB=ZABC9

四边形ABC。内接于圆O,

•.ZADC+ZABC=180°,

ZACE+ZACB=180°,

\ZADC=ZACE9

Z.CAE公共角，

\NEAC^\CAD,

AC_AE

.~AD~~AC9

:.ADAE=AC2=10；

(3)在皮)上取一点N,使得BN=CD,

在AABN和AACD中

AB=AC

</3=/l,

BN=CD

:.\ABN=\ACD(SAS),

,\AN=AD9

AN=AD,AHLBD,

,\NH=HDf

BN=CD,NH=HD,

:.BN+NH=CD+HD=BH.

三、巩固练习

1.先阅读命题及证明思路，再解答下列问题.

命题：如图1,在正方形ABCD中，已知：NE4F=45。，角的两边AE、AF分别与BC、CD

相交于点石、F,连接£F.求证：EF=BE+DF.

证明思路：

如图2,将AABE绕点A逆时针旋转90。至AADE.AB=AD,ZBAD=90°,「.AB与AD

重合.NADC=NB=90。，.\ZFDE=180°,点/、D、£'是一条直线.

根据&1S,得证AAEF二AzMF,得EF=EF=ED+DF=BE+DF.

(1)特例应用

如图1,命题中，如果班=2,DF=3,求正方形ABCD的边长.

(2)类比变式

如图3,在正方形ABCD中，己知NE4尸=45。，角的两边AF分别与3C、8的延

长线相交于点石、F,连接EF.写出EF、BE、DF之间的关系式，并证明你的结论.

(3)拓展深入

如图4,在।。中，AB.AD是O的弦，且AB=AD,M、N是O上的两点，

AMAN=-ABAD.

2

①如图5,连接MV、MD,求证：MH=BM+DH,DMLAN；

②若点C在ADW(点C不与点A、D、N、M重合)上，连接CB、CD分别交线段A"、

AN或其延长线于点E、F,直接写出EF、BE、DF之间的等式关系.

设正方形ABCD的边长为x,贝！J有CE=x-2,CF=x-3.

由材料可知：EF=BE+DF=2+3=5.

在RtACEF中，

ZC=90°,

CE2+CF-=EF2.

：.(龙一2)2+(X-3)2=52.

解得：玉=6,x2=-1(舍去)

所以正方形钻8的边长为6.

(2)EF=BE-DF.

理由如下：

在上取一点9，使得BF=DF.连接A尸，如图3.

四边形ABCD是正方形，

:.AB=AD,ZB=ZBAD=ZADC=90°.

ZADF=90°=ZB.

在广和AAD厂中，

AB=AD

<ZB=ZADF.

BFr=DF

AABF=AAZ)F(SAS).

rr

.\AF=AF9ZBAF=ZDAF.

ZFfAF=ZBAD=90°.

ZE4F=45°,

Z.FAE=45°=ZFAE.

在△户AE和AE4E中，

AFf=AF

<ZFfAE=ZFAE.

AE=AE

...△FfAE=AFAE(SAS).

:.FrE=FE.

:.EF=F,E=BE-BF,=BE-DF.

(3)①延长MD到点AT,使得WBAf,连接W,如图5.

图5

ZADMr+ZADM=180°,ZABM+ZADM=180°,

:.ZABM=ZADMf.

在AAW和AADAT中，

AB=AD

<ZABM=AADM'.

BM=DM'

\ABM=\ADM\SAS}.

/.AM=AMfZBAM=ZDAMf.

:.ZMAMr=ZBAD.

ZMAN=-ZBAD

29

:.ZMAN=-ZMAMr.

2

:.ZMAN=ZMfAN.

AM=AMf,ZMAN=ZM，AN,

：.MH=M'H=DM'+DH=BM+DH,DM±AN.

②I,当点。在DVM上时，如图6、7.

a

ELD.

图6

同理可得:EF=BE+DF.

II.当点C在上时，如图8.

同理可得：EF=DF-BE.

2.问题提出

如图①，AB.AC是c。的两条弦,AC>AB,M是54c的中点ME>_LAC,垂足为D,

求证：CD=BA+AD.

小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下:

如图②，延长C4至E,使/a=AB,连接M4、MB、MC,ME,BC.

（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程.）

推广运用

如图③，等边AABC内接于O,AB=1,。是AC上一点，ZABD=45°,AE±BD,垂

足为石，则的周长是.

拓展研究

如图④，若将“问题提出”中是A4c的中点”改成“M是5C的中点”，其余条件不

变，“CD=BA+AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出CD、BA.

三者之间存在的关系并说明理由.

【解答】问题提出：证明：如图2,延长C4至石，使AE=AB,连接M4、MB、MC、ME、

BC,

M是A4C的中点，

:.MB=MC,ZMBC=ZMCB,

ZMAB=180O-ZMCB,

Z£^=180°-ZCW=180°-ZMBC,

.\ZEAM=ZBAMf

在AEW和AS4M中

AE=AB

<ZEAM=/BAM,

AM=AM

AEAM=ABAM(SAS),

:,ME=MC,

又MDLAC,

ED=CD9

DC=A£)+AC=BA+AD；

推广运用：解：如图3,截取BF=CD,连接AF,AD,CD,

由题意可得：AB=AC,ZABF=ZACD,

在AAB尸和AACD中

AB=AC

</ABF=ZACD,

BF=DC

:.AABF=ACD(SAS),

:.AF=AD,

AE±BD,

:.FE=DE,贝！|CD+。石=鹿，

ZABD=45°,

ABy/2

BE=

V2-2

则ABDC的周长是1+后,

故答案为：1+后；

拓展研究：不成立，CD、BA.AD三者之间的关系:AD=BA+CD,

证明：连接石4,EF,ED,EB交AC于N,

M是5c的中点，

,\ZBEM=ZCEM,

ZBEM=ZCEM

在AEZW和AED。中，\DE=DE,

ZEDN=ZEDC=90°

:.AEDN=AEDC

.\CD=ND,ZECD=ZEND,

ZECD=ZABE9ZENC=ZANB,

:.ZANB=ZABE,

,\AN=ABf

.•.AD=AN+ND=BA+CD.

图④

图3

3.在中AB=AC,顺次连接A、B、C.

(1)如图1,若点M是AC的中点，且MN//AC交3c延长线于点N,求证：MN为

的切线;

(2)如图2,在(1)的条件下，连接MC,过点A作于点P,若BP=a,MP=b,

CM=c,贝b、c有何数量关系？

(3)如图3,当44c=60。时，E是3c延长线上一点，。是线段回上一点，且BZ)=CE,

若BE=5,AAER的周长为9,请求出S*的值?

图3

图1图2

【解答】解：(1)如图1,连接OM,

M是AC的中点，

\OM±AC,

MN//AC,

■.OMLMN,

OM为O的半径，

•.MN为。的切线；

(2)如图2,连接交AC于K,连结40,

M是AC的中点,

AM=CM,

:.AM=CM=c,

AP±BMf

:.ZAPM=ZAPB=90°9

22222

AP=AM-PM=c-b9

222222

,\AB=AP-^BP=c-b+O9

AC=AB=yjc2—b2+a2,

M是AC的中点，

:.OMLAC,

..AK=CK=-AC=-ylc2-b2+a2,

22

ZAPB=ZCKM=9009ZABP=ZMCKf

..AABP^AMCK,

.BPCK

'AB~CM9

:.BPCM=CKAB,

22222

:.ac=—yjc—b+a-A/C2—Z?+«，

2

2ac=—济'+a2,

22

(a-c)-b=09

3+Z?-C)(Q-Z?-C)=0,

a+b—c>0,

d—b—(7—0,

:.a=b+c

(3)过点B作5H//AC,过点D作DH//BC,BH与DH交于点、H,连接S,

贝！|N5D//=ZABC=60。，ZDBH=ZACB=60°,

.•.ABDH是等边三角形,

:.BH=BD,ZDBH=60°,

:.BH=CE,Z.CBH=ZABC+ZDBH=600+60°=120°,

ZACE=180°-ZACB=120°=ZCBH,AC=BC,

:.\ACE=\CBH{SAS),

,\ZCAE=ZBCH,AE=CH,

DH!IBC,DH=CE,

••・四边形CED"是平行四边形,

:.CE//ED,CH=ED,

,\ZBCH=ZBED,CH=AE,

.\ZBED=ZCAE9AE=ED，

过点石作于点T,交AC于点L,连接

贝!J”=AL=DL

29

ZBAC=60°9

A4DL是等边三角形，

,\ZALD=60°=ZACB9

:.DL//BC,即HD与"在同一直线上，

，四边形是平行四边形，

:.CL=BH=BD=CE,LH=BC,

5-

设CE=无，贝!)CL=兀，BC=AC=5-xAD=DL=AL=AC-CL=5-2xAT=-------

f92

DF//CH9

LFLDHnLF5—2%

CLLHx5—x

.7尸_(5—2元)尤

5-x

.■.AF=AL+LF=5-2X+(5-2X)X=5(5-2X)>

5—x5—x

在RtABET中，ET=BEsm6Q°=-

29

AE2=AT2+ET2,

...钻2=(1^)2+(孚)2=f—5%+25,

延长BFZ,ED交于点R,^\ZBHD=ZFCE,ZR=NCFE,DH=CE,

:.AHDR=ACEF(AAS)9

:.DR=EF,

5(5—2%)x+20

:.ER=ED+DR=AE+EF=9-AF=9-

5-x5-x

CH!/ED,

CHBC

.■.CH=^ER=^^x+20

BE55-x5

x+20

AE=

5

CL/%+20、

x2-5Lx+25=(———)2,

解得：%=5（舍去），x=—

289

35-2吟】,口寸“事=2,

8

作Ol/_LAL于点M,贝!|OM=ADsin60o=9x克=2,

428

15A/3

SS

♦，SMEF=AADE~AADF=AZ)-ET-AF-xxx2x

ZZZ4ZZo16

图2

图1

4.【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德（arc南加edes,公元前287-公元前212年,

古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.如图1,

AB和3c是。的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），3C>AB,点Af是A8C的中

点，则从M向3c所作垂线的垂足。是折弦ABC的中点，即CD=@?+BA.下面是运用“截

长法”证明CD=DB+54的部分证明过程.

证明：如图2,在CD上截取CG=AB,连接即1、MB、MC和MG.

M是ABC的中点，

又一ZA=ZC,BA=GC,

:.MB=MG,

又・MDYBC,

:.BD=DG,

:.AB+BD^CG+DG^CD=DB+BA.

【理解运用】如图1,AB.3c是：O的两条弦，AB=4,3C=6,点〃是ABC的中点,

MD_L3C于点£),则B£>=；

【变式探究】如图3,若点”是AC的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断8、

DB、54之间存在怎样的数量关系？并加以证明.

【实践应用】如图4,BC是O的直径，点A圆上一定点，点。圆上一动点，且满足

ZDAC=45°,若AB=6,.O的半径为5,则AD=

【解答】解：【理解运用】：由题意可得CD=D3+54,即CD=6-CD+AB,

CD=6—CD+4,

CD=59

.\BD=BC-CD=6-5=19

故答案为：1;

【变式探究1DB=CD+BA.

证明：在D3上截取BG=BA,连接M4、MB、MC、MG,

M是弧AC的中点，

:.AM=MC,ZMBA=ZMBG,

又=

NMAB=AMGB(SAS),

:.MA=MG,

:.MC=MG,

又DM工BC,

:.DC=DG,

:.AB+DC=BG+DG,BPDB^CD+BA；

【实践应用】

如图，当点2在3c下方时，过点口作LAC于点G],

图4

是圆的直径，

-.ZBAC=90°,

AB=6,圆的半径为5,

■.AC=8,

NRAC=45。，

1.CG]+AB=AG19

AG1=g(6+8)=7,

AD1-1.

当点在3c上方时，ZD2AC=45°,同理易得A3=五.

综上所述：49的长为7友或后，

故答案为7夜或也.

5.古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”.如图1,A3和BC是O的两条弦

（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB,M是优弧ABC的中点，则从“向3c所作

垂线的垂足。是折弦"C的中点，即CD=43+瓦）.

（1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

证明：如图2,在CB上截取CG=AB,

连接M4,MB,MC和MG.

M是ABC的中点，

MA=MC,

（2）如图（3）,已知等边AABC内接于〈。，AB=2,。为O上一点，NABD=45°,

AEYBD,垂足为E,请你运用“折弦定理”求ABDC的周长.

【解答】（1）证明：如图2,在上截取CG=>1B,

连接M4,MB,MC和MG.

M是ABC的中点，

MA=MC,

:.MA=MC.

在AMBA和AMGC中

BA=GC

<ZA=ZC,

MA=MC

:.AMBA=AMGC(SAS)f

:.MB=MG,

又MDIBC,

:.BD=GD,

...DC=GC+GD=AB+BD；

(2)解：如图3,截取即=CD,连接"，AD,CD,

由题意可得：AB=AC,ZABF=ZACD,

在AAB尸和AACD中

AB=AC

</ABF=ZACD,

BF=DC

:.AABF=ACD(SAS),

.\AF=AD,

AE±BD,

:.FE=DE,贝!ICD+D石=5石，

ZAB£>=45°,

•・5£=半=夜,

72

则ABDC的周长是2+272.

图2

专题20最值之胡不归问题

一、方法突破

【故事介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之

间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家8之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当

赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不

断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同"何”）

而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？

驿道

【模型建立】

如图，一动点尸在直线外的运动速度为VI,在直线上运动的速度为V2,且V1<V2,

A、8为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使生+些的值最小.

%匕

【问题分析】

即求8C+fc4c的最小值.

【问题解决】

构造射线使得sin/D4AM:,CH/AC=k,CH=kAC.

B

sina==k,H

CH=kAC

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BHLAD交于点C,交AD于H点、,此时

8C+CH取到最小值，即BC+fc4c最小.

【模型总结】

在求形如“P8+狂4'的式子的最值问题中，关键是构造与松4相等的线段，将“PB+初4”型问

题转化为“P2+PC'型.

而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPA的等线段.

【问题】

如图，点P为射线/上的一动点，A、B为定点，求P8+枕4的最小值

【问题解决】

构造射线使得sina=A,PC/PA=k,CP=kAP.

B

5

由、

、、

、、D

将问题转化为求PB+PC最小值，过B点作BCLAD交/于点尸，交AO于C点，此时PB+PC

取到最小值，即PB+k最小.

7

二、典例精析

1.如图，在zVRC中，NA=90。，4=60。，AB=2,若。是BC边上一动点，则+

2

的最小值为（）

A.273+6B.6C.A/3+3D.3

2.如图，在AABC中，NA=15。，AB=10,尸为AC边上的一个动点（不与A、C重合），

连接5尸，则把AP+P8的最小值是（）

2

B

「10^

A.5A/2B.5GD.8

3

3.如图，ABCD中，ZDAB=60°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则P3+走尸D

2

tanA=2,班'_LAC于点E,。是线段班上的一个

动点，则CD+弓2。的最小值是（

)

A.2A/5B.4下C.5也D.10

5.如图所示，已知抛物线、=。（尤+3）（尤-1）（4¥0）,与x轴从左至右依次相交于A、3两点,

与y轴相交于点C,经过点A的直线y=-&+6与抛物线的另一个交点为D.

（1）若点。的横坐标为2,求抛物线的函数解析式；

（2）若在第三象限内的抛物线上有点尸，使得以A、B、尸为顶点的三角形与AABC相似,

求点P的坐标；

（3）在（1）的条件下，设点E是线段相＞上的一点（不含端点），连接3E.一动点。从

点3出发，沿线段班以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段即以每秒纯个单位

3

的速度运动到点。后停止，问当点E的坐标是多少时，点。在整个运动过程中所用时间最

少？

三、中考真题演练

1.如图所示，菱形ABCO的边长为5,对角线03的长为46，尸为03上一动点，则

A.4B.5C.2A/5D.3百

2.如图，AASC中，AB=AC=10,NA=45。，皮）是AASC的边AC上的高，点、P是BD

上动点'则孝加+CP的最小值是（）

B.50C.10D.10拒

3.如图，AABC中，AB=AC=10,tanA=3,CE>_LAB于点。，点E是线段CD的一个

动点，则2E+典CE的最小值是

10

4.如图，抛物线,=-e2-6缶+7点交x轴于A,B两点(点A在点3右侧)，交y轴

于点C,直线>=忘了+7点经过点A、C,点M是线段AC上的一动点(不与点A,C重

合).

(1)求A,B两点的坐标；

(2)当点尸，。关于抛物线的对称轴对称时，求PW+'5AM的最小值及此时点M的坐

3

标；

5.如图，抛物线丫=工/+〃a+”与直线y=_J_x+3交于A,3两点，交无轴于£),c两

22

点，连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).

(I)求抛物线的解析式和tanN54c的值；

(II)在(I)条件下：

(1)P为y轴右侧抛物线上一动点，连接R4,过点P作交y轴于点。，问：是

否存在点P使得以A,P,。为顶点的三角形与AACB相似？若存在，请求出所有符合条

件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

(2)设E为线段AC上一点(不含端点)，连接一动点/从点。出发，沿线段DE以

每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段E4以每秒立个单位的速度运动到A后停止，当

点石的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？

Dx

6.如图，已知抛物线y=&(x+2)(x-4)(人为常数，且%