2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区高二下学期联片办学期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省兰州市教育局第四片区2022-2023学年高二下学期联片办学期中考试数学试题（满分150分，考试时间120分钟）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由抛物线方程可得，开口向左，则准线方程为.故选：D.2.圆心为且和轴相切的圆的方程是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗圆心为且和轴相切的圆，它的半径为1，故它的的方程是，故选：．3.过点且垂直于直线的直线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设所求的直线方程为，代入方程解得，所求的直线方程为.故选：D.4.已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由.因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，所以，因此的周长为，故选：D.5.椭圆上一点到左焦点的距离是2，是的中点，是坐标原点，则的值为（）A.4 B.8 C.3 D.2〖答案〗A〖解析〗根据椭圆的定义得，由于中，是的中点，根据中位线定理得，故选A．6.，则（）A.1 B.3 C.0 D.〖答案〗C〖解析〗因为，令，可得.故选：C.7.已知圆，则过点的直线l与圆C交于A，B两点，则的最小值是（）．A.2 B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，圆的标准方程为，所以半径，圆心，当直线l与直线CP垂直时，所截得弦长AB最短．此时，所以．故选：C．8.已知为双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的右支交于两点，若为等边三角形，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗双曲线与以为直径的圆均关于轴对称，为等边三角形，，又，，；由双曲线定义知：，即，双曲线离心率.故选：D.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.关于椭圆有以下结论，其中正确的有（）A.离心率为 B.长轴长是C.焦点在轴上 D.焦点坐标为(-1，0)，(1，0)〖答案〗AD〖解析〗将椭圆方程化为标准方程为所以该椭圆的焦点在轴上，故C错误；焦点坐标，故D正确；长轴长是故B错误；因为所以离心率故A正确.故选：AD.10.已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（）A.曲线可表示为焦点在轴的椭圆B.曲线可表示为焦距是4的双曲线C.曲线可表示为离心率是的椭圆D.曲线可表示为渐近线方程是的双曲线〖答案〗ACD〖解析〗由为3与5的等差中项，得，即，由为4与16的等比中项，得，即，则曲线的方程为或．其中表示焦点在轴的椭圆，此时它的离心率，故A正确，C正确；其中表示焦点在轴的双曲线，焦距为，渐近线方程为，故B不正确，D正确．故选:ACD．11.对于的展开式，下列说法正确的是（）A.所有项的二项式系数和为64 B.所有项的系数和为64C.常数项为1215 D.二项式系数最大的项为第3项〖答案〗ABC〖解析〗的展开式所有项的二项式系数和为，选项A正确；中令得，选项B正确；展开式通项为，令，得，所以常数项为，选项C正确；二项式系数最大的项为第4项，选项D不正确.故选：ABC.12.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，且，.下列结论正确的是（）A. B. C. D.△的面积为〖答案〗BCD〖解析〗选项A.由抛物线的定义可得，解得，所以A不正确.选项B.所以，，抛物线方程为，将点坐标代入抛物线方程，得，所以，所以B正确.选项C.当时，则，则直线的方程为：，则，得，解得或，所以，则，同理当时，可得，所以C正确.选项D.由上可知当时，，，同理当时，，所以D正确.故选：BCD.三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.双曲线的右焦点到直线的距离为________．〖答案〗〖解析〗由已知，，所以双曲线的右焦点为，所以右焦点到直线的距离为.故〖答案〗为：.14.某班从3名男同学和5名女同学中，选取3人参加学校的“创文知识"竞赛，要求男女生都有，则不同的选法共有___________种．〖答案〗45〖解析〗在所有组合中排除全为男生和全为女生的情况，则共有种.故〖答案〗为：45．15.甲、乙等6人报名参加了三个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲，乙两人不能参加项目，那么共有_________种不同的选拔的方案．〖答案〗80〖解析〗由于每人至多参加一个项目，又要求甲，乙两人不能参加项目，所以①甲，乙都参加志愿者工作则有：种情况；②甲参加志愿者工作，乙没参加志愿者工作则有：种情况；③甲没参加志愿者工作，乙参加志愿者工作则有：种情况；④甲，乙都没参加志愿者工作则有：种情况；故满足条件的情况数为：.故〖答案〗为：80.16.抛物线焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的倾斜角等于，那么等于__________.〖答案〗〖解析〗在中，由抛物线的定义，可得，，，又，则轴，又，过作于，则，则．故〖答案〗为：.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17.已知椭圆的长轴长为，两焦点的坐标分别为和．（1）求椭圆的标准方程；（2）若为椭圆上一点，轴，求的面积．解：（1）椭圆的长轴长为,两焦点的坐标分别为和，则,且，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）为椭圆上一点,轴，所以点的横坐标为,代入椭圆方程可求得点的纵坐标为，不妨设点在轴上方,则，所以.18.已知点求：（1）过点A，B且周长最小的圆的方程；（2）过点A，B且圆心在直线上的圆的方程.解：（1）∵点∴过点A，B且周长最小的圆，即以AB为直径的圆，∵AB的中点，故要求的圆的方程为.（2）∵圆心在直线上，设圆心为∵圆过点A，B，∴DA＝DB，∴求得∴圆心为，半径故要求的圆的方程为．19.已知动圆经过点F(2,0)，并且与直线x＝－2相切（1）求动圆圆心P的轨迹M的方程；（2）经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线l与轨迹M相交于A，B两点，求|AB|.解：（1）设，则依题意可得，化简得，所以动圆圆心P的轨迹M的方程为.（2）直线的方程为，即，联立，消去并整理得，设，，则，，由弦长公式可得.所以.20.已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.（1）求的方程；（2）经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.解：（1）双曲线的渐近线为，即，所以，又焦点到直线的距离，所以，又，所以，，所以双曲线方程为（2）设，，直线的斜率为，则，，所以，，两式相减得，即，即，所以，解得，所以直线的方程为，即，经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，所以直线的方程为.21.已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.解：(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆过点M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程与椭圆方程，可得：，化简可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：，由两点之间距离公式可得.所以△AMN的面积的最大值：.22.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．（1）解：由题意点是椭圆的一个顶点，知，因为是等腰直角三角形，所以，即，所以椭圆的标准方程为：．（2）证明：若直线的斜率存在，设其方程为，由题意知．由，得，由题意知，设，，所以，，因为，所以，所以，整理得，故直线的方程为，即，所以直线过定点．若直线的斜率不存在，设其方程为，，．由题意得，解得，此时直线的方程为，显然过点．综上，直线过定点．甘肃省兰州市教育局第四片区2022-2023学年高二下学期联片办学期中考试数学试题（满分150分，考试时间120分钟）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由抛物线方程可得，开口向左，则准线方程为.故选：D.2.圆心为且和轴相切的圆的方程是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗圆心为且和轴相切的圆，它的半径为1，故它的的方程是，故选：．3.过点且垂直于直线的直线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设所求的直线方程为，代入方程解得，所求的直线方程为.故选：D.4.已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由.因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，所以，因此的周长为，故选：D.5.椭圆上一点到左焦点的距离是2，是的中点，是坐标原点，则的值为（）A.4 B.8 C.3 D.2〖答案〗A〖解析〗根据椭圆的定义得，由于中，是的中点，根据中位线定理得，故选A．6.，则（）A.1 B.3 C.0 D.〖答案〗C〖解析〗因为，令，可得.故选：C.7.已知圆，则过点的直线l与圆C交于A，B两点，则的最小值是（）．A.2 B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，圆的标准方程为，所以半径，圆心，当直线l与直线CP垂直时，所截得弦长AB最短．此时，所以．故选：C．8.已知为双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的右支交于两点，若为等边三角形，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗双曲线与以为直径的圆均关于轴对称，为等边三角形，，又，，；由双曲线定义知：，即，双曲线离心率.故选：D.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.关于椭圆有以下结论，其中正确的有（）A.离心率为 B.长轴长是C.焦点在轴上 D.焦点坐标为(-1，0)，(1，0)〖答案〗AD〖解析〗将椭圆方程化为标准方程为所以该椭圆的焦点在轴上，故C错误；焦点坐标，故D正确；长轴长是故B错误；因为所以离心率故A正确.故选：AD.10.已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（）A.曲线可表示为焦点在轴的椭圆B.曲线可表示为焦距是4的双曲线C.曲线可表示为离心率是的椭圆D.曲线可表示为渐近线方程是的双曲线〖答案〗ACD〖解析〗由为3与5的等差中项，得，即，由为4与16的等比中项，得，即，则曲线的方程为或．其中表示焦点在轴的椭圆，此时它的离心率，故A正确，C正确；其中表示焦点在轴的双曲线，焦距为，渐近线方程为，故B不正确，D正确．故选:ACD．11.对于的展开式，下列说法正确的是（）A.所有项的二项式系数和为64 B.所有项的系数和为64C.常数项为1215 D.二项式系数最大的项为第3项〖答案〗ABC〖解析〗的展开式所有项的二项式系数和为，选项A正确；中令得，选项B正确；展开式通项为，令，得，所以常数项为，选项C正确；二项式系数最大的项为第4项，选项D不正确.故选：ABC.12.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，且，.下列结论正确的是（）A. B. C. D.△的面积为〖答案〗BCD〖解析〗选项A.由抛物线的定义可得，解得，所以A不正确.选项B.所以，，抛物线方程为，将点坐标代入抛物线方程，得，所以，所以B正确.选项C.当时，则，则直线的方程为：，则，得，解得或，所以，则，同理当时，可得，所以C正确.选项D.由上可知当时，，，同理当时，，所以D正确.故选：BCD.三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.双曲线的右焦点到直线的距离为________．〖答案〗〖解析〗由已知，，所以双曲线的右焦点为，所以右焦点到直线的距离为.故〖答案〗为：.14.某班从3名男同学和5名女同学中，选取3人参加学校的“创文知识"竞赛，要求男女生都有，则不同的选法共有___________种．〖答案〗45〖解析〗在所有组合中排除全为男生和全为女生的情况，则共有种.故〖答案〗为：45．15.甲、乙等6人报名参加了三个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲，乙两人不能参加项目，那么共有_________种不同的选拔的方案．〖答案〗80〖解析〗由于每人至多参加一个项目，又要求甲，乙两人不能参加项目，所以①甲，乙都参加志愿者工作则有：种情况；②甲参加志愿者工作，乙没参加志愿者工作则有：种情况；③甲没参加志愿者工作，乙参加志愿者工作则有：种情况；④甲，乙都没参加志愿者工作则有：种情况；故满足条件的情况数为：.故〖答案〗为：80.16.抛物线焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的倾斜角等于，那么等于__________.〖答案〗〖解析〗在中，由抛物线的定义，可得，，，又，则轴，又，过作于，则，则．故〖答案〗为：.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17.已知椭圆的长轴长为，两焦点的坐标分别为和．（1）求椭圆的标准方程；（2）若为椭圆上一点，轴，求的面积．解：（1）椭圆的长轴长为,两焦点的坐标分别为和，则,且，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）为椭圆上一点,轴，所以点的横坐标为,代入椭圆方程可求得点的纵坐标为，不妨设点在轴上方,则，所以.18.已知点求：（1）过点A，B且周长最小的圆的方程；（2）过点A，B且圆心在直线上的圆的方程.解：（1）∵点∴过点A，B且周长最小的圆，即以AB为直径的圆，∵AB的中点，故要求的圆的方程为.（2）∵圆心在直线上，设圆心为∵圆过点A，B，∴DA＝DB，∴求得∴圆心为，半径故要求的圆的方程为．19.已知动圆经过点F(2,0)，并且与直线x＝－2相切（1）求动圆圆心P的轨迹M的方程；（2）经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线l与轨迹M相交于A，B两点，求|AB|.解：（1）设，则依题意可得，化简得，所以动圆圆心P的轨迹M的方程为.（2）直线的方程为，即，联立，消去并整理得，设，，则，，由弦长公式可得.所以.20.已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.（1）求的方程；（2）经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方