2022-2023学年广东省珠海市金砖四校高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省珠海市金砖四校2022-2023学年高二下学期期中数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2．选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的〖答案〗标号涂黑.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，〖答案〗必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，若，则（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗D〖解析〗因为，解得：，所以．故选：D．2.、、、四人并排站成一排，如果与相邻，那么不同的排法种数是（）A.24种 B.12种 C.48种 D.23种〖答案〗B〖解析〗由题意，因为与相邻，将与放在一起，共有种排法，将与看成一个整体，与、进行全排列，共有种排法，综上共有种排法，故选：B．3.已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（）A. B.2 C. D.3〖答案〗A〖解析〗因为，所以设公比为q，可得：，两式相除得：.故选：A.4.函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（）A.8 B.-8 C.2 D.-2〖答案〗B〖解析〗因为，则，故，所以切线斜率为，因为切线与直线垂直，所以，解得.故选：B.5.展开式中的系数为（）A.5 B.30 C.35 D.40〖答案〗B〖解析〗二项式的通项公式为：，所以展开式中的系数为：，故选：B.6.在一次春节聚会上，小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人各写了一张祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（）A.小王和小张恰好互换了贺卡的概率为B.已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为C.恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为D.每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为〖答案〗B〖解析〗对于，四个人每人从中随机抽取一张共有种抽法，其中小王和小张恰好互换了贺卡的抽法有种，故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为，即A错误；对于B，设小王抽到的是小张写的贺卡为事件，则，小张抽到小王写的贺卡为事件，则已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为，B正确；对于，恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有种，故恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为不正确；对于D，每个人抽到的贺卡都不是自己写的抽法共有种，故每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为错误.故选：B.7.定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗∵且，∴是奇函数，设，则时，，∴在是减函数．又是奇函数，∴也是奇函数，因此在是递减，从而在上是减函数，不等式为，即，∴．故选：B．8.已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，令，得，设，则，时，；时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，当，由题意，有两个不同的解，即与的图像有两个不同的交点，，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.数列的前项和为，已知，则（）A.是递增数列 B.是等差数列C.当时， D.当或4时，取得最大值〖答案〗CD〖解析〗当时，，当时，，不满足上式，所以，对于A，由于，，所以不是递增数列，所以A错误，对于B，由于，，，所以，所以不是等差数列，所以B错误，对于C，由，得，所以当时，，所以C正确，对于D，，因为，所以当或4时，取得最大值，所以D正确，故选：CD.10.在二项式的展开式中（）A.常数项是第4项 B.所有项的系数和为1C.第5项的二项式系数最大 D.第4项的系数最小〖答案〗BCD〖解析〗二项式的展开式的通项为，对于A，令，得，故常数项是第5项，故A错误；对于B，令，则所有项的系数和是，故B正确；对于C，二项式展开式共9项，则由二项式系数的性质知第5项的二项式系数最大，故C正确；对于D，设第项的系数的绝对值最大，则，解得，又，所以或，当时，；当时，，所以第4项的系数最小，故D正确.故选：BCD.11.观察图象，下列结论错误的有（）．A.若图中为图象，则在处取极小值B.若图中为图象，则有两个极值点C.若图中为图象，则在上单调递增D.若图中为图象，则的解集为〖答案〗ABD〖解析〗选项A：若图为图象，则在两边单调性一致，不是极值，故A错误；选项B：若图为图象，函数单调递减；函数单调递增；函数单调递减；函数单调递增；故函数有-2,0,2三个极值点，选项B错误；选项C:若图为图象，则时，单调性相反，即函数单调递增；函数单调递减；函数单调递增；当单调性一致，函数单调递增；故C正确；选项D:若图为图象，，图像正负相反，时图像正负一致，的解集为，故D错误；故〖答案〗为：ABD.12.在2022年的期中考试中，数学出现了多项选择题．多项选择题第11题有四个选项A、B、C、D，其中正确选项的个数有可能是2个或3个或4个，这三种情况出现的概率均为，且在每种情况内，每个选项是正确选项的概率相同．根据以上信息，下列说法正确的有（）A.某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于B.B选项是正确选项的概率高于C.在C选项为正确选项的条件下，正确选项有3个的概率为D.在D选项为错误选项的条件下，正确选项有2个的概率〖答案〗BC〖解析〗若正确选项的个数为2个，则有种组合，每种组合为正确〖答案〗的概率为，若正确选项的个数为3个，则有种组合，每种组合为正确〖答案〗的概率为，若正确选项的个数为4个，则有1种组合，这种组合为正确〖答案〗的概率为，对于A，随便选了三个选项，能完全答对这道题的概率为，错误；对于B，B选项是正确选项的概率为，正确；对于C，C选项为正确选项为事件A，由B选项知，，正确选项有3个为事件B，则，正确；对于D，D选项为错误选项为事件C，，正确选项有2个为事件D，则，错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{an}的前n项和Sn=3n﹣2，求{an}的通项公式_________．〖答案〗〖解析〗当时，=1，当时，验证当时，不符合，故舍去，所以.14.离散型随机变量的概率分布规律为，，其中是常数，则______．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，所以，所以，故〖答案〗为：.15.已知函数满足，则曲线在点处的切线斜率为___________．〖答案〗3〖解析〗由，可得．因为，所以，即，则，所以，．故〖答案〗为：3.16.在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第个数与第个数的比为.

〖答案〗〖解析〗假设第中从左至右第个数与第个数的比为，第行从左到右第个数为，第个数为，则，即，解得.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知公差不为零的等差数列中，，又成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）公差不为零的等差数列中，，又成等比数列，所以，即，解得，则；（2）由（1）可知，，可得数列的前项和.18.（1）某地区空气质量监测资料表明，某天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？（2）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占，二厂生产的占35%，三厂生产的占，又知这三个厂的产品次品率分别为，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？解：设表示“某天的空气质量为优良”，设表示“随后一天的空气质量为优良”，由题意得，所以已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率是.设事件为“任取一件为次品”，事件为“任取一件为厂的产品”，，两两互斥，且，由全概率公式得，因为，，故，所以从这批产品中任取一件是次品的概率是.19.已知函数（a，），其图象在点处的切线方程为．（1）求a，b的值；（2）求函数的单调区间和极值；（3）求函数在区间上的最大值．解：（1），，，又图象在点处的切线方程为，所以，解得；（2）由（1）得，，或时，，时，，所以的增区间是和，减区间是，极大值是，极小值是；（3）由（2）知在和上递增，在上单调递减，又，，所以在上的最大值是，最小值是．20.记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．（1）证明：[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于，所以，即,其中，所以数列是以为首项，以为公差等差数列;[方法二]【最优解】：由已知条件知，①于是．②由①②得．③又，④由③④得．令，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法三]：由，得，且，，．又因为，所以，所以．在中，当时，．故数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．下面用数学归纳法证明．当时显然成立．假设当时成立，即．那么当时，．综上，猜想对任意的都成立．即数列是以为首项，为公差的等差数列．（2）解：由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,,当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.21.珠海某中学总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法．某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品．并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为0.7，0.2和0.1．为了购买该品牌的粉笔，校总务老师设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔，随机查看该箱的4盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买．设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A，“箱中有i件非优质产品”为事件（i＝0，1，2）．（1）求，，；（2）随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设X为非优质产品的盒数，求X的分布列．解：（1）由已知，，.（2）X可能的取值为0，1，2，所以，，，所以随机变量X的分布列为：X012P22.已知函数.（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围;（2）若函数有两个极值点为，且，若恒成立，求实数的取值范围.解：（1）法一：由题意得恒成立，设，则，设函数，则，所以函数单调递增，，即，函数单调递增，，故；法二：当时，，设，则，，，为增函数，，在区间上递增，，故满足题意；当时，不满足题意；综上，；（2）因为，方程有两个不相等的实根，且，，又，所以，，令，则，即为递减函数，，所以.广东省珠海市金砖四校2022-2023学年高二下学期期中数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2．选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的〖答案〗标号涂黑.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，〖答案〗必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，若，则（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗D〖解析〗因为，解得：，所以．故选：D．2.、、、四人并排站成一排，如果与相邻，那么不同的排法种数是（）A.24种 B.12种 C.48种 D.23种〖答案〗B〖解析〗由题意，因为与相邻，将与放在一起，共有种排法，将与看成一个整体，与、进行全排列，共有种排法，综上共有种排法，故选：B．3.已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（）A. B.2 C. D.3〖答案〗A〖解析〗因为，所以设公比为q，可得：，两式相除得：.故选：A.4.函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（）A.8 B.-8 C.2 D.-2〖答案〗B〖解析〗因为，则，故，所以切线斜率为，因为切线与直线垂直，所以，解得.故选：B.5.展开式中的系数为（）A.5 B.30 C.35 D.40〖答案〗B〖解析〗二项式的通项公式为：，所以展开式中的系数为：，故选：B.6.在一次春节聚会上，小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人各写了一张祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（）A.小王和小张恰好互换了贺卡的概率为B.已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为C.恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为D.每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为〖答案〗B〖解析〗对于，四个人每人从中随机抽取一张共有种抽法，其中小王和小张恰好互换了贺卡的抽法有种，故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为，即A错误；对于B，设小王抽到的是小张写的贺卡为事件，则，小张抽到小王写的贺卡为事件，则已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为，B正确；对于，恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有种，故恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为不正确；对于D，每个人抽到的贺卡都不是自己写的抽法共有种，故每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为错误.故选：B.7.定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗∵且，∴是奇函数，设，则时，，∴在是减函数．又是奇函数，∴也是奇函数，因此在是递减，从而在上是减函数，不等式为，即，∴．故选：B．8.已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，令，得，设，则，时，；时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，当，由题意，有两个不同的解，即与的图像有两个不同的交点，，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.数列的前项和为，已知，则（）A.是递增数列 B.是等差数列C.当时， D.当或4时，取得最大值〖答案〗CD〖解析〗当时，，当时，，不满足上式，所以，对于A，由于，，所以不是递增数列，所以A错误，对于B，由于，，，所以，所以不是等差数列，所以B错误，对于C，由，得，所以当时，，所以C正确，对于D，，因为，所以当或4时，取得最大值，所以D正确，故选：CD.10.在二项式的展开式中（）A.常数项是第4项 B.所有项的系数和为1C.第5项的二项式系数最大 D.第4项的系数最小〖答案〗BCD〖解析〗二项式的展开式的通项为，对于A，令，得，故常数项是第5项，故A错误；对于B，令，则所有项的系数和是，故B正确；对于C，二项式展开式共9项，则由二项式系数的性质知第5项的二项式系数最大，故C正确；对于D，设第项的系数的绝对值最大，则，解得，又，所以或，当时，；当时，，所以第4项的系数最小，故D正确.故选：BCD.11.观察图象，下列结论错误的有（）．A.若图中为图象，则在处取极小值B.若图中为图象，则有两个极值点C.若图中为图象，则在上单调递增D.若图中为图象，则的解集为〖答案〗ABD〖解析〗选项A：若图为图象，则在两边单调性一致，不是极值，故A错误；选项B：若图为图象，函数单调递减；函数单调递增；函数单调递减；函数单调递增；故函数有-2,0,2三个极值点，选项B错误；选项C:若图为图象，则时，单调性相反，即函数单调递增；函数单调递减；函数单调递增；当单调性一致，函数单调递增；故C正确；选项D:若图为图象，，图像正负相反，时图像正负一致，的解集为，故D错误；故〖答案〗为：ABD.12.在2022年的期中考试中，数学出现了多项选择题．多项选择题第11题有四个选项A、B、C、D，其中正确选项的个数有可能是2个或3个或4个，这三种情况出现的概率均为，且在每种情况内，每个选项是正确选项的概率相同．根据以上信息，下列说法正确的有（）A.某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于B.B选项是正确选项的概率高于C.在C选项为正确选项的条件下，正确选项有3个的概率为D.在D选项为错误选项的条件下，正确选项有2个的概率〖答案〗BC〖解析〗若正确选项的个数为2个，则有种组合，每种组合为正确〖答案〗的概率为，若正确选项的个数为3个，则有种组合，每种组合为正确〖答案〗的概率为，若正确选项的个数为4个，则有1种组合，这种组合为正确〖答案〗的概率为，对于A，随便选了三个选项，能完全答对这道题的概率为，错误；对于B，B选项是正确选项的概率为，正确；对于C，C选项为正确选项为事件A，由B选项知，，正确选项有3个为事件B，则，正确；对于D，D选项为错误选项为事件C，，正确选项有2个为事件D，则，错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{an}的前n项和Sn=3n﹣2，求{an}的通项公式_________．〖答案〗〖解析〗当时，=1，当时，验证当时，不符合，故舍去，所以.14.离散型随机变量的概率分布规律为，，其中是常数，则______．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，所以，所以，故〖答案〗为：.15.已知函数满足，则曲线在点处的切线斜率为___________．〖答案〗3〖解析〗由，可得．因为，所以，即，则，所以，．故〖答案〗为：3.16.在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第个数与第个数的比为.

〖答案〗〖解析〗假设第中从左至右第个数与第个数的比为，第行从左到右第个数为，第个数为，则，即，解得.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知公差不为零的等差数列中，，又成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）公差不为零的等差数列中，，又成等比数列，所以，即，解得，则；（2）由（1）可知，，可得数列的前项和.18.（1）某地区空气质量监测资料表明，某天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？（2）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占，二厂生产的占35%，三厂生产的占，又知这三个厂的产品次品率分别为，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？解：设表示“某天的空气质量为优良”，设表示“随后一天的空气质量为优良”，由题意得，所以已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率是.设事件为“任取一件为次品”，事件为“任取一件为厂的产品”，，两两互斥，且，由全概率公式得，因为，，故，所以从这批产品中任取一件是次品的概率是.19.已知函数（a，），其图象在点处的切线方程为．（1）求a，b的值；（2）求函数的单调区间和极值；（3）求函数在区间上的最大值．解：（1），，，又图象在点处的切线方程为，所以，解得；（2）由（1）得，，或时，，时，，所以的增区间是和，减区间是，极大值是，极小值是；（3）由（2）知在和上递增，在上单调递减，又，，所以在上的最大值是，最小值是．20.记为数列的前n项和，为数列的