2022-2023学年江苏省南京市江宁区高一下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市江宁区2022-2023学年高一下学期期末数学试题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知复数，（i为虚数单位），则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，所以，故选：D2.已知点，，若，则点的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，得，设，则，因为，所以，解得，所以点的坐标为，故选：A3.一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程次，共摸出红球次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（）个．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设黄球的个数为，由古典概型的概率公式可得，解得.故选：B.4.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则.故选C.5.已知，则（）A. B.2 C. D.7〖答案〗D〖解析〗由得,所以，故选：D6.从这个整数中随机选择两个不同的数，设“选到的两个数的和能被整除”为事件，“选到的两个数的和能被整除”为事件，则事件发生的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知，事件为“选到的两个数的和能被或整除”，从这个整数中随机选择两个不同的数，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，事件所包含的基本事件有：、、、、、，共种，因此，.故选：C.7.在中，，边上的高等于，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，边上的高等于，又，则，由余弦定理可得，，所以．故选：D．8.已知正四棱锥的体积为，底面边长为，正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗正四棱锥的外接球的球心在正四棱锥的高所在直线上，如图，连接交于点，连接，正四棱锥的底面边长为，设高为，∴，解得，设球的半径为，，则，解得，则球的体积为.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分．9.随机抽取某班20名学生在一次数学测验中的得分如下：50，58，65，66，70，72，75，77，78，78，80，81，81，83，84，85，88，90，95，98下面说法正确的是（）A.这组数据的极差为48B.为便于计算平均数，将这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70C.为便于计算方差，将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相差70D.这组数据的上四分位数是84.5〖答案〗ABD〖解析〗对于A，这组数据的极差为，故A正确；对于B，原数据的平均数为：，将这组数据都减去70后得到的平均数为：，所以这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70，故B正确；对于C，原数据的方差为：，将这组数据都减去70后得到的方差为：所以将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相等，故C错误；对于D，这组数据的上四分位数是第百分位数，即，所以，则这组数据的上四分位数是84.5，故D正确；故选：ABD.10.下列说法正确的是（）A.已知复数、，则B.已知复数、，则C.复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内所对应点的集合是一条直线D.设（为虚数单位），则〖答案〗ACD〖解析〗对于A选项，设，，则，所以，，A对；对于B选项，取，，则，，此时，B错；对于C选项，设，则，，由可得，化简可得，因此，复数在复平面内所对应点的集合是一条直线，C对；对于D选项，，则，D对.故选：ACD.11.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由，得，即，A选项正确，C选项错误；，两边同时平方，得，即，化简得，由，则，，所以，B选项正确，D选项错误故选：AB12.如图，多面体的所有棱长均为，则（）A.B.平面平面C.直线与平面所成的角为D.点到平面的距离为〖答案〗ACD〖解析〗对于A选项，如图，设，连接、，则为、的中点，因为，为的中点，则，同理，因为，、平面，所以，平面，同理可证平面，因为、有公共点，则、、三点共线，且，又因为为的中点，所以，四边形为平行四边形，故，A对；对于B选项，取中点为，在、中，由正三角形的性质可得，，，平面平面，平面，平面，则为二面角的平面角，易知四边形是边长为的正方形，则，，所以，，，同理可得，所以，，故，B错；对于C选项，由条件可知四棱锥、四棱锥均为正四棱锥，连接、交点为正方形的中心，则平面，即为直线与平面所成的角，由，，可得，则为等腰直角三角形，所以，，C对；对于D选项，因为，且，则，因为平面，则，因为是边长为的等边三角形，则，设点到平面的距离为，由，即，则，因为为的中点，所以，点到平面的距离为，D对.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第16题第一空2分，第二空3分．13.__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.14.如图，用，，三种不同的元件并联连接成系统，每个元件是否正常工作不受其他元件影响．当元件，，中至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件，，正常工作的概率分别为，，，则系统正常工作的概率为__________．〖答案〗〖解析〗记事件：“系统正常工作”，则：“元件，，均不正常工作”，因为每个元件是否正常工作相互独立，则，所以.故〖答案〗为：15.已知正方体棱长为2，为棱中点，过，，三点的平面截正方体，所得截面面积为__________．〖答案〗〖解析〗取的中点为,连接,则,又,故,则梯形梯形即为截面四边形，由于,,所以梯形为等腰梯形，则高为,所以面积为，故〖答案〗为：16.以为钝角的中，，，①当时，面积为__________．②当最大时，面积为__________．〖答案〗①.②.〖解析〗过A作，垂足为，如图，则，所以，又，所以．所以面积为.设，则在直角三角形中，,由于,所以，当且仅当，即时取“=”，由正切函数的单调性知此时也最大．此时的面积为，故〖答案〗为：，四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，的夹角为，且，．（1）求．（2）（其中），当取最小值时，求与的夹角的大小．解：（1），所以．（2），故当时，最小．此时，；，．因为与的夹角范围为，故与的夹角为．18.在平面四边形中，，，，．（1）求；（2）若，求．解：（1）在中，由正弦定理得．由题设知，，所以．由题设知，，所以．（2）由题设及（1）知，．在中，由余弦定理得．所以．19.海水养殖场更新了某水产品的网箱养殖方法，收获时随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如下：（1）求频率直方图中值，并估计箱产量的众数和中位数（精确到0.01）．（2）若先用分层抽样的方法从箱产量在和的网箱中抽取6个网箱，然后再从抽出的这6个网箱中任意选取2个网箱做进一步检测，求这2个网箱中至少有1个箱产量在的概率．解：（1）由频率分部直方图可得，解得．众数为；前三组的频率为，设中位数为，则，故．（2）箱产量在和的比值为2：1，故6个网箱中有4个在中，将4个网箱记为，有2个在中，记为从6个中抽出2个网箱，共有15种方法，都在中的有这1种，故这2个网箱中至少有1个箱产量在的概率为．20.已知，，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．解：（1）因为，，因为，即，展开可得，若，则，这与矛盾，所以，，因此，.（2）因为，所以，，展开得，即，即，即，解得．21.如图，三棱柱中，，，，，．（1）证明：．（2）求三棱柱的体积．（3）求二面角的平面角余弦值大小．（1）证明：取中点，连接，，，，，是正三角形，．，，，平面平面，∴平面．又平面，；（2）解：由题设知与都是边长为2的等边三角形，所以．又，则，故．因为，所以平面，即为三棱柱的高，又的面积，故三棱柱的体积．（3）解：过作于点，连接，因为，，，平面，所以平面，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，故，．则即为二面角的平面角．在中：，，所以，所以．22.如图，设中角、、所对的边分别为、、，为边上的中线，已知，，．（1）求边、的长度；（2）求的面积；（3）点为上一点，，过点的直线与边、（不含端点）分别交于、．若，求的值．解：（1）因为，所以，，即，所以，，即，即．又因，所以，.（2）设，因为为边上的中线，所以，，则，，，①整理得，即，得或，由①，得，所以，，则，故，因此，．（3）由（2）知，，为的中点，则．设，，其中、．所以，得．又、、三点共线，则、共线，设，则，所以，，因为、不共线，则，即，由，得，又，所以，即，又因为，所以，，所以，，解得，所以：，，所以．江苏省南京市江宁区2022-2023学年高一下学期期末数学试题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知复数，（i为虚数单位），则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，所以，故选：D2.已知点，，若，则点的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，得，设，则，因为，所以，解得，所以点的坐标为，故选：A3.一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程次，共摸出红球次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（）个．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设黄球的个数为，由古典概型的概率公式可得，解得.故选：B.4.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则.故选C.5.已知，则（）A. B.2 C. D.7〖答案〗D〖解析〗由得,所以，故选：D6.从这个整数中随机选择两个不同的数，设“选到的两个数的和能被整除”为事件，“选到的两个数的和能被整除”为事件，则事件发生的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知，事件为“选到的两个数的和能被或整除”，从这个整数中随机选择两个不同的数，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，事件所包含的基本事件有：、、、、、，共种，因此，.故选：C.7.在中，，边上的高等于，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，边上的高等于，又，则，由余弦定理可得，，所以．故选：D．8.已知正四棱锥的体积为，底面边长为，正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗正四棱锥的外接球的球心在正四棱锥的高所在直线上，如图，连接交于点，连接，正四棱锥的底面边长为，设高为，∴，解得，设球的半径为，，则，解得，则球的体积为.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分．9.随机抽取某班20名学生在一次数学测验中的得分如下：50，58，65，66，70，72，75，77，78，78，80，81，81，83，84，85，88，90，95，98下面说法正确的是（）A.这组数据的极差为48B.为便于计算平均数，将这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70C.为便于计算方差，将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相差70D.这组数据的上四分位数是84.5〖答案〗ABD〖解析〗对于A，这组数据的极差为，故A正确；对于B，原数据的平均数为：，将这组数据都减去70后得到的平均数为：，所以这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70，故B正确；对于C，原数据的方差为：，将这组数据都减去70后得到的方差为：所以将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相等，故C错误；对于D，这组数据的上四分位数是第百分位数，即，所以，则这组数据的上四分位数是84.5，故D正确；故选：ABD.10.下列说法正确的是（）A.已知复数、，则B.已知复数、，则C.复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内所对应点的集合是一条直线D.设（为虚数单位），则〖答案〗ACD〖解析〗对于A选项，设，，则，所以，，A对；对于B选项，取，，则，，此时，B错；对于C选项，设，则，，由可得，化简可得，因此，复数在复平面内所对应点的集合是一条直线，C对；对于D选项，，则，D对.故选：ACD.11.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由，得，即，A选项正确，C选项错误；，两边同时平方，得，即，化简得，由，则，，所以，B选项正确，D选项错误故选：AB12.如图，多面体的所有棱长均为，则（）A.B.平面平面C.直线与平面所成的角为D.点到平面的距离为〖答案〗ACD〖解析〗对于A选项，如图，设，连接、，则为、的中点，因为，为的中点，则，同理，因为，、平面，所以，平面，同理可证平面，因为、有公共点，则、、三点共线，且，又因为为的中点，所以，四边形为平行四边形，故，A对；对于B选项，取中点为，在、中，由正三角形的性质可得，，，平面平面，平面，平面，则为二面角的平面角，易知四边形是边长为的正方形，则，，所以，，，同理可得，所以，，故，B错；对于C选项，由条件可知四棱锥、四棱锥均为正四棱锥，连接、交点为正方形的中心，则平面，即为直线与平面所成的角，由，，可得，则为等腰直角三角形，所以，，C对；对于D选项，因为，且，则，因为平面，则，因为是边长为的等边三角形，则，设点到平面的距离为，由，即，则，因为为的中点，所以，点到平面的距离为，D对.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第16题第一空2分，第二空3分．13.__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.14.如图，用，，三种不同的元件并联连接成系统，每个元件是否正常工作不受其他元件影响．当元件，，中至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件，，正常工作的概率分别为，，，则系统正常工作的概率为__________．〖答案〗〖解析〗记事件：“系统正常工作”，则：“元件，，均不正常工作”，因为每个元件是否正常工作相互独立，则，所以.故〖答案〗为：15.已知正方体棱长为2，为棱中点，过，，三点的平面截正方体，所得截面面积为__________．〖答案〗〖解析〗取的中点为,连接,则,又,故,则梯形梯形即为截面四边形，由于,,所以梯形为等腰梯形，则高为,所以面积为，故〖答案〗为：16.以为钝角的中，，，①当时，面积为__________．②当最大时，面积为__________．〖答案〗①.②.〖解析〗过A作，垂足为，如图，则，所以，又，所以．所以面积为.设，则在直角三角形中，,由于,所以，当且仅当，即时取“=”，由正切函数的单调性知此时也最大．此时的面积为，故〖答案〗为：，四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，的夹角为，且，．（1）求．（2）（其中），当取最小值时，求与的夹角的大小．解：（1），所以．（2），故当时，最小．此时，；，．因为与的夹角范围为，故与的夹角为．18.在平面四边形中，，，，．（1）求；（2）若，求．解：（1）在中，由正弦定理得．由题设知，，所以．由题设知，，所以．（2）由题设及（1）知，．在中，由余弦定理得．所以．19.海水养殖场更新了某水产品的网箱养殖方法，收获时随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如下：（1）求频率直方图中值，并估计箱产量的众数和中位