2022-2023学年陕西省西安市阎良区高一下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省西安市阎良区2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示：组号12345频数811109则第4组的频数和频率分别是（）A.12，0.06 B.12，0.24 C.18，0.09 D.18，0.36〖答案〗B〖解析〗第4组的频数，频率为.故选：B2.已知复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，则.故选：B3.“五月榴花妖艳烘，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽”，这是欧阳修在《渔家傲·五月榴花妖艳烘》中描写端午节的诗句.某商家为迎接端午节，计划将粽子以“粽情粽意”礼盒形式进行销售，现利用分层随机抽样从72个蛋糕肉粽、18个碱水粽、36个豆沙粽、54个莲子粽中随机抽取10个粽子放入一个礼盒中作为展开进行试销售，则该礼盒中莲子粽的个数为（）A.2 B.1 C.4 D.3〖答案〗D〖解析〗依题意得该礼盒中莲子粽的个数为.故选：D.4.用斜二测画法画一个水平放置平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗法一：如图所示，根据斜二测画法可知，轴，且，原图形为，其中，且，则的面积为.法二：直观图面积为，原图的面积等于直观图面积的倍，所以原图的面积为.故选：D5.某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲､乙都中奖”，则与互为对立事件的是（）A.甲､乙恰有一人中奖 B.甲､乙都没中奖C.甲､乙至少有一人中奖 D.甲､乙至多有一人中奖〖答案〗D〖解析〗“甲、乙恰有一人中奖”与互斥但不对立，故A错误；“甲、乙都没中奖”与互斥但不对立，故B错误；“甲、乙至少有一人中奖”与不互斥，故C错误；“甲、乙至多有一人中奖”与互斥且对立，故D正确．故选：D.6.已知非零向量满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以.因为，所以，又因为，所以.故选：C.7.如图，在四面体中，点在平面上的射影是，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗分别取的中点，连接.因为点在平面上的射影是，所以平面，则.因为分别为中点，所以，所以与所成的角即或其补角.因为，所以，所以.又因为，所以，所以，异面直线所成角的范围是,故异面直线与所成角的余弦值为.故选:C.8.武当山，位于湖北省西北部十堰市境内，其自然风光，以雄为主，兼有险、奇、幽、秀等多重特色.主峰天柱峰犹如金铸玉瑑的宝柱雄峙苍穹，屹立于群峰之巅.环绕其周围的群山，从四面八方向主峰倾斜，形成独特的“七十二峰朝大顶，二十四涧水长流”的天然奇观，被誉为“自古无双胜境，天下第一仙山”.如图，若点为主峰天柱峰的最高点，为观测点，且在同一水平面上的投影分别为，，，由点测得点的仰角为，米，由点测得点的仰角为且，则两点到水平面的高度差约为（）（参考数据：）A.684米 B.732米 C.746米 D.750米〖答案〗C〖解析〗如图，过作交于，过作交于，如图所示，因为，所以，又，则，，则，又，所以，由正弦定理，得，，即，又，所以，所以，则两点到平面的高度差为米.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某学生的笔袋中共有6支不同的圆珠笔，其中3支是黑色圆珠笔，2支是红色圆珠笔，1支是蓝色圆珠笔，现从中任取2支，则下列事件中概率为的是（）A.2支都是黑色圆珠笔 B.1支是黑色圆珠笔，1支是蓝色圆珠笔C.2支都是红色圆珠笔 D.2支中恰有1支是黑色圆珠笔〖答案〗AB〖解析〗设，，表示3支黑色圆珠笔，，表示2支红色圆珠笔，表示1支蓝色圆珠笔，从这6支不同的圆珠笔中任取2支，则样本空间，共15个样本点.可知2支都是黑色圆珠笔的概率为；1支是黑色圆珠笔，1支是蓝色圆珠笔的概率为；2支都是红色圆珠笔的概率为；2支中恰有1支是黑色圆珠笔的概率为.故选：AB.10.已知复数满足，则（）A.的虚部为 B.C.在复平面内对应的点在第四象限 D.〖答案〗ABD〖解析〗因为，所以，所以，的虚部为，故A正确；，故B正确；在复平面内对应的点的坐标为，在第三象限，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：ABD11.某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如图1所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了,届初三学生仰卧起坐一分钟的个数分布条形图如图2所示，则（）A.该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占B.该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2.2倍还多C.该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在内D.相比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加〖答案〗ABD〖解析〗2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占比为，A正确.由于2023届初三学生人数较2022届上升了，假设2022届初三学生人数为，则2022届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为，2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为，因为，故B正确；2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，故C错误；2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占，届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占，因为，故D正确.故选：ABD.12.上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的六面体，设矩形和的中心分别为和，若平面，，，，，，，，，，则（）A.这个六面体是棱台B.该六面体的外接球体积是C.直线与异面D.二面角的余弦值是〖答案〗BCD〖解析〗因为，所以四条侧棱的延长线不能交于一点，所以这个六面体不是棱台，所以错误.由题意可知，这个六面体外接球球心在直线上，且，因为，解得，所以六面体的外接球半径，所以这个六面体的外接球体积是，B正确.和显然不相交，因为，所以与不平行，所以和不在同一平面内，C正确.取和的中点分别为，，连接，则即所求二面角的平面角，，所以，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.13.已知复数为纯虚数，则_________.〖答案〗〖解析〗由复数为纯虚数，可得，解得.故〖答案〗为：.14.已知正四棱台的高为6，且，则该四棱台的体积为___________.〖答案〗56〖解析〗根据棱台的体积公式可得.故〖答案〗为：15.慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.小南计划近6个月的月慢走里程（单位：公里）按从小到大排列依次为11，12，，20，27，且这6个月的月慢走里程的中位数为16，若要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，则_______________.〖答案〗〖解析〗由题意，数据的中位数为，可得，所以，所以这6个月的月慢走里程的平均数为，要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，需要最小，又由，故当标准差最小时，.故〖答案〗为：.16.已知为的外心，且.若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，所以.又因为为的外心，所以为直角三角形且，为斜边的中点，过作的垂线，垂足为.因为在上的投影向量为，所以在上的投影向量为，因为，所以，因为，所以，即的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量．（1）若，求λ的值；（2）若，且，求．解：（1）由向量，因为，所以，解得．（2）由题意得，向量，，由，可得，则，即，解得或，因为，所以，可得，所以．18.在中，分别是内角的对边，.（1）求角的大小；（2）若，求.解：（1）因为，所以.由正弦定理可得：，根据余弦定理可得，因为，所以.（2）由余弦定理知，即，化简得，解得或（舍去）.由正弦定理知，则.19.为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量（单位：），将数据按照，，，，，分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9.（1）在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有多少户？（2）求的值；（3）估计这500个家庭的月均用水量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.解：（1）因为月均用水量在内的家庭占，所以在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有户.（2）由频率分布直方图，可得，则，因为这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9，所以在，则，解得.（3）估计这500个家庭的月均用水量的平均值为.20.如图，在几何体中，已知四边形是正方形，，分别为的中点，为上靠近点的四等分点.（1）证明：//平面；（2）证明：平面//平面.证明：（1）如图，连接，设与相交于点，连接，因为四边形是正方形，则为的中点，又为的中点，于是，，即四边形为平行四边形，则，而平面，平面，所以平面.（2）取的中点，连接，因为，且，则四边形都为平行边形，有，于是四边形为平行四边形，即有，而为上靠近点的四等分点，则为的中点，又为的中点，则，因此，又平面，平面，则平面，显然，又平面，平面，则平面，而平面，所以平面平面21.已知1个不秀明的袋子中装有6个白球和4个黄球（这些球除颜色外无其他差异）.甲从袋中摸出1球，若摸出的是白球，则除将摸出的白球放回袋子中外，再将袋子中的1个黄球拿出，放入1个白球；若摸出的是黄球，则除将摸出的黄球放回袋子中外，再将袋子中的1个白球拿出，放人1个黄球.再充分搅拌均匀后，进行第二次摸球，依此类推，直到袋中全部是同一种颜色的球，已知甲进行了4次摸球.（1）求袋子中球的颜色只有一种的概率；（2）求袋子中白球个数为4的概率.解：（1）分别记第次摸到白球和黄球为事件，事件相互独立，记“4次摸球后，袋子中球的颜色只有一种”为事件，则；（2）记“袋子中白球的个数为4”为事件.，故袋子中白球个数为4的概率为.22.如图，在正三棱柱中，分别为的中点.（1）证明：平面平面.（2）若侧面的中心为为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，求三棱柱的表面积.（1）证明：连接，因为所以侧面是正方形，所以，因为分别为的中点，所以，因为是正三角形，所以，因为平面，平面，，，平面，所以平面，平面，所以，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解：连接交于，取的中点，过作，分别交于，连接，易得，因为平面，平面，所以平面，平面，因为，且都在面OHG内，所以平面平面，所以的轨迹为线段，因为，所以，因为，所以，所以，故三棱柱的表面积为.陕西省西安市阎良区2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示：组号12345频数811109则第4组的频数和频率分别是（）A.12，0.06 B.12，0.24 C.18，0.09 D.18，0.36〖答案〗B〖解析〗第4组的频数，频率为.故选：B2.已知复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，则.故选：B3.“五月榴花妖艳烘，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽”，这是欧阳修在《渔家傲·五月榴花妖艳烘》中描写端午节的诗句.某商家为迎接端午节，计划将粽子以“粽情粽意”礼盒形式进行销售，现利用分层随机抽样从72个蛋糕肉粽、18个碱水粽、36个豆沙粽、54个莲子粽中随机抽取10个粽子放入一个礼盒中作为展开进行试销售，则该礼盒中莲子粽的个数为（）A.2 B.1 C.4 D.3〖答案〗D〖解析〗依题意得该礼盒中莲子粽的个数为.故选：D.4.用斜二测画法画一个水平放置平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗法一：如图所示，根据斜二测画法可知，轴，且，原图形为，其中，且，则的面积为.法二：直观图面积为，原图的面积等于直观图面积的倍，所以原图的面积为.故选：D5.某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲､乙都中奖”，则与互为对立事件的是（）A.甲､乙恰有一人中奖 B.甲､乙都没中奖C.甲､乙至少有一人中奖 D.甲､乙至多有一人中奖〖答案〗D〖解析〗“甲、乙恰有一人中奖”与互斥但不对立，故A错误；“甲、乙都没中奖”与互斥但不对立，故B错误；“甲、乙至少有一人中奖”与不互斥，故C错误；“甲、乙至多有一人中奖”与互斥且对立，故D正确．故选：D.6.已知非零向量满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以.因为，所以，又因为，所以.故选：C.7.如图，在四面体中，点在平面上的射影是，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗分别取的中点，连接.因为点在平面上的射影是，所以平面，则.因为分别为中点，所以，所以与所成的角即或其补角.因为，所以，所以.又因为，所以，所以，异面直线所成角的范围是,故异面直线与所成角的余弦值为.故选:C.8.武当山，位于湖北省西北部十堰市境内，其自然风光，以雄为主，兼有险、奇、幽、秀等多重特色.主峰天柱峰犹如金铸玉瑑的宝柱雄峙苍穹，屹立于群峰之巅.环绕其周围的群山，从四面八方向主峰倾斜，形成独特的“七十二峰朝大顶，二十四涧水长流”的天然奇观，被誉为“自古无双胜境，天下第一仙山”.如图，若点为主峰天柱峰的最高点，为观测点，且在同一水平面上的投影分别为，，，由点测得点的仰角为，米，由点测得点的仰角为且，则两点到水平面的高度差约为（）（参考数据：）A.684米 B.732米 C.746米 D.750米〖答案〗C〖解析〗如图，过作交于，过作交于，如图所示，因为，所以，又，则，，则，又，所以，由正弦定理，得，，即，又，所以，所以，则两点到平面的高度差为米.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某学生的笔袋中共有6支不同的圆珠笔，其中3支是黑色圆珠笔，2支是红色圆珠笔，1支是蓝色圆珠笔，现从中任取2支，则下列事件中概率为的是（）A.2支都是黑色圆珠笔 B.1支是黑色圆珠笔，1支是蓝色圆珠笔C.2支都是红色圆珠笔 D.2支中恰有1支是黑色圆珠笔〖答案〗AB〖解析〗设，，表示3支黑色圆珠笔，，表示2支红色圆珠笔，表示1支蓝色圆珠笔，从这6支不同的圆珠笔中任取2支，则样本空间，共15个样本点.可知2支都是黑色圆珠笔的概率为；1支是黑色圆珠笔，1支是蓝色圆珠笔的概率为；2支都是红色圆珠笔的概率为；2支中恰有1支是黑色圆珠笔的概率为.故选：AB.10.已知复数满足，则（）A.的虚部为 B.C.在复平面内对应的点在第四象限 D.〖答案〗ABD〖解析〗因为，所以，所以，的虚部为，故A正确；，故B正确；在复平面内对应的点的坐标为，在第三象限，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：ABD11.某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如图1所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了,届初三学生仰卧起坐一分钟的个数分布条形图如图2所示，则（）A.该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占B.该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2.2倍还多C.该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在内D.相比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加〖答案〗ABD〖解析〗2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占比为，A正确.由于2023届初三学生人数较2022届上升了，假设2022届初三学生人数为，则2022届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为，2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为，因为，故B正确；2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，故C错误；2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占，届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占，因为，故D正确.故选：ABD.12.上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的六面体，设矩形和的中心分别为和，若平面，，，，，，，，，，则（）A.这个六面体是棱台B.该六面体的外接球体积是C.直线与异面D.二面角的余弦值是〖答案〗BCD〖解析〗因为，所以四条侧棱的延长线不能交于一点，所以这个六面体不是棱台，所以错误.由题意可知，这个六面体外接球球心在直线上，且，因为，解得，所以六面体的外接球半径，所以这个六面体的外接球体积是，B正确.和显然不相交，因为，所以与不平行，所以和不在同一平面内，C正确.取和的中点分别为，，连接，则即所求二面角的平面角，，所以，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.13.已知复数为纯虚数，则_________.〖答案〗〖解析〗由复数为纯虚数，可得，解得.故〖答案〗为：.14.已知正四棱台的高为6，且，则该四棱台的体积为___________.〖答案〗56〖解析〗根据棱台的体积公式可得.故〖答案〗为：15.慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.小南计划近6个月的月慢走里程（单位：公里）按从小到大排列依次为11，12，，20，27，且这6个月的月慢走里程的中位数为16，若要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，则_______________.〖答案〗〖解析〗由题意，数据的中位数为，可得，所以，所以这6个月的月慢走里程的平均数为，要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，需要最小，又由，故当标准差最小时，.故〖答案〗为：.16.已知为的外心，且.若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，所以.又因为为的外心，所以为直角三角形且，为斜边的中点，过作的垂线，垂足为.因为在上的投影向量为，所以在上的投影向量为，因为，所以，因为，所以，即的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量．（1）若，求λ的值；（2）若，且，求．解：（1）由向量，因为，所以，解得．（2）由题意得，向量，，由，可得，则，即，解得或，因为，所以，可得，所以．18.在中，分别是内角的对边，.（1）求角的大小；（2）若，求.解：（1）因为，所以.由正弦定理可得：，根据余弦定理可得，因为，所以.（2）由余弦定理知，即，化简得，解得或（舍去）.由正弦定理知，则.19.为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量（单位：），将数据按照，，，，，分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9.（1）在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有多少户？（2）求的值；（3）估计这500个家庭的月均用水