30680243 微专题：集合概念的理解 -2021-2022学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

微专题：集合概念的理解【主题】1、集合与元素的定义（1）集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)；（2）元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素；（3）表示：通常用英文大写字母A，B，C，…表示集合，用英文小写字母a，b，c，…表示集合中的元素；2、素与集合的关系（1）“属于”：如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”；（2）“不属于”：如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”．3、空集一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作；4、集合中元素的三个特性（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性；5、集合的分类（1）有限集；（2）无限集．6、特别提醒集合的元素是确定的，任意一个元素要么是一个给定集合的元素，要么不是，两种关系有且只有一种成立；解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；【典例】例1、集合A中的元素x满足eq\f(6,6－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为________例2、设集合B＝（1）试判断1和2与集合B的关系；（2）用列举法表示集合B；例3、下列各组对象能否构成集合？若能，请指出它们是有限集、无限集，还是空集．（1）非负奇数；（2）小于18的既是正奇数又是质数的数；（3）在平面直角坐标系中所有第三象限的点；（4）在实数范围内方程(x2－1)(x2＋2x＋1)＝0的解集；（5）在实数范围内方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x＋1＝0，,x＋y＝1))的解构成的集合。【即时练习】1、已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为()A．－2B．2C．4D．2或42、若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A.eq\f(9,2)B.eq\f(9,8)C.0D.0或eq\f(9,8)3、若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.4、（多选）已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是()A．－1∉AB．－11∉AC．3k2－1∈A D．－34∈A5、已知集合A包含三个元素：a－2,2a2＋5a,12，且－3∈A，求a的值．6、已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.（1）若－3∈A，求a的值；（2）若x2∈B，求实数x的值．【教师版】微专题：集合概念的理解【主题】1、集合与元素的定义（1）集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)；（2）元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素；（3）表示：通常用英文大写字母A，B，C，…表示集合，用英文小写字母a，b，c，…表示集合中的元素；2、素与集合的关系（1）“属于”：如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”；（2）“不属于”：如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”．3、空集一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作；4、集合中元素的三个特性（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性；5、集合的分类（1）有限集；（2）无限集．6、特别提醒集合的元素是确定的，任意一个元素要么是一个给定集合的元素，要么不是，两种关系有且只有一种成立；解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；【典例】例1、集合A中的元素x满足eq\f(6,6－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为________【提示】注意仔细审题，明确元素满足的性质；【答案】0，3，4，5；【解析】∵eq\f(6,6－x)∈N，x∈N，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(6,6－x)≥0，,x≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6－x>0，,x≥0，))∴0≤x<6，∴x＝0,1,2,3,4,5.当x分别为0,3,4,5时，eq\f(6,6－x)相应的值分别为1,2,3,6，也是自然数，故填0,3,4,5；【说明】确定集合中元素的三个注意点：（1）判断集合中元素的个数时，注意集合中的元素必须满足互异性；（2）集合中的元素各不相同，也就是说集合中的元素一定要满足互异性；（3）若集合中的元素含有参数，要抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的方法进行研究。例2、设集合B＝（1）试判断1和2与集合B的关系；（2）用列举法表示集合B；【提示】注意：元素的确定性；【解析】（1）当x＝1时，eq\f(6,2＋1)＝2∈N，所以1∈B.，当x＝2时，eq\f(6,2＋2)＝eq\f(3,2)∉N，2∉B.（2）令x＝0，1，2，3，4，代入eq\f(6,2＋x)，检验eq\f(6,2＋x)∈N是否成立，可得B＝{0，1，4}【说明】（1）判断所给元素a是否属于给定集合时，若a在集合内，用符号“∈”；若a不在集合内，用符号“∉”；例3、下列各组对象能否构成集合？若能，请指出它们是有限集、无限集，还是空集．（1）非负奇数；（2）小于18的既是正奇数又是质数的数；（3）在平面直角坐标系中所有第三象限的点；（4）在实数范围内方程(x2－1)(x2＋2x＋1)＝0的解集；（5）在实数范围内方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x＋1＝0，,x＋y＝1))的解构成的集合。【提示】注意集合的分类；【解析】（1）能构成集合，是无限集；（2）小于18的质数是2,3,5,7,11,13,17.只有2是偶数，其余的都是正奇数，所以能构成集合，是有限集；（3）第三象限的点的横坐标和纵坐标都小于0，能构成集合，是无限集；（4）能构成集合，注意集合中元素的互异性，集合中的元素是－1，1，是有限集；（5）由x2－x＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，方程无实根，由此可知方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x＋1＝0，,x＋y＝1))无解，能构成集合，是空集；【说明】判断集合是有限集，还是无限集，关键在于弄清集合中元素的构成，从而确定集合中元素的个数。【归纳】1、元素和集合关系的判断（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．此时应先明确集合是由哪些元素构成的；（2）推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件；2、集合的三个特性（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明；（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体；（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素；3、特别提醒：（1）解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题；（2）含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性；（3）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解；【即时练习】1、已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为()A．－2B．2C．4D．2或41、解析：选A若a＝2，则|a|＝2，不符合集合中元素的互异性，则a≠2；若|a|＝2，则a＝2或－2，可知a＝2舍去，而当a＝－2时，a－2＝－4，符合题意；若a－2＝2，则a＝4，|a|＝4，不符合集合中元素的互异性，则a－2≠2；综上，可知a＝－2.故选A.2、若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A.eq\f(9,2)B.eq\f(9,8)C.0D.0或eq\f(9,8)2、解析若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.当a＝0时，x＝eq\f(2,3)，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝eq\f(9,8)，所以a的取值为0或eq\f(9,8).3、若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.3、答案0或1解析①当a－3＝－3时，即a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，②当2a－1＝－3时，即a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}舍，③当a2－4＝－3时，即a＝±1，由②可知a＝－1舍，则a＝1时，A＝{－2,1，－3}，综上，a＝0或1.4、（多选）已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是()A．－1∉AB．－11∉AC．3k2－1∈A D．－34∈A答案：BCD解析：当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误；令－11＝3k－1，得k＝－eq\f(10,3)∉Z，所以－11∉A，所以B正确；因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D正确．5、已知集合A包含三个元素：a－2,2a2＋5a,12，且－3∈A，求a的值．5、解析：因为A包含三个元素a－2,2a2＋5a,12，且－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，解得a＝－1或a＝－eq\f(3,2).当a＝－1时，A中三个元素为：－3，－3,12，不符合集合中元素的互异性，舍去．当a＝－eq\f(3,2)时，A中三个元素为：－eq\f(7,2)，－3,12，满足题意．故a＝－eq\f(3,2).6、已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.（1）若－3∈A，求a的值；（2）若x2∈B，求实数x的值．6、解析：(1)由－3∈A且a2＋1≥1，