2024年1月中学生标准学术能力诊断性测试数学试卷及答案

中学生标准学术能力诊断性测试2024年1月测试二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的四个选项中，有多项符合

垣乙、上、”《题目要求.全部选对得5分，部分选对但不全得2分，有错选的得。分.

数学试卷

9.设a,尸,7为互不重合的平面，相，〃为互不重合的直线，则下列命题为真命题的是

本试卷共150分,考试时间120分钟。A.若aXy,。：；y,则。(3B.若a\=m,m工y,则

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是C.若ma,n/3,m〃，则aP».若“_17，4_17,则2,4

10.已知点尸为双曲线C:《-V=i上的任意一点，过点尸作渐近线的垂线，垂足分别为瓦尸，

符合题目要求的.

4

1.已知集合4={机,一1,2},3={〃2,£4},若c=A,B,且C的所有元素和为12,则_

贝U利=A.\PE\+\PF\=­B.|PE|-|PF|=|

53

12Q

A.-3B.0C.1D.2c.PEPF=——D.5M的最大值为一

25Ap25

2.已知数列{%}满足4=1,。〃一%+]=2"4a”+i,则q=11.直线《：依+Z?y+c=O和4:乐+qy+a=0将圆C:(x—1)2+(y—l)2=1分成长度相等的四段

弧，则(a—1)2+仅—1)2+(C—1)2的取值可以是

48

A.-B.2C.-D.3

3.复数z满足(z+2)i=l-i(i为虚数单位)，则z的共辗复数的虚部是33

A.-3B.1C.iD.-i12.已知sin2a+sin2〃=2sin(2a+2〃)，且a+£w左兀，左EZ,贝(Jtana+2tan(a+尸)+

3tan尸的值可能为

4.在直三棱柱ABC-A与G中，所有棱长均为1，则点4到平面世。的距离为

A.-6B.-5C.50D.8

IAX.-V-2-1-Ro.-V-i-o-rU.-V-2-1-nL).-V-I-o-

7564三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

5.设(l+2x)"=%+%%+%尤2+—)■〃“%〃，若％=〃6，贝!J〃=

13.设函数“X)的定义域为R,7(%)为偶函数，+为奇函数，当xe[2,4]时，/(%)=

A.6B.7C.8D.9

a-log2x+ZJ,若/(0)+/(6)=4,则a+2Z?=.

6.若不等式J?_©+5+&2一8%+W«4的解集为[Q,4,则〃+6的值是2v2

14.已知耳，鸟是椭r圆方=l(a>b>0)的左、右焦点，尸是C上一点，线段尸后的中垂

A.5B.472C.6D.7

线/过点耳，与椭圆C相交于AB两点，且|AB|=|a,则椭圆C的离心率为.

e3

7.已知。=©2,/?=万1!12,(?=15—51115,贝U

15.已知函数g(x)的图象与函数”x)=eX—x的图象关于原点对称，动直线x与函数

A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c”x),g(x)的图象分别交于点A3,函数“X)的图象在A处的切线4与函数g(x)的图象

„„11

8.已知了,y>0,%+y7%--V=3,则13x+y的最大值是在5处的切线4相交于点C，则AABC面积的最小值是.

44

A.15B.18C.20D.2416.对任意的XER,不等式(f—7x+14”加12一6元+13)12—8元+17)恒成立，则实数相

的取值范围为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.20.（12分）如图所示，已知AABC是以5c为斜边的等腰直角三角形，点M是边的中点，点

17.（10分）数列｛氏｝的前〃项和为当〃N2时，N在边5c上，且BN=3NC.以MN为折痕将折起，使点8到达点。的位置，且平面

QMC1平面A3C,连接D4,OC.

（1）求证：数列是等差数列，并求s”的表达式;

S“

“2V

（2）设么数列也｝的前〃项和为7；,不等式7；4机2—3机+〃对所有的〃£d恒成

2〃+1

立，求正整数机的最小值.

18.（12分）如图所示，在AABC中，=是6C上的点，ZBAD=-ZDAC.晨、

2（第20题图）

（1）若E是线段的中点，求证：NE"平面DAC；

（2）求二面角O—AC—5的余弦值.

21.（12分）如图所示，已知抛物线＞=炉-A,5是抛物线与％轴的交点，过点〃作

（第18题图）斜率不为零的直线I与抛物线交于C,O两点，与％轴交于点Q,直线AC与直线BD交于点P.

1T1

(1)若N3AC=—,求证:

2ADAC

（2）若BD=LDC,求AA6c面积的最大值.

4

19.（12分）如图所示，一只蚂蚁从正方体ABCD-446R的顶点A出发沿棱爬行，记蚂蚁从一

个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬

12

行的概率为:，沿正方体的侧棱爬行的概率为工.（第21题图）

63\CM\.\DM\

⑴求回|的取值范围;

（2）问在平面内是否存在一定点7,使得7P.TQ为定值？若存在，求出点T的坐标；若不存

在，请说明理由.

22.（12分）已知函数/（力二/+'一3一〃有两个零点%,尤2（X＜马）.

/>

A（1）求实数，的取值范围；

（第19题图）

(2)求证：%尤2<1；

（1）若蚂蚁爬行〃次，求蚂蚁在下底面顶点的概率;

2

(3)求证：x2-Xj<yja-4<-.

（2）若蚂蚁爬行5次，记它在顶点。出现的次数为X,求X的分布列与数学期望.

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中学生标准学术能力诊断性测试2024年1月测试

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

9101112

ABBCDCDACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.414.-1-3

15.2⑹18I-

2」

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

(1)当〃之2时，数列｛4｝的前〃项和为S“，满足

即s；=⑸-；卜s；-^sn-snsn_i+^sn_

-1，

整理可得2sAM=S“_1—S'................................................1分

,SI=l,则2s2si=S「S2,即2s2=1-S2,可得包=-.....................2分

3

211

由2s2s3=S2—S3,即3s3=3—83,可得S3=1,•,•，

以此类推可知，对任意的〃eN*,S“>0,

11c

在等式2S,,S"T=Si-S”两边同时除以S5-可得一丁=2...............4分

第1页共9页

11I

所以数列不为等差数列，且其首项为不=1,公差为25分

HW

.•.-^-=1+2(-1)=2-1,因止匕，Sn=―--......................................................6分

Sn"2n-l

2

,nSlt1(1111/11)

"2/7+14((2Z?-1)(2H+1)J48(2“-12n+lJ

...............................................................................................8分

2

不等式（</一3加+〃对所有的几eN*恒成立，则-3m+—>0,

日n9+>/57t9-157c八

即HZ2----------或〃7V......................................................................................................9分

66

因此，满足条件的正整数m的最小值为3....................................................................10分

18.(12分)

IT1IT1T

(1)证明：由ZBAC=—,ZBAD=—ZDAC,知ZBAD=—,ZDAC=—,

2263

1711711

AARCNARD人

SZVIDC=SZVLDL/+S,7—CA5,AD,sin/—Ir—\AD,AC,sin—c=—cAB,AC,

2o232

即AD+石ADAC=2AC，

21厂

两边同除以AO-AC,得---------=V3....................................................................5分

ADAC

(2)设ZBAZ)=a,则NDAC=2a,

AABD中，由正弦定理，得———=且0①，

sinNBDAsina

Arr)r

AACD中，由正弦定理，得二--------=-——②

sinZCDAsin2a

2

②・①，结合sinZBZMusinNCC^DCu4B。，得AC=...........7分

cosa

3

1…A「.csin3c3sin6Z-4sinao.2

SAABC=—AB•AC•sin3a=-----------------------------=3tana-4tana-sma

2cosacose

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c/tan2a3tana-tan3a八八

=3tana-4tana--------------=..................9分

1+tana1+tana

设tana=/e(0,g),即求函数y=的最大值，

(3-3产)(1+/)-(313”/(2V3-3-r)(2V3+3+r)

人（0,2百—3）时，/>0,函数单调递增；入（20—3,3）时，/<0,函数单调

递减，当/=2百-3时，函数有最大值，y1mx=76A/3-9，

AABC面积的最大值为56百-9..................................................................................12分

19.（12分）

（1）记蚂蚁爬行〃次在底面ABCD的概率为Pn,

?1?

由题意可得，^=-,^+1=-^+-(1-^,)........................................................................3分

匕M—匕—（］，］匕—是等比数列，首项为:，公比为—

2312yz［2J63

.............................................................................5分

（2）的0,1,2,

的2时，蚂蚁第3次、第5次都在C处,

212cl12-2211111

p(X=2)=—x—x2x——i--x—x2x—d--x—x2x—x—x—+-x—H——x—

66363663633666618

........................................................................................................................................................7分

X=\Bt,蚂蚁第3次在C处或第5次在C处，

设蚂蚁第3次在C处的概率为片，

15211

4=—x—x2x—I—x—x2x—I—x—x2x—H——x--1——X—

663636636663318

........................................................................................................................................................8分

设蚂蚁第5次在C处的概率为P.，

第3页共9页

设蚂蚁不过点c且第3次在2的概率为P3,设蚂蚁不过点C且第3次在用的概率为舄,

设蚂蚁不过点C且第3次在/的概率为月，由对称性知，P3=P4,

111,212,13

8=—X—X—x4+—X—X—x3

66636354

121,22211

1=—x—x—x6+—x—x—=——,

63633327

i2117

得£=26x—x—x2+^x—x—x2=——11分

636654

.•.尸（X=l）=4+^=得,

P（X=0）=l-P（X=l）-P（X=2）=—,

X的分布列为:

X012

4151

P

542718

Q

X的数学期望E（X）=0xP（X=0）+lxP（X=l）+2xP（X=2）=^12分

20.（12分）

（1）过点E作/M的平行线交40于点凡过点N作48的平行线交ZC于点G,连接尸G.因

为点E是线段DM的中点，BN=3NC,:.EF=NG=-AM,MEF；NG,四边

2

形所GN是平行四边形.由NE,平面D4C,尸Gu平面NC,

NE!：DAC.....................................................................................................5分

（2）解法1：以点/为原点，AB,NC所在的直线为x轴、y轴，过点/垂直于平面/2C的直

线为z轴，建立空间直角坐标系...............................................6分

设AB=AC=2,则A（O,O,O,）,M（l,O,O）,N[gq,o],设0（x,y,z,）,

第4页共9页

因为平面。平面ABC,所以点D在平面N3C上的射影落在直线CMh,

x+—=1①,

2

3/—o

由题意可知，DM=l,DN=-y/2,:\x-l)+y2+z2=l②,

9

2

o22J]](822万、

由①②③解得，-

7,78分

22m小(8

AD=—,-----,cu=—

(7777\7

设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),

AD•几=04x—y+Jflz=0,—

，即｛z—，取％=Vil,y=0,z=-4.............11分

CDn=0[4%-8y+Jnz=0

取平面ABC的法向量根=(0,0,1).设二面角D-AC-B的平面角为6,

贝Ucos0=cos(m,n

所以，二面角O—AC—3的余弦值为1...............................12分

9

解法2：如图，过点2作直线的垂线交于点/,交直线CM于点〃.由题意知，点。

在底面42C上的射影在直线以上且在直线上，所以点〃即点。在底面上的射影，

即平面N8C.....................................................6分

设A5=2,则BM=l,BN=3e,NMBN=»,由余弦定理，得MN=M，

242

cos/BMN=—叵,sin/BMN=,MI=BMCOS(TI—NBMN、=叵

1010vJ10

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c°s〃MH=c°s0MB-NHMB）=来冬噜胃=噜,

MH=^^T与

过点〃作NC的垂线交于点0,连接。。，由三垂线定理知，OOJ.AC,是

二面角。一AC—6的平面角9分

,AMCM8/-----;--------72而

由^^=7^7，解得==

HOCH77

tan/DOH=^=叵,得cosNDOH=£^~

HO49

所以，二面角O—AC—3的余弦值为延

12分

9

21.（12分）

（1）设点。（尤1，%）,。（々，％），设直线/的方程为丁=履+1（左wO）,代入抛物线y=V—1,

得犬—反—2=0（*）,

2

\CM\\DM\_y/l+k^x^l+k|x2|_27i7F_°

----i----i-----------/--------------―/—24分

|卬收+8

g,o],设

（2）

由（*）式，知％+%2=%，%%2=一25分

直线AC的方程为y=（石一1）（%+1）,直线BD的方程为y=（x2+l）（x-l）,

口Xi+x2（再％2+玉%2—1）2（演-x-3）

角牟得九二一-一9:2

冗2一再+2*2-+2*2一石+2

/、

玉+工22（%一%—3）

所以点尸的坐标为7分

%2一%+2%2—芯+27

'芯+%以2卜厂2―3）/

TP=

、%2一再+2%2一再+2,

/

x+M2（%]-%-3）

TPTQ^——----------mm+

%2-西+2、%2—药+2

第6页共9页

(1\

m—/%+/2_2(x-x-3)^

=m2%十%Il2

x2-%1+2k,k(九2—%］+2)%2一再+2

112c2n-l

=m2----m+n+2n+

<x2-x1+2k,*2一再+2

2

一.x2-x1=±y/k+8，

—km+2n—1m

TP-TQ=m2+n2+2n++—IO分

±VF+8+2k

I__5

当噌。,”5次也为定值“

所以存在定点T的坐标为［o,；］...........................................................................12分

22.22分)

_2+1nr2(x3-l)+lnx八

(1)r(x)=2%+~——...........................................................1分

又因为函数g(x)=2(d—l)+lnx递增，且g(l)=O,/'(尤)>00%>1,

.•"(%)在(0,1)递减，在［1,也)递增........................................2分

当/(l)=2—a<0,即a>2时，

臼一+-+aIna>0

ya)a\a)a

(『(〃+

l-］na2l——2a—1Q-ll)

f(a)=a2H-------------------a>a—ciH--------------------->u—ci-------->0,

aaaa

.."