数学（选修2-2）课件5.3复数的四则运算

第五章数系的扩充与复数5.3复数的四则运算学习目标重点难点1.掌握复数代数形式的加减法运算法则，并能运用复数加减法法则进行熟练计算.2.掌握复数的乘、除法法则，并能运用复数的乘、除法法则进行计算.3.注意和实数范围内的四则运算进行类比及区分.1.重点：复数的四则运算.2.难点：复数的乘法和除法.1.复数的加法与减法设a＋bi和c＋di是任意两个复数，则_______________________________，也就是说，两个复数的和(或差)仍然是一个________.它的________是原来两个复数的实部的__________，它的_______是原来两个复数的虚部的__________.(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i复数

实部和(或差)虚部和(或差)2.复数的乘法设a＋bi与c＋di分别是任意两个复数，则__________________________________.也就是说，两个复数的积仍然是一个________.复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但在运算过程中，需要用________进行化简，然后把_______与_______分别合并.(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i复数i2＝－1实部虚部温馨提示：(1)对复数z1，z2，z和自然数m，n有：zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z.实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立.(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈Z).共轭复数1.设a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)分别是任意两个复数.(1)当b＝0，d＝0时，复数的加减法法则与实数的加减法法则一致.(2)可以验证加减运算的交换律、结合律在复数集中仍成立.(3)符合向量加法的平行四边形法则.复数的加减法2.法则的记忆：可以类比合并同类项记为：两个复数相加(减)，就是实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减).3.复数的加、减可以推广到若干个复数进行连加、连减或混合运算，即(a1＋b1i)±(a2＋b2i)±…±(an＋bni)＝(a1±a2±…±an)＋(b1±b2±…±bn)i.【点评】复数运算的先后次序与实数运算类似，先计算括号内的，再按由左向右的顺序计算.1.(1)若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝____________.(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝____________(a，b∈R).解析：(1)z＝(3－i)－(i－3)＝6－2i.(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝a＋bi－2a＋3bi－3i＝－a＋(4b－3)i.答案：(1)6－2i

(2)－a＋(4b－3)i设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，定义复数的乘法为(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.两个复数的积仍然是一个确定的复数.两个复数相乘类似于两个多项式相乘，但在运算过程中，需要用i2＝－1进行化简，然后把实部和虚部分别合并.复数的乘法

计算下列各题：(1)(1－2i)(3＋i)；(2)(1＋i)2；(3)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；(4)(1＋i)(1－i).

[思路点拨]按多项式乘法展开，再把i2换成－1即可.解：(1)(1－2i)(3＋i)＝3＋i－6i－2i2＝5－5i.(2)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.(3)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝9－12i＋33i－44i2＋2i＝53＋23i.(4)(1＋i)(1－i)＝12－i2＝1＋1＝2.【点评】复数的乘法可完全类比多项式乘法，而不必强记乘法公式.解析：(1)A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数.B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数.C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数.D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数.(2)∵xi－y＝－1＋i，∴x＝1，y＝1，∴(1＋i)x＋y＝(1＋i)2＝2i.答案：(1)C

(2)2i

(3)4＋2i复数的除法[思路点拨]根据复数除法的运算法则进行计算求值.答案：(1)D

(2)1在复数范围内解一元二次方程

知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.(1)求实数a，b的值；(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.

[思路点拨]

(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，利用复数相等求解；(2)利用根与系数的关系，求方程的另一个根，并代入方程检证.【点评】实系数的一元二次方程，求根公式和根与系数的关系，在复数范围内仍然成立.1.复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.(2)在进行复数代