2022-2023学年内蒙古包头市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年内蒙古包头市高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知复数z满足(l+2i)z=4+3i,则z的共朝复数5=()

C.2+1D.2—i

2.函数y=tan(2x一学的定义域是(

A.{尤瑞+三,keZ}B.[x\x力招+/ot,keZ}

C.3尤吟+keZ}D.[x\x行+kir,keZ}

3.在△ABC中，。是BC的中点，E是AC的中点.若丽=4荏+〃而，则4一〃=()

C.-1

4.三条直线％,i2,卜的位置如图所示，它们的斜率分别为七，y

J|

k2,k3,贝麟1，k2,电的大小关系为()\

A.k2>k]>Ze?

B.k2>上3>k]

C.k3>k2>b

D.k3>kr>k2

5.已知直线Q,b,平面a,S，y,则下列判断正确的是（）

A.bua,a//b=a//a

B.a//a,bua=>a//b

C.aca,bua,a〃氏b//p=>a//p

D.a〃夕，yCla=a,yfl/?=&=>a//b

6.若函数/（%）=2s）3%+?）的图象与直线y=2的两个相邻公共点之间的距离等于2,则

/（%）对称中心到对称轴距离的最小值为（）

A.iB.iC.D.

4242

7.已知正三棱锥P—ABC的侧棱24,PB,PC两两互相垂直，且P4=PB=PC=a,则其

外接球的表面积为（）

A.3a2兀B.yJ~3a2TtC.12a27TD.4V_3a27r

8.已知△ABC的外接圆圆心为。，且2而=荏+而，\0A\=\AC\，则向量瓦?在向量或上

的投影向量为（）

A.；BCB.—BCC.一z：BCD.—BC

2424

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知4B,C,。四点不共线，下列等式能判断ZBCD为平行四边形的是（）

\.AB=DC

B.而一瓦5=无-而（0为平面内任意一点）

C.AB+AD=AC

D.罚+前=而+方（0为平面内任意一点）

10.在△ABC中，已知4=30。，a=4,b=4门，贝k边的长可能为（）

A.4B.5C.8D.10

11.函数/（x）=Asin（a）x+<p）（A>0,a）>0,0<<p<个在一个

周期内的图象如图所示，则下列判断正确的是（）

A./（x）=2sin（2x4-今

B.fix'）=2sin（2x+3）

C.函数y=|/"（x）|周期为与

D.将函数y=2s讥2x的图象向左平移?可得/'（X）的图象

12.在正方体ABCD—ZiBiGDi中，则下列判断正确的是（）

A.直线与AC夹角为30。B.直线与平面公当。。夹角为30。

C.平面&BDJ■平面4CCp4iD.直线L平面为BC1

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知复平面内复数z=a+bi对应的点在射线y=x（x>0）上，且|z|=1,则z=

14.已■知sizia-cosa=2，且ae（0,》则了玄而淳马="

15.在一个直二面角a-1-0的棱I上有两点4,B,线段4Cua,线段BDu氏并且4C_U,

BD11,AB=AC=BD=6,贝iJCD的长为.

16.边长为2的等边三角形ABC的重心为G,设平面内任意一点P,则不•加的最小值为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知AABC的三个顶点分别为4(3,-4),B(6,0),C(-5,2).

(1)求边4c上的高BC所在直线的方程；

(2)求边4C上的中线BE所在直线的方程.

18.(本小题12.0分)

己知/'(x)=^cos2x—^sin2x+1—yj-3sinxcosx.

(1)求/(x)的周期及单调递减区间；

(2)求/(x)在［0,学上的最小值及相应自变量的取值集合.

19.(本小题12.0分)

设向量五=(cosa,sina),b=(cos6，sinB).

(1)求证：d+片与d—3互相垂直；

(2)设a—夕=等若”篇与谨直，求实数;I的值；

(3)设0＜戊一口＜兀，当|五取最小值时k=：,求a-6的值.

20.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，底面ZBCD是平行四边形，M,N分别为CD,PB的中点.

⑴求证：MN〃平面PAD；

(2)设PD_L平面4BCD,PD=AD=1,AB=2,再从条件①、条件②这两个条件中选择一

个作为已知，求异面直线MN与PC所成角的余弦值.

条件①：AB1MN；条件②：AM=BM.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

21.(本小题12.0分)

如图，已知力B是圆的直径，且48=4,P4垂直圆所在的平面，且P4=3,M是弧AB的中点.

(1)求点4到平面PBM的距离：

(2)求二面角4-BM-P的正弦值.

22.(本小题12.0分)

如图，游客从某旅游景区的景点4处下山至C处有两种路径.一种从4沿直线步行到C,另一种

是先从4沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从4处下山，甲沿4c

匀速步行，速度为50m/m出.在甲出发2min后，乙从4乘缆车到B,再从B匀速步行到C.假设缆

车匀速直线运行的速度为100m/min,山路AC长为2520m,经测量，sin4=|,sinC=得，乙B

为钝角.

(1)求索道AB的长度；

(2)求乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？最短距离为多少m(结果保留根号)？

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：因为(1+2i)z=4+3i,

4+31_(4+3i)(l-2i)_10-5i

所以(1+2i)zl+2t=(l+2i)(l-2i)=52—t.

所以z的共瓶复数W=2+i.

故选：C.

根据复数的除法运算求出z,根据共辄复数的定义即可求解.

本题主要考查共辗复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：因为函数丫=tan(2x令2x-^W+/c兀，kGZ,

解得XO瑞+殍kez,

所以函数y=tan(2xg)的定义域为{小手号+粤,上eZ}.

J1Zz

故选：A.

根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案.

本题考查了正切函数的定义域应用问题，是基础题.

3.【答案】C

【解析】解：如图所示，

•••。是BC的中点，E是4。的中点，

・・・AE=擀AD,AD=^(AB+AC),

根据向量的线性运算法则，可得：

...>，，>>1-，―，,11一，>,,w,1,

BE=AE-AB=-AD-AB=彳•匕•(48+AC)]-AB=--AB+-AC,

22L2v44

又因为丽=X荏+〃而，所以2=所以4—〃=一1.

故选：C.

根据平面向量的运算法则，化简得到前=一:荏+；而，求得4=即可求解.

444仁4

本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：设三条直线k，l2,卜的倾斜角为4G=123),

由图可知0<%<%<5<%<兀，

所以卜2>卜3>k].

故选：B.

根据直线的倾斜角与斜率的关系判断即可.

本题主要考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.

5.【答案】D

对于4,设a=4B,b=CD,a=平面4BCD,显然bua,a//b,但aua,故A错误；

对于B,设a=4B,b=A1D1,a=平面显然a〃a,bua,但a_Lb,故B错误；

对于C,当且仅当a,baa,a//p,b//p,a与b相交，此时a〃口，故C错误；

对于D,由面面平行的性质定理可得，若a〃夕，yAa=a,yfl夕=b,则a〃b,故O正确.

故选：D.

根据长方体的几何性质，根据面面平行判定定理与性质定理，可得答案.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思

维能力，是基础题.

6.【答案】B

【解析】解：函数=2s讥(3%+苏的图象与直线y=2的两个相邻公共点之间的距离等于2,

可得函数/(%)的最小正周期为7=2,

则/(x)对称中心到对称轴距离的最小值为3T=

故选：B.

根据题意得到函数/■(%)的最小正周期为T=2,结合/(乃对称中心到对称轴距离的最小值为:7,

即可求解.

本题主要考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了函数思想，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：根据题意，因为正三棱锥P-ABC的侧棱PA,PB,

PC两两互相垂直，且P4=PB=PC=a,

如图将正三棱锥放到如下棱长为a正方体中，则正三棱锥的外

接球即为正方体的外接球，

则正方体的外接球的半径R=｛，管2+&2=号,

所以外接球的表面积S=4TTR2=4兀x(q与？=3rra2.

故选：A.

根据题意，将正三棱锥放到正方体中，则正方体的外接球即为正三棱锥的外接球，正方体的体对

角线即为外接球的直径，从而求出外接球的表面积.

本题考查球的表面积的计算，涉及棱锥的几何结构，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：,•・△ABC的外接圆的圆心为。，且2而=荏+前,

为的中点，即BC为外接圆的直径，•••NBAC=90。.

■■\OA\=\AC\<

.•・△40C是等边三角形.

设。为。C的中点，则前='说.

4

・•・向量瓦X在向量三上的投影向量为|'BA|cosNABC•黑={I累•玩=^BC.

\DCI|DCI4

故选：B.

根据题意得出BC为外接圆的直径，且AAOC是等边三角形，从而求出向量就在向量而上的投影

向量.

本题主要考查投影向量的求解，考查转化能力，属于中档题.

9.【答案】ABC

【解析】解：因为4B,C,。四点不共线，

对于4由平面向量相等的定义及四=尻知，AB//DCS.AB=DC,所以4BCD为平行四边形，

故A正确；

对于B,因为万一次=能一无i,所以荏=DC，由平面向量相等的定义知,4B〃DC且AB=DC,

所以ABCD为平行四边形，故B正确；

对于C,因为而+而=而，即而+而=荏+阮，

所以而=正，平由面向量相等的定义知，且4。=BC,

所以4BCD为平行四边形，故C正确；

对于D,因为万5+万万=而+元，所以65—万=元一前，

所以瓦？=DC，由平面向量相等的定义知，BA//DCRBA=DC,所以四边形4BDC为平行四边形，

故。错误.

故选：ABC.

根据平面向量线性运算法则及相等向量的定义逐一判断各选项即可.

本题考查平面向量的线性运算和平面向量相等的概念，还考查了命题真假的判断，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：4=30。，a=4,b-4V-3，

.•.在△ABC中，由余弦定理得a?=b2+c2-2bccos4即16=48+c?—2x443x?c，

即c?-12c4-32=0,解得c=4或c=8.

故选：AC.

利用余弦定理计算，即可得出答案.

本题考查解三角形，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题.

11.【答案】BC

【解析】解：由函数的部分图象知，4=2,7=2X(岑—覆=兀，4八八

所以3=y-=2,力\_

-O|5n1；.x

此时f(%)=2sin(2x+9),五12

因为/(瑞)=2s讥偌+口)=0,-21

所以+0=兀+2.kji,kEZ,

解得0=2/CTT+，，kEZ,

因为。<0<*所以0屋，

所以/(x)=2s讥(2x+$,选项A错误，选项B正确；

画出函数|/(x)|的部分图象，如图所示，由图知|/。)|的周期为宗选项C正确；

将函数y=2s讥2x的图象向左平移*得y'=2sin[2(x+^)]=2sin(2x+)

与函数f(x)不同，所以选项。错误.

故选：BC.

根据函数的部分图象得到相关未知量，写出函数的解析式，再利用图象的变换即可得出答案.

本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题.

12.【答案】BCD

【解析】解：选项A,因为4C〃&G，所以与&G的夹角就是所求角，即4B4C1，

由题意知，△&BC1是等边三角形，

所以NB&Ci=60°,即选项A错误；

选项8,连接BC】，与BiC相交于点0,连接。4,贝IJOBLB1C,

因为AB】平面8B1GC,且OBu平面BBiGC,所以4$110B,

又BiCn&Bi=Bi，BCXBiU平面4B1CD,所以。BJL平面4#也。，

所以40&B是直线与平面&B1CD夹角，

在中，OB=T4B,所以sin4O&B=篇，

因为4O4B6[0。,90。],所以404B=30。，即选项B正确；

选项C,因为4Ali平面ABCD,且BDu平面ABCD,所以A4iJL.BC,

X4C1BD,AA1rtAC=A,AAr,ACu平面力。的4，所以B。_L平面ACGAi，

因为8。u平面&BD,所以平面&BD_L平面ACCi公,即选项C正确；

选项。，因为&D在平面BBiCiC内的射影为&C,且&C_LBCi，所以&。18的，

同理可得，BiD_LaG，

因为BCin&G=G，BCi、&Gu平面&BCi，所以Bi。1平面&BG，即选项。正确.

故选：BCD.

选项A,平移4c至4G，可知NB&G即为所求；

选项8,连接BC],与&C相交于点0,连接。必，证明。B_L平面4/1。。，从而知/0&B即为所求；

选项C,先证明BD1平面ACG久,再由面面垂直的判定定理，得证；

选项。，利用三垂线定理，可知BiDJLBG，BiD，4G，再由线面垂直的判定定理，得证.

本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握空间中线与面的平行、垂直关系，异面直线夹角与线面

角的求法是解题的关键，考查空间立体感，推理论证，属于中档题.

13.【答案】号+殍i

【解析】解：由复平面内复数z=Q+bi对应的点在射线y=x上，所以Q=b9z=a+ai9其中Q>0,

因为|z|=1,可得VM+02=i，

又因为a>0,解得a=?,所以z=?+?i.

故答案为：好+?i.

根据题意得到复数z=a+ai,其中a>0,结合|z|=1,列出方程求得a的值，即可求解.

本题主要考查复数模公式，属于基础题.

14.【答案】一卷

【解析】解：因为s讥a—cosa=：,且a6(。[),

所以(sina-cosa)2=—,sina>0,cosa>0,

所以sin2a—2sinacosa+cos2a=—,

所以2s讥acosa=|^,

所以sina+cosa=y](sina+cosa)2=Vsin2a+2sinacosa4-cos2a=不

咐、।cos2a_______cos2a-sin2a_____

V-^sin(a—y/~2sinacos^—>/~2cosasiTv^

7

(cosa+sina)(cosa—sina),、

=------：-------------=-(cosa+sina)-

sina—cosa''5

故答案为：—

首先将sina—cosa=g两边平方即可求出2sinacosa,再求出sina+cosa,最后利用二倍角公式

及两角差的正弦公式计算可得.

本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题.

15.【答案】6\/~~3

22

【解析】解：因为AC1ABf则8C=VAC+AB=6，~天

又因为al/?,aC\/3=/,BD1lfBDu所以BDla,

连接BC,则BCua,可得BD1BC,

所以CD=VBC2+BD2=6H.

故答案为：

根据题意结合面面垂直、线面垂直的性质分析运算.

本题考查线面垂直和面面垂直、线面垂直的性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基

础题.

16.【答案】一"

【解析】解：由题意，设等边△ABC的边长为2,以的中点。为原点，以0C,。4所在直线分别

为x,y轴建立直角坐标系，可作图如下:

由G为等边△ABC的重心，则。4=q,0G

G(0,?)，

设P(x,y),则而=(x,y-<3)>GP=(x.y

AP,GP=x2+(y—V-^)(y——)=x2+y2

,2气21

(y--)-r

对于Vx,yeR,x2+(y-^)2>0,

故布.而？

AP■丽的最小值为一g.

故答案为:—g.

由题意，建立直角坐标系，表示出坐标，利用数量积的坐标表示，建立函数关系，再求最值即可.

本题考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.

—4—73

17.【答案】解：(1)由题意得例,=*=一]，且女80,心(；=-1，

所以上8£)=%

则边4c上的高8。所在直线的方程为y=—6),化简得4x-3y-24=0；

(2)由题知AC的中点E(—l,—1),所以心£=右

则边4c上的中线BE所在直线的方程为y=3。-6),化简得x-7y-6=0.

【解析】(1)由两点式斜率公式求出4c斜率，利用垂直关系得BD的斜率，代入点斜式即可求解;

(2)求出点E的坐标为(-由两点式斜率公式求出BE的斜率，代入点斜式即可求解.

本题主要考查了直线的一般方程，属于基础题.

18.【答案】解：⑴由已知得/(x)=；cos2x——sin2x+1=cos(2x+与)+1,

则/(x)的周期为T=：=兀.

由24兀<2%+^<2kn+7r(fceZ)得，

/(x)的单调递减区间为出兀一卷卜兀+eZ).

(2)设。=2x+—,由题知。C生写bcos6G[―1,^],

则当cos”—1时，此时。=2%+亨=兀，即x=g,/(X)最小值为0,

所以f(x)取到最小值时相应的自变量的集合为《｝.

【解析】(1)利用二倍角公式与辅助角公式，化简整理三角函数，根据余弦函数的周期性与单调性,

可得答案；

(2)利用整体思想，根据余弦函数的值域，建立方程，可得答案；

本题考查三角函数的单调性，辅助角公式，属于中档题.

19.【答案】解：(1)证明：由向量五=(cosa,sina),5=(cosS，sin0)，可得|N|=1,|b|=1，

又由@+取・@一])=片一12=1一1=0,所以0+办与伍-3)互相垂直.

(2)由0-4至).1=0，可得五2一%为j=1_Acosta-/?)=0.

因为。一/?=今所以1+鼻=0,解得4=—2.

(3)因为|a—kb\2=a2-2ka-b+k2b=k2—2cos(a—+1，

所以当k=cos(a-Q)时，|五-k石|取到最小值，于是cos(a—/?)=

又0＜。一口＜兀，所以。一夕=(

【解析】(1)根据题意，求得0+B)-m—B)=O,即可得证；

(2)根据题意化简得到苍2+而不=1+;1cos(a-S)=0,结合a-6=与，得到1+昙=0,即

可求解；

(3)由|五—kB|2=k2-2c°s(a—夕4+1,根据题意得到cos(a—S)=g,即可求解.

本题考查向量坐标运算法则、向量的模、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

20.【答案】解：(1)证明：取P4中点E,连接DE,EN,

因为M,N分别为CD,PB的中点，则EN〃力B且EN=；4B.

又因为DM〃AB且DM=^AB,则EN〃DM,且EN=DM,

所以DENM平行四边形，则MN〃DE,

因为MNC面PAD,DEu面PAD,所以MN〃平面PAD.

(2)若选条件①：由4B_LMN,因为MN"DE,则力BJ.DE.

又由ABJ.PD,DECtPD=D&DE,PDu平面PAC,所以281平面PAD,

因为4B〃CD,所以CD_L平面PAD,

以。为原点，以DC,DA,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。一xyz,

如图所示，贝i」P(0,0,l),C(2,0,0),4(0,1,0),故同=(2,0,-1).

又由丽==1(0,1,1),则8s〈同，而)==—祟.

所以异面直线MN与PCPC所成角的余弦值为音.

若选条件②：由=可得△ADM三△BCAL所以乙WM=4BCM,

又由AD〃BC,所以“DM+4BCM=180°,

所以44。”=乙BCM=90°,即CD1AD,

又由PD，平面4BCD,且CDu平面2BCD,所以CD1PD

因为/WnPD=D,且4D,PDu平面P/W,所以CDJ■平面PAD,

以。为原点，以DC,DA,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,

如图所示，则P(O,O,1),C(2,0,0),4(0,LO)，

故正=(2,0,-1).

又由而=DE=1(0,1,1),则cos〈正，丽〉=高需=一卷.

所以异面直线MN与PCPC所成角的余弦值为qi

【解析】(1)取P4中点E,连接DE,EN,证得MN〃DE,结合线面平行的判定定理，即可求解；

(2)若选条件①：由4BJ.MN,证得AB1平面PAD,以。为原点建立空间直角坐标系，求得向量

定=(2,0,-1)和而7=(0,；［)，结合向量的夹角公式，即可求解；

(若选条件②：由4M=BM,证得CC，平面PAD,以。为原点建立空间直角坐标系，求得向量