2022-2023学年广西壮族自治区百色市高一下学期期末预测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区百色市2022-2023学年高一下学期期末预测数学试题考试范围：数学人教A（2019）必修第二册（试卷总分150分，考试时长120分钟）一、单选题1.若复数满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设复数，则，则，则，，所以．故选：C.2.已知，，与的夹角为60°，则（）A. B.7 C.3 D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.故选：A.3.如图是正方体的平面展开图，在原正方体中：①与所在直线平行；②与所在直线异面；③与所在直线互相垂直；④与所在直线成角是．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④〖答案〗B〖解析〗如图，直线与是异面直线，故①错误；直线与是异面直线，故②正确；直线，故③错误；如图，，所以异面直线与所成角为，而三角形是等边三角形，所以，故④正确.故选：B4.在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是（）A.2件都是一级品 B.2件都是二级品C.一级品和二级品各1件 D.至少有1件二级品〖答案〗D〖解析〗设，，分别表示3件一级品，，分别表示2件二级品,任取2件，则样本空间，共10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，记事件A表示“2件都是一级品”，包含3个样本点，则.记事件B表示“2件都是二级品”，包含1个样本点，则.记事件C表示“2件中1件一级品、1件二级品”，包含6个样本点，则.事件A，B，C两两互斥，所以，又由表示“至少有1件二级品”.故选：D.5.在中，已知，则的形状为（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗因为，所以，由正余弦定理可得，整理得，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形.故选：D6.某班在体育课上组织趣味游戏，统计了第一组14名学生的最终得分：13，10，12，17，9，12，8，9，11，14，15，12，10，12．这组数据的第80百分位数是（）A.12 B.13 C.13.5 D.14〖答案〗D〖解析〗由题意，将14名学生的最终得分，从小到大排序：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17，又由，所以这组数据的第80百分位数为第12个数，即为14.故选：D.7.已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角（）A.45° B.60° C.135° D.150°〖答案〗C〖解析〗∵，，∴.∵，∴，，则，设向量与的夹角为，与反向,则.故选：C.8.已知三棱锥顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设球O的半径为R，的外心为，由题意得外接圆半径为，面积为，所以，所以最大值，所以，即，解得，所以球O的表面积为.故选:A.二、多选题9.某学生社团有男生32名，女生24名，从中随机抽取一个容量为7的样本，某次抽样结果为：抽到3名男生和4名女生，则下列说法正确的是（）A.这次抽样可能采用的是抽签法B.这次抽样不可能是按性别分层随机抽样C.这次抽样中，每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率D.这次抽样中，每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率〖答案〗AB〖解析〗根据抽样结果，此次抽样可能采用的是抽签法，A正确；若按分层抽样，则抽得的男女人数应为4人，3人，所以这次抽样不可能按性别分层随机抽样，B正确；若按抽签法，则每个男生被抽到的概率和每个女生被抽到的概率均相等，C,D错误.故选:AB.10.下列说法正确的是（）A.复数的虚部为B.方程的复数根为C.若，则复平面内对应的点位于第二象限D.复平面内，实轴上的点对应的复数是实数〖答案〗BD〖解析〗对于A，，虚部为3，A错误；对于B，，，B正确；对于C，，则，复平面内对应的点在y轴负半轴上，C不正确；对于D，复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确.故选：BD.11.已知事件A，B，且，则（）A.如果，那么B.如果，那么C.如果A与B相互独立，那么D.如果A与B相互独立，那么〖答案〗ABD〖解析〗A：由，则，正确；B：由，则，正确；C：如果A与B相互独立，则，，错误；D：由C分析及事件关系知：，正确.故选：ABD.12.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（）．A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为C. D.的面积为〖答案〗AC〖解析〗依题意，，，所以，A选项，圆锥的体积为，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；C选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，C选项正确；D选项，，所以，D选项错误.故选：AC.三、填空题13.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形的直观图，其中，则三角形的面积为__________.〖答案〗〖解析〗如图，所以，且为正三角形，则，因此在中，，，故〖答案〗为：.14.某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为______分〖答案〗〖解析〗由直方图知：平均成绩为分.故〖答案〗为：15.2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲､乙､丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲､乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲，乙､丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为___________.〖答案〗〖解析〗因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率，因为丙购买到冰墩墩的概率为，所以丙购买不到冰墩墩的概率，所以甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率.故〖答案〗为：.16.在中，角所对的边分别为，，角平分线交于点，，则的面积为_____.〖答案〗〖解析〗在中，由余弦定理可得，即，解得AD=2，再由正弦定理得，显然是锐角，则，∴，又是锐角，所以，故，由正弦定理得，所以，故〖答案〗为：四、解答题17.已知，，且与的夹角为.（1）求；（2）求与的夹角的余弦值.解：（1）由已知可得，所以，所以.（2）因为，所以.18.如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:（1）平面AEC;（2）平面AEC⊥平面PBD．证明：（1）设连接,如图所示:因为O,E分别为,的中点,所以,又因为平面,平面,所以平面．（2）连接,如图所示:因为,为的中点,所以,又因为四边形为菱形,所以,因为平面,平面,且,所以平面,又因为平面,所以平面平面．19.2022年起，某省将实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定、共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，等级排名占比，赋分分数区间是；B等级排名占比，赋分分数区间是71－85：等级排名占比，赋分分数区间是56－70：等级排名占比，赋分分数区间是41－55；等级排名占比，赋分分数区间是30-40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中的值及这100名学生的原始成绩的中位数（中位数结果保留两位小数）；（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分至少多少分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）？（第（2）问结果保留整数）解：（1）由频率分布直方图的性质，可得：，解得，由频率直方图可判断中位数落在第四组，设中位数为，则，解得，故抽取的这100名学生的原始成绩的中位数的估计值为分.（2）由已知等级达到及以上所占排名等级占比为，由（1）可得，中位数，故原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上.20.大学毕业生小张和小李通过了某单位的招聘笔试考试，正在积极准备结构化面试，每天相互进行多轮测试，每轮由小张和小李各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小李每轮答对的概率为．在每轮活动中，小张和小李答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求两人在两轮活动中都答对的概率；（2）求两人在两轮活动中至少答对3道题的概率；（3）求两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率．解：（1）依题意，设事件“小张两轮都答对问题”，“小李两轮都答对问题”，所以，．因为事件相互独立，所以两人在两轮活动中都答对的概率为．（2）设事“甲第一轮答对”，“乙第一轮答对”，“甲第二轮答对”，“乙第二轮答对”，“两人在两轮活动中至少答对3道题”，则，由事件的独立性与互斥性，可得，故两人在两轮活动中至少答对3道题的概率为．（3）设事件，分别表示甲三轮答对2个，3个题目，，分别表示乙三轮答对2个，3个题目，则，，，，设事件“两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2”，则，且，，，分别相互独立，所以．所以两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率为．21.在中，角的对边分别为，且满足__________.从条件①､条件②这两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，（1）求角A；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.条件①：条件②：注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.解：（1）选择条件①：由题意及正弦定理知，选择条件②：因为，所以，即，解得，又，所以（2）由可得因为是锐角三角形，由（1）知得到，故，解得，所以，则，所以.22.记的内角A，B，C的对边分别为，，，已知．（1）求B；（2）从下面三个条件中选择两个作为已知条件，求a与c的值．条件①：；条件②：的而积为；条件③：．注：如果选择不同的组合分别解答，接第一个解答计分．解：（1）由条件与正弦定理可知，，所以，又，所以．（2）选择①②.由（1）得，由②得，所以，又，所以由余弦定理得，即，所以，解得，或，．故a与c的值分别为5，3或3，5．选择①③．由余弦定理得，即，所以，解得，或，．故与c的值分别为5，3或3，5．选择②③．由（1）得，由②得，所以，又，解得，或，．故a与c的值分别为5，3或3，5．23.在四棱锥中，底面是矩形，若，．（1）证明：平面平面；（2）若分别是的中点，动点P在线段EF上移动，求三棱锥的体积．（1）证明：在中，，可得，所以为直角三角形且，又因为底面是矩形，则，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解：因为底面是矩形，且，可得，又因为分别为的中点，所以，动点在线段上移动，则点到平面的距离等于点到平面的距离，即点到平面的距离的一半，由（1）知平面平面，且，取的中点，连接，可得，且，又因为平面平面，且平面，所以平面，所以.广西壮族自治区百色市2022-2023学年高一下学期期末预测数学试题考试范围：数学人教A（2019）必修第二册（试卷总分150分，考试时长120分钟）一、单选题1.若复数满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设复数，则，则，则，，所以．故选：C.2.已知，，与的夹角为60°，则（）A. B.7 C.3 D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.故选：A.3.如图是正方体的平面展开图，在原正方体中：①与所在直线平行；②与所在直线异面；③与所在直线互相垂直；④与所在直线成角是．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④〖答案〗B〖解析〗如图，直线与是异面直线，故①错误；直线与是异面直线，故②正确；直线，故③错误；如图，，所以异面直线与所成角为，而三角形是等边三角形，所以，故④正确.故选：B4.在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是（）A.2件都是一级品 B.2件都是二级品C.一级品和二级品各1件 D.至少有1件二级品〖答案〗D〖解析〗设，，分别表示3件一级品，，分别表示2件二级品,任取2件，则样本空间，共10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，记事件A表示“2件都是一级品”，包含3个样本点，则.记事件B表示“2件都是二级品”，包含1个样本点，则.记事件C表示“2件中1件一级品、1件二级品”，包含6个样本点，则.事件A，B，C两两互斥，所以，又由表示“至少有1件二级品”.故选：D.5.在中，已知，则的形状为（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗因为，所以，由正余弦定理可得，整理得，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形.故选：D6.某班在体育课上组织趣味游戏，统计了第一组14名学生的最终得分：13，10，12，17，9，12，8，9，11，14，15，12，10，12．这组数据的第80百分位数是（）A.12 B.13 C.13.5 D.14〖答案〗D〖解析〗由题意，将14名学生的最终得分，从小到大排序：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17，又由，所以这组数据的第80百分位数为第12个数，即为14.故选：D.7.已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角（）A.45° B.60° C.135° D.150°〖答案〗C〖解析〗∵，，∴.∵，∴，，则，设向量与的夹角为，与反向,则.故选：C.8.已知三棱锥顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设球O的半径为R，的外心为，由题意得外接圆半径为，面积为，所以，所以最大值，所以，即，解得，所以球O的表面积为.故选:A.二、多选题9.某学生社团有男生32名，女生24名，从中随机抽取一个容量为7的样本，某次抽样结果为：抽到3名男生和4名女生，则下列说法正确的是（）A.这次抽样可能采用的是抽签法B.这次抽样不可能是按性别分层随机抽样C.这次抽样中，每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率D.这次抽样中，每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率〖答案〗AB〖解析〗根据抽样结果，此次抽样可能采用的是抽签法，A正确；若按分层抽样，则抽得的男女人数应为4人，3人，所以这次抽样不可能按性别分层随机抽样，B正确；若按抽签法，则每个男生被抽到的概率和每个女生被抽到的概率均相等，C,D错误.故选:AB.10.下列说法正确的是（）A.复数的虚部为B.方程的复数根为C.若，则复平面内对应的点位于第二象限D.复平面内，实轴上的点对应的复数是实数〖答案〗BD〖解析〗对于A，，虚部为3，A错误；对于B，，，B正确；对于C，，则，复平面内对应的点在y轴负半轴上，C不正确；对于D，复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确.故选：BD.11.已知事件A，B，且，则（）A.如果，那么B.如果，那么C.如果A与B相互独立，那么D.如果A与B相互独立，那么〖答案〗ABD〖解析〗A：由，则，正确；B：由，则，正确；C：如果A与B相互独立，则，，错误；D：由C分析及事件关系知：，正确.故选：ABD.12.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（）．A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为C. D.的面积为〖答案〗AC〖解析〗依题意，，，所以，A选项，圆锥的体积为，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；C选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，C选项正确；D选项，，所以，D选项错误.故选：AC.三、填空题13.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形的直观图，其中，则三角形的面积为__________.〖答案〗〖解析〗如图，所以，且为正三角形，则，因此在中，，，故〖答案〗为：.14.某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为______分〖答案〗〖解析〗由直方图知：平均成绩为分.故〖答案〗为：15.2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲､乙､丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲､乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲，乙､丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为___________.〖答案〗〖解析〗因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率，因为丙购买到冰墩墩的概率为，所以丙购买不到冰墩墩的概率，所以甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率.故〖答案〗为：.16.在中，角所对的边分别为，，角平分线交于点，，则的面积为_____.〖答案〗〖解析〗在中，由余弦定理可得，即，解得AD=2，再由正弦定理得，显然是锐角，则，∴，又是锐角，所以，故，由正弦定理得，所以，故〖答案〗为：四、解答题17.已知，，且与的夹角为.（1）求；（2）求与的夹角的余弦值.解：（1）由已知可得，所以，所以.（2）因为，所以.18.如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:（1）平面AEC;（2）平面AEC⊥平面PBD．证明：（1）设连接,如图所示:因为O,E分别为,的中点,所以,又因为平面,平面,所以平面．（2）连接,如图所示:因为,为的中点,所以,又因为四边形为菱形,所以,因为平面,平面,且,所以平面,又因为平面,所以平面平面．19.2022年起，某省将实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定、共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，等级排名占比，赋分分数区间是；B等级排名占比，赋分分数区间是71－85：等级排名占比，赋分分数区间是56－70：等级排名占比，赋分分数区间是41－55；等级排名占比，赋分分数区间是30-40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中的值及这100名学生的原始成绩的中位数（中位数结果保留两位小数）；（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分至少多少分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）？（第（2）问结果保留整数）解：（1）由频率分布直方图的性质，可得：，解得，由频率直方图可判断中位数落在第四组，设中位数为，则，解得，故抽取的这100名学生的原始成绩的中位数的估计值为分.（2）由已知等级达到及以上所占排名等级占比为，由（1）可得，中位数，故原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上.20.大学毕业生小张和小李通过了某单位的招聘笔试考试，正在积极准备结构化面试，每天相互进行多轮测试，每轮由小张和小李各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小李每轮答对的概率为．在每轮活动中，小张和小李答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求两人在两轮活动中都答对的概率；（2）求两人在两轮活动中至少答对3道题的概率；（3）求两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率．解：（1）依题意，设事件“小张两轮都答对问题”，“小李两轮都答对问题”，所以，．因为事件相互独立，所以两人在两轮活动中都答对的概率为．（2）设事“甲第一轮答对