《平面向量的运算》平面向量及其应用(第1课时向量的加法运算)课件

6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算1.向量加法的定义及其运算法则(1)向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.(2)向量求和的法则(3)向量a，b的模与a+b的模之间的关系：|a|≤|a|+|b|.【思考】(1)向量求和的三角形法则中求和的两个向量的起点与终点是怎样连接的？和向量的起点与终点是怎样的？提示：求和的两个向量“首尾连接”，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量.(2)向量求和的平行四边形法则中“不共线”是否多余，去掉可以吗？提示：不能，因为如果两个向量共线，就无法以它们为邻边作出平行四边形，也不会产生和向量.(3)平行四边形法则中，求和的两个向量与和向量的起点有什么特点？和向量是怎样产生的？提示：求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以求和的两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量.2.向量加法的运算律交换律结合律a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)【思考】(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)成立吗？提示：成立，向量的加法满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)a+0=a. (

)(2)

(

)(3)

(

)(4)a+(b+c)=c+(a+b). (

)提示：(1)×.两个向量的和仍然是一个向量，所以a+0=a.(2)×.由向量加法的三角形法则知，=0.(3)√.(4)√.由向量加法的交换律、结合律知，a+(b+c)=(a+b)+c=c+(a+b).2.如图，在☉O中，向量是 (

)A.有相同起点的向量 B.共线向量C.模相等的向量 D.相等的向量【解析】选C.由题干图可知是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.3.若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则|a+b|=________，a+b的方向是________.

【解析】如图所示，作=a，=b，则a+b=+=.所以|a+b|=||==8(km)，因为∠AOB=45°，所以a+b的方向是东北方向.答案：8km东北方向类型一向量的加法法则【典例】1.(2019·济宁高一检测)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：①=________；②=________.

2.下列说法正确的是________.(填序号)

①若|a|=3，|b|=2，则|a+b|≥1；②若向量a，b共线，则|a+b|=|a|+|b|；③若|a+b|=|a|+|b|，则向量a，b共线.3.如图，已知三个向量a、b、c，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a+b+c.【思维·引】1.利用相等向量与向量加法的三角形法则求解.2.利用向量a，b的模与a+b的模之间的关系作出判断.3.利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则作图.【解析】1.如题干图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：答案：①②2.①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1；②中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之正确，即③正确.答案：①③3.利用三角形法则作a+b+c，如图①所示，作=a，以A为起点，作=b，再以B为起点，作=c，则

==a+b+c.利用平行四边形法则作a+b+c，如图②所示，作=a，=b，=c，以、为邻边作▱OADB，则=a+b，再以、为邻边作▱ODEC，则

=a+b+c.【内化·悟】用三角形法则与平行四边形法则作三个或以上向量的和的方法是怎样的？提示：用分步作图的方法，即先作出其中两个向量的和，再作所得和向量与第三个向量的和，直至完成作图.【类题·通】1.向量求和的注意点(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用.(2)两个向量的和向量仍是一个向量.(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.2.利用三角形法则的注意点要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量.【发散·拓】向量求和的多边形法则(1)已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则.即(2)首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0.【延伸·练】化简的结果等于

(

)A.0

B.

C.

D.【解析】选A.=0.【习练·破】如图，在正六边形ABCDEF中，点O为中心，=a，=b，求【解析】由向量的平行四边形法则，得

=a+b.在平行四边形ABCO中，

=a+a+b=2a+b.而=2=2a+2b，且=a+b，由三角形法则，得

=b+a+b=a+2b.类型二向量加法运算律的应用【典例】化简：(1)(2) 世纪金榜导学号【思维·引】利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则求和.【解析】【内化·悟】1.如何进行多个向量相加或化简？提示：观察向量的起点与终点字母的特点，看是否具备“首尾相接”.2.这种解题操作的理论依据是什么？提示：向量加法的交换律与结合律.【类题·通】向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.【习练·破】化简：【解析】

【加练·固】在平行四边形ABCD中(如图)，对角线AC，BD交于点O，则①=________.

②=________.

③=________.

④=________.

【解析】①②③④=0.答案：①②③④0类型三利用向量加法解决几何问题【典例】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形. 世纪金榜导学号【思维·引】将互相平分利用向量表示，以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.【解析】如图，设四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC与BD互相平分，因此∥且||=||，即四边形ABCD是平行四边形.【素养·探】在用向量加法证明几何问题时，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过对条件与结论的分析，确定论证思路及方法予以证明.若将本例改为：四边形ABCD中，求证四边形ABCD为矩形.【证明】因为四边形ABCD中，，所以四边形ABCD为平行四边形，如图.所以因为所以，即平行四边形对角线相等，故四边形ABCD为矩形.【类题·通】利用向量解决几何问题的方法用向量法证明几何问题的关键是把几何中的线段转化为向量，通过向量的运算得到结论，然后把向量问题还原为几何问题.【习练·破】如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且=0.求证：【证明】因为所以又因为=0，所以类型四航行中的向量加法问题【物理情境】在长江南岸的某渡口A处，江水以12.5km/h的速度向东流，“顺风号”渡船要以25km/h的速度，由南向北垂直地渡过长江，其航向应如何确定？【转化模板】1.—由题意可得渡船的实际垂直过江的速度是船的速度与水流速度的和，因此解决此问题可建立向量加法模型.2.—设表示水流速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度.3.—向量方向为正东方向，长度为12.5，向量的长度为25，若向量，的和向量与垂直，求向量的方向.4.—如图所示，以AB为一边，AC为对角线作平行四边形，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，||=||=12.5，||=25，∠CAD=30°.5.—渡船的航向为北偏西30°长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上，要不断反思、关照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎?心中有理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭疏食，饮水，曲肱而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策，有包藏宇宙之机，吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担当。为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立志，难成！海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”真正努力精进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学技术，都需要无数次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击溃过你，都不重要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深的孤独不是长久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人的价值，应该看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知，最苦的是等待，最幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。人若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便是黑暗中的那一盏明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目标，去承受常人承受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服的枕头。嫉妒他人，表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微中站起来，带着封存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以，过去的懒惰，决定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议