2022-2023学年湖北省荆州市部分校高一下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省荆州市部分校2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、选择题1.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A2.若复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，则.故选：D.3.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知可得，，由可得，.因为函数在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，所以，，所以，所以，，，所以.故选：B.4.已知两个非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗因为且，可得，解得或，又因为为非零向量，所以，即，故“”是“”的充要条件．故选：C.5.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，所以，得.故选：D6.在正方形中，，分别为的中点，，则（）A.2 B.1 C.10 D.4〖答案〗A〖解析〗由题知，在正方形中，，所以以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题可知，，，则，，所以.故选：A.7.已知函数的图象关于点对称，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为的图象关于点对称，所以，所以.因为，所以，即，则.故选：C.8.在中，为上的中线，为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若，，则的最小值为（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由题意，设，，则，所以，，得，所以（当且仅当时等号成立）.故选：D二、多选题9.在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件判断三角形的情况，则正确的是（）A.，，，有两解B.，，，有两解C.，，，只有一解D.，，，只有一解〖答案〗CD〖解析〗对于A，因为，，则，由正弦定理，得，显然有唯一结果，即只有一解，A错误；对于B，，，，由正弦定理得，无解，B错误；对于C，，，，有，则，由正弦定理得，有唯一解，C正确；对于D，，，，有，则，此时，有唯一解，D正确.故选：CD10.已知复数，，在复平面内对应的点分别为，且为复平面内的原点，则（）A.的虚部为B.为纯虚数C.D.以为三边长的三角形为钝角三角形〖答案〗BCD〖解析〗对于A项，因为，所以的虚部为，所以A错误；对于B项，因为，所以为纯虚数，所以B正确；对于C项，因为，，所以，所以，所以C正确；对于D项，由已知可得，，，且，所以，，所以D正确.故选：BCD.11.在中，内角对边分别为，的角平分线交于，为的中点，则（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗AD〖解析〗对于A项，由可得，，则，所以，.因为，则，即，故A正确；对于B项，由A知，，B项错误；对于C项，由题可知，所以.因为，所以，整理可得，所以，故C错误；对于D项，由C可知，，故D项正确.故选：AD.12.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（）A.B.在向量上的投影向量为C.若，则为的中点D.若在线段上，且，则的取值范围为〖答案〗BD〖解析〗如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，设，则，整理得到，，，，设，对选项A：，，，错误；对选项B：，，，即投影向量为，正确；对选项C：，，，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误；对选项D：，，，，，整理得到，，故，正确.故选：CD三、填空题13.已知复数满足，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，则.故〖答案〗为：.14.若不等式对恒成立，则a的取值范围是__________，的最小值为__________．〖答案〗①.②.〖解析〗当时，不等式对不恒成立，不符合题意（舍去）；当时，要使得对恒成立，则满足，解得，所以实数的取值范围为.因为，可得，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．故〖答案〗为：；.15.如图，在平行四边形中，，，，延长交于点，则__________.〖答案〗〖解析〗由已知可得，，所以，即为的中点，所以.又，所以.故〖答案〗为：.16.广州国际金融中心大楼，简称“广州IFC”，又称“广州西塔”，位于广东省广州市，为地处天河中央商务区的一栋摩天大楼，东面珠江公园，南邻珠江和广州塔，西近广州大道，北望天河体育中心与白云山.小胜为测量其高度，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，其中，，三点共线且与广州国际金融中心大楼底部在同一水平高度，已知米，则广州国际金融中心大楼的高度为______米.〖答案〗435〖解析〗如图是塔底，显然与垂直，，，，设，则，，，由余弦定理得，，因为，，即，所以，即，解得．故〖答案〗为：435.四、解答题17.已知复数与互为共轭复数.（1）判断在复平面内对应的点在第几象限，并说明理由；（2）在复数范围内，解关于的一元二次方程.解：（1）因为复数与互为共轭复数，所以，，所以在复平面内对应的点为，在第二象限.（2）由（1）可得，，则方程为，即，所以，解得，故关于的方程的根为或.18.设，是不共线的两个向量，若，，．（1）若，，且，求与的夹角；（2）若A，B，C三点共线，求m值．解：（1）依题意，时，，因为，所以，又，所以，则，而，所以与的夹角为．（2）因为，，且A，B，C三点共线，所以存在，使得，即，则，解得．19.已知函数，且，当的定义域是时，此时值域也是.（1）求的值；（2）若，证明为奇函数，并求不等式的解集.解：（1）当时，函数单调递减，且.又在上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，所以，解得；当时，函数单调递增，且.又在上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，所以，解得.综上，，或，.（2）因为，所以，，则，定义域为，且函数在上单调递增.因为，所以奇函数.则不等式，可化为.又函数在上单调递增，则，即，所以不等式的解集为.20.已知分别为内角所对的边，，且．（1）求；（2）求的取值范围．解：（1），由及正弦定理，得，得，代入得，又因为，所以．（2）由（1）知，所以.所以，因为,所以，所以，所以，故的取值范围是.21.已知函数的部分图象如图所示，且图中的.（1）求〖解析〗式；（2）判断函数在上的零点个数，并说明理由.解：（1）由图可知，又图象的一条对称轴为直线，由，得，所以，因为，所以，得，又，所以，故.（2）在上有个零点.理由如下：在上的零点个数等于的图象与直线在上的交点个数，令，得，当时，，当时，，，与，的函数图象如下所示：由图可知两函数有且只有个交点，故在上有个零点.22.在某郁金香主题公园景区中，春的气息热烈而浓厚，放眼望去各色郁金香让人心潮澎湃，黑色“夜皇后”低调而奢华；白色“塔克马山”叶片叠层丰富，姿态雍容华贵；粉色“香奈儿”微微张开花瓣，自带芬芳.园区计划在如图所示的区域内种植樱花和风信子，让游客在花的海洋里有不一样的体验，其中区域种植樱花，区域种植风信子.为了满足游客观赏需要，现欲在射线上分别选一处，修建一条贯穿两区域的直路与相交于点，其中每百米的修路费用为万元.已知，百米，设.（1）试将修路总费用表示为的函数；（2）求修路总费用的最小值.解：（1）在中，，，，根据正弦定理得，则.在中，，所以，由正弦定理得，即，所以.所以，.（2）因为.令，因为，所以，所以.又，所以.令，因为函数在上单调递增，且，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，则当，即时，，所以修路总费用的最小值为6万元.湖北省荆州市部分校2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、选择题1.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A2.若复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，则.故选：D.3.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知可得，，由可得，.因为函数在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，所以，，所以，所以，，，所以.故选：B.4.已知两个非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗因为且，可得，解得或，又因为为非零向量，所以，即，故“”是“”的充要条件．故选：C.5.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，所以，得.故选：D6.在正方形中，，分别为的中点，，则（）A.2 B.1 C.10 D.4〖答案〗A〖解析〗由题知，在正方形中，，所以以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题可知，，，则，，所以.故选：A.7.已知函数的图象关于点对称，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为的图象关于点对称，所以，所以.因为，所以，即，则.故选：C.8.在中，为上的中线，为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若，，则的最小值为（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由题意，设，，则，所以，，得，所以（当且仅当时等号成立）.故选：D二、多选题9.在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件判断三角形的情况，则正确的是（）A.，，，有两解B.，，，有两解C.，，，只有一解D.，，，只有一解〖答案〗CD〖解析〗对于A，因为，，则，由正弦定理，得，显然有唯一结果，即只有一解，A错误；对于B，，，，由正弦定理得，无解，B错误；对于C，，，，有，则，由正弦定理得，有唯一解，C正确；对于D，，，，有，则，此时，有唯一解，D正确.故选：CD10.已知复数，，在复平面内对应的点分别为，且为复平面内的原点，则（）A.的虚部为B.为纯虚数C.D.以为三边长的三角形为钝角三角形〖答案〗BCD〖解析〗对于A项，因为，所以的虚部为，所以A错误；对于B项，因为，所以为纯虚数，所以B正确；对于C项，因为，，所以，所以，所以C正确；对于D项，由已知可得，，，且，所以，，所以D正确.故选：BCD.11.在中，内角对边分别为，的角平分线交于，为的中点，则（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗AD〖解析〗对于A项，由可得，，则，所以，.因为，则，即，故A正确；对于B项，由A知，，B项错误；对于C项，由题可知，所以.因为，所以，整理可得，所以，故C错误；对于D项，由C可知，，故D项正确.故选：AD.12.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（）A.B.在向量上的投影向量为C.若，则为的中点D.若在线段上，且，则的取值范围为〖答案〗BD〖解析〗如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，设，则，整理得到，，，，设，对选项A：，，，错误；对选项B：，，，即投影向量为，正确；对选项C：，，，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误；对选项D：，，，，，整理得到，，故，正确.故选：CD三、填空题13.已知复数满足，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，则.故〖答案〗为：.14.若不等式对恒成立，则a的取值范围是__________，的最小值为__________．〖答案〗①.②.〖解析〗当时，不等式对不恒成立，不符合题意（舍去）；当时，要使得对恒成立，则满足，解得，所以实数的取值范围为.因为，可得，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．故〖答案〗为：；.15.如图，在平行四边形中，，，，延长交于点，则__________.〖答案〗〖解析〗由已知可得，，所以，即为的中点，所以.又，所以.故〖答案〗为：.16.广州国际金融中心大楼，简称“广州IFC”，又称“广州西塔”，位于广东省广州市，为地处天河中央商务区的一栋摩天大楼，东面珠江公园，南邻珠江和广州塔，西近广州大道，北望天河体育中心与白云山.小胜为测量其高度，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，其中，，三点共线且与广州国际金融中心大楼底部在同一水平高度，已知米，则广州国际金融中心大楼的高度为______米.〖答案〗435〖解析〗如图是塔底，显然与垂直，，，，设，则，，，由余弦定理得，，因为，，即，所以，即，解得．故〖答案〗为：435.四、解答题17.已知复数与互为共轭复数.（1）判断在复平面内对应的点在第几象限，并说明理由；（2）在复数范围内，解关于的一元二次方程.解：（1）因为复数与互为共轭复数，所以，，所以在复平面内对应的点为，在第二象限.（2）由（1）可得，，则方程为，即，所以，解得，故关于的方程的根为或.18.设，是不共线的两个向量，若，，．（1）若，，且，求与的夹角；（2）若A，B，C三点共线，求m值．解：（1）依题意，时，，因为，所以，又，所以，则，而，所以与的夹角为．（2）因为，，且A，B，C三点共线，所以存在，使得，即，则，解得．19.已知函数，且，当的定义域是时，此时值域也是.（1）求的值；（2）若，证明为奇函数，并求不等式的解集.解：（1）当时，函数单调递减，且.又在上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，所以，解得；当时，函数单调递增，且.又在上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，所以，解得.综上，，或，.（2）因为，所以，，则，定义域为，且函数在上单调递增.因为，所以奇函数.则不等式，可化为.又函数在上单调递增，则，