《平面向量的运算》平面向量及其应用(第3课时向量的数乘运算)课件

6.2平面向量的运算6.2.3

向量的数乘运算1.向量的数乘运算定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.规定：(1)|λa|=|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.【思考】向量数乘运算的结果是什么？提示：数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有方向.2.向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)=λμa；(2)(λ+μ)a=λa+μa；(3)λ(a+b)=λa+λb.特别地，我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb.【思考】这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？提示：不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立.3.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.4.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.【思考】(1)共线向量定理中的“a≠0”是否多余，能去掉吗？提示：不能，定理中之所以限定a≠0是由于若a=b=0，λ存在，但不唯一，若a=0，b≠0，则λ不存在.(2)反之，“若存在一个实数λ，使b=λa(a≠0)，则a与b共线”成立吗？提示：成立.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)-3a的方向与6a的方向相反，且-3a的模是6a的模的

(a≠0). (

)(2)a与-λa的方向相反. (

)(3)若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a=λb.(

)提示：(1)√.因为-3<0，所以-3a与a方向相反且|-3a|=3|a|.所以6a与a方向相同且|6a|=6|a|，所以-3a与6a方向相反且模是6a的模的.(2)×.当λ<0时，a与-λa的方向相同.(3)×.若b=0时不成立.2.下列计算正确的个数是 (

)①(-3)·2a=-6a；②2(a+b)-(2b-a)=3a；③(a+2b)-(2b+a)=0.

A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.因为(-3)·2a=-6a，故①正确；②中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故②正确；③中，左=a+2b-2b-a=0≠0，故③错误.类型一向量的线性运算【典例】1.(2019·临沂高一检测)化简

[(2a+8b)-(4a-2b)]的结果是 (

)

A.2a-b B.2b-aC.b-a D.a-b2.已知向量a，b，x，且(x-a)-(b-x)=x-(a+b)，则x=________.

【思维·引】1.类比实数运算中合并同类项的方法化简.2.利用解方程的方法求解.【解析】1.选B.原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)=2b-a.2.因为(x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，所以2x-a-b=x-a-b，即x=0.答案：0【内化·悟】1.向量的线性运算的主要方法是什么？提示：去括号，合并“同类项”.2.解含有向量的方程时，可以把向量当成普通未知量求解吗？提示：可以.【类题·通】向量线性运算的方法(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.【习练·破】已知a=4d，b=5d，c=-3d，则2a-3b+c等于 (

)A.10d B.-10d

C.20d D.-20d【解析】选B.2a-3b+c=8d-15d-3d=-10d.【加练·固】已知向量a，b，且5x+2y=a，3x-y=b，求x，y.【解析】将3x-y=b两边同乘2，得6x-2y=2b.与5x+2y=a相加，得11x=a+2b，即x=

a+

b.所以y=3x-b=3=a-b.类型二用已知向量表示相关向量【典例】1.(2019·长沙高一检测)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC.若=λ1+λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1+λ2的值为_______.

2.如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且=e1，=e2，试用e1，e2表示【思维·引】1.先用向量表示向量，然后计算“系数”和.2.先把视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出【解析】1.由已知

所以λ1=-，λ2=，从而λ1+λ2=.答案：

2.设=x，=y，则=e1=x-y，=e2=x-y，由解得即==【内化·悟】分析切入问题时，对条件应怎样理解？提示：看作是用向量、表示向量的结果.【类题·通】(1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律.(2)当直接表示较困难时，应考虑设出未知向量，表示出已知向量，建立方程组，利用方程(组)求解.【习练·破】如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知=a，=b，试用a，b表示【解析】(方法一)连接CN，则AN

DC，所以四边形ANCD是平行四边形.=-b，又因为=0，所以=b-a，所以=-b+a=a-b.(方法二)因为=0，即：a++(-a)+(-b)=0，所以=b-a，又因为在四边形ADMN中，有=0，即：b+

a+

+(-

a)=0，所以

=

a-b.【加练·固】如图所示，四边形OADB是平行四边形，=a，=b，又试用a、b表示【解析】因为=a-b，所以(a-b)，所以=b+(a-b)=b+a-b=a+

b.又由=+=a+b，得=a+b.所以=(a+b)-(a+b)

=a-b.类型三向量共线定理及应用角度1求参数问题【典例】(2019·天水高一检测)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a=2e1-e2，与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线，则当且仅当λ的值为 世纪金榜导学号(

)

A.0 B.-1 C.-2 D.-【思维·引】利用向量共线定理解答.【解析】选D.因为向量a与b共线，所以存在唯一实数u，使b=ua成立.即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以

解得λ=-.【素养·探】本题主要考查向量共线条件的应用，突出考查了数学运算的核心素养.本例若把条件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改为“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他条件不变，试求m+n的值.【解析】因为向量a与b共线，所以存在唯一实数u，使b=ua成立.即2me1+ne2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以所以m+n=0.角度2三点共线问题【典例】设a，b是不共线的两个非零向量，若=2a-b，=3a+b，=a-3b，求证：A，B，C三点共线.世纪金榜导学号【思维·引】利用向量共线定理解答.【证明】由题意，得=(3a+b)-(2a-b)=a+2b，=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2，所以与共线，且有公共端点B，所以A，B，C三点共线.【类题·通】关于向量共线定理的应用(1)向量共线定理：b与a(a≠0)共线与b=λa是一个等价定理，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.(2)证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表示的向量共线，必须说明构造的两个向量有公共点，否则两向量所在的直线可能平行，解题时常常会因忽视对公共点的说明而丢分.【发散·拓】关于A，B，C三点共线条件的变形式平面上三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数α，β，使得=α+β，其中α+β=1，O为平面内任意一点.【延伸·练】已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若求x+y的值.【解析】设λ则则所以x+y=1+λ-λ=1.【习练·破】已知非零向量e1，e2不共线.(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求证：A，B，D三点共线.(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线，试确定实数k的值.【解析】(1)因为=e1+e2，=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5所以，共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线.(2)因为ke1+e2与e1+ke2共线，所以存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2)，即(k-λ)e1=(λk-1)e2，由于e1与e2不共线，只能有所以k=±1.长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上，要不断反思、关照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎?心中有理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭疏食，饮水，曲肱而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策，有包藏宇宙之机，吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担当。为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立志，难成！海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”真正努力精进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学技术，都需要无数次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击溃过你，都不重要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深的孤独不是长久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人的价值，应该看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知，最苦的是等待，最幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。人若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便是黑暗中的那一盏明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目标，去承受常人承受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服的枕头。嫉妒他人，表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微中站起来，带着封存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一