2024-2025学年扬州市江都区八年级(上)第一次月考数学试卷

2024-2025学年扬州市江都区八年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题

1.下列图形中，不是轴对称图形的是（）

2.下列说法中，正确的是（）

A.两个全等三角形肯定关于某直线对称

B.等边三角形的高、中线、角平分线都是它的对称轴

C.两个图形关于某直线对称，则这两个图形肯定分别位于这条直线的两侧

D.关于某直线对称的两个图形是全等形

3.在下列各组条件中，不能说明AABC丝4DEF的是（）

A.AB=DE,NB=NE,ZC=ZFB.AC=DF,BC二EF,ZA=ZD

C.AB=DE,NA=ND,NB=NED.AB=DE,BC=EF,AC=DF

4.如图，△ABCgZiADE,AB=AD,AC=AE,ZB=28°,ZE=95°,ZEAB=20°,则NBAD等于（）

5.请细致视察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你依据所学的三角形全等有关的学问,

说明画出NA'O'B，=NA0B的依据是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

6.如图，在aABC中，AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,4BCN的周长是7cm,则BC的

长为（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

7.NAOB的平分线上一点P到OA的距离为5,Q是0B上任一点，则（）

A.PQ>5B.PQm5C.PQ<5D.PQW5

8.如图，AD是AABC的角平分线，DF±AB,垂足为F,DE二DG,AADG和AAED的面积分别为50和

39,则AEDF的面积为（）

A.11B.5.50.7D,3.5

二、填空题

9.角是轴对称图形，则对称轴是.

10.AABC^ADEC,Z\ABC的周长为100cm,DE=30cm,EC=25cm,那么AC长为cm.

11.如图所示，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE,N1=25°,Z2=30°,则N3=

12.如图，Z^ABC中，ZA=90°,AB=AC,BD平分NABE,DE±BC,假如BC=10cm,则ADEC的周长是

cm.

A

D

BF.C

13.如图示，AABE和△ADC是AABC分别沿着AB,AC边翻折180°形成的，若N1：Z2：Z3=11：

5：2,则Na的度数为一.

14.如图所示，AB=AD,N1=N2,添加一个适当的条件，使△ABCgZXADE,则须要添加的条件是

15.一个三角形的三边为2、5、x,另一个三角形的三边为y、2、6,若这两个三角形全等，则x+y=.

16.在△ABC中，AC=5,AB=7,则中线AD的范围是__.

17.ZkABC中，ZC=90°,AC=BC,分别过A、B向过C的直线CD作垂线，垂足分别为E、F,若AE=5,

BF=3,则EF=____.

18.长为20,宽为a的矩形纸片（10VaV20）,如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的

正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的

正方形（称为其次次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操

三'解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文

字说明,证明过程或演算步骤）

19.如图：已知NA0B和C、D两点，求作一点P,使PC=PD,且P到NA0B两边的距离相等.

20.已知一个三角形的两边长分别是1cm和2cm,一个内角为

(1)请你借助图画出一个满意题设条件的三角形；

(2)你是否还能画出既满意题设条件，又与(1)中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在

下图画这样的三角形；若不能，请说明理由.

(3)假如将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm,一个内角为40°,”那么满意这

一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？分别画出草图，并在图中相应位置标明数据.(画图请

保留作图痕迹，并把符合条件的图形用黑色笔画出来)

21.如图，C是AB的中点，AD=BE,CD二CE.求证：ZA=ZB.

(1)若4BCD的周长为18,求BC的长;

(2)若BC=7,求4BCD的周长.

A

24.如图，AD平分NBAC,NBAC+NACD=180°,E在AD上，BE的延长线交CD于F,连CE,且N仁

N2,试说明AB=AC.

R

25.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于。点，N1=N2,N3=N4.求证:

(1)AABC^AADC；

(2)BO=DO.

26.如图：在AABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上

截取CG=AB,连接AD、AG.

(1)求证:AD=AG；

(2)AD与AG的位置关系如何，请说明理由.

27.如图(1),AB=4cm,AC±AB,BD±AB,AC=BD=3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向

点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，4ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，

并推断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

(2)如图(2),将图(1)中的“ACJLAB,BD-LAB"为改"NCAB=NDBA=60°”，其他条件不变.设

点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得4ACP与aBPO全等？若存在，求出相应的x、t

的值；若不存在，请说明理由.

28.学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等

的判定方法(即“HL”)后，我们接着对“两个三角形满意两边和其中一边的对角对应相等”的情

形进行探讨.

【初步思索】我们不妨将问题用符号语言表示为：在4ABC和4DEF中，AC=DF,BC=EF,

ZB=ZE,然后，对NB进行分类，可分为“NB是直角、钝角、锐角”三种状况进行探究.

【深化探究】第一种状况：当NB是直角时，4ABC丝Z\DEF.

(1)如图①，在AABC和aDEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE=90°,依据____,可以知道Rt^ABC丝Rt

△DEF.

其次种状况：当NB是钝角时，4ABC也Z\DEF.

(2)如图②，在AABC和ADEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是钝角，求证：ZXABC丝

△DEF.

第三种状况：当NB是锐角时，^ABC和4DEF不肯定全等.

(3)在aABC和ADEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是锐角，请你利用图③，在图③中

用尺规作出aDEF,使4DEF和aABC不全等.(不写作法，保留作图痕迹，标出相应的字母)

(4)NB与ZA满意什么关系，就可以使AABCgADEF?请干脆写出结论:在4ABC和4DEF中，AC=DF,

BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是锐角，若，则AABC且Z\DEF.

2024-2025学年江苏省扬州市江都区五校联谊八年级（上）第

一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一'选择题

1.下列图形中，不是轴对称图形的是（）

【考点】轴对称图形.

【分析】依据轴对称图形的概念对各选项分析推断后利用解除法求解.

【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，故本选项错误.

故选A.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是找寻对称轴，图形两部分折叠后可重

合.

2.下列说法中，正确的是（）

A.两个全等三角形肯定关于某直线对称

B.等边三角形的高、中线、角平分线都是它的对称轴

C.两个图形关于某直线对称，则这两个图形肯定分别位于这条直线的两侧

D.关于某直线对称的两个图形是全等形

【考点】轴对称的性质.

【分析】依据轴对称的性质，等边三角形的轴对称性对各选项分析推断利用解除法求解.

【解答】解：A、两个全等三角形肯定关于某直线对称错误，故本选项错误；

B、应为等边三角形的高、中线、角平分线所在的直线都是它的对称轴，故本选项错误；

C、应为两个图形关于某直线对称，则这两个图形肯定分别位于这条直线的两侧或直线与两图形相交,

故本选项错误；

D、关于某直线对称的两个图形是全等形正确，故本选项正确.

故选D.

【点评】本题考查了轴对称的性质，成轴对称的两个图形既要考虑形态和大小，还要考虑位置.

3.在下列各组条件中，不能说明AABC丝Z\DEF的是（）

A.AB=DE,NB=NE,ZC=ZFB.AC=DF,BC=EF,ZA=ZD

C.AB=DE,NA=ND,NB=NED.AB=DE,BC=EF,AC=DF

【考点】全等三角形的判定.

【分析】依据题目所给的条件结合判定三角形全等的判定定理分别进行分析即可.

【解答】解：A、AB=DE,ZB=ZE,NC=NF,可以利用AAS定理证明aABC丝ADEF,故此选项不合

题意；

B、AC=DF,BC=EF,NA=ND不能证明△ABC04DEF,故此选项符合题意；

C、AB=DE,NA=ND,NB=NE,可以利用ASA定理证明aABC名Z\DEF,故此选项不合题意；

D、AB=DE,BC=EF,AC=DF可以利用SSS定理证明aABC丝△DEF,故此选项不合题意；

故选：B.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、

HL.

留意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必需有边的参加，若有两边一

角对应相等时，角必需是两边的夹角.

4.如图，△ABC且Z\ADE,AB=AD,AC=AE,NB=28°,NE=95°,NEAB=20°,则NBAD等于（）

【考点】全等三角形的性质.

【分析】先依据全等三角形的对应角相等得出NB=ND=28°,再由三角形内角和为180°,求出N

DAE=57°,然后依据NBAD=NDAE+NEAB即可得出NBAD的度数.

【解答】解：..'△ABC丝AADE,

ZB=ZD=28°,

又ND+NE+NDAE=180°,ZE=95°,

ZDAE=180°-28°-95°=57°,

ZEAB=20°,

ZBAD=ZDAE+ZEAB=77°.

故选D.

【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，比较简洁.由全等三角形的对应角相

等得出NB=ND=28°是解题的关键.

5.请细致视察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你依据所学的三角形全等有关的学问,

说明画出NA，（TBz=NA0B的依据是（）

【考点】作图一基本作图；全等三角形的判定与性质.

【分析】由作法易得0D=0,2，0C=0zJ,CD=C'『，得到三角形全等，由全等得到角相等，

是用的全等的性质，全等三角形的对应角相等.

【解答】解：由作法易得0D=0'D，,0C=0,Cz,CD=CZD，,依据SSS可判定△COD义△CO'DYSSS）,

则△COD咨△C'O'D',即NA'0'B'=NA0B（全等三角形的对应角相等）.

故选D.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，娴熟

驾驭三角形全等的性质是正确解答本题的关键.

6.如图，在aABC中，AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,ABCN的周长是7cm,则BC的

长为（）

BC

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

【考点】线段垂直平分线的性质.

【分析】首先依据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN=BN,然后依据4BCN的周长是7cm,以及

AN+NC=AC,求出BC的长为多少即可.

【解答】解：.「MN是线段AB的垂直平分线，

.".AN=BN,

,.,△BCN的周长是7cm,

.,.BN+NC+BC=7(cm),

.,.AN+NC+BC=7(cm),

".'AN+NC=AC,

.-.AC+BC=7(cm),

又：AC=4cm,

.'.BC=7-4=3(cm).

故选：C.

【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要娴熟驾驭，解答此题的关键是要明确：

①垂直平分线垂直且平分其所在线段.②垂直平分线上随意一点，到线段两端点的距离相等.③三

角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等.

7.NAOB的平分线上一点P到0A的距离为5,Q是0B上任一点，则()

A.P0>5B.PQ25C.PQ<5D.PQW5

【考点】角平分线的性质.

【分析】直线外一点与直线上各点连接的全部线段中，垂线段最短，和角平分线的性质计算.

【解答】解：NAOB的平分线上一点P到0A的距离为5

则P到0B的距离为5

因为Q是0B上任一点，则PQe5

故选B.

【点评】本题主要考查平分线的性质，还利用了“直线外一点与直线上各点连接的全部线段中，垂

线段最短”.

8.如图，AD是AABC的角平分线，DF±AB,垂足为F,DE=DG,4ADG和4AED的面积分别为50和

39,则4EDF的面积为()

【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】计算题；压轴题.

【分析】作DM=DE交AC于M,作DNLAC,利用角平分线的性质得到DN=DF,将三角形EDF的面积转

化为三角形DNM的面积来求.

【解答】解：作DM=DE交AC于M,作DNLAC于点N,

•.•DE=DG,

.,.DM=DG,

,「AD是aABC的角平分线，DF±AB,

.•.DF=DN,

在RtZkDEF和RtZiDMN中,

[DN二DF

lDM=DE'

.".RtADEF^RtADMN(HL),

■/△ADG和4AED的面积分别为50和39,

=

,S△AD6-SAADM—50-3911,

==-

SADNMSAEDF~SAHDG=-^-X11=5.5.

故选B.

A

【点评】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出协助线,

将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求.

二、填空题

9.角是轴对称图形，则对称轴是角平分线所在的直线.

【考点】轴对称的性质.

【分析】依据对称轴的定义：假如一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形

就是轴对称图形.折痕所在的这条直线叫做对称轴.

【解答】解：角的对称轴是角平分线所在的直线.

【点评】本题考查轴对称图形的定义与推断，假如一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全

重合，这个图形就是轴对称图形.折痕所在的这条直线叫做对称轴.

10.AABC^ADEC,△ABC的周长为100cm,DE=30cm,EC=25cm,那么AC长为

【考点】全等三角形的性质.

【分析】依据全等三角形的性质得出AB=DE=30cm,BC=EC=25cm,即可得出答案.

【解答】解：­.'△ABC^ADEC,DE=30cm,EC=25cm,

•.AB=DE二30cm,BC—EC—25CITI,

VAABC的周长为100cm,

.*.AC=100cm-30cm-25cm=45cm,

故答案为：45.

【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，留意：

全等三角形的对应角相等，对应边相等.

11.如图所示，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE,Z1=25°,Z2=30",则N3=55°

【考点】全等三角形的判定与性质.

【分析】求出NBAD=NEAC,证4BAD丝ZXEAC,推出N2=NABD=30°,依据三角形的外角性质求出即

可.

【解答】解：.；NBAC=NDAE,

ZBAC-NDAC=NDAE-ZDAC,

r.N1=NEAC,

在ABAD和4EAC中，

'AB二AC

<ZBAD=ZEAC

AD=AE

.,.△BAD^AEAC(SAS),

Z2=ZABD=30°,

,.,Z1=25",

N3=N1+NABD=25°+30°=55°,

故答案为：55°.

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△

BAD^AEAC.

12.如图，Z\ABC中，ZA=90°,AB=AC,BD平分NABE,DE±BC,假如BC=10cm,则的周长是

10cm.

【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形.

【分析】依据角平分线上的点到角的两边的距离相等，DE=AD,再依据等腰直角三角形的两直角边相

等得到AC=AB,然后证明ABAD与ABED全等，依据全等三角形对应边相等得到AB=BE,所以4DEC

的周长是等于BC的长度，即可求解.

【解答】解：；BD平分NABE,DE±BC,

；.DE=AD,NABD=NCBD,

」.CD+DE二AC,

BD=BD

在4BAD与4BED中,

DE=AD'

.,.△BAD^ABED(HL),

.,.AB=BE,

ADEC的周长=CD+DE+CE=AC+CE=AB+CE=BE+CE=BC,

1.,BC=10cm,

.,.△DEC的周长=1Ocm.

故答案为：10.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，以及等腰直角三角形两直角边

相等的性质，难度不大，细致分析图形是解题的关键.

13.如图示，4ABE和aADC是aABC分别沿着AB,AC边翻折180°形成的，若N1:N2：Z3=11：

5：2,则Na的度数为140°.

【考点】翻折变换（折叠问题）.

【分析】先依据三角形的内角和定理易计算出N1=110°,Z2=50°,Z3=20°,依据折叠的性质得

到N1=NBAE=110°,NE=N3=20。，NACD=NE=20。，可计算出NEAC,然后依据Na+NE=NEAC+

ZACD,即可得到Na=NEAC.

【解答】解：设N3=2x,则N1=11x,Z2=5x,

Z1+Z2+Z3=180°,

.,.11x+5x+2x=180",

解得x=10°,

Z1=110°,Z2=50°,Z3=20°,

「△ABE是aABC沿着AB边翻折180°形成的，

Z1=ZBAE=110°,ZE=Z3=20°,

・・・NEAC=360°-ZBAE-ZBAC=360°-110°-110°=140°,

:△ADC是AABC沿着AC边翻折180°形成的，

NACD=NE二20,

而Na+NE=NEAC+NACD,

/.Za=ZEAC=140°.

故答案为：140°.

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等.也考查了

三角形的内角和定理以及周角的定义.

14.如图所示，AB=AD,N1=N2,添加一个适当的条件，使△ABC义Z\ADE,则须要添加的条件是_

【考点】全等三角形的判定.

【专题】开放型.

【分析】要使AABC丝AADE,已知一组边与一组角相等，再添加一组对边即可以利用SAS判定其全

等.

【解答】解：添加AC=AE

,.,AB=AD,Z1=Z2

NBAC=NDAE

,.'AC=AE

.,.△ABC^AADE

二.须要添加的条件是AC=AE.

【点评】本题考查了三角形全等的判定；答案可有多种.判定两个三角形全等的一般方法有：SSS.

SAS、SSA、HL.添加时留意不能符合AAA,SSA,不能作为全等的判定方法.

15.一个三角形的三边为2、5、x,另一个三角形的三边为y、2、6,若这两个三角形全等，则x+y=

11

【考点】全等三角形的性质.

【分析】依据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案.

【解答】解：.•.这两个三角形全等，两个三角形中都有2

二长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6.同理可得y=5

.,.x+y=11.

故填11.

【点评】本题考查了全等三角形的性质及对应边的找法；依据两个三角形中都有2找对对应边是解

决本题的关键.

16.在aABC中，AC=5,AB=7,则中线AD的范围是0<AD<6.

【考点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质.

【分析】延长AD到E,使AD=DE,连结BE,证明△ADCgz\EDB就可以得出BE=AC,依据三角形的三

边关系就可以得出结论.

【解答】解：延长AD到E,使AD=DE,连结BE.

；AD是△ABC的中线，

.,.BD=CD.

在aADC和4EDB中，

'CD=BD

<ZADC=ZEDB,

AD=CD

.,.△ADC^AEDB(SAS),

.,■AC=BE.

,.'AB-AE<AE<AB+BE,

.,.AB-AC<2AD<AB+AC.

,.'AB=7,AC=5,

/.0<AD<6.

故答案为:0<AD<6.

【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关

系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.

17.AABC中，ZC=90°,AC=BC,分别过A、B向过C的直线CD作垂线，垂足分别为E、F,若AE=5,

BF=3,则EF=8或2.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【分析】细致画出图形，找出一组全等三角形即可，利用全等三角形的对应边相等可得答案.

【解答】解：•••NC=90°,AC=BC,

ZBCF=ZEAC

.,.△BFC^ACEA,

.,.CF=AE=5

CE=BF=3

①，EF=CF+CE=5+3=8.

②EF=CF-CE=5-3=2

【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有:

SSS、SAS、SSA、HL.

本题要留意思索全面，两种状况，不能遗漏.

18.长为20,宽为a的矩形纸片（10<aV20）,如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的

正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的

正方形（称为其次次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操

【考点】翻折变换（折叠问题）.

【专题】规律型.

【分析】首先依据题意可得可知当10<a<20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a,宽为20-a,

其次次操作时正方形的边长为20-a,其次次操作以后剩下的矩形的两边分别为20-a,2a-20.然

后分别从20-a>2a-20与20-aV2a-20去分析求解，即可求得答案.

【解答】解：由题意，可知当10<a<20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a,宽为20-a,

所以其次次操作时剪下正方形的边长为20-a,其次次操作以后剩下的矩形的两边分别为20-a,2a

-20.

此时，分两种状况：

①假如20-a>2a-20,即aV图，那么第三次操作时正方形的边长为2a-20.

则2a-20=（20-a）-（2a-20）,解得a=12；

②假如20-a<2a-20,即a>^M，那么第三次操作时正方形的边长为20-a.

则20-a=（2a-20）-（20-a）,解得a=15.

J.当n=3时，a的值为12或15.

故答案为：12或15.

【点评】此题考查了折叠的性质与矩形的性质.此题难度较大，留意驾驭数形结合思想、分类探讨

思想与方程思想的应用，留意折叠中的对应关系.

三、解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文

字说明、证明过程或演算步骤）

19.如图：已知NA0B和C、D两点，求作一点P,使PC=PD,且P到NA0B两边的距离相等.

【考点】作图一基本作图.

【专题】作图题.

【分析】（1）作出NAOB的平分线，（2）作出CD的中垂线，（3）找到交点P即为所求.

【解答】解：

作CD的中垂线和NAOB的平分线，两线的交点即为所作的点P.

【点评】解答此题要明确两点：（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）中垂线上的点

到两个端点的距离相等.

20.已知一个三角形的两边长分别是1cm和2cm,一个内角为

（1）请你借助图画出一个满意题设条件的三角形；

（2）你是否还能画出既满意题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在

下图画这样的三角形；若不能，请说明理由.

（3）假如将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm,一个内角为40。，”那么满意这

一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？分别画出草图，并在图中相应位置标明数据.（画图请

保留作图痕迹，并把符合条件的图形用黑色笔画出来）

【考点】作图一应用与设计作图；全等三角形的判定.

【分析】(1)利用已知条件画出符合要求的图形即可;

(2)利用已知条件画出符合要求的图形即可；

(3)利用已知条件画出符合要求的图形即可.

【解答】解：(1)如图(1)所示:

(2)如图(2)所示:

B,2C.C

(1)区⑵2

(3)如图所示：

X

B/

A：4C,

儿C2

第1种第2种

小

3第3种：A篇

【点评】此题主要考查了应用设计与作图，利用三角形的形态不确定得出是解题关键.

21.如图，C是AB的中点，AD=BE,CD=CE.求证：NA=NB.

E?

上

ACB

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题；压轴题.

【分析】依据中点定义求出AC=BC,然后利用“SSS”证明4ACD和4BCE全等，再依据全等三角形

对应角相等证明即可.

【解答】证明：.・•()是AB的中点，

.,.AC=BC,

'AC=BC

在4ACD和MCE中，＜AD=BE,

CD=CE

.,.△ACD^ABCE(SSS),

ZA=ZB.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简洁，主要利用了三边对应相等，两三角形全

等，以及全等三角形对应角相等的性质.

22.已知：如图，AB=AE,Z1=Z2,ZB=ZE.求证：BC=ED.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题.

【分析】由N1=N2可得：NEAD=NBAC,再有条件AB=AE,NB=NE可利用ASA证明aABC丝Z^AED,

再依据全等三角形对应边相等可得BC=ED.

【解答】证明：..•N1=N2,

Z1+ZBAD=Z2+ZBAD,

即：NEAD=NBAC,

'NB=NE

在4EAD和4BAC中(AB=AE,

,NBAC=/EAD

.,.△ABC^AAED(ASA),

.,.BC=ED.

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是驾驭全等三角形的判定方法：SSS、SAS、

ASA、AAS、HL.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.

23.如图，Z\ABC中，AB=AC=10,线段AB的垂直平分线DE交边AB、AC分别于点E、D,

(1)若4BCD的周长为18,求BC的长；

(2)若BC=7,求4BCD的周长.

【考点】线段垂直平分线的性质.

【分析】(1)先依据线段垂直平分线的性质得出AD=BD,由4BCD的周长等于18可得出AC+BC的长,

进而可得出结论；

(2)依据线段垂直平分线的性质得出AD=BD,故可得出BD+CD=AD+DC=AC,再由4BCD的周长

=BD+DC+BC=AC+BC即可得出结论.

【解答】解：(1)；DE垂直平分AB.

.,.AD=BD.

'.•△BCD的周长=BD+BC+CD=18,

AD+BC+CD=18,即AC+BC=18

■.,AC=10,

.,,BC=8；

(2)：DE垂直平分AB,

.,.AD=BD.

.,.BD+CD=AD+DC=AC=10.

,/BC=7,

ABCD的周长=BD+DC+BC=AC+BC=10+7=17.

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上随意一点，到线段两端点的距离

相等是解答此题的关键.

24.(2024秋•江阴市期中)如图，AD平分NBAC,NBAC+NACD=180°,E在AD上，BE的延长线交

CD于F,连CE,且N1=N2,试说明AB=AC.

DE

R

【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质.

【专题】证明题.

【分析】由已知，NBAC+NACD=180°,可证CD〃AB,得N仁NB,所以NB=N2,又AD平分NBAC,

得证4ABE丝Z\ACE,即得AB=AC.

【解答】证明：；NBAC+NACD=180°,

.'.AB/7CD,

/.Z1=ZB,

又；Z1=Z2,

NB=N2,

又「AD平分NBAC,

NCAE=NBAE,

,.,AE=AE,

.,.△ABE^AACE,

.,.AB=AC.

【点评】本题主要考查了平行线的性质定理以及对全等三角形的判定，做题时要结合图形，在图形

上做题.

25.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于。点，N1=N2,N3=N4.求证:

(1)△ABCWZXADC；

(2)BO=DO.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题.

【分析】用AAS判定AABC丝Z\ADC,得出AB=AD,再利用SAS判定△ABO丝/XADO,从而得出BO=DO.

【解答】证明：(1)在AABC和AADC中，

'N1=N2

<AC=AC,

Z3=Z4

.,.△ABC^AADC(ASA)；

(2),.'AABC^AADC,

.,.AB=AD.

又；N1=N2,AO=AO,

'AB=AD

即Nl=/2,

,A0=A0

.,.△ABO^AADO(SAS).

.•.BO=DO.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL.

留意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必需有边的参加，若有两边一

角对应相等时，角必需是两边的夹角.

26.如图：在AABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC,在CF的延长线

上截取CG=AB,连接AD、AG.

(1)求证：AD=AG；

(2)AD与AG的位置关系如何，请说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【分析】(1)由BE垂直于AC,CF垂直于AB,利用垂直的定义得NHFB=NHEC,由得对顶角相等得

NBHF=NCHE,所以NABD二NACG.再由AB=CG,BD=AC,利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACG全

等，由全等三角形的对应边相等可得出AD=AG,

(2)利用全等得出NADB=NGAC,再利用三角形的外角和定理得到NADB=NAED+NDAE,又NGAC二

NGAD+NDAE,利用等量代换可得出NAED=NGAD=90°,即AG与AD垂直.

【解答】(1)证明：:BE_LAC,CF±AB,

ZHFB=ZHEC=90°,又；NBHF二NCHE,

/.ZABD=ZACG,

在4ABD和AGCA中

'AB=CG

,ZABD=ZACG,

BD=CA

.,.△ABD^AGCA(SAS),

■■.AD=GA(全等三角形的对应边相等)；

(2)位置关系是AD_LGA,

理由为：VAABD^AGCA,

ZADB=ZGAC,

又「ZADB=ZAED+ZDAE,NGAONGAD+NDAE,

ZAED=ZGAD=90°,

/.AD±GA.

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，娴熟驾驭判定与性质是解本题的关键.

27.（12分）（2024秋•垫江县期末）如图（1）,AB=4cm,AC±AB,BD±AB,AC=BD=3cm.点P在

线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运

动的时间为t（s）.

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，4ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，

并推断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

(2)如图(2),将图(1)中的“ACJLAB,BD-LAB"为改"NCAB=NDBA=60°”，其他条件不变.设

点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得4ACP与aBPO全等？若存在，求出相应的x、t

的值；若不存在，请说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】动点型.

【分析】(1)利用SAS证得4ACP空△BPQ,得出NACP=NBPQ,进一步得出NAPC+NBPQ=NAPC+N

ACP=90°得出结论即可；

(2)由4ACP丝△BPQ,分两种状况：①AC=BP,AP=BQ,②AC=BQ,AP=BP,建立方程组求得答案即可.

【解答】解：(1)当t=1时，AP=BQ=1,BP=AC=3,

又；NA=NB=90°,

在4ACP和△BPQ中，

'AP=BQ

-NA=NB

AC=BP

.-.△ACP^ABPQ(SAS).

NACP=NBPQ,

ZAPC+ZBPQ=ZAPC+ZACP=90°.

ZCPQ=90°,

即线段PC与线段PQ垂直.

(2)①若4ACP四△BPQ,

则AC=BP,AP=BQ,

产7,

lt=xt

解得

尸

IX=1

②若△ACPgZXBQP,

则AC=BQ,AP=BP,

(3=xt

[t=4-t'

解得

t=2

-3；

X=T

综上所述，存在

t=l

口或

3

x=lx^2

使得4ACP