2019-2020学年人教A版重庆市南岸区高一年级上册期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷

一、选择题

1.已知集合4={x|f-2x-3<0},集合6={x|2"i>l},则[BA=()

A.[3,+°°)B.(3,+°°)

C.(-8,-1]U[3,+°°)D.(-8,-1)U(3,+8)

2.函数/1(x)=£的图象大致为()

3.已知a=2,3,6=4叱c=log38,则a,b,c的大小关系为()

A.c<bB.b<c<aC.c<a<bD.c〈b〈a

4.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

正视图侧视图

俯视图

A1

C.8D.4

3

5.已知RtA^C,加=3,8(7=4,CA=5,P为丛ABC外接圆上的一动点，且

AP=xAB+yAC.贝底+y的最大值是（

A1

A-717D

4C."T"-i

6.将函数9）=sin2x向右平移十个单位后得到函数g）,则…）具有性质（

)

71

A.在（0,工）上单调递增，为偶函数

B.最大值为1,图象关于直线x咛对称

c.在（丹Qjr-，丁兀）上单调递增，为奇函数

OO

D.周期为“，图象关于点（等，0）对称

O

7.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同立.甲行率七，乙行率三，乙东行,甲

南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同

一地点出发，甲的速度为7,乙的速度为3,乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜

向北偏东方向走了一段后与乙相遇.甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（）

A旦IL49

A-2cD

2-T

=_±_

8.已知定义在R上的函数/'（x）满足/'（或+3）,且y=/（x+3）为偶函数,若

f(x)

f3在（0,3）内单调递减，则下面结论正确的是（）

A.r(-4.5)<f(3.5)<r(12.5)

B.f(3.5)<f(-4.5)<f(12.5)

C./,(12.5)<f(3.5)</•(-4.5)

D.f(3.5)<f(12.5)<r(-4.5)

9.已知命题0：对任意xdR,总有2、>0；q：“£>1”是“x>2”的充分不必要条件，则

下列命题为真命题的是()

A.p/\qB.-'joA-'<?C.「pf\qD.pA-'<?

10.定义在R上的函数/'(x)满足：f(x)=/f(x-2n),且当xd[0,2Ji)时，f(x)

=8sinx,则函数g(x)=f(x)-/gx的零点个数是()

A.5B.6C.7D.8

11.已知圆(x+1)?+/=4的圆心为G点尸是直线/：力x-y-5研4=0上的点，若该圆上

存在点。使得N6F0=3O°,则实数力的取值范围为()

A.[-1,1]B.[-2,2]C.,愿+3]D.[0,孕]

445

12.不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x].已知/1(x)=cos([x]-x),

给出下列结论：

①f(X)是偶函数；

②f(x)是周期函数，且最小值周期为“；

③/"(x)的单调递减区间为藤，4+1)(右Z)；

④f(X)的值域为[cosl,1).

其中正确的个数为()

A.0B.1C.2D.3

二、填空题

13.在平面直角坐标系xOy中，圆。的方程为-4x=0.若直线y="(矛+1)上存在一

点P,使过月所作的圆的两条切线相互垂直，则实数A的取值范围是.

14.如图，在平面四边形46(力中，ZABC=90°,4DCA=2/BAC,若丽=》而+『无(x,y

eR),则x-y的值为.

B

D

15.若a>0,b>2,且a+6=3,则使得匹+二)取得最小值的实数a=_____.

ab-2

16.如图所示，在一个坡度一定的山坡/C的顶上有一高度为25卬的建筑物切，为了测量该

山坡相对于水平地面的坡角0,在山坡的/处测得,沿山坡前进500到达6

处，又测得/龙。=45°,根据以上数据可得cos。=.

17.在△/比'中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且满足^+1-#=26csin(班C).

(1)求角A的大小；

IT

(2)若a=2,B=-—,求△力a1的面积.

18.已知等比数列｛aj的各项均为正数，a2=8,a3+a4=48.

(I)求数列｛&J的通项公式；

(II)设4=log4a〃.证明：｛4｝为等差数列,并求伉｝的前A项和。

19.如图，某公园有三条观光大道/用BC,4。围成直角三角形，其中直角边加一200)，斜

边46=400%现有甲、乙、丙三位小朋友分别在6C,4C大道上嬉戏，所在位置分别

记为点2,E,F.

(1)若甲、乙都以每分钟IOOR的速度从点6出发在各自的大道上奔走，到大道的另一

端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；

(2)设/◎尸=8,乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且/DEF=g,请将甲乙

之间的距离y表示为0的函数，并求甲乙之间的最小距离.

20.如图，四面体被/中，0、£分别BD、比'的中点，AB=Ag^,CA=CB=CD=BD=2.

(1)求证：/0_L平面85；

(2)求异面直线46与5所成角的余弦值大小;

21.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用

的经验公式为：弧田面积=/(弦X矢+矢2).弧田(如图)，由圆弧和其所对弦所围

成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上

述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为写，弦长等

于9米的弧田.

(1)计算弧田的实际面积；

(2)按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际

面积相差多少平方米？(结果保留两位小数)

22.已知四棱锥S-ABCD中，底面/题是边长为2的菱形，/BAD=60°,SA=SD=

LLKF

V5-，点£是棱”的中点，点尸在棱SC上，且毛7=入，玄〃平面庞E

(I)求实数人的值；

(II)求三棱锥尸-⑸%的体积.

B

参考答案

一、选择题

1.已知集合/=3f-2x-3<0},集合6=32a>1},贝此B/=()

A.[3,+8)B.(3,+8)

C.(-8,-1]U[3,+8)D.(-8,-1)u(3,+oo)

【分析】根据集合/是二次不等式的解集，集合6是指数不等式的解集，因此可求出集

合4B,根据补集的求法求得[口4

解：A=[x\^-2,x-3<0}={x\-l<x<3},

6={x|2">l}={x|x>-1},

CBA=[3,+8).

故选：A.

2.函数f(x)=其二的图象大致为()

【分析】利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可.

解：函数，（x）=£一的定义域为：xWO,XGR,当x>0时，函数（x）=-------

可得函数的极值点为：X=l,当（0,1）时，函数是减函数，x>l时，函数是增函

数，并且F（x）>0,选项反〃满足题意.

当x〈0时，函数/'（x）=——<0,选项〃不正确，选项8正确.

x

故选：B.

3.已知3=21",b=4°，7,c=log38,则a,b,c的大小关系为（)

A.a〈c〈bB.C.c<a<bD.c<b<a

,30714

【分析】利用C=log；i8<2<a=2<A=4=2,即可得出.

解：•.•c=log38<2<a=2L3c力=4°'=214,

c<a<b.

故选：C.

4.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

D.4

【分析】由三视图可知：该几何体为一个三棱锥，底面是等腰直角三角形，高为2,利用

三棱锥体积公式即可计算.

解：由三视图可知：该几何体为一个三棱锥，底面是腰为2的等腰直角三角形，高为2,

该几何体的体积，="1•＞＜春X2X2X2=3，

故选：B.

5.已知RtA^C,AB=3,BC=4,CA=5,〃为△，回外接圆上的一动点，且

AP=xAB+yAC＞贝"x+y的最大值是()

A5R4V17八5

4363

【分析】以zc的中点为原点，以月最轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设尸的坐标

为(]cos6,—sin0),求出点刀的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到x+y

=75-sin(0+4))+《1，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案

解：以/。的中点为原点，以4圆轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则△力勿外接圆的方程为/+/=2.52,

设户的坐标为(―cos0,—sin9),

过点夕作劭垂直X轴，

4

•・飞加=£,AB=3

5

1229

：.BD=ABsinA=^,AD=AB・cosA~X3~,

555

97

/.OD=AO-AD=2.5-?=去，

510

"金7卷12)，

55

9•A(",0),C(—,0)

•*-AB=(”，后)，AC=(5,0)，AP=(-^-cos0+■55•、

5,Qinefl)

DDN

AP=^AB+^AC

555Q199

(—cos0+—,—sin0)=x(—,--)+y(5,0):=(—x+5y,1

乙22555

.55945.012

.•-cosfUlx+—=—x+5y,—sinU=--JT,

ND/D

,1n3.125.Q

..y=—cosy--sin-sin,

28224

・,•广p=gcos9+gsin9+《=?sin（。+6）+3,其中sin6=彦,4

cos6

23262b5

当sin(0+e)=1时，x+y有最大值，最大值为?

b2o

故选：B.

6-将函数9)=si必向右平移至个单位后得到函数g(x)，则g(x)具有性质(）

A.在(0,工)上单调递增，为偶函数

B.最大值为1,图象关于直线x乌二对称

4

C.在(亮等)上单调递增，为奇函数

OO

D.周期为“，图象关于点(等，0)对称

O

【分析】首先求出函数g(x)的关系式，进一步利用函数的g(x)的性质求出结果.

解：函数f(x)=sin2x向右平移一「个单位后得到函数g(x)=sin(2x——)=-cos2x,

42

当王=学时，函数的值为0,

4

故：6错误.

函数g(X)为偶函数.

故：C错误.

当了=等时，g(等)■卉0，

ooZ

故：〃错误.

故选：A.

7.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同立.甲行率七，乙行率三，乙东行，甲

南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同

一地点出发，甲的速度为7,乙的速度为3,乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜

向北偏东方向走了一段后与乙相遇.甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是()

【分析】设甲、乙相遇经过的时间为X,由题意画出图形，由勾股定理列出方程求出X,

即可求出答案.

解：设甲、乙相遇经过的时间为X,如图：

贝!|〃=3x,46=10,BC=lx-10,

•.3=90。，:.Be=A戌+Ae,

即(7x-10)2=102+(3%)2,

解得xj7或x=0(舍去)，

21

，C=3x=苛，

故选：C.

1

8.已知定义在R上的函数/'(x)满足/'(x+3)=,且y=/(x+3)为偶函数,若

f(x)

f(x)在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是()

A.f(-4.5)<f(3.5)<f(12.5)

B.f(3.5)<f(-4.5)<f(12.5)

C.r(12.5)<f(3.5)<r(-4.5)

D.f(3.5)<f(12.5)</(-4.5)

1f(x')—'

【分析】根据题意，由f(x+3)=分析可得f(x+6)

f(x)

则可得函数f(x)是周期为6的周期函数，由旷=『(x+3)为偶函数，则函数f(X)关

于直线x=3对称，则有f(3.5)=f(2.5),f(-4.5)=f(1.5),f(12.5)=f

(0.5),结合函数的单调性分析可得答案.

1

解：根据题意，定义在R上的函数/1(x)满足/1(矛+3)=

1

则有f(x+6)=f(x),则函数/1(x)是周期为6的周期函数,

f(x+3)-

又由y=f(x+3)为偶函数，则函数f(x)关于直线x=3对称,

则/'(3.5)=f(2.5),f(-4.5)=f(1.5),f(12.5)=f(0.5),

又由/1(x)在(0,3)内单调递减，则/'(2.5)<r(l.5)<f(0.5),

则有/1(3.5)<f(-4.5)<f(12.5)；

故选：B.

9.已知命题p：对任意xGR,总有才>0;q,“£>1"是'">2”的充分不必要条件，则

下列命题为真命题的是()

A.p/\qB.-'pA-'<?C.pf\qD.pA-'<?

【分析】由命题0,找到x的范围是xGR,判断0为真命题.而S“x>l”是“x>2”

的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答.

解：因为命题o对任意xGR,总有2‘>0,根据指数函数的性质判断是真命题；

命题q,“x>l”不能推出“x>2”；但是“x>2”能推出“x>l"所以：'">1”是“x

>2"的必要不充分条件，故g是假命题；

所以为真命题；

故选：D.

10.定义在R上的函数/'(x)满足：f(x)(x-2n),且当xd[0,2n)时，f(x)

=8sinx,则函数g(x)=f(x)-Jgx的零点个数是()

A.5B.6C.7D.8

【分析】求出函数的解析式，利用函数的图象以及函数值判断即可.

解：定义在R上的函数/'(x)满足：flx)=/f(x-2n),且当xG[0,2n)时，f

(x)=8sinx,

当[2”,4兀)时，广(x)=4sinx,

当[4兀，6叮)时，F(x)=2sinx,

当[6兀，8兀)时，广(x)=sinx,

在坐标系中画出两个函数y=F(x)与的图象如图：

由图象可知两图象有5个交点，故函数g(x)=f(JT)-/gx有5个零点,

故选：A.

存在点。使得N6F0=3O°,则实数0的取值范围为()

A.[-1,1]B.[-2,2]C.限,,返+.]D.[0,孕]

445

【分析】由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是

最大的角，此时。=4,利用圆上存在点。使得/"0=30°,可得圆心到直线的距离d

|-6m+41

=~l2.W4,进而得出答案.

VmZ+l

解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大

的角，此时少=4.

:圆上存在点。使得/C%=30°,

I-6m+41

/.圆心到直线的距离＜/=~/=3---W4,

12

5

故选：D.

12.不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x].已知f(x)=cos(Dd-x),

给出下列结论：

①/'(X)是偶函数；

②f〈X)是周期函数，且最小值周期为JI；

③，(x)的单调递减区间为藤，A+l)(AGZ)；

④/'(x)的值域为[cosl,1).

其中正确的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【分析】通过计算特殊值验证判断①，②；利用符合函数的单调性判断③，根据[R-X

的范围和余弦函数的性质判断④.

解：对于①，n)=cos(3-It)=cos(Jt-3),y(-It)=cos(-4+n)=

cos(4-五),

显然f(n)Wf(-n),：./■(x)不是偶函数，故①错误；

对于②，f(0)=cos(0-0)=cos0=l,而/'(五)=cos(n-3)#1,

,即f(x)不是周期为n的函数，故②错误；

对于③，当4+1)时，[x]=A,

令t(x)=x-[x],则t(x)在区间[A,A+1)单调递增，且0W[(x)<1,

又y=cosx在[0,1)上单调递减，

:.fQx)=cos([x]-x)=cos在[A,A+l)单调递减，故③正确；

对于④，：-1<[x]-X<0,(X)取不到值cosl,且/1(X)的最大值为1.

故④错误.

故选：B.

二、填空题

13.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为-4x=0.若直线y=A(x+1)上存在一

点、P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数A的取值范围是[-2后，2如].

【分析】由题意可得圆心为C(2,0),半径7?=2；设两个切点分别为4B,则由题意

可得四边形为曲为正方形，圆心到直线y=4(x+1)的距离小于或等于尸C=2&,

|2k-0+k|厂

即依+1土质，由此求得A的范围.

解：的方程为步+/-4入=0,故圆心为C(2,0),半径7?=2.

设两个切点分别为/、B,则由题意可得四边形以W为正方形，故有PC=®R=2近,

圆心到直线y=#(x+1)的距离小于或等于户，=2如，

|2k-0+k|广厂l

即WT々e,解得/W8,可得-2料《七£2圾，

故答案为：[-2衣，2y].

14.如图，在平面四边形/用方中，/ABC=90°,ZDCA=2ZBAC,若丽=太布+『前(x,y

GR),贝!)x-y的值为-1.

【分析】过〃作加■加；则RtZ\4%;sRtAJM；利用相似比表示出x,y即可得出结论.

解：过〃作6c的垂线，交/延长线于〃，

设NB4C=a,则N/G9=2a,/AC8=90°-a,

:./DCM=18Q°-2a-(90°-a)=90°-a.

：.Rt/\ABC^Rt/\DMC,

.DMCM,

••市荻加

'1"BD=xBA+/BC，

.DM,BMCM+BC

ABBCBC

/.x-y=-1.

故答案为：-1.

4i2

15.若a>0,b>2,且a+6=3,则使得匡+/取得最小值的实数a=4.

ab-213一

【分析】构造基本不等式的性质即可求解.利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得

出.

解：,：a>0,6>2,且a+6=3,

a+b-2—1,

a

那么:(―+^-)[a+(6-2)]=4+1+()

ab-24"a7’b<

N5+2,4(b-2)x、

Va

当且仅当2(6-2)=a时即取等号.

2(b-2)=a

联立，

a+b=3

解得：片泉p

O

故答案为：拿

O

16.如图所示，在一个坡度一定的山坡/C的顶上有一高度为257的建筑物仪?，为了测量该

山坡相对于水平地面的坡角。，在山坡的/处测得/加415°,沿山坡前进500到达方

处，又测得N9-45°,根据以上数据可得cos9=_V3^^.

【分析】先在△/血中用正弦定理求得做，再在△龙C中用正弦定理求得sin/比瓦然

后根据/次茬=。可求得.

解：：/物餐15°,/龙餐45°,:./ADB=3Q°,

在△.中,由正弦定理得：缶r京舞r.•加嚼瑞—（任

在△龙。中，缪=25,NDBC=45°,劭=25（正-我），由正弦定理.一

sinZ.DCB

CD

；.sinZ^==BDbin4^_=«-1,

sinZDBC*'LU

sin(9+-^-)=我-1,.".cos9—yf2-l.

2

故答案为：V3-1.

三、解答题

17.在△/比1中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足-a2=26csin（6+C）.

（1）求角A的大小；

（2）若a=2,B=—r-,求△/87的面积.

【分析】（1）利用余弦定理即可得出.

（2）根据正弦定理与三角形面积计算公式即可得出.

解：(1)9：A+B+C=Ji,/.sin(B+C)=sinA,：.l/+c-a=2bcsinA,

222

.b+c-a

-sinA，

2bc

由余弦定理得cosZ=sin4可得tan/=l,

又（0,兀）,A=一二.

4

（2）根据正弦定理得b^'sinB^又

・/、./兀兀、V6W2

sinC=sin(A+B)=sin(-^--^-)=---------,

.«1」「1°不娓F空心

■■SAABC亍bsinC=q・2W6'-—=2

18.已知等比数列｛2｝的各项均为正数，a2=8,a+&=48.

（I）求数列｛a〃｝的通项公式；

（II）设&=log4ao.证明：｛&｝为等差数列，并求伉｝的前〃项和S.

【分析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出；

（II）利用（I）的结论和对数的运算法则进行化简，再计算或是否是一个常数即

可判定，若是利用等差数列的前〃项和公式即可.

【解答】（I）解：设等比数列｛&｝的公比为0,依题意q>0.

...23

・己2=8,己3+4=48,..3IQ=8,a।Q+a1q~48•

两式相除得Q+Q~6=0,

解得0=2,舍去q=~3.

••a

1q

n-ln+l

・.・数列｛a｝的通项公式为an=a】・q=2n

(II)证明：由(I)得bn=log4anJ|L.

、,_n+2n+1_1

・^n+1-^n--2-2—一万，

...数列｛4｝是首项为1,公差为d卷的等差数列.

2

.n(n-1),n+3n

••Sn=nbL~2~d=:

19.如图，某公园有三条观光大道加，BC,围成直角三角形，其中直角边比-200偏斜

边H6=400%现有甲、乙、丙三位小朋友分别在46,8aHe大道上嬉戏，所在位置分别

记为点D,E,F.

(1)若甲、乙都以每分钟100〃的速度从点6出发在各自的大道上奔走，到大道的另一

端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；

(2)设/竹=。，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，目/DEF=j,请将甲乙

之间的距离y表示为0的函数，并求甲乙之间的最小距离.

【分析】(1)由题意，M=300,座=100,△〃应中，由余弦定理可得甲乙两人之间的

距离；

(2)△〃应中，由正弦定理可得20°-2y,可将甲乙之间的距离y表

示为。的函数，并求甲乙之间的最小距离.

解：(1)由题意，加=300,庞=100,

上1TT

△AABC中，cosB=『,B=~~,

△叱中，由余弦定理可得庞=530()2+1002-2・300・100卷=10。由例

(2)由题意，EF=2DE=2y,ZBDE=ZCEF=6.

△CEF中,CE=EFcos/CEF=2ycose

△BDE中，由正弦定理可得20°-2^^8=.：,

sinsmbO

50«

100匹

­•r0<8

sin8+愿cos8sin(8-H^-)

兀=

/.9■?ymin50"\f^n.

20.如图，四面体版/中，0、£分别BD、比'的中点，AB=AgM，CA=CB=CABD=2.

(1)求证：40J_平面"力；

(2)求异面直线46与3所成角的余弦值大小;

(3)求点£到平面/切的距离.

【分析】(1)如图所示，要证平面颇，只需证班，力。，，0即可，用运算的

方式来证明结论.

(2)法一：取47中点R连接行1.OE.EF,由中位线定理可得杼〃四，施〃⑦所以/

戚(或其补角)是异面直线与缪所成角，然后在中求解.法二：以。为原

点，必为x轴，必为y轴，以为2轴，建立空间直角坐标系，异面直线与切的向量

坐标，求出两向量的夹角即可；

(3)求出平面/5的法向量，点£到平面47?的距离转化成向量在平面力切法向量

上的投影即可.

解：(1)连接。C,'：BO=DO,AB=AD,：.AOLBD,

■:BgDO,BC^CD,J.COLBD,

在△4%中，由题设知AO=\,CO=M，AC=2,

d=/汽

/.ZAOC=^0°,即40_L%,

'：AOVBD,BDC0C=0,

平面BCD；

(2)取47中点凡连接"'、OE、E

△46C中E、尸分别为BC、〃'中点

1-Jo

：.EF//AB,且EF=*AB="

22

XBCD中0.£分别为BD.以中点

OE//CD且0E=《CD=1

2

.♦.异面直线4?与切所成角等于/筋(或其补角

又〃是RWOC斜边上的中线

二等腰△磔'中cos/庞F=，EF=返；

-oF4

(2)解：以。为原点，如图建立空间直角坐标系，则8(1,0,0),Z?(-1,0,0),

C(0,V3.0),A(