2021-2022学年天津市河西区九年级上期末数学试卷及答案解析

2021-2022学年天津市河西区九年级上期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合题目要求的）

1.已知。O的半径为6cm,点P到圆心O的距离为6cm,则点P和的位置关系是（）

A.点尸在圆内B.点尸在圆上C.点P在圆外D.不能确定

2.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）

3.半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（）

A.2nB.—itC.—TTD.A-n：

242

4.同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（）

A.AB.Ac.3D.A

5356

5.如图，ZVIBC与△DEF是位似图形，相似比为2：3,已知AB=3,则DE的长为（）

A.卫B.旦C.&D.此

2233

6.如图，为。。的直径，C,。为。。上的两点，且C为面的中点，若/BAD=20°,

则/ACO的度数为（）

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D

A.30°B.45°C.55°D.60°

7.如图所示，小正方形的边长均为1,则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是

8.直线y=-4x+l与抛物线y=/+2x+Z只有一个交点，则%的值为（）

A.0B.2C.6D.10

9.如图，已知在Rt^ABC中，ZACB=90°,CZJLAB于。，则下列结论错误的是（）

A.CD'AC=AB-BCB.AC2=AD-AB

c.BC2=BD-ABD.AC-BC=AB-CD

10.顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，

则这个新的正三角形的面积等于（）

A.21弧cm1B.36A/3C/W2C.IS-^cm2D.

44

11.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为a（0°<a<180°）,得到△AOE,这

时点B,C,。恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）

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E

A.AB=EDB.EALBC

C.ZB=90°--D.ZEAC=90°+巴

22

12.如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与所在一条直线上，

点A与点F重合.现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点、F与B

重合时停止.在这个运动过程中，正方形ABC。和△EPG重叠部分的面积S与运动时间

/的函数图象大致是（）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是

14.如图所示，写出一个能判定△ABCs△“LC的条件.

15.如图，在△ABC中，DE//BC,且。£把△ABC分成面积相等的两部分.若AO=4,则

DB的长为.

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D,E

16.已知：如图，PA,PB,DC分别切。。于A,B,E点，若R1=/0C7",则△尸CD的周长

为.

17.二次函数y=/+Zw+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则根的值为

X-2-101234

y72-1-2m27

18.如图，在边长为1的正方形ABC。中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转a度（0<

aW360°）,得到射线AE,点M是点。关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小

三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19.（8分）解方程：x2-7%-30=0.

20.（8分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4.随

机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球.利用树形图或列表求下列事件的概率:

（1）两次取出的小球的标号相同；

（2）两次取出的小球标号的和等于4.

21.（10分）在△ABC中，ZC=90°,以边AB上一点。为圆心，OA为半径的圆与BC相

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切于点。，分别交AB,AC于点E,F.

（1）如图①，连接A。，若/CAD=25°,求的大小；

（2）如图②，若点尸为面的中点，。。的半径为2,求的长.

图1图2

22.（10分）如图①，£是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且处=5,CE交BD于

DE3

点、F.

P

图①图②

（I）若BF=15,求。尸的长；

（II）如图②，若延长54和CE交于点尸，A2=8,能否求出AP的长？若能，求出AP

的长；若不能，说明理由.

23.（10分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围

成一个矩形菜园ABCD,其中ADWAM,已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100

米木栏.

（1）若a=20米，所围成的矩形菜园的面积为45。平方米，求所利用旧墙的长;

（2）若a=70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值.

BC

24.（10分）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AEG摆放在一起，A为

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公共顶点，ZBAC=ZAGF=90°,若AABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF,AG

与边BC的交点分别为D、E（点。不与点3重合，点E不与点C重合）.

（1）求证：△ABEsZ\ocA；

（2）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2=。炉是否始终成立，若成立，请证明；若不

成立，请说明理由.

25.（10分）在平面直角坐标系中，将二次函数>=以2Q>o）的图象向右平移1个单位，

再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、8（点A在点

2的左侧），。4=1,经过点A的一次函数y=Ax+b（AW0）的图象与y轴正半轴交于点C,

且与抛物线的另一个交点为D,AABD的面积为5.

（1）求抛物线和一次函数的解析式；

（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求AACE面积的最大值，并求出此时点

£■的坐标；

（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求尸£+3阴的最小值.

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2021-2022学年天津市河西区九年级上期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合题目要求的）

1.已知OO的半径为6cm,点P到圆心O的距离为6cm,则点P和。O的位置关系是（）

A.点P在圆内B.点尸在圆上C.点尸在圆外D.不能确定

【分析】根据点与圆的位置关系进行判断.

【解答】解：:。。的半径为尸到圆心。的距离为6CM,

即OP=6,

点尸在O。上.

故选：B.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种，设。。的半径为r,

点P到圆心的距离OP=",则有：点P在圆外=1＞厂；点尸在圆上=d=r；点尸在圆内

2.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）

【分析】把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那

么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

2、是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、不中心对称图形，故本选项不合题意；

D.不中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：B.

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【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念：关键是找到相关图形的对称中心，旋转

180度后与原图重合.

3.半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（）

A.2nB.3TTC.3nD.LIT

242

【分析】根据弧长公式/=史立，计算即可.

180

【解答】解：弧长=辿23=工，

1802

故选：D.

【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式，属于中考常考题型.

4.同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（）

A.AB.Ac.3D.A

5356

【分析】利用列表法展示所以36种等可能的结果数，找出向上一面的两个骰子的点数相

同的占6种，然后根据概率公式进行计算.

【解答】解：列表如下：

共有6X6=36种等可能的结果数，其中向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，

所以向上一面的两个骰子的点数相同的概率=&=2.

366

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法列举出所有可能的结果

求出“，再从中选出符合事件A或2的结果数目相，求出概率.

5.如图，ZVIBC与△DEF是位似图形，相似比为2：3,已知AB=3,则DE的长为（）

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D

【分析】根据位似变换的定义、相似三角形的性质列式计算即可.

【解答】解：:△ABC与△。所是位似图形，相似比为2：3,

，AABCs^DEF,

...迪=2,即上_=2,

DE3DE3

解得，DE=2,

2

故选：B.

【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比是解

题的关键.

6.如图，A2为。。的直径，C,。为上的两点，且C为面的中点，若NA4D=20°,

则/ACO的度数为（）

【分析】根据垂径定理的推论，即可求得：OCLA。，由/B4D=20°,即可求得/AOC

的度数，又由OC=OA,即可求得/ACO的度数

【解答】解：为。。的直径，C为面的中点，

OCLAD,

VZBAD=2Q°,

ZAOC=90°-ZBAD=10°,

"：OA=OC,

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ZACO=ZCAO=—―-NAOC=&___=55°,

22

故选：c.

【点评】此题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质.此题难度不

大，解题的关键是C为众的中点，根据垂径定理的推论，即可求得OCLAD

7.如图所示，小正方形的边长均为1,则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是

()

A.年

【分析】根据网格中的数据求出AB,AC,BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比

例的两三角形相似判断即可.

【解答】解：根据题意得：AB=,/32+12=/10,AC=2,BC=J]2+]2=&,

：.BC：AC：AB=\-.-,/2：V5-

A、三边之比为1：V2：V5-图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；

B、三边之比、历：2、历：3,图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；

C、三边之比为1：V5：2、历，图中的三角形（阴影部分）与AABC不相似；

D、三边之比为2：遍：V131图中的三角形（阴影部分）与AABC不相似.

故选：A.

【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关

键.

8.直线y=-4x+l与抛物线y=f+2x+Z只有一个交点，则女的值为（）

A.0B.2C.6D.10

【分析】直线y=-4%+1与抛物线y=j^+2x+k只有一个交点，则把y=-4x+l代入二次

函数的解析式，得到的关于x的方程中，判别式△=（）,据此即可求解.

【解答】解：根据题意得：J?+2x+k=-4x+l,

即7+6x+（左-1）=0,

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则Z\=36-4Ck-1)=0,

解得:左=10.

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数与一次函数的交点个数的判断，把一次函数代入二次函数

的解析式，得到的关于x的方程中，判别式△>(),则两个函数有两个交点，若△=(),

则只有一个交点，若△<(),则没有交点.

9.如图，已知在RtZ\ABC中，ZACB=90°,CDLABD,则下列结论错误的是()

A.CD-AC=AB-BCB.AC2=AD-AB

C.BC1=BD-ABD.AC，BC=AB,CD

【分析】根据三角形的面积公式判断A、D,根据射影定理判断2、C.

【解答】解：由三角形的面积公式可知，CD-AB=AC-BC,A错误，符合题意，。正确,

不符合题意；

「RtZvlBC中，ZACB=90°,CD1.AB,

：.AC2=AD-AB,BC1=BD'AB,B、C正确，不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查的是射影定理、三角形的面积计算，掌握射影定理、三角形的面积公

式是解题的关键.

10.顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，

则这个新的正三角形的面积等于()

A.81v^cm2B.3643cm2C.18acm1D.封卫c总

44

【分析】作AP1GH于P,BQLGH于Q,由正六边形和等边三角形的性质求出GH=

PG+PQ+QH=9cni,由等边三角形的面积公式即可得出答案.

【解答】解：如图所示：作APLGH于尸，BQIGH^Q,如图所示：

是等边三角形，

:./MGH=/GHM=60°,

,：六边形ABCDEF是正六边形,

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.ZBAF=ZABC=12Q°,正六边形4BCDEF是轴对称图形，

•G、H、M分别为AF、BC、DE的中点，△G//M是等边三角形,

:.AG=BH=3cm,NMGH=NGHM=60°,ZAGH=ZFGM=60°,

：.ZBAF+ZAGH=1SQ°,

S.AB//GH,

:作AP_LGH于尸，BQ_LGH于Q,

：.PQ=AB=6cm,/E4G=90°-60°=30°,

：.PG=^AG=^-cm,

22

同理：QH=^-cm,

2

GH=PG+PQ+QH=9an,

：.△GHM的面积=1GH2=©''。川；

44

故选：A.

【点评】此题主要考查了正六边形的性质、等边三角形的性质及三角形的面积公式等知

识；熟练掌握正六边形和等边三角形的性质是解题的关键.

11.如图，将△A8C绕点A逆时针旋转，旋转角为a(00<a<180°),得到△&£)£,这

时点8,C,。恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是()

A.AB=EDB.EALBC

C.NB=90°--D.ZEAC=90°+—

22

【分析】由旋转的性质可得AB=AD,ZBAD=a,由等腰三角形的性质可求解.

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【解答】解：：将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为a,

：.AB=AD,NBAD=a,

NB=180°-(工=90。-巴，

22

故选：c.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关

键.

12.如图，边长都为4的正方形A2CZ)和正三角形EFG如图放置，A3与EF在一条直线上,

点A与点尸重合.现将△EEG沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点尸与8

重合时停止.在这个运动过程中，正方形ABC。和△所G重叠部分的面积S与运动时间

,的函数图象大致是()

【分析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项

中的图象符合题意，本题得以解决.

【解答】解：当0W/W2时，s=，(t・tan60°)=近2,即s与二是二次函数关系,

22

有最小值(0,0),开口向上，

当2</<4时S=4*(4Xsin60°)_(4-t)•[(4-t)・tan600]=

、，22

函岑<4_t)2，即S与f是二次函数关系，开口向下，

由上可得，选项C符合题意，

故选：C.

【点评】本题考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合

的思想解答.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

13.从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是——匚_.

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【分析】让点数为6的扑克牌的张数除以没有大小王的扑克牌总张数即为所求的概率.

【解答】解：二•没有大小王的扑克牌共52张，其中点数为6的扑克牌4张，

随机抽取一张点数为8的扑克，其概率是-L」，

5213

故答案为

13

【点评】本题考查的是随机事件概率的求法，如果一个事件有〃种可能，而且这些事件

的可能性相同，其中事件A出现机种结果，那么事件A的概率P（A）=旦.

n

14.如图所示，写出一个能判定△ABCsZXD4c的条件Ac2=£>C・BC（答案不唯一）.

【分析】已知有公共角/C,由相似三角形的判定方法可得出答案.

【解答】解：已知和△OCA中，ZACD=ZBAC；

如果△ABCs^QAC,需满足的条件有：

①NZMC=ZB或NADC=ABAC-,

②AC2=DC，BC；

故答案为：AC2=DC-BC（答案不唯一）.

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问

题的关键.

15.如图，在△ABC中，DE//BC,且。E把△ABC分成面积相等的两部分.若AO=4,则

DB的长为4J5-4.

【分析】由平行于BC的直线OE把△A2C分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC

相似，且面积比为工，则相似比为返，处的值为返，可求出的长，则的长可

22AB2

求出.

第14页共26页

【解答】解：-：DE//BC,

：.AADE^AABC,

•：DE把AABC分成面积相等的两部分，

•,•S/^ADE=S四边形DBCE,

.SAADE1

^AABC2

.AD-V2

AB2

'：AD=4,

；.4B=4如.

J.DB^AB-40=472-4.

故答案为：W2-4.

【点评】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方

的逆用等.

16.已知：如图，PA,PB,DC分别切OO于A,B,E点，若巩=/0。〃，则△尸CD的周长

为20c〃z.

【分析】根据切线长定理由PA.PB分别切。。于A、B得至!JPB=PA=10cm,由于DC

与O。相切于E，再根据切线长定理得到CA=CE,DE=DB,然后三角形周长的定义得

至!J△尸。C的周长=HD+OC+PC=PD+O8+CA+PC,然后用等线段代换后得到三角形PDC

的周长等于PA+PB.

【解答】解：：朋、PB分别切于A、B,

PB—PA=\0cm,

与CE为O的切线，

：.CA=CE,

同理得至I]DE=DB,

：.丛PDC的周长=PD+DC+PC=PD+DB+CA+PC

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APDC的周长=E4+PB=20cm,

故答案为20c%

【点评】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆

心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.

17.二次函数y=/+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为-1.

X-2-101234

y72-1-2m27

【分析】二次函数的图象具有对称性，从函数值来看，函数值相等的点就是抛物线的对

称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求"2的值.

【解答】解：根据图表可以得到，

点（-2,7）与（4,7）是对称点，

点（-1,2）与（3,2）是对称点，

函数的对称轴是：x=l,

，横坐标是2的点与（0,-1）是对称点，

Am--1.

【点评】正确观察图象，能够得到函数的对称轴，联想到对称关系是解题的关键.

18.如图，在边长为1的正方形ABC。中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转a度（0<

aW360。），得到射线AE,点M是点。关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小

值为血-1.

【分析】由轴对称的性质可知故此点M在以A圆心，以为半径的圆上,

故此当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值.

【解答】解：如图所示：连接AM.

第16页共26页

:四边形ABCD为正方形，

：.AC=yjJ!J）24CD2=J1+1=V2.

•.•点。与点M关于AE对称，

：.AM=AD=1.

...点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上.

如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值.

：.CM的最小值=AC-AM'=-.[2-1，

故答案为：V2-1.

【点评】本题主要考查的是旋转的性质，正方形的性质，依据旋转的性质确定出点M运

动的轨迹是解题的关键.

三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19.（8分）解方程：?-7%-30=0.

【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【解答】解：?-7x-30=0,

（x-10）（x+3）=0,

尤-10=0,x+3=0,

Al=10,X2=-3.

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成

一元一次方程，难度适中.

20.（8分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4.随

机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球.利用树形图或列表求下列事件的概率:

（1）两次取出的小球的标号相同；

（2）两次取出的小球标号的和等于4.

【分析】（1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同

第17页共26页

的占4种，然后根据概率的概念计算即可；

（2）由（1）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3

种，进而可求出其概率.

【解答】解：（1）如图，

随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数,

其中两次摸出的小球标号相同的有4种，

所有两次摸出的小球标号相同的概率为二=工；

164

（2）因为两次取出的小球标号的和等于4的有3种，

所以其概率为且.

16

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所

有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解

题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.

21.（10分）在△ABC中，ZC=90°,以边AB上一点。为圆心，OA为半径的圆与BC相

切于点。，分别交AB,AC于点£,F.

（1）如图①，连接A。，若/CAD=25°,求的大小；

（2）如图②，若点F为面的中点，。。的半径为2,求的长.

图1图2

【分析】（1）连接OD,由在△ABC中，ZC=90°,BC是切线，易得OD〃AC,即可

第18页共26页

求得NCAO=NB40,继而求得答案；

(2)首先连接。£,OD,由(1)得：OD//AC,由点尸为众的中点，易得△AOb是等

边三角形，继而求得答案.

【解答】解：(1)连接OQ,

VOA为半径的圆与相切于点D,

：.OD±BCf

.\ZODB=90°,

•・•在△ABC中,ZC=90°,

：./ODB=/C,

：.OD//AC,

：.ZCAD=ZADO=25°,

9

\OA=ODf

：.ZOAD=ZODA=25°,

AZBOD=2ZOAD=50°,

ZB=90°-NBOD=40°；

(2)连接。凡OD,

.图2

由（1）得：OD//AC,

：.ZAFO=ZFOD,

・・・OA=OR点尸为俞的中点，

AZA=ZAFO,ZAOF=ZFOD,

：.ZA=ZAFO=ZAOF^60°,

AZB=90°-NA=30°,

•.•04=00=2,

・・・05=200=4,

第19页共26页

：.AB=OA+OB=6.

【点评】此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质以及平行线的性质.注意准

确作出辅助线是解此题的关键.

22.（10分）如图①，E是平行四边形ABCD的边AO上的一点，且迪=反，CE交BD于

DE3

点F.

P

图①图②

（I）若BF=15,求。尸的长；

（II）如图②，若延长54和CE交于点尸，A3=8,能否求出AP的长？若能，求出AP

的长；若不能，说明理由.

【分析】（I）由OE〃BC,可得生色用，由此即可解决问题；

BCBF8

（II）由尸B〃DC,可得可得的长.

DCED

【解答】解：（I）•••四边形ABC。是平行四边形，

C.AD//BC,AD=BC,

.•.AE-5，

DE3

•.•ED-3-DF,

BC8BF

又；BF=15,

•.•-8---1-5,

3DF

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o

(II)解：能.

四边形ABCD是平行四边形，

：.PB//DC,AB=DC=8,

•.•-P-A--A-E-,

DCED

•••P-A=--5,

83

3

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键

是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

23.(10分)如图，在足够大的空地上有一段长为。米的旧墙"N,某人利用旧墙和木栏围

成一个矩形菜园ABCD,其中已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100

米木栏.

(1)若。=20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长；

(2)若。=70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值.

AD

BC

【分析】(1)设贝ijBC=(100-2x)m,列方程求解即可；

(2)^AB=xm,由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.

【解答】解：(1)设贝1JBC=(100-2x)m,由题意得：

x(100-2x)=450

解得：xi=5,X2=45

当x=5时，100-2x=90>20,不合题意舍去；

当x=45时，100-2r=10<20

答：AD的长为10/71；

(2)i^AB=xm,贝l|

S=L(100-x)

2

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=-A(x-50)2+1250,(0<xW70)

2

：.x=50时,S的最大值是1250.

答：当x=50时，矩形菜园ABCZ)面积的最大值为1250.

【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确列式

并明确二次函数的相关性质，是解题的关键.

24.(10分)在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为

公共顶点，ZBAC=ZAGF=9Q°,若△A2C固定不动，△APG绕点A旋转，AF.AG

与边BC的交点分别为。、E(点。不与点B重合，点E不与点C重合).

(1)求证：AABEsADCA；

(2)在旋转过程中，试判断等式是否始终成立，若成立，请证明；若不

成立，请说明理由.

【分析】(1)由图形得/BAE=/BAO+45°,由外角定理，得/CD4=/540+45°,

可得/BAE=/CD4,根据/B=/C=45°,证明两个三角形相似；

(2)将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，证明△EA。丝转化DE、

EC,使所求线段集中在RtABHD中利用勾股定理解决.

【解答】(1)证明：VZBAE=ZBAD+45°,ZCDA=ZBAD+450,

ZBAE=ZCDA,

又/B=/C=45°,

：.AABE^ADCA；

(2)解：成立.如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，

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贝1JCE=BH,AE=AH,ZABH=ZC=45°,旋转角/EAH=90°.

连接在△EA。和△HAD中，

，AE=AH

<ZHAD=ZEAD=45°，

,AD=AD

:.AEAD咨AHAD(SAS).

:.DH=DE.

又NHBD=/ABH+/ABD=90°,

/.BD2+BH2=HD2,即BD2+CE2=DE2.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键

是正确作出辅助线.

25.(10分)在平面直角坐标系中，将二次函数y=o?(a>0)的图象向右平移1个单位，

再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点42(点A在点

B的左侧)，OA=\,经过点A的一次函数y=fcc+6(Z#0)的图象与y轴正半轴交于点C,

且与抛物线的另一个交点为D,AABD的面积为5.

(1)求抛物线和一次函数的解析式；

(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点

E的坐标；

(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求尸£+3朋的最小值.

【分析】