2022-2023学年浙江省金华市东阳市九年级（上）期末数学试卷

2022-2023学年浙江省金华市东阳市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：（本题共30分，每小题3分）

1.（3分）若2a=36,则4的值为（）

b

3253

A.-B.-C.-D.-

5532

2.（3分）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（）

A.水落石出B.水涨船高C.水滴石穿D.水中捞月

3.（3分）抛物线y=x?-2与y轴交点的坐标是（）

A.（0,2）B.（0,-2）C.（2,0）D.（-2,0）

4.（3分）如图，四边形43a）内接于oO,4?是。的直径，ZABD=20。,则NBCZ）的

度数是（）

C.110°D.120°

5.（3分）若把抛物线＞=3/一1向右平移2个单位，则所得抛物线的表达式为（）

A.>=3x2-3B.y=3x2+lC.y=3(x+2)2+lD.y=3(x-2)2-l

6.（3分）如图，在AABC中，BC=3,AC=4,ZC=90°,以点8为圆心，长为半

径画弧，与AB交于点D,再分别以A、。为圆心，大于［相＞的长为半径画弧，两弧交于

2

点、M、N,作直线MN,分别交AC、AB于点E、F,则/正的长度为（）

7.（3分）如图，半径为5的圆O中，弦3C、即所对的圆心角分别是NBOC、NEOD,

已知QE=6,ZBOC+ZEOD=180°,则弦BC的弦心距等于（）

B

A.3B.—C.4D.—

22

8.（3分）如图，在等腰三角形ABC中,4?=AC,点。是AC的中点，若以A3为直径作

圆，则下列判断正确的是（）

B.点C一定在。上

C.点。一定在0。外D.点。一定在，OI；

9.（3分）点4（"1-1,乂），8（,〃,％）都在二次函数y=（xT>+〃的图象上.若%<%，则"，

的取值范围为（）

33

A.m>2B.m>—C.m<\D.—<ni<2

22

10.（3分）如图①，在AABC中，ZB=108°,动点P从点A出发，沿折线

匀速运动一周.若点P的运动速度为law/s,设点尸的运动时间为f（s）,AP的长度为v（cm）,

1，与r的函数图象如图②所示.当成恰好是NABC的一条三等分线时，f的值为（）

A.6+2或5B.石+3或6C.后+3或5D.石+2或6

二、用心填一填（本题24分，每小题4分）

11.（4分）已知线段a=l,。=4,则〃、Z?的比例中项为.

12.（4分）二次函数y=（x-+2的顶点坐标为.

13.（4分）已知扇形所在的圆半径为6cm,面积为6以根2,则扇形圆心角的度

数为—.

14.（4分）如图，PA.P8分别与O相切于点4,B,连结PO并延长与。交于点C、

D,若8=12,24=8,贝iJsinZWB的值为.

D

15.（4分）已知函数y=，nr2+3,nx+〃?T的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数，”的值

为.

16.（4分）综合实践课上，小聪把一张长方形纸片ABCD沿着虚线剪开，如图①所示,

把得到的两张纸片如图②摆放，纸片R/ACSE较小锐角的顶点尽在小上，较长直角边

与斜边分别交边45于点G,H.以点G与A重合，且为初始位置，把Rf△

C3E沿着上方向平移，当点£到达点E后立刻绕点E逆时针旋转，如图③，直到点”与

点B重合停止.为了探求3〃与AG之间的变化关系，设AG=m,请用含m的代数式表示

BH.

（1）在平移过程中，BH=

（2）在旋转过程中，BH=

三、细心答一答（本题共66分）

17.（6分）计算：73cos300-y/2sin450+tan45°cos60°

18.（6分）“石头、剪子、布“是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头

““剪刀””布“3种手势中的1种，其中“石头”赢”剪子”，”剪子”赢”布”，”布”赢

“石头“，手势相同不分输赢.假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1

种.

（1）甲每次出“石头”的概率为—.

（2）用画树状图或列表的方法，求乙赢的概率.

19.（6分）在学过平面镜成像知识后，小慧在房顶安装一平面镜如图所示，MN与墙

面居所成的角正4MN8=118。，房高=房顶AM与水平地面平行，小慧坐在点M

的正下方。处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D.

（1）求的度数.

（2）能看到的最远处到她的距离8是多少？（结果精确到0./〃?，参考数据：sin34。“0.56,

tan34°«0.68,tan560亡1.48）

20.（8分）如图，二次函数图象的顶点为且与反比例函数的图象交于点4-3,-3）

（1）求二次函数与反比例函数的解析式；

（2）判断原点（0,0）是否在二次函数的图象上，并说明理由；

（3）根据图象直接写出二次函数的值小于反比例函数的值时自变量x的取值范围.

21.（8分）如图，二。是AABC的外接圆，。点在边上，NBAC的平分线交。于点

连接如、CD,过点。作3c的平行线，与AS的延长线相交于点P.

（1）求证：PD是。的切线；

（2）若他=3,AC=4,求线段P8的长.

22.（10分）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进

价且不高于18元.经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之

间满足如图所示的一次函数关系.

（1）求y与x之间的函数关系式;

（2）销售单价定为多少时;该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

尸分别在边AD、3c上，且£>E=5,CF=2,将矩

形ABCD沿直线所折叠，使点。恰好与点B重合，点C落在点C处，如图1.

（1）求证：BE=BF；

（2）点P为线段EF上一动点，过点、P作PHLBE、PGYBF,以PH、PG为邻边构造

平行四边形PHQG,如图2.

①求平行四边形PHQG的周长.

②当点P从点E运动到点F时，求出点。的运动路径长.

C'

图1

24.(12分)如图1,已知抛物线耳：y=-/+2x+3交x轴于A、8两点，与)，轴交于点C,

抛物+法+c经过点A、B,点尸是射线CB上一动点.

(1)求抛物线人和直线的函数表达式.

(2)如图2,过点P作正上BC交抛物线6第一象限部分于点E,作瓦V/43交于点

F,求面积的最大值及此时点E的坐标.

(3)抛物线5与F?在第一象限内的图象记为“图象Z”，过点P作PG//y轴交图象Z于点

G,是否存在这样的点P,使ACPG与AO3C相似？若存在，求出所有符合条件的点P的

横坐标.

图2

图1

2022-2023学年浙江省金华市东阳市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本题共30分，每小题3分）

1.（3分）若2a=36,则£的值为（）

3253

A.-B.-C.-D.-

5532

【分析】内项之积等于外项之积，依据比例的性质即可得出结论.

【解答】解：2a=3b>

:.a=—b,

2

a_3

"~b~2'

故选：D.

【点评】本题考查了比例的性质，掌握内项之积等于外项之积是关键.

2.（3分）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（）

A.水落石出B.水涨船高C.水滴石穿D.水中捞月

【分析】根据事件发生的可能性大小判断.

【解答】解：A、水落石出，是必然事件，不符合题意；

8、水涨船高，是必然事件，不符合题意；

C、水滴石穿，是必然事件，不符合题意；

。、水中捞月，是不可能事件，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，

一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事

件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

3.（3分）抛物线y=f-2与y轴交点的坐标是（）

A.（0,2）B.（0,-2）C.（2,0）D.（-2,0）

【分析】此题令x=0,可确定抛物线与y轴的交点坐标.

【解答】解：令x=0,得y=-2,故抛物线与y轴交于（0,-2）.

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数的性质.令x=0,可确定抛物线与y轴的交点坐标是解题关

键.

4.（3分）如图，四边形内接于。，钙是・。的直径，Z4BD=20°,则N38的

度数是（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到448的度数，再根据三角形内角和可以求得

NQ4Q的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到NBCQ的度数.

方法二：根据是。的直径，可以得到NM>3=90。，再根据NABD=20。和三角形内角

和，可以得到44的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到48的度数.

【解答】解：方法一：连接8,如图所示，

ZABD=20°,

ZAOD=40°,

OA=OD,

:.ZOAD=ZODA,

ZOAD+ZODA+ZAOD=180°,

.-.ZOAD=ZODA=10°,

四边形ABC。是圆内接四边形，

/.ZOAD+ZBCD=180°.

,-.ZBCD=110°,

故选：C.

方法二：AS是.。的直径，

.-.ZADB=90°,

ZABD=2Q°,

:.ZA=10°,

四边形ABCD是圆内接四边形，

:.ZA+ZBCD=\80°,

.•.ZBCD=110°.

故选：C.

【点评】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数

形结合的思想解答.

5.（3分）若把抛物线y=3/-1向右平移2个单位，则所得抛物线的表达式为（）

A.y=3x2-3B.y=3x2+lC.>>=3（x+2）2+lD.y=3（x-2）2-l

【分析】根据''左加右减，上加下减”的规律直接求得.

【解答】解：因为抛物线y=3/T向右平移2个单位，得：y=3（x-2）2-l,

故所得抛物线的表达式为y=3。--1.

故选：D.

【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并

用规律求函数解析式.

6.（3分）如图，在AA3C中，BC=3,AC=4,ZC=90°,以点B为圆心，8c长为半

径画弧，与钻交于点再分别以A、。为圆心，大于！4）的长为半径画弧，两弧交于

2

点M、N,作直线MN,分别交AC、4?于点E、F,则/!£的长度为（）

【分析】由题意得，BC=BD=3,直线A/N为线段AD的垂直平分线，由勾股定理得

AB=>/32+42=5,进而可得Ab=1,证明AAE^SAABC,可得丝=竺，即丝=_1,

ABAC54

求出AE,即可得出答案.

【解答】解：由题意得，BC=BD=3,直线MN为线段4）的垂直平分线，

BC=3,AC=4,ZC=90°,

AB=^32+42=5,

:.AD=AB-BD=2,

AF=-AD=\

2f

.ZEAF=ZBAC,ZAFE=ZACB=90°9

/./SAEF^^ABC,

AEAF日nAE1

--=---，即---=—，

ABAC54

解得：AE=-.

4

故选：C.

【点评】本题考查作图-基本作图、勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质,

熟练掌握相关知识点是解答本题的关键.

7.（3分）如图，半径为5的圆O中，弦3C、即所对的圆心角分别是NBOC、AEOD,

已知£>E=6,NBOC+NEOE>=180。，则弦BC的弦心距等于（）

B

A.3B.—C.4D.—

22

【分析】作0/73c于〃，作直径CF,连接所，先利用等角的补角相等得到

ZDOE=ZBOF,再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=3b=6,由。〃_LBC,根据垂

径定理得C〃=8〃，易得。，为ACS尸的中位线，然后根据三角形中位线性质得到

OH=-BF=3.

2

【解答】解：作OHLBC于H,作直径CF,连接M,如图,

ZBOC+NEOD=18（T，

而ZBOC+NBOF=180°,

:.ZDOE=ZBOF,

DE=BF,

:.DE=BF=6,

OHLBC,

:.CH=BH,

而CO=OF,

为△C3F的中位线，

:.OH=-BF=3.

2

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理和三角形中位线性质.

8.（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,点。是AC的中点，若以AB为直径作

A.点C一定在。外B.点C一定在_。上

C.点。一定在：。外D.点。一定在：。上

【分析】如图，作8c于H,8«，人。于£：.则以AB为直径的O经过点E,H.显

然点C在一。外.由此即可判断；

【解答】解：如图，作AH_LBC于H,3E_LAC于E.则以他为直径的；O经过点£,

H.显然点C在。外.

点。的位置无法确定，可能在。上，可能在。内，可能在O外.

故选：A.

【点评】本题考查点与圆的位置关系，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基

本知识，属于中考常考题型.

9.（3分）点4（〃?-l,y）,8（孙外）都在二次函数y=（x-l）2+〃的图象上.若y<%,则m

的取值范围为（）

33

A.in>2B.m>—C.m<\D.—<tn<2

22

【分析】根据列出关于根的不等式即可解得答案.

【解答】解：点A（m-1,%），8（根,%）都在二次函数y=（X-1）2+〃的图象上，

y=（“一1-1）2+〃=（机-2）2+〃,

2

y2=（/n-1）,

二y〈％，

/.（777-2）2+〃V（加-I）2+n,

（愕-2）2-（机-1）2<0,

即一26+3<0,

3

2

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于机的

不等式.本题属于基础题，难度不大.

10.（3分）如图①，在AABC中，ZB=108°,动点P从点A出发，沿折线A—BfCfA

匀速运动一周.若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为f(s)，AP的长度为v(cm),

v与，的函数图象如图②所示.当成恰好是N4BC的一条三等分线时，f的值为()

A.行+2或5B.6+3或6C.后+3或5D.行+2或6

【分析】根据图②可知，AB=BC=2,再根据3P,叱是NABC的三等分线，可以证明

"BCs/\BAC,求出PC的长，即可求出答案.

【解答】解：如图①，BP,肝是NABC的三等分线,

图①

根据图②可知，AB=BC=2,

ZABC=108°,AB=BC,

ZA=ZC=ZABP=NCBP=APBP=36°,

.-.ZAPB=ZABP=72°,

.-.AB=AP=2,

同理CP=3C=2,

APBC=ZA,ZC=ZC,

:NBCs^BAC,

BCPC

•.-----=-----,

ACBC

2PC

2^PC~~T'

PC=>/5-1WC-V5-1（负值舍去）,

:.AB+BC+PC=yf5+3,AB+BC+CP=6,

：.当BP恰好是ZABC的一条三等分线时，r的值为石+3或6.

故选：B.

【点评】本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，

证明三角形相似是解题的关键.

二、用心填一填（本题24分，每小题4分）

11.（4分）已知线段a=l,b=4,则a、〃的比例中项为2.

【分析】设线段x是线段“，6的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之

积等于两外项之积即可得出答案.

【解答】解：设线段x是线段。，6的比例中项，

a=\fh=49

ax

-=一,

xb

/.x2=aZ?=4x1=4,

；.x=2或x=-2（舍去）.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查比例线段，关键是根据比例中项的定义列出等式.

12.（4分）二次函数y=（x-l>+2的顶点坐标为_（1,2）一

【分析】由二次函数的解析式可求得答案.

【解答】解：

■,y=（x-l）2+2,

抛物线顶点坐标为（1,2）,

故答案为：（1,2）.

【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在

y=a（x-〃）2+左中，对称轴为x=/z,顶点坐标为（〃,女）.

13.（4分）已知扇形所在的圆半径为6cw,面积为64加，则扇形圆心角的度

数为_6（）。_.

【分析】设扇形的圆心角是〃。，根据扇形的面积公式即可得到一个关于”的方程,

解方程即可求解.

【解答】解：设扇形的圆心角是〃°,根据扇形的面积公式得：6»=口，

360

解得H=60.

故答案为：60°

【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键.

14.（4分）如图，PA、m分别与'。相切于点A,B,连结尸O并延长与，O交于点C、

4

D,若cr>=12,24=8,贝|JsinNAD5的值为一.

-5-

D

【分析】连接04、。3,根据切线的性质得到Q4J_〃，根据勾股定理求出QP,根据圆

周角定理得到NA03=NAOP,根据正弦的定义计算即可.

【解答】解：连接。4、OB,

Q4与O相切于点A,

:.OA.LPA,

OP=y/OA1+PA2=A/62+82=10,

由圆周角定理得：ZADB=-ZAOB,

2

PA,总分别与O相切于点A、B,

:.ZAPO=ZBPO,NOAP=NOBP=90。,

:.ZAOP=ZBOP,

.\ZADB=ZAOP,

期84

...sinZADB=sinZAOP=——,

OP105

故答案为：

5

B

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过

切点的半径是解题的关键.

15.（4分）已知函数、=32+3如:+m-1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值

为1或」.

5-

【分析】函数y=wx2+3/nr+/〃-l的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①过坐

标原点，机一1=0,〃?=1,②与x、y轴各一个交点，得出△=（）,〃?声0.

【解答】解：当〃2=0时，y=-l,与坐标轴只有一个交点，不符合题意.

当〃2工0时，函数了=〃a2+3nvc+m-l的图象与坐标轴恰有两个公共点，

①过坐标原点，m-l=0,6=1,

②与x、y轴各一个交点，

「.△=0,mwO,

（3m）2--1）=0,

A

解得6=0（舍去）或加=——，

5

综上所述："，的值为1或-&•

5

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰有两

个公共点的情况，看清题意，分情况讨论是解题关键.

16.（4分）综合实践课上，小聪把一张长方形纸片他CD沿着虚线E8剪开，如图①所示,

把得到的两张纸片如图②摆放，纸片较小锐角的顶点£在小上，较长直角边

与斜边分别交边A3于点G,H.以点G与A重合，且?£_LLA3为初始位置，把用△

CBE沿着小方向平移，当点到达点E后立刻绕点E逆时针旋转，如图③，直到点”与

点8重合停止.为了探求8H与AG之间的变化关系，设AG=m,请用含〃，的代数式表示

BH.

（1）在平移过程中，BH=--???,

-2-

(2)在旋转过程中，BH=

【分析】(1)解放△EGH,求得GH,进而得出结果;

(2)先拜表示出EG的长，进而根据得出GH的长，进一步得出结果.

【解答】解：(1)在心△EG"中，EH=AD=3,tanZG£：z//=tanZBEC=-=-=-,

CE62

13

...G”=3x—=二，

22

315

:.BH=AB—AG—GH=9—二一m=二一m,

22

故答案为：——m;

2

(2)如图1,

图1

当〃2V3时，

作E7?_LAB于H,

在RtAERG中，ER=AD=3,GR=AR-AG=3-m,

EG2=9+(3-机月=m2-6m+18,

ZERH=ZB，ZEGH=ZEGB,

;.\EGHsMGE,

:.EG?=GHBG,

GH~帆2一6m+18

GH==，

BG9-m

c—c一c"-6m+1863-12m

BH=BG-GH=9-m-----------------=-----------

9—7719-m

如图2,

图2

当机.3时,

方法同上得出,

63-12m

Drl------------,

9-m

故答案：63一⑵”

9-m

【点评】本题考查了矩形性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识,

解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识.

三、细心答一答（本题共66分）

17.（6分）计算：A/3COS30°-V2sin450+tan45°cos60°

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案.

【解答】解：原式=眄速一向立+1』

222

3।1

=----Id----

22

=1.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键.

18.（6分）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头

“"剪刀””布”3种手势中的1种，其中“石头”赢”剪子”，”剪子”赢”布”，”布”赢

“石头“，手势相同不分输赢.假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1

种.

（1）甲每次出“石头”的概率为-.

~3~

（2）用画树状图或列表的方法，求乙赢的概率.

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可：

（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式

即可得出答案.

【解答】解：（1）甲每次做出“石头”手势的概率为1；

3

故答案为：-;

3

（2）画树状图得：

开始

剪子石头布

xTxxTxXT\

剪子石头布剪子石头布剪子石头布

共有9种等可能的情况数，其中乙赢的有3种，

则乙赢的概率是.

93

【点评】本题考查的是用列举法求概率，解答此题的关键是列出可能出现的所有情况，用到

的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

19.（6分）在学过平面镜成像知识后，小慧在房顶安装一平面镜如图所示，MN与墙

面45所成的角正NMN8=118。，房高A8=8w，房顶AW与水平地面平行，小慧坐在点M

的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D.

（1）求的度数.

（2）能看到的最远处到她的距离CD是多少？（结果精确到0./〃?，参考数据：sin34°«0.56,

tan34°r0.68,tan56°«=1.48）

【分析】（1）连接MC,过点M作HM上NM,根据题意可得N£）MC=2NCMH,

AMCD=AHMN=90°,AB=MC=8m,AB//MC,从而利用平行线的性质求出

ZCMN=62°,进而求出NCM”=28。，即可得出答案；

（2）在RtACMD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

【解答】解：（1）连接MC,过点M作“MLM0,

山题意得：

ZDMC=2ZCMH,ZMCD=ZHMN=9Q°,AB=MC=Sm,AB//MC,

ZCMV=180°-ZA47VB=180°-118°=62°,

Z.CMH=ZHMN-ZCMN=28°,

/.ZDMC=2ZCMH=56°；

(2)在RdCMD中，CD=CWtan56°=8x1.48»11.8(米)，

答：能看到的水平地面上最远处。到他的距离8约为11.8米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助

线是解题的关键.

20.(8分)如图，二次函数图象的顶点为(-1,1),且与反比例函数的图象交于点A(-3,-3)

(1)求二次函数与反比例函数的解析式；

(2)判断原点(0,0)是否在二次函数的图象上，并说明理由：

(3)根据图象直接写出二次函数的值小于反比例函数的值时自变量x的取值范围.

【分析】(1)设二次函数为y=a(x+l)2+l,设反比例函数的解析式为y=&,把A点的坐

X

标代入，关键待定系数法即可求得；

(2)把x=0代入二次函数的解析式即可判断；

(3)由两函数的图象直接写出x的取值范围即可.

【解答】解：(1)设二次函数为y=a(x+iy+1,

经过点A(—3,—3)

...-3—+1»

.\a=-1,

，二次函数的解析式为y=-(x+l)?+l,

设反比例函数的解析式为y=-,

X

二次函数的图象与反比例函数的图象交于点4-3,-3)

.•M=-3x(-3)=9,

.•.反比例函数的解析式为y=2;

X

(2)把x=0代入y=-(x+iy+l,得y=-1+1=0,

二.原点(0,0)在二次函数的图象上；

(3)由图象可知，二次函数与反比例函数图象的交点为4(-3,-3),

当x<-3或x>0时二次函数的值小于反比例函数的值.

【点评】本题是一道函数的综合试题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式和求二次函

数的解析式，由图象特征确定自变量的取值范围.

21.(8分)如图，。是AABC的外接圆，O点在3c边上，NBAC的平分线交。于点O,

连接BD、CD,过点。作8c的平行线，与43的延长线相交于点P.

(1)求证：PD是.。的切线；

(2)若AB=3,AC=4,求线段尸8的长.

【分析】(1)由直径所对的圆周角为直角得到44c为直角，再由9为角平分线，得到一

对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出NZX?C为直角，与

平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到8与PD垂直，即可得证；

(2)由尸£)与8c平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到

AP=ZADC,根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似；由三

角形ABC为直角三角形，利用勾股定理求出3c的长，再由8垂直平分3C,得到。3

相似三角形的性质，得比例，求出所求即可.

【解答】（1）证明：圆心O在5C上，

.•.8C是圆O的直径，

:.ZBAC=90°,

连接OD,

AD平分/胡。，

/.ZBAC=2ZDAC,

ZDOC=2ZDAC,

:,ZDOC=ZBAC=90°,即ODJ.8C,

PD11BC,

:.OD上PD,

OD为圆O的半径，

.•.尸。是圆O的切线；

(2)PD11BC,

.,.ZP=ZABC,

ZABC=ZADCf

:.ZP=ZADC,

ZPBD+ZABD=\SO0,ZACD+ZABD=180°,

:,ZPBD=ZACD,

^PBD^ADCA；

AABC为直角三角形，

BC2=AB2+AC2=32+42=25,

:.BC=5,

O£)垂直平分3C,

DB=DC,

为圆O的直径,

:.ZBDC=90°,

在RtADBC中，DB2+DC2=BC2,BP2DC1=BC2=25,

s历

/.DC=DB=­

2f

"B4/SDCA,

.PB_BD

~DC~~\C"

S/25&

则日空以上，巴

AC48

法二，作尸，

在RtAABC中，BC=5,

BCHPD,

・•.ZBOD=/ODM=ABMD=ZMBO=W,

：.BM=OB=OD=—，

2

:.ZABC+NPBM=900,

NPBM=ZACB,

.-.AABC^AA/PB,

.BP_BM

~BC~^C"

BP2.5

?.——=——,

54

8

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握各自的判定与

性质是解本题的关键.

22.（10分）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进

价且不高于18元.经过市场调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之

间满足如图所示的一次函数关系.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

【分析】(1)设y与x之间的函数关系式为〉="+仅上#0),然后用待定系数法求函数解析

式；

(2)根据利润=单件利润x销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值

范围求出函数最值.

【解答】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=Ax+〃(kxO),

14k+6=220

由所给函数图象可知:

16Z+6=180

解得：£蓝，

[6=500

故y与龙的函数关系式为y=-20x+500；

(2)设每天销售这种商品所获的利润为w,

y=-20x+500,

w=(x-13)y=(x-13)(-20x+500)

=-20x2+760.r-6500

=-20(x79)2+720,

■.-20<0,

.,.当x<19时，vv随x的增大而增大，

;1金18,

.•.当x=18时，w有最大值，最大值为700,

•••售价定为18元/件时，每天最大利润为700元.

【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润X销售量列出函数解析式.

23.(10分)在矩形中，点E、尸分别在边45、3c上，且DE=5,CF=2,将矩

形ABCD沿直线EF折叠，使点。恰好与点B重合，点C落在点C处，如图1.

(1)求证：BE=BF；

(2)点P为线段所上一动点，过点、P作PHLBE、PG工BF,以PH、PG为邻边构造

平行四边形P”QG,如图2.

①求平行四边形PHQG的周长.

②当点P从点E运动到点尸时，求出点。的运动路径长.

图1

【分析】(1)证明NfiE/=NBEE即可解决问题;

(2)①如图2中，连接BP,作EWJ.8C于H,则四边形钻"E是矩形.利用面积法证明

PM+PN=EH,利用勾股定理求出A3即可解决问题;

②过点。作QW//EF交于M,延长HQ交BC于N,延长GQ交班'于R,连接项f,

如图3,可证得：\MNQ^\EHP^\FGP,ABHN^AQGN,ABNH^ABME，推出EM_L8F,

如图4,同理可得：FSLBE,进而得出：点。的运动轨迹为平行于点例的线段MS,

MSHEF,运用勾股定理即可求得答案.

【解答】(1)证明：如图1中,

图1

四边形ABC。是矩形，

:.AD/IBC,

:.ZDEF=ZEFB,

由翻折可知：ZDEF=ZBEF,

:.ZBEF=ZEFB,

；.BE=BF.

(2)解：①如图2中，连接3P,作£"_L8C于”，则四边形是矩形，EH=AB.

A-4..................・P

&・、J、__a

N7FC

C，

图2

DE=EB=BF=5,CF=2,

;.AD=BC=7,AE=2,

在RtAABE中，ZA=90°,BE=5,AE=2,

AB=^52-22=y[2\,

S.=SMBE+SMBF，PMYBE,PNLBF,

-BF-EH=-BE-PM+-BF-PN,

222

BE=BF,

:.PM+PN=EH=>/2i,

四边形PMQN是平行四边形，

四边形PMQN的周长=2(PM+PN)=2V2T.

②过点。作QM//EF交3c于V,延长H。交BC于N,延长GQ交阱于R,连接以0,

如图3,

图3

PH工BE,PG上BF,四边形P"QG是平行四边形,

:.HNIBF,GR工BE,HP=QG,

由（1）知：ZBEF=ZEFB,

QM//EF,

/.NNMQ=4EFB=/BEF,

/.\MNQ^\EHP^\FGP,

NMNQNQ

"^EH~~HP~~QG'

HNA.BF,GR工BE,

・•./BHN=4QGN,

:.邸HNs^QGN,

BNNMBNQN

-----=------，Hn-----=,

QNHEBHQG

BNNMBNNMBN+NMBE

-----=------，即Bn=---=---------=，

BHHEBHHEBH+HEBM

:MNHs^BME,

，EM1.BF,

如图4,同理可得：FS工BE,

即：点。的运动轨迹为平行于点"的线段MS,“为AB所中跖边上的高的垂足，S为

ABEF中3上边上的高的垂足,

:.MS//EF,

・•.MSMSMEF,

-M-S=-B-M-，

EFBF

由①知：AE=BM=2,BF=5,EM=后,

.\MF=3,

在RtAEFM中，EF=dEM°+MF,=不诉丫+3?=回,

MS2i2而

则mil：-==一，即Bn：MS=——,

V3055

.•.点。的运动路径长为零.

【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，翻折变换的性质，平行四边形的

性质，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的周长，点的运

动轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，学会利用面积法证明

线段之间的关系，属于中考压轴题.

24.(12分)如图1,已知抛物线与：y=-炉+2*+3交x轴于A、8两点，与y轴交于点C,

抛物Efugd+bx+c经