2022-2023学年江西省南昌市铁路第一中学高二下学期第二次月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省南昌市铁路第一中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题试卷总分：150分考试时间：120分钟一､单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知等差数列，若，则（）A.35B.15C.-22D.-252.已知命题，若为假命题，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.3.满足条件的所有集合的个数是（）A.32B.31C.16D.154.直线与曲线相切于点，则（）A.4B.3C.2D.15.已知集合，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.6.若关于的方程有且只有2个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.7.已知函数，若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.8.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.设.若，则实数的值可以为（）A.B.-5C.D.010.关于的不等式的解集为，则下列说法正确的有（）A.B.C.的最小值为6D.不等式的解集为或11.对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的值可以是（）A.B.C.D.12.对于函数，则（）A.是单调函数的充要条件是B.图象一定是中心对称图形C.若，且恰有一个零点，则或D.若的三个零点恰为某三角形的三边长，则三､填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知“”，：“”，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________.14.函数，已知在时取得极值，则等于_________.15.在数列中，，且，则__________.16.已知关于的不等式恰有2个不同的整数解，则的取值范围是_________.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10分）已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）当时，求函数的最小值.

18.（本小题12分）某相关部门为净化网络直播环境，保证消费者的合法权益，进行了调查问卷，并随机抽取了110人的样本进行分析，得到如下列联表：参加过直播带货未参加过直播带货总计女性501060男性302050总计8030110（1）依据的独立性检验，判断是否有的把握认为参加直播带货与性别有关？（2）现从80名参加过直播带货的人中，采用按性别分层抽样的方法，选取8人的直播间进行抽查.若从这8人中随机选取3人的直播间重点关注，求在选取的3人中有男性的前提下，3人中至少有一名女性的概率.附：，其中.0.050.010.0053.8416.6357.879

19.（本小题12分）已知数列的首项.（1）证明：为等比数列；（2）设数列的前项和，求证：.20.（本小题12.0分）如图，三棱柱的所有棱长都是平面分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求和平面所成角的正弦值.

21.（本小题12.0分）某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择：方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元；方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元.（1）若用方案一，求的分布列与数学期望；（2）比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高？请说明理由；（3）若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布为各位员工贡献利润数额的均值，约为100万元，为数据的方差，约为225，若规定奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得，若按方案一与方案二两种抽奖方式获得奖金的数学期望值的较大者计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）.参考数据：若随机变量服从正态分布，则.

22.（本小题12分）已知.（1）当时，求证：在上单调递减；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

——★参考答案★——一、单选题1.D〖解析〗设等差数列的公差为，，解得，则，故选：D.2.D〖解析〗由题意得，命题“”的否定：“对于任意实数恒成立”为真命题，则，解得：，所以的取值范围为.故选D.3.B4.A〖解析〗直线与曲线相切于点，可得，即，的导数为，即有，则.故选：A.5.A〖解析〗由题得，解得，所以，又，所以只需，解得，所以.故选：A.6.D〖解析〗由，得，所以关于的方程有且只有2个零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，由，得，当时，，当，所以在上递增，在上递减，所以，当时，，所以当时，函数的图像与直线有两个交点，所以的取值范围是.故选D.7.A〖解析〗，易知函数在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，令，即，解得或，要使函数在区间上有最大值，则，解得.故选：A.8.C〖解析〗（i）当时，，令，解得，函数有两个零点，舍去.（ii）当时，，令，解得或.①当时，，当或时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.是函数的极小值点，0是函数的极大值点.函数存在唯一的零点，且，则：，即：，可得.②当时，，当或时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.是函数的极小值点，0是函数的极大值点.，故存在，使得，不满足函数存在唯一的零点，且，综上可得：实数的取值范围是.故选C.二、多选题9.ACD〖解析〗因为，所以，又因为，所以分和两种情况进行讨论，当时，也即方程无解，所以；当时，方程有一解，即，因为，所以或-5，所以或，综上可知：实数的值可以为0或或故选ACD.10.BC〖解析〗关于的不等式的解集为，函数开口向下，与轴交点横坐标为选项，，故错误；B选项，依题可得时，函数值小于0，即，故B正确；C选项，因为开口向下与轴交点横坐标为2，3，所以，即，且，，当且仅当时，即时取等号，故C正确；D选项，不等式可化为，即，解集为或，故D错误.故选：BC.11.BC〖解析〗在上单调递增，又有唯一零点为3，令的零点为，依题意知，即，即函数在上有零点，令，则在上有解，即在上有解，令，当单调递增，当单调递减，在处取得极大值，也是最大值为，又实数的取值范围是，结合选项可知BC正确.故选：BC.12.BCD〖解析〗函数，对于，若是单调函数，则，解得，故A错误；对于B，令，则，令，解得，下证关于中心对称，，所以图象一定是中心对称图形，故B正确；对于C，若，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以在时取极大值，在时取极小值，若恰有一个零点，则或，即或，解得或，故C正确；对于D，若有三个零点，不妨设，恰为某三角形的三边长时，且，则，所以，又，所以，所以，即，易知函数在单调递增，所以，即，即正确.故选BCD.三、填空题13.〖解析〗由题意，由，解得，即命题为真时，由，解得，即命题为真时，因为是的充分不必要条件，所以，所以，（取等号不同时成立），解得故实数的取值范围是.故〖答案〗为：.14.〖解析〗在时取得极值，，解得或，当时，，在上为增函数，无极值，故〖答案〗为.15.2550〖解析〗因为在数列中，，且，当为奇数时，，即，当为偶数时，，所以数列的偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列，所以数列为：，所以.故〖答案〗为2550.16.〖解析〗由题意得恰有2个不同的整数解，令，令，在上恒成立，所以单调递减，由，所以存在，使得，所以当时，单调递增，当时，单调递减，易知时，，画出的图象，如图，因为恰有2个不同的整数解，所以整数解为2和3，所以，解得.即的取值范围是.四、解答题17.解：（1）在处取得极大值，，解得：；经检验，当时满足题意.（2）由（1）得：，解得：，所以的最小值为-3.18.解：（1）根据数据计算，有的把握认为参加直播带货与性别有关联.（2）根据分层抽样方法得，选取的8人中，女性有5人，男性有3人.设事件为3人中有男性，3人至少有一名女性为事件，则，选取的3人中有男性的前提下，3人中至少有一名女性的概率为.19.证明：（1），当时，（常数），数列是公比为3的等比数列；（2）由（1）知，数列是以3为首项，以3为公比的等比数列，，，，.当时，，为递增数列，故的最小值为，20.解：取的中点，连接，则，又平面，所以平面，所以两两垂直，如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，（1）证明：，设分别为平面和平面的法向量，由，得，令，则，是平面的一个法向量，由，得，令，则，是平面的一个法向量，，平面平面.（2）解：，则.21.解：（1）对于方案一，由条件可知有可能取值为，，，的分布列为：3456的数学期望值为；（2）对于方案二，由条件可得值为，，，的数学期望值，，所以采用方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高；（3）由（1）（2）可知，平均每位员工获得奖金的数学期望的最大值为，则给员工颁发奖金的总数为（万元），设每位职工为企业的贡献的数额为，所以获得奖金的职工数约为（人），则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）.22.解：（1）时，，当时，，所以，所以在上单调递减；（2）记当时，，不等式成立；当时，设，则，因为，所以在上单调递增，又，所以，所以在上单调递增，且，因为，所以必须大于等于0，即，即①当时，，所以在上单调递增，因为，所以当时，恒成立；②当时，，因为在上单调递增，又，所以存在，使，当，则在上单调递减，即当时，，不合题意；综上，当时，对于恒成立.即实数的取值范围为.江西省南昌市铁路第一中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题试卷总分：150分考试时间：120分钟一､单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知等差数列，若，则（）A.35B.15C.-22D.-252.已知命题，若为假命题，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.3.满足条件的所有集合的个数是（）A.32B.31C.16D.154.直线与曲线相切于点，则（）A.4B.3C.2D.15.已知集合，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.6.若关于的方程有且只有2个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.7.已知函数，若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.8.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.设.若，则实数的值可以为（）A.B.-5C.D.010.关于的不等式的解集为，则下列说法正确的有（）A.B.C.的最小值为6D.不等式的解集为或11.对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的值可以是（）A.B.C.D.12.对于函数，则（）A.是单调函数的充要条件是B.图象一定是中心对称图形C.若，且恰有一个零点，则或D.若的三个零点恰为某三角形的三边长，则三､填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知“”，：“”，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________.14.函数，已知在时取得极值，则等于_________.15.在数列中，，且，则__________.16.已知关于的不等式恰有2个不同的整数解，则的取值范围是_________.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10分）已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）当时，求函数的最小值.

18.（本小题12分）某相关部门为净化网络直播环境，保证消费者的合法权益，进行了调查问卷，并随机抽取了110人的样本进行分析，得到如下列联表：参加过直播带货未参加过直播带货总计女性501060男性302050总计8030110（1）依据的独立性检验，判断是否有的把握认为参加直播带货与性别有关？（2）现从80名参加过直播带货的人中，采用按性别分层抽样的方法，选取8人的直播间进行抽查.若从这8人中随机选取3人的直播间重点关注，求在选取的3人中有男性的前提下，3人中至少有一名女性的概率.附：，其中.0.050.010.0053.8416.6357.879

19.（本小题12分）已知数列的首项.（1）证明：为等比数列；（2）设数列的前项和，求证：.20.（本小题12.0分）如图，三棱柱的所有棱长都是平面分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求和平面所成角的正弦值.

21.（本小题12.0分）某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择：方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元；方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元.（1）若用方案一，求的分布列与数学期望；（2）比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高？请说明理由；（3）若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布为各位员工贡献利润数额的均值，约为100万元，为数据的方差，约为225，若规定奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得，若按方案一与方案二两种抽奖方式获得奖金的数学期望值的较大者计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）.参考数据：若随机变量服从正态分布，则.

22.（本小题12分）已知.（1）当时，求证：在上单调递减；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

——★参考答案★——一、单选题1.D〖解析〗设等差数列的公差为，，解得，则，故选：D.2.D〖解析〗由题意得，命题“”的否定：“对于任意实数恒成立”为真命题，则，解得：，所以的取值范围为.故选D.3.B4.A〖解析〗直线与曲线相切于点，可得，即，的导数为，即有，则.故选：A.5.A〖解析〗由题得，解得，所以，又，所以只需，解得，所以.故选：A.6.D〖解析〗由，得，所以关于的方程有且只有2个零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，由，得，当时，，当，所以在上递增，在上递减，所以，当时，，所以当时，函数的图像与直线有两个交点，所以的取值范围是.故选D.7.A〖解析〗，易知函数在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，令，即，解得或，要使函数在区间上有最大值，则，解得.故选：A.8.C〖解析〗（i）当时，，令，解得，函数有两个零点，舍去.（ii）当时，，令，解得或.①当时，，当或时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.是函数的极小值点，0是函数的极大值点.函数存在唯一的零点，且，则：，即：，可得.②当时，，当或时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.是函数的极小值点，0是函数的极大值点.，故存在，使得，不满足函数存在唯一的零点，且，综上可得：实数的取值范围是.故选C.二、多选题9.ACD〖解析〗因为，所以，又因为，所以分和两种情况进行讨论，当时，也即方程无解，所以；当时，方程有一解，即，因为，所以或-5，所以或，综上可知：实数的值可以为0或或故选ACD.10.BC〖解析〗关于的不等式的解集为，函数开口向下，与轴交点横坐标为选项，，故错误；B选项，依题可得时，函数值小于0，即，故B正确；C选项，因为开口向下与轴交点横坐标为2，3，所以，即，且，，当且仅当时，即时取等号，故C正确；D选项，不等式可化为，即，解集为或，故D错误.故选：BC.11.BC〖解析〗在上单调递增，又有唯一零点为3，令的零点为，依题意知，即，即函数在上有零点，令，则在上有解，即在上有解，令，当单调递增，当单调递减，在处取得极大值，也是最大值为，又实数的取值范围是，结合选项可知BC正确.故选：BC.12.BCD〖解析〗函数，对于，若是单调函数，则，解得，故A错误；对于B，令，则，令，解得，下证关于中心对称，，所以图象一定是中心对称图形，故B正确；对于C，若，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以在时取极大值，在时取极小值，若恰有一个零点，则或，即或，解得或，故C正确；对于D，若有三个零点，不妨设，恰为某三角形的三边长时，且，则，所以，又，所以，所以，即，易知函数在单调递增，所以，即，即正确.故选BCD.三、填空题13.〖解析〗由题意，由，解得，即命题为真时，由，解得，即命题为真时，因为是的充分不必要条件，所以，所以，（取等号不同时成立），解得故实数的取值范围是.故〖答案〗为：.14.〖解析〗在时取得极值，，解得或，当时，，在上为增函数，无极值，故〖答案〗为.15.2550〖解析〗因为在数列中，，且，当为奇数时，，即，当为偶数时，，所以数列的偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列，所以数列为：，所以.故〖答案〗为2550.16.〖解析〗由题意得恰有2个不同的整数解，令，令，在上恒成立，所以单调递减，由，所以存在，使得，所以当时，单调递增，当时，单调递