-平均数、中位数、众数、极差、方差-标准差高一下学期教学课件

§4数据的数字特征4.1平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差1.平均数、中位数、众数、极差导思1.我们初中学过哪些统计量?它们反映了数据哪些特征?2.标准差如何计算?它与方差是怎样的关系?【思考】众数、中位数、平均数有什么优缺点?提示:(1)众数:众数体现了样本数据的最大集中点,但它对其他数据信息的忽视使得它无法客观地反映总体特征.(2)中位数:中位数是样本数据所占频率的等分线,它不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是优点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点.(3)平均数:平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中的极端值的影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低.2.标准差与方差(1)方差的求法:标准差的平方s2叫做方差._________________________________,其中,xn是样本数据,n是样本容量,是样本平均数.(2)标准差的求法:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示.s=________________________________.【思考】如何理解方差与标准差的概念?提示:标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据.(

)(2)样本的中位数可以有两个值. (

)(3)平均数、众数、中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势. (

)(4)数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定. (

)(5)一组样本数据的众数只有一个. (

)(6)样本的标准差和方差都是正数. (

)提示:(1)×.平均数不可能大于每一个数据.(2)×.由中位数的定义可知错误.(3)√.从平均数、众数与中位数的含义知正确.(4)√.极差与标准差都反映了样本数据的波动性和离散程度.(5)×.根据众数定义知众数可以有一个,也可以有多个.(6)×.根据标准差与方差的公式可知它是非负数.2.已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80,其中平均数,中位数和众数大小关系是 (

)A.平均数>中位数>众数 B.平均数<中位数<众数C.中位数<众数<平均数 D.众数=中位数=平均数【解析】选D.可得出这组数据的平均数、中位数和众数均为50.3.甲、乙两人进行5轮投篮训练,每轮投篮10次,每轮投进的次数如下:甲:7,7,9,8,8;乙:4,7,7,7,9.若甲的中位数为a,乙的众数为b,则a+b= (

)A.14

B.15

C.16

D.17【解析】选B.因为甲:7,7,9,8,8即甲:7,7,8,8,9,其数据是奇数个,所以甲数据的中位数是8.故a=8.因为乙:4,7,7,7,9所以乙数据的众数是7,故b=7.所以a+b=15.4.(教材二次开发:例题改编)如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.

【解析】依题意知运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15,其平均数为

=11.由方差公式得s2=[(8-11)2+(9-11)2+(10-11)2+(13-11)2+(15-11)2]=(9+4+1+4+16)=6.8.答案:6.8类型一众数、中位数、平均数的计算及应用(数据分析、数学运算)【典例】1.在如图所示的茎叶图表示的数据中,众数和中位数分别是(

)

A.23与26

B.31与28C.24与30

D.26与302.某地举行了一次数学竞赛,为了估计平均成绩,在抽取的部分试卷中,有1人得10分,3人得9分,8人得8分,12人得7分,9人得6分,7人得5分,则平均成绩是________.

3.据报道,某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下:职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数;(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元,董事长的工资从5500元提升到30000元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么?(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法.【思路导引】1.众数、中位数⇒众数、中位数的定义.2.求平均成绩⇒平均数=.3.首先根据众数、中位数、平均数的概念求解;然后再根据众数、中位数、平均数反映的数字特征来进行讨论.【解析】1.选B.众数为31,中位数为=28.2.平均成绩是

=6.85(分).答案:6.85分3.(1)平均数是

≈2091(元),中位数是1500元,众数是1500元.(2)平均数是

≈3288(元).中位数是1500元,众数是1500元.(3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平,因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数偏差较大,所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.【解题策略】1.众数的求法利用众数的定义在样本数据中确定出现次数最多的数据.2.中位数的求法步骤(1)先排:把数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列.(2)再计算:找出排列后位于中间位置的数据,即为中位数.若中间位置有两个数据,则求出这两个数据的平均数作为中位数.3.平均数的求法一组样本数据为x1,x2,…,xn,可利用样本平均数公式(x1+x2+…+xn)求解平均数.【跟踪训练】1.已知8位学生某次数学测试成绩的茎叶图如图,则下列说法正确的是 (

)A.众数为7B.极差为19C.中位数为64.5D.平均数为64【解析】选C.根据茎叶图中的数据知,这组数据的众数为67,A错误;极差是75-57=18,B错误;中位数是=64.5,C正确;平均数为60+(-3-1+1+2+7+7+12+15)=65,D错误.2.16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同,按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后,要判断他能否进入决赛.则其他15位同学成绩的下列数据中,能使他得出结论的是(

)A.平均数B.极差C.中位数D.众数【解析】选C.判断是不是能进入决赛,只要判断是不是前8名,所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8个高于他,也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8个的成绩即可,小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛,低于这个成绩就不能进入决赛,这个第8名的成绩就是这15位同学成绩的中位数.3.(2020·江苏高考)已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是______.

【解析】由=4可知a=2.答案:24.高一(3)班有男同学27名,女同学21名,在一次语文测验中,男同学的平均分是82分,中位数是75分,女同学的平均分是80分,中位数是80分.(1)求这次测验全班平均分(精确到0.01);(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人;(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么.【解析】(1)利用平均数计算公式×(82×27+80×21)≈81.13(分).(2)因为男同学的中位数是75,所以至少有14人得分不超过75分.又因为女同学的中位数是80,所以至少有11人得分不超过80分.所以全班至少有25人成绩在80分以下(含80分).(3)男同学的平均分与中位数的差别较大,说明男同学中两极分化现象严重,得分高的和得分低的相差较大.【误区警示】刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数等,它们作为一组数据的代表各有优缺点,也各有各的用处,从不同的角度出发,不同的统计量来表达同一组数据的信息,会侧重突出某一方面的信息.【补偿训练】下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表:请参照这个表解答下列问题:(1)用含x,y的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f;(2)若该班这次竞赛的平均分为2.5分,求x,y的值.分数012345人数4710x8y【解析】(1)f=(2)依题意,有解得类型二方差、标准差的计算及应用(数据分析、数学运算)【典例】1.为了测试小班教学的实践效果,王老师对A,B两班的学生进行了阶段测试,并将所得成绩统计如图所示;记本次测试中,A,B两班学生的平均成绩分别为A,B两班学生成绩的方差分别为则观察茎叶图可知(

)

2.某射击运动员在五次射击中,分别打出了9,8,10,8,x环的成绩,且这组数据的平均数为9,则这组数据的方差是________.

3.为了解A,B两种轮胎的性能,某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试,下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位:1000km)轮胎A

96,112,97,108,100,103,86,98轮胎B

108,101,94,105,96,93,97,106(1)分别计算A,B两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数;(2)分别计算A,B两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差;(3)根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定?【思路导引】1.观察茎叶图数据,根据平均分,方差的定义即可判断得解.2.这组数据的平均数为9,先求出x=10,由此能求出这组数据的方差.3.在实际问题中,仅靠中位数、平均数不能完全反映问题,还要研究方差、标准差.【解析】1.选B.A班学生的分数多集中在70～90之间,B班学生的分数集中在50～80之间,故;相对两个班级的成绩分布来说,A班学生的分数更加集中,B班学生的分数更加离散,故2.因为某射击运动员在五次射击中,分别打出了9,8,10,8,x环的成绩,且这组数据的平均数为9,所以=9,解得x=10,所以这组数据的方差是:s2=[(9-9)2+(8-9)2+(10-9)2+(8-9)2+(10-9)2]=.答案:

3.(1)A轮胎行驶的最远里程的平均数为:=100,中位数为:=99;B轮胎行驶的最远里程的平均数为:=100,中位数为:=99.(2)A轮胎行驶的最远里程的极差为:112-86=26,标准差为s=≈7.43.B轮胎行驶的最远里程的极差为:108-93=15,标准差为:s=≈5.43.(3)由于A和B的最远行驶里程的平均数相同,而B轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小,所以B轮胎性能更加稳定.【解题策略】1.方差的计算方法一组样本数据x1,x2,…,xn的样本方差的简化计算公式是:

2.标准差的计算方法一组样本数据x1,x2,…,xn的标准差的计算公式是s=

提醒:方差、标准差和极差的取值范围都是.【跟踪训练】1.学校篮球队五名队员的年龄分别为15,13,15,14,13.其方差为0.8,则三年后这五名队员年龄的方差为________.

【解析】由题意知,新数据是在原来每个数上加上3得到,原来的平均数为,则新平均数变为+3,则每个数都加了3,原来的方差[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=0.8,现在的方差[(x1+3--3)2+(x2+3--3)2+…+(xn+3--3)2]=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=0.8,方差不变.故三年后这五名队员年龄的方差不变,仍是0.8.答案:0.82.从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛,对他们的射击水平进行了测试,两人在相同条件下各射击10次,命中的环数如下:甲:7,8,6,9,6,5,9,9,7,4.乙:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.(1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数;(2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差;(3)比较两人的成绩,然后决定选择哪一个人参赛.【解析】(1)对于甲:极差是9-4=5,众数是9,中位数是7;对于乙:极差是9-5=4,众数是7,中位数是7.(2)×[(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=2.8,s甲=≈1.673.

×[(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2]=1.2,s乙=≈1.095.(3)因为,s甲>s乙,所以甲、乙两人的平均成绩相等,乙的成绩比甲的成绩稳定一些,从成绩的稳定性考虑,可以选择乙参赛.【补偿训练】假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货天数.甲:10,9,10,10,11,11,9,11,10,10;乙:8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.估计两个供货商的交货情况,并问哪个供货商的交货时间短一些?哪个供货商的交货时间比较具有一致性与可靠性?【解析】

×(10+9+10+10+11+11+9+11+10+10)=10.1(天),×[(10-10.1)2+(9-10.1)2+(10-10.1)2+(10-10.1)2+(11-10.1)2+(11-10.1)2+(9-10.1)2+(11-10.1)2+(10-10.1)2+(10-10.1)2]=0.49;×(8+10+14+7+10+11+10+8+15+12)=10.5(天),×[(8-10.5)2+(10-10.5)2+(14-10.5)2+(7-10.5)2+(10-10.5)2+(11-10.5)2+(10-10.5)2+(8-10.5)2+(15-10.5)2+(12-10.5)2]=6.05.从交货天数的平均数来看,甲供货商的供货天数短一些;从方差来看,甲供货商的交货天数较稳定,因此甲供货商的交货时间比较具有一致性与可靠性.类型三统计图表与数字特征的综合应用【典例】在一次科技知识竞赛中,两组学生的成绩如表:已经算得两个组的平均分都是80分.请根据你所学过的统计知识,进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣,并说明理由.【思路导引】解答本题可以从众数、平均数、方差等几方面综合分析.分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212【解析】(1)甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70分,从成绩的众数比较看,甲组成绩好些.(2)=80(分),=80(分).[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=172,

×[4×(50-80)2+4×(60-80)2+16×(70-80)2+2×(80-80)2+12×(90-80)2+12×(100-80)2]=256.因为,所以甲组成绩比乙组成绩稳定,故甲组好些.(3)甲,乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人,乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人.从这一角度看,甲组的成绩较好.(4)从成绩统计表看,甲组成绩大于等于90分的有20人,乙组成绩大于等于90分的有24人,所以,乙组成绩集中在高分段的人数多.同时,乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人.从这一角度看,乙组的成绩较好.【解题策略】处理统计图表与数字特征的综合应用问题的两种方法(1)由图形得到对应的样本数据,计算出平均数、方差(标准差).(2)从图形直观分析样本数据的分布情况,大致判断平均数的范围,并利用数据的波动性大小反映方差(标准差)的大小.此点可称为方差(标准差)的几何意义.【跟踪训练】1.如图所示,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为

,样本标准差分别为sA和sB,则 (

)

【解析】选B.A中的数据都不大于B中的数据,所以,但A中的数据比B中的数据波动幅度大,所以sA>sB.2.甲、乙两人在相同条件下各打靶10次,每次打靶的成绩情况如图所示:(1)请填写下表:平均数中位数命中9环以上的次数(含9环)甲7乙(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析:①从平均数和中位数相结合看,谁的成绩好些?②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看,谁的成绩好些?③从折线图中两人射击命中环数的走势看,谁更有潜力?【解析】(1)由图可知甲打靶的成绩为:2,4,6,8,7,7,8,9,9,10;乙打靶的成绩为:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.甲的平均数是7,中位数是7.5,命中9环及9环以上的次数是3;乙的平均数是7,中位数是7,命中9环及9环以上的次数是1.(2)由(1)知,甲、乙的平均数相同.①甲、乙的平均数相同,甲的中位数比乙的中位数大,所以甲成绩较好.②甲、乙的平均数相同,甲命中9环及9环以上的次数比乙多,所以甲成绩较好.③从折线图中看,在后半部分,甲呈上升趋势,而乙呈下降趋势,故甲更有潜力.1.下列选项中能反映一组数据的离散程度的是 (

)A.平均数B.中位数C.方差D.众数【解析】选C.由方差的定义,知方差反映了一组数据的离散程度.2.甲、乙两台机床同时生产一种零件,现要检验它们的运行情况,统计10天中两台机床每天出的次品数分别为甲:0,1,0,2,2,0,3,1,2,4;乙:2,3,1,1,0,2,1,1,0,1.则出次品数较少的为(

)A.甲 B.乙 C.相同 D.不能比较【解析】选B.因为=1.5,=1.2,所以乙出次品数较少.3.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为me,众数为mo,平均值为,则 (

)A.me=mo= B.me=mo<C.me<mo< D.mo<me<

【解析】选D.由条形统计图可知,30名学生的得分依次为2个3分,3个4分,10个5分,6个6分,3个7分,2个8分,2个9分,2个10分.中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数,即me=5.5,5出现次数最多,故mo=5.≈5.97.于是得mo<me<.4.(教材二次开发:练习改编)如图所示的茎叶图记录了一组数据,关于这组数据给出了如下结论:①众数是9;②平均数是10;③中位数是9或10;④方差是3.4,其中正确结论的个数是 (

)

A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.茎叶图中的数据是7,8,9,9,9,10,11,12,12,13;所以众数是9,①正确;平均数是=10,所以②正确;中位数是=9.5,所以③错误;方差是[(7-10)2+(8-10)2+(9-10)2+(9-10)2+(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(12-10)2+(12-10)2+=3.4,所以④正确,所以正确的结论有3个.5.将某选手的7个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,剩余5个分数的平均数为91,7个分数的茎叶图有一个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示,则剩余分数的方差为________.

【解析】将某选手的7个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,剩余5个分