2022-2023学年福建省三明市四地四校高二下学期期中联考协作数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省三明市四地四校2022-2023学年高二下学期期中联考协作数学试题（满分150分，完卷时间120分钟）第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，因此，.故选：D.2.函数的导数为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得故选：D.3.已知随机变量服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗随机变量服从正态分布，若，则.故选：B.4.现给定两个命题：命题：对任意的，；命题：存在，使.则（）A.命题，都是真命题 B.命题，都是假命题C.命题真命题，命题是假命题 D.命题是假命题，命题是真命题〖答案〗C〖解析〗因为对任意的，，所以命题是真命题；因为，所以命题是假命题.故选：C.5.若的展开式中各项系数和为，则其展开式中的常数项为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗展开式的各项系数和为，解得，则的展开式通项为，令，可得，因此，展开式中的常数项为.故选：A.6.具有线性相关关系的两变量，满足的一组数据如下表，若与的回归直线方程为，则的值为（）012318A.6 B.5 C. D.4〖答案〗A〖解析〗由表格数据可求得，，因为与的回归直线方程为且其必过点，故将代入可得，故选：A.7.永沙高级中学学生会有8位学生春游，其中高一学生2名､高二学生3名､高三学生3名.现将他们排成一列，要求2名高一学生相邻､3名高二学生相邻，3名高三学生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（）A.288种 B.144种 C.72种 D.36种〖答案〗B〖解析〗根据题意，分2步进行：第一步，先将2名高一学生看成整体，3名高二学生看成整体，然后排成一排有种不同的排法，第二步，将3名高三学生插在这两个整体形成的3个空档中，有种不同排法，根据分步原理，共有种不同的排法，故选：B.8.从标有1，2，3，4，5，6，7的7张卡片中每次取出1张卡片，抽出的卡片不放回，事件A：“第一次抽出的卡片上的数是质数”，事件B：“第二次抽出的卡片上的数是偶数”，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗标有1，2，3，4，5，6，7的7张卡片中，其中卡片上的数是质数的有2，3，5，7，卡片上的数是偶数的有2，4，6，所以，，所以.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因为，，对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，当时，，C错；对于D选项，，则，D对.故选：ABD.10.如图是函数的导函数的图像，则下面判断正确的是（）A.在上是增函数 B.在上是减函数C.当时，取得极小值． D.当时，取得极大值〖答案〗BD〖解析〗当时，的符号有正有负，不是单调的函数，A错误；当时，是减函数，B正确；，不是极值点，C错误；当时，单调递增，当时，单调递减，在处，取得极大值，D正确；故选：BD.11.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件，和表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，以事件B表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是（）A.，，是两两互斥的事件 B.事件B与事件相互独立C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由题意分析可知：，，是两两互斥的事件.故A正确；，，.所以.故C正确；同理，可得，所以.故D正确；因为,而，所以,所以事件B与事件不是相互独立事件.故B错误.故选：ACD.12.对于任意实数，有，则下列结论成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗，则的展开式的通项公式为：，当时，，故A正确；当时，，故B正确；当时，，，当时，，即，所以，故C正确；当时，，即，故D错误．故选：ABC．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.随机变量的分布如下表，则____.0240.4a0.3〖答案〗〖解析〗由，可得，则，则.故〖答案〗为：.14.曲线在点处的切线方程为________.〖答案〗〖解析〗由，得，，又时，，曲线在点处的切线方程为，即．故〖答案〗为：．15.已知实数，，则的最小值是______.〖答案〗3〖解析〗,令,则,当且仅当即时等号成立.故的最小值为3.故〖答案〗为：3.16.若函数有两个零点，则实数的取值范围是_______.〖答案〗〖解析〗因为，由可得，其中，令，则直线与函数的图象有两个公共点，且，令可得，列表如下：减减极大值增当时，；当时，，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有两个公共点，因此，实数的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）∵当时，，或，所以，（2）或，，因为，，所以,所以，解得.所以满足，的实数的取值范围是.18.已知，函数的单调递减区间为，区间.（1）求函数的单调递减区间；（2）“”是“”的充分条件，求的取值范围.解：（1）因为，所以，由，有，得，所以的单调递减区间为；（2）因为，有得，又“”是“”的充分条件，可知，有，得，故实数的取值范围为.19.为回馈广大消费者对商场的支持与关心，商场决定开展抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地取出彩球，共取三次，取到三个都是红球获得一等奖，恰好取到两个红色球获得二等奖，恰好取到一个红色球获得三等奖.（1）若取球过程是无放回的，求“获得三等奖”和“获得二等奖以上”的概率；（2）若取球过程是有放回的，取到红色球的个数记为，求的概率分布列及数学期望.解：（1）取到红色球的个数记为，获得一、二、三等奖分别对应于、、，根据超几何分布可知：；法一：，.法二：.故“获得三等奖”的概率为，“获得二等奖以上”的概率为；（2）随机变量的可能取值为：；且，，，的分布列如下：所以.20.《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：单价（元/件）88.28.48.68.89销量（万件）908483807568（1）根据以上数据，求关于的线性回归方程；（2）若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润，最大利润是多少.附：参考公式：回归方程，其中，.参考数据：，.解：（1）因为，，所以.则，因此回归直线方程为.（2）设工厂获得的利润为万元，则，所以该产品的单价定为元时，工厂获得利润最大，最大利润为万元.21.下表是某省的A市的某种传染病与饮用水卫生程度的调查表：饮用水传染病合计得病未得病干净水不干净水合计（1）依据的独立性检验，能否认为某省A市得这种传染病与饮用不干净水有关；（2）已知某省A市、B市和其它县市人口占比分别是20%、15%、65%，以调查表数据的频率估计A市得某种传染病的概率，经过深入调查发现B市和其它县市得某种传染病的概率分别为12%、15%，从该省中任意抽取一人，试估计这个人得某传染病的概率.附表及公式：，其中.临界值表：解：（1）零假设得这种传染病与饮用水独立，既得这种传染病与饮用不干净水没有关系.由表中数据可得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，既认为得这种传染病与饮用不干净水有关系，此推断犯错误的概率不大于.（2）设“任意抽取一人，此人得某种传染病”，记“任意抽取一人来自A市”，“任意抽取一人来自B市”，“任意抽取一人来自其他县市”，则，且，，两两互斥.根据题意得，，，，由全概率公式得，所以从该省中任意抽取一人，这个人得某传染病的概率为.22.已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围．解：（1）函数的定义域为．当时，.当x变化时，和的值的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由上表可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，极小值是，无极大值.（2）由题知，得．若函数为上的单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成立．也即在上恒成立．令，则．当时，，在上为减函数，，所以．∴的取值范围为．福建省三明市四地四校2022-2023学年高二下学期期中联考协作数学试题（满分150分，完卷时间120分钟）第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，因此，.故选：D.2.函数的导数为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得故选：D.3.已知随机变量服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗随机变量服从正态分布，若，则.故选：B.4.现给定两个命题：命题：对任意的，；命题：存在，使.则（）A.命题，都是真命题 B.命题，都是假命题C.命题真命题，命题是假命题 D.命题是假命题，命题是真命题〖答案〗C〖解析〗因为对任意的，，所以命题是真命题；因为，所以命题是假命题.故选：C.5.若的展开式中各项系数和为，则其展开式中的常数项为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗展开式的各项系数和为，解得，则的展开式通项为，令，可得，因此，展开式中的常数项为.故选：A.6.具有线性相关关系的两变量，满足的一组数据如下表，若与的回归直线方程为，则的值为（）012318A.6 B.5 C. D.4〖答案〗A〖解析〗由表格数据可求得，，因为与的回归直线方程为且其必过点，故将代入可得，故选：A.7.永沙高级中学学生会有8位学生春游，其中高一学生2名､高二学生3名､高三学生3名.现将他们排成一列，要求2名高一学生相邻､3名高二学生相邻，3名高三学生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（）A.288种 B.144种 C.72种 D.36种〖答案〗B〖解析〗根据题意，分2步进行：第一步，先将2名高一学生看成整体，3名高二学生看成整体，然后排成一排有种不同的排法，第二步，将3名高三学生插在这两个整体形成的3个空档中，有种不同排法，根据分步原理，共有种不同的排法，故选：B.8.从标有1，2，3，4，5，6，7的7张卡片中每次取出1张卡片，抽出的卡片不放回，事件A：“第一次抽出的卡片上的数是质数”，事件B：“第二次抽出的卡片上的数是偶数”，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗标有1，2，3，4，5，6，7的7张卡片中，其中卡片上的数是质数的有2，3，5，7，卡片上的数是偶数的有2，4，6，所以，，所以.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因为，，对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，当时，，C错；对于D选项，，则，D对.故选：ABD.10.如图是函数的导函数的图像，则下面判断正确的是（）A.在上是增函数 B.在上是减函数C.当时，取得极小值． D.当时，取得极大值〖答案〗BD〖解析〗当时，的符号有正有负，不是单调的函数，A错误；当时，是减函数，B正确；，不是极值点，C错误；当时，单调递增，当时，单调递减，在处，取得极大值，D正确；故选：BD.11.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件，和表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，以事件B表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是（）A.，，是两两互斥的事件 B.事件B与事件相互独立C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由题意分析可知：，，是两两互斥的事件.故A正确；，，.所以.故C正确；同理，可得，所以.故D正确；因为,而，所以,所以事件B与事件不是相互独立事件.故B错误.故选：ACD.12.对于任意实数，有，则下列结论成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗，则的展开式的通项公式为：，当时，，故A正确；当时，，故B正确；当时，，，当时，，即，所以，故C正确；当时，，即，故D错误．故选：ABC．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.随机变量的分布如下表，则____.0240.4a0.3〖答案〗〖解析〗由，可得，则，则.故〖答案〗为：.14.曲线在点处的切线方程为________.〖答案〗〖解析〗由，得，，又时，，曲线在点处的切线方程为，即．故〖答案〗为：．15.已知实数，，则的最小值是______.〖答案〗3〖解析〗,令,则,当且仅当即时等号成立.故的最小值为3.故〖答案〗为：3.16.若函数有两个零点，则实数的取值范围是_______.〖答案〗〖解析〗因为，由可得，其中，令，则直线与函数的图象有两个公共点，且，令可得，列表如下：减减极大值增当时，；当时，，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有两个公共点，因此，实数的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）∵当时，，或，所以，（2）或，，因为，，所以,所以，解得.所以满足，的实数的取值范围是.18.已知，函数的单调递减区间为，区间.（1）求函数的单调递减区间；（2）“”是“”的充分条件，求的取值范围.解：（1）因为，所以，由，有，得，所以的单调递减区间为；（2）因为，有得，又“”是“”的充分条件，可知，有，得，故实数的取值范围为.19.为回馈广大消费者对商场的支持与关心，商场决定开展抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地取出彩球，共取三次，取到三个都是红球获得一等奖，恰好取到两个红色球获得二等奖，恰好取到一个红色球获得三等奖.（1）若取球过程是无放回的，求“获得三等奖”和“获得二等奖以上”的概率；（2）若取球过程是有放回的，取到红色球的个数记为，求的概率分布列及数学期望.解：（1）取到红色球的个数记为，获得一、二、三等奖分别对应于、、，根据超几何分布可知：；法一：，.法二：.故“获得三等奖”的概率为，“获得二等奖以上”的概率为；（2）随机变量的可能取值为：；且，，，的分布列如下：所以.20.《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：单价（元/件）88.28.48.68.89销量（万件）908483807568（1）根据以上数据，求关于的线性回归方程；（2）若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，