2020-2021学年渭南市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年渭南市高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.直线X-次y+1=0的倾斜角大小为()

A.30°B,60°C.120°D.150°

2.已知直线mx+2y+3=0与直线3x+(m-l)y+m=0平行，则实数)

A.-2B.3C.5D.一2或3

3.给出下面四个结论：

①命题“若刀=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题；

②把2015化为八进制数为1037⑸；

③命题“若/=1,则％=1”的否命题为：“若/=1,则％力1”.

④“平面a〃平面口”的必要而不充分条件是“a内存在不共线三点到£的距离相等”.

其中正确命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

4.直线x-y+3=0的倾斜角所在的区间是()

A.(0.5B.[/)C.(|,^)D.苧兀)

5.某同学在研究函数f(X)=VFTT+〃2-6%+10的性质上

受到两点间距离公式的启发，将/(%)变形为/'(x)=

V(x-0)2+(0-I)2+J(x-3产+(0+1/,则/(x)表示

|PA|+|PB|(如左图)，则

①/Q)的图象是中心对称图形；

②/'(x)的图象是轴对称图形；

③函数/(x)的值域为4-00)；

④函数/(x)在区间(-叫3)上单调递减；

⑤方程/[/(x)]=1+国有两个解.

上述关于函数/(%)的描述正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

6.直线3x+2y+6=0在y轴上的截距为b,则b=()

A.3B.-2C.2D.—3

7.已知过点(一2,3)可以作圆0—02+3-2)2=9的两条切线，则a的范围是()

A.(-00,-3)U(3,4-00)

B.(—8,—2—2A/2)U(—2+2V2,4-00)

C.(-3,3)

D.(-2-2^2,—2+2^2)

8.已知三条直线两两垂直，下列说法正确的是()

A.这三条直线必共点B.这三条直线不可能在同一平面内

C.其中必有两条直线异面D.其中必有两条直线共面

9.圆/+y2-4x-4y+巾=0上动点P到直线x+y+2=0的最小距离为2a，则m=()

A.-10B.-6C.6D.10

fx=1--t

10,直线12Q(t为参数)和圆M+y2=16交于4,B两点，则ZB的中点坐标为()

(y=-3^3+—t

A.(3,-3)B.(—V3,3)C.(V3,—3)D.(—g,—日)

11.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为直径的圆的方程是()

A.x2+y2=2B.+y2=1C.%2+y2=3D.+y2=4

12.若点制n阚j和点跚q娜到直线看的距离依次为j和既，则这样的直线有()

A.条B.寓条C.署条D.4条

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知直线%：3x+4y+2=0,/2：6x+8y+5=0,则"与0之间的距离为.

14.动点P在直线x+y-1=0上运动，Q(l,l)为定点，当|PQ|最小时，点P的坐标为.

15.边长为1的正方体4BCD-48传1。1中，P在线段BG上，Q在线段8c上，则QP+PQ的最小值

为.

16.当动点P在圆/+y2=2上运动时，它与定点4(3,1)连线的中点Q的轨迹方程是.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.在448c中，8c边上的高所在直线的方程为x-2y-1=0,的平分线所在直线方程为y=0,

若点B的坐标为(1,2).

(1)求点4和点C的坐标；

(2)求4C边长的高所在的直线［的方程.

18.已知直线，经过(一2,2),且垂直于直线x—2y—l=0.

(1)求直线1的方程；

(2)求直线I与两坐标轴围成的三角形的面积S.

19.如图，直角梯形ACDE与等腰直角AABC所在平面互相垂直，尸为BC的中点,NB4C=N4CD=90。,

(1)求证：AF〃平面BDE；

(2)求四面体8-CDE的体积.

20.已知圆M：2x2+2y2-8x-8y-1=。和圆N：/+y2+2%+2y-6=0,直线I：x+y-9=0.

(1)求过圆M,N的交点及原点。的圆的方程；

(2)过直线上一点作使NB4C=45。，边过圆心M,且B,C在圆M上.

①当点4的横坐标为4时，求直线4c的方程；

②求点4的横坐标的取值范围.

21.已知在正三棱柱ABC-4B1G中，AB=2,=遍，点E、F分

别为侧棱BBi和边41G的中点.

(I)求证：BF1平面4CE；

(II)求直线4F与平面4CE所成角的正弦值；

(HI)求二面角F-AE-C的余弦值.

22.（选修4一1：几何证明选讲）从。。外一点P向圆引两条切线P4PB和

割线PCD.从点4作弦力E平行于CD,连接BE交CD于F.求证：BE平分CD.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：解：由题意，直线的斜率为k=底，即直线倾斜角的正切值是更

33

又倾斜角大于或等于0°且小于180。，

故直线的倾斜角为30。，

故选：A.

先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角.

本题以直线为载体，考查由直线的方程求直线的斜率，直线的斜率和倾斜角的关系，应注意直线倾

斜角的范围.

2.答案：A

解析：解：•直线mx+2y+3=0与直线3x+(m—l)y+m=0平行，

••・士=审片g，求得m=-2,

故选：A.

由题意利用两条直线平行的性质，求出m的值.

本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题.

3.答案：A

解析：解：对于①：命题“若x=y,则sinx=siny"的逆否命题为命题“若sinx*siny”,则“无丰

y”，正确.

对于②2015+8=251...7

2514-8=31...3

31+8=3...7

3+8=0...3

(2015)10=(3737)8,故不正确；

对于③：命题“若M=1,则X=1”的否命题为：“若M*1,则X*r,故不确；

对于④“平面a〃平面0"0“平面a内存在不共线三点到平面0的距离相等”，

“平面a内存在不共线三点到平面£的距离相等”推不出“平面a〃平面口”，故④不成立.

故选：A

①写出逆命题验证即可.

②对2015进行八进制转化即可

③否命题是条件结论全否

④根据线面关系判断

判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题

同真同假这一关系进行转化判断.当一个命题的真假不易判断时，往往可以转化为判断原命题的逆

否命题的真假，因为它们是等价命题.另外，否命题和逆命题也是等价命题

4.答案：B

解析：解：直线x-y+3=0的斜率为：1,

直线久一y+3=0的倾斜角：

故选：B.

求出直线的斜率，然后判断倾斜角的范围即可.

本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题.

5.答案：B

解析：解：•.・函数/(x)的最小值为|4B|=J32+(1+1)2=g,

二函数的值域［g,+8),显然③正确；

由函数的值域知，函数图象不可能为中心对称图形，故①错误；

又•••直线48与x轴交点的横坐标为|,显然有f(|—x)=居+&)，

函数的图象关于直线x=|对称，故②正确；

由函数的几何意义知函数在区间(-8,|］上单调递减，在区间［|,+8)上单调递增，故④错误；

令t=f(x),由“t)=l+VIU得t=0或t=3,由函数的值域可知不成立，二方程无解，故⑤错误,

故选：B.

由函数的几何意义可得函数的值域及单调性，结合函数的值域和单调性逐个选项验证即可作出判断.

本题考查函数的性质，涉及两点间的距离公式，属中档题.

6.答案：D

解析：解：3x+2y+6=0化为截距式可得，y=-：x—3,

所以在y轴上的截距为b=-3.

故选：D.

化直线方程为斜截式，即可求解在y轴上的截距.

本题考查了直线的一般式方程化斜截式，是基础题.

7.答案：B

解析：解：由题意(一2,3)在圆外，.(-2-a)2+(3-2)2>9,

解得a<—2—2V2或a>-2+2^2>

故选：B.

由题意得(一2,3)在圆外，可得(―2—a)2+(3-2)2>9,解不等式组求出a取值范围.

本题考查点与圆的位置关系，利用圆的标准方程求圆心和半径，两点间的距离公式以及一元二次不

等式的解法.

8.答案：B

解析：解：由三条直线两两垂直，得：

在4中，两两垂直的三条直线有可能不共点，故A错误；

在B中，设三条直线为a、b、c.假设三条直线共面，

因为a_Lb,aJ.c由定理：同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，所以b〃c

与已知不符，所以假设不成立.故这三条直线不可能在同一平面内，故B正确；

在C中，正方体中交于同一点的三条直线两两垂直，不存在两条直线异面，故C错误；

在。中，可以存在两两异面的三条直线两两垂直，故。错误.

故选：B.

在4中，两两垂直的三条直线有可能不共点；在B中，设假设三条直线共面，由定理：同一平面内,

垂直于同一直线的两直线平行,得到假设不成立;在C中，正方体中交于同一点的三条直线两两垂直；

在。中，可以存在两两异面的三条直线两两垂直.

本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置

关系的合理运用.

9.答案：C

解析：解：由/+y2-4》一4y+m=0,得(x-2尸+(y-2/=8-m,

则8—6>0,即m<8.

圆心坐标为(2,2),半径为战二元.

圆心到直线尤+y+2=0的距离d=回能=3V2,

由题意得：3/-V8-m=2V2,得m=6.

故选：C.

化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由圆心到直线的距离减去半径等于2e列式求得机

值.

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是中档题.

10.答案：D

(x—1—t

解析：解：直线｛26(t为参数)即y=-H%—2旧

(y=-3V3+yt

代入圆/+y2=16化简可得/+3x—1=0,

/+&=—3,即48的中点的横坐标为一|,

••・AB的中点的纵坐标为一隹，

2

故4B的中点坐标为(一|,一泉，

故选。.

把直线的参数方程化为普通方程后代入圆/+y2=16化简可得M+3x—1=0,可得必+X2=-3,

即AB的中点的横坐标为-1,代入直线的方程求得AB的中点的纵坐标.

本题考查把参数方程化为普通方程的方法，一元二次方程根与系数的关系，线段的中点公式的应用，

求得与+亚=-3,是解题的关键.

11.答案：D

解析：解：••・点(―2,0),N(2,0),

••・线段的中点坐标为(0,0),且|MN|=4.

因此，以线段MN为直径的圆，它的圆心为(0,0),半径r=2,

二圆的方程为/+y2=4.

故选：D.

根据中点坐标公式算出MN的中点坐标为(0,0),且|MN|=4,从而得到所求圆的圆心为原点、半径

r=2,可得圆的标准方程.

本题给出M、N两点的坐标，求以4B为直径的圆的方程.着重考查了线段中点坐标公式、两点间的

距离公式和圆的标准方程等知识，属于基础题.

12.答案:C

解析：试题分析：以点,M为圆心，以：!为半径长的圆的方程为炉相曾=工，以点.■为圆心，且

以雪为半径的圆的方程为加•一碱也/=小则直线曾为两圆的公切线，"廨|=售=工转售，即圆,通

与圆感外切，因此两圆的公切线有圈条，即直线S1有三条，故选C.

考点：1.两圆的位置关系；2.两圆的公切线

13.答案：*

解析：解：直线53x+4y+2=0,l2：6x+8y+5=0,

则。与％之间的距离为：=

,32+4210

故答案为：M

直接利用平行线之间的距离公式求解即可.

本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题.

14.答案：（［，）

解析：解：线段PQ长的最小值为Q到直线x+y—1=0的距离，即d=*=号，

此时PQ：%—y=0,

与直线x+y-1=0联立可得PG，J.

故答案为：G，》.

线段PQ长的最小值为Q到直线x+y—l=0的距离，PQ-x-y=0,与直线x+y-1=0联立可得

P的坐标.

本题考查两点间距离公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础.

15.答案：4+1

解析：解：画出正方体图形，将平面CBG沿对角线翻折

到ABCiA平面，然后作5QJ.BQ,垂足为Q,

则。止+PQ的最小值为。iQ,作GN1DiQ于N,

正方体的棱长为1,则GNQM是正方形，边长为1,所以D1P+

PQ的最小值为DiN+1=y+l.

故答案为：号+1.

画出图形，将平面CBG沿对角线BC］翻折到ABC14平面，然后作DiQIBQ,垂足为Q,然后求解即

可.

本题考查空间距离的求法，最小值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

16.答案：(2%一3尸+(2y-I/=2

解析：解：设中点Q(x,y)，则动点P(2x-3,2y-l),

•••P在圆/+y2=2上，

(2x-3)2+(2y-I)2=2,

故答案为：(2x-3产+(2y-1)2=2.

根据已知，设出中点Q的坐标(x,y),根据中点坐标公式求出点P的坐标，根据点P在圆M+y2=2上，

代入圆的方程即可求得中点Q的轨迹方程.

此题是个基础题.考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式，体现了数形结合的思想以及分析解决问

题的能力.

17.答案：解：(1)由已知点力应在BC边上的高所在直线与NA的角平分线所在直线的交点，

由［'"Lt得仁」故

由右c=—心8=-1，所以4C所在直线方程为y=-(x+1),

BC所在直线的方程为y-2=-2(x-1),

山仁「二;L),得a1.

(2)由(1)知，4c所在直线方程x+y+1=0,

所以，所在的直线方程为(x-1)一(y—2)=0,

即x—y+1=0.

解析：(1)由已知点4应在BC边上的高所在直线与乙4的角平分线所在直线的交点，由心C=-&IB=

-1,求出AC所在直线方程和BC所在直线的方程，由此能求出点C坐标.

(2)求出4C所在直线方程，由此能求出/所在的直线方程.

本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

18.答案：解：⑴设点P的坐标是(―2,2).所求直线，与x—2y-l=0垂直，

可设直线珀勺方程为2%+y+C=0.把点P的坐标代入得2X(-2)+2+C=0,

即C=2.所求直线I的方程为2x+y+2=0.

(2)由直线2的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是-1、-2,

所以直线I与两坐标轴围成三角形的面积S=|xlx2=1.

解析：（1）可设直线，的方程为2无+y+C=0.把点P的坐标代入可得；

（2）分别令％=0和y=0求出直线1与y轴和x轴的截距,然后根据三角形的面积公式，即可求出直线2与

两坐标轴围成的三角形的面积.

此题考查学生会利用联立两直线的方程的方法求两直线的交点坐标，掌握直线的一般式方程，会求

直线与坐标轴的截距，是一道基础题.

19.答案：解：（1）取8。的中点P,连接EP、FP,

•・•△BCD中，PF为中位线，

PF//DCS.PF=^DC,

XvAE//CD,DC=2AE,

E4//DC月£4=^DC,

由此可得PF〃EA,且PF=E4

•••四边形4FPE是平行四边形，可得4/7/EP,

VEPU面8DE,AFU面BOE,

・・・//7/面BOE,

(2)vBA1ACf面48CO^ACDE=AC,

ABAL^iACDE,即B4就是四面体B—CDE的高，BA=2,

vDC=AC=2AE=2,AE//CD.

11

,'aS赭掰CDE=万(1+2)x2=3,SAACE=-xlx2=l

因此，△。。£的面积为5.匹=3-1=2,

・•・四面体8-COE的体积/_CDE=9•，SKDE=~x2x2=^.

解析；本题考查线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理和铢体体积的求法等知识，属于中档题.

(1)取BD的中点P,连接EP、FP,△BCD中利用中位线定理，证出PF〃DC且PF=结合题意

E4〃DC且E4=：DC,可得PF与E4平行且相等，从而得到四边形ZFPE是平行四边形，可得AF〃EP,

再由线面平行判定定理可得4/7/平面BDE；

(2)由面面垂直的性质定理，证出B41面4CDE,得BA就是四面体8-CDE的高.根据直角梯形4CDE

的上下底边长和直角腰长，算出△CDE的面积为SMDE=S梯形ACDE—S^CE=2,最后利用锥体的体

积公式即可算出四面体B-CDE的体积.

20.答案：解：(1)根据题意，设所求圆的方程为2x2+2y2-8x-8y—l+4(%2+y2+2x+2y—

6)=0(2#：-2),

又所求圆过原点。，则-1-64=0,得4=-：

O

2

所求圆的方程为2-+2y2-8%一8y—1-3(%2+丫2+2久+2y-6)=0,即/+y-普工-

50八

-y=o

(2)①当点力的横坐标为4时，则点4(4,5),而圆心M(2,2),则|/M|=g,

又NBAC=45。，边4B过圆心M,且B,C在圆M上，

则圆心M到边ZC所在直线的距离为d=14Mlsin^BAC=亨，

设边AC所在直线的方程为y-5=k(x-4),

d=粤=喀解得k=-5或k=

2

Vk+125

则边AC所在直线的方程为y-5=-5(%-4)或丫-5=1(x-4),

即5x+y—25=。或x—5y+21=0.

②•・•/点在直线，：x+y-9=0±,设点4(血,9一m),则|4M|='27n2-187n+53,

而ZB4C=45。，边48过圆心M,且8,C在圆M上，且圆M的半径为更，

2

则学,V2nz2—18TTI+53<解得3<ni<6.

即点4的横坐标的取值范围为[3,6].

解析：本题考查了直线与圆的相交问题、圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推

理能力与计算能力，属于难题.

(1)根据题意，设所求圆的方程为2/+2y2—8x—8y—1+A(x2+y24-2x+2y-6)=0(AH—2),

把原点代入即可得出.

(2))①当点4的横坐标为4时，则点4(4,5),而圆心M(2,2),可得|4M|=g,又NBAC=45。，边AB

过圆心M,且B,C在圆M上，圆心M到边4c所在直线的距离为d=|4M|sinNB4C=与，设边4c所

在直线的方程为y-5=k(x-4),利用d=手=叵，解得出即可.

②4点在直线心x+y-9=0上，设点4(叫9一m),则14Ml=V2m2-18m+53,而NBAC=45°,

边4B过圆心M,月.B,C在圆M上，且圆M的半径为且，可得匹.，2团2-18m+53W且,解得即

222

可.

21.答案：

证明：(1)取4。的中点0,连接。F,0B,则有4遇〃?。，故

FOJL平面4BC,

在正三角形ABC中，。是AC的中点，故OB1AC,OA=OC=1,

OB=V3，

如图，以。为原点，分别以04OB,。F所在直线为x轴，y轴，

z轴建立空间直角坐标系，

则0(000),4(1,0,0),B(0,V3,0),C(一1,0,0),E(0,W,乎),

F(0,0,V6)，

FF=(0,V3,-V6),AE=(-l,V3,y),AC=(-2,0,0)，AF=(-l,0,V6)>

-FB-AE=(0,V3,-V6)-(-l,V3,y)=01

FBLAE,即FB1AE,

又•:篦•祝=(0,V3,-V6)­(-2,0,0)=0，

1AC，BPFB1AC,

而4EOAC=A,.1.