2022-2023学年吉林省长春市八年级(下)期中数学试卷(含解析)

2022-2023学年吉林省长春市经开九中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题:本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.要使式子曲吐且有意义，小的取值范围应满足（）

m

A.m>—3B.m>—3C.m>—3且THH0D.m>—3且TnW0

2.科学家在海底发现了世界上最小的生物,它们的最小身长只有0.000000019孤将0.000000019这个数用

科学记数法表示为（）

A.0.19x10-7B.1.9X10-8C.1.9X10-9D.19x10-10

3.已知点M（3,a）和N（瓦4）关于％轴对称,则（Q+5）2022的值为（

A.1B.-1C.72022D.-72022

4.如图，反比例函数九=%与一次函数为=依+6相交于4（1,2）,8（几一1）两

1XN

点，若+贝k的取值范围是（）

A.0<%<1

B.%<-2

C.-2<%<1

D.0<%<1或％V-2

5.如图，已知。，E分别是△ABC的4分AC边上的点，DE//BC,且=那么

AE：AC等于（）

A.2：3

B.1：2

C.1：3

D.1：4

6.如图，矩形4BCD中，2C的垂直平分线MN与AB交于点E,连接CE.若/C4D=70。，则NDCE的度数为（）

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A.30°B,35°C.40°D.45°

7.在平面直角坐标系内，若点P(x,y)满足x=y,则把点P叫做“不动点”.例如：N(—3,—3)都是不

动点.当一1WXW3时，如果直线y=3久+b上有“不动点”，那么6的取值范围是()

A.0<b<2B.-2<b<6C.-4<b<2D.-6<b<2

8.如图，四边形4BCD是边长为4的菱形，对角线4C、BD的长度分别是一元二次方程簿―mx—x+2m=0

的两实数根，D”是边上的高，则D”的值为()

A—B.nC.uD.3

445

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

9.计算：(2O17-7r)o-(l)-2+|-2|=

4

10.在比例尺为1：2500000的地图上，一条路长度约为8cm,那么这条路它的实际长度约为km.

11.若点+2,2爪一5)在丫轴上，则点力的坐标是.

12.若关于x的一元二次方程(。-2)久2-4X-1=0没有实数根，贝b的取值范围为.

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13.如图D,E两点分别在线段2B和北上，在下列四个条件中：

①N2ED=N8；②4ADE=4C；（3）AD-AB=AE-AC；（4）AD：AC=DE：

BC,其中能使△ADE与aaCB相似的是—.（填序号）

三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

14.（本小题6分）

用适当的方法解一元二次方程：%2-3x-2=0.

15.（本小题6分）

先化简，再求值：（1--三）+三，其中a=-2.

CL—1Q2—1

16.（本小题6分）

在6x6的方格纸中，点4,B,C都在格点上，按要求画图：

（1）在图1中找一个格点D,使以点4B,C,。为顶点的四边形是平行四边形.

（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段48三等分（保留画图痕迹，不写画法）.

某商店将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可出售200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法

增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元，那么每天的销售量就减少20件，将每件商品提价多少

元时，才能使每天的利润为640元？

18.（本小题7分）

已知关于x的一元二次方程尢2-2爪刀+爪2-1=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的一根大于2,一根小于1,求小的取值范围.

19.（本小题8分）

一辆货车从甲地出发以50/OTI/八的速度匀速驶往乙地，行驶lh后，一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶

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往甲地.轿车行驶0.8八后两车相遇.图中折线4BC表示两车之间的距离y(km)与货车行驶时间x(h)的函数关

系.

(1)甲乙两地之间的距离是km,轿车的速度是km/h；

(2)求线段BC所表示的函数表达式；

20.(本小题7分)

近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享

单车的情况，随机调查了某天50名出行学生使用共享单车次数的情况，并整理成如下统计表.

使用次数12345

人数81311126

(1)这50名出行学生使用共享单车次数的中位数是,众数是；

(2)这天中，这50名出行学生平均每人使用共享单车多少次？

21.(本小题9分)

(1)【实验】如图①，点。为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点。，在直线PQ上取两点4B,当。4、

OB满足数量关系为_时，四边形2M8N平行四边形，理论体是为—.

(2)【探究】如图②，在平行四边形4BCD中，点E是BC中点，过点E作4E的垂线交边CD于点F,连结4F,可

猜想48、AF.CF三条线段之间的数量关系为—，并给予证明.

(3)【应用】如图③，在△28C中，点。为BC的中点，若NBAD=90。，AD=2,2C=J19时，贝

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的面积是

P

图③

如图，在四边形4BCD中，AD//BC,NA=90。，AB=3BC=10,4。=6,点P从点B出发，沿射线BC方

向以每秒4个单位长度的速度运动，同时点Q从点2出发，沿4。以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当

点Q到达点D时，点P、Q同时停止运动，设点Q的运动的时间为t秒.

(1)CD的长为_.

(2)求PC的长(用含t的代数式表示).

(3)当以点4、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.

(4)直接写出是以CD为腰的等腰三角形时t的值.

AQD

BP

23.(本小题12分)

如图，在平面直角坐标系中，点4、C的坐标分别为(一2,3)、(4,1),以。2、。。为邻边作平行四边形

OABC,一次函数y=k久+b(k、b为常数，且kWO)的图象过点B.

(1)点8的坐标为；

(2)求用含k的代数式表示b；

(3)当一次函数y=kx+6的图象将。ABC分成面积相等的两部分时，求k的值.

(4)直接写出一次函数y=kx+b的图象与。ABC的边只有两个公共点时k的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：要使式子画专有意义，

m

则m+320,且小大0,

解得：小2-3且加70.

故选：D.

根据分式有意义的条件是分母不等于零，结合二次根式有意义被开方数是非负数，进而得出答案.

此题主要考查了分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键.

2.【答案】B

【解析】解：0.000000019=1.9X10-8.

故选:B.

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aXlOf,与较大数的科学记数法不同的是

其所使用的是负指数嘉，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为aXlOf,其中lw|a|<10,几为由原数左边起第一个

不为零的数字前面的0的个数所决定.

3.【答案】A

【解析】解：,点M(3,a)和N(b,4)关于久轴对称，

a=—4,b—3,

贝lj(a+6)2022=(-4+3)2022=(-1)2022=1,

故选：A.

直接利用关于x轴对称点的性质，得出a,b的值，然后代入求解即可.

此题考查了关于久轴对称的点的特点，正确得出a,b的值是解题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：把力(1,2)代入)7=拳得，

f=2,

解得m=2,

反比例函数的解析式为'=

X

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把B(>,—1)代入得2=—1,

n

解得九=一2,

・•・8(—2,—1),

当逗〉kx+b时，正比例函数图象在反比例图象下方，

X

-2或0V%<1.

故选：D.

把4(1,2)代入y=?即可求得机的值，进而得到B(—2,—1),根据:>/cc+b时，正比例函数图象在反比例图

象下方，结合图象解答即可.

本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，根据题意求出点8的横坐标是解题关键.属于基础题型.

5.【答案】D

【解析】解：••・DE〃BC,

.AD_AE

•・AB~AC9

•・•BD=3AD9

，也=a=工

BDEC3'

・•・/£*：AC=1：4；

故选：D.

根据。E〃BC,得出黎=第，再根据8。=34。，即可得出AE：AC的值.

本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案.

6.【答案】C

【解析】解：・・,MN是AC的垂直平分线，

EC=EA,

Z.ECA=Z.EAC,

•・•四边形Z8C0是矩形，

AB//CD,乙。=90。，

/.^DAC=乙EAC=90。-4cAD=20°,

・•・乙DCE=2LDAC+/LECA=40°,

故选：C.

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根据线段垂直平分线得EC=瓦4,贝|]4员工二4瓦4C,根据矩形的性质可得1n4C,即可得

本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点.

7.【答案】D

【解析】解：,••％=、，

・,・%=3%+b,即%=一扣.

v-1<%<3,

••.一14一工b<3,

2

-6<b<2.

故选：D.

根据X=y,—1WXW3可得出关于b的不等式，求出b的取值范围即可.

本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于b的不等式是解答此题的关键.

8.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了菱形的性质和面积，勾股定理，根与系数的关系的应用，能得出关于税的方程是解此题的关

键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直.

根据菱形的性质得出AB=4,AC1BD,AC=2A0,BD=2B0,AAOB=90°,根据勾股定理得出

AO2+BO2=16,根据根与系数的关系得出22。+23。=爪+1,24。•2B。=2m,变形后代入求出小的

值，即可得出答案.

【解答】

解：•••四边形ZBCD是菱形，

■■.AB=4,ACLBD,AC=2A0,BD=2B0,/.AOB=90°,

AO2+BO2=AB2=42=16,

•••对角线AC,BD的长度分别是一元二次方程久2—+l)x+2m=0的两实数根，

2AO+2BO=m+1,2AO-2BO-2m,

AO+BO=i(m+1),AO-BO=jm,

AO2+BO2=(4。+BO)2-2A。xBO=16,

-(m+1)2—m=16,

4

解得：m1=9,m2=-7,

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.•.当机=-7时，A0-BO=-3.5<0,不符合题意，舍去,

m=9,

则4。-B0=4.5,AC-BD=2A0-2B0=44。-BO=18,

•••DH是4B边上的高，

••.S蓑=ABDH=^ACBD,

4DH=1x18,

2

DH=2.

4

故选：A.

9.【答案】-13

【解析】解：原式=1—16+2

=—13.

故答案为：-13.

先利用零次累、负整数指数嘉、绝对值的性质进行化简，再进一步计算即可.

本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零次赛、负整数指数嘉和绝对值的性质是解题的关键.

10.【答案】200

【解析】【分析】

本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段

的比相等，如a：b=c：d（即ad=6c）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.也考查了比

例尺.设它的实际长度为久厘米，根据比例尺的定义得到?=嘉同，然后利用比例的性质计算出X，再把

单位化为千米即可.

【解答】

解：设它的实际长度为“厘米,

根据题意得&=1

X2500000

解得x=20000000(c7n),

20000000cm=200km.

故答案为200.

11.【答案】（0,-9）

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【解析】解：,：点4(巾+2,2爪一5)在、轴上，

m+2=0,

解得：m=-2,

故2ni—5=-9,

故点a的坐标为：(0,-9).

故答案为:(0,-9).

直接利用y轴上横坐标为0,进而得出小的值即可得出答案.

此题主要考查了点的坐标，正确得出山的值是解题关键.

12.【答案】a<—2

【解析】解：••・关于》的一元二次方程(a—2)x2—钮―1=0没有实数根，

a—240,4=(-4)2-4X(a—2)X(―1)=4a+8<0,

解得：a<—2.

故答案为：a<—2.

根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论.

本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的

判别式列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键.

13.【答案】①②③

【解析】解：•••/4=44，=

・•・根据"两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似"可证△4DE〜△47B,故①满足题意；

•••乙4=44Z.ADE=zC,

・•・根据"两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似"可证△2DE〜△4CB,故②满足题意；

■：AD-AB=AE-AC,

■■.AD：AC=AE：AB,

・•・根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似"可证△4DE〜△4C8,故③满足题意；

■■AD：AC=DE；BC,而N4DE与NC不一定相等，故④不满足题意，

•••综上可得：①②③符合题意.

故答案为：①②③.

根据相似三角形的判定定理逐个排查即可.

本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定定理是解答本题的关键.

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14.【答案】解：%2-3%-2=0,

a=1,b=—3,c=—2,

A=(-3)2-4x1x(-2)=17>0,

X=-b±''b2-4ac_3±\；17_3土、；17

2a2x12

所以久=3+=3717.

1222

【解析】先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解.

本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键.

15.【答案】解：原式=(曜_a)]J：2

a-la-1(a+l)(a-l)

_a-2.(a+1)

a—1CL—2

=a+1,

当Q=-2时，原式=-2+1=-1.

【解析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代人求出答案即可.

本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序.

16.【答案】解：(1)画出图形如图1所示；

图2

【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例

定理是解题的关键.

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（1）画出图形即可；

（2）根据平行线分线段成比例定理画出图形即可.

17.【答案】解：设售价为x元，

根据题意列方程得0-8）（200-七券X20）=640,

整理得：（x-8）（400-20x）=640,

即X2—28x+192=0,

解得久1=12,%2=16.

故将每件售价定为12或16元时，才能使每天利润为640元.

原价为10元，

.•.12-10=2（元），16-10=6（元），

故应将商品的售价提高2元或6元.

【解析】设售价为x元，则有。一进价）（每天售出的数量一心六*20）=每天利润，解方程求解即可.

本题考查的是一元二次方程的应用.读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键.

18.【答案】解：（1）依题意，得

4=（-2m）2—4x1X（m2—1）=47n2—4m2+4=4>0

•••方程总有两个实数根；

（2）解：方程％2—+爪2-1=0

由（1）得4=4

-（-2m）±、'4

x-=m+1,

2x1

x1—m+1,%2=m—1,

r方程的一根大于2,一根小于1,m+1>m-l

^m+1>2

m-1<1

l<m<2.

■■■nt的取值范围是1<m<2.

【解析】（1）表示出4根据/的数值判断即可；

（2）利用公式求出两根，根据两根及其条件列出不等式，并解不等式即可.

本题考查了一元二次方程，相关知识点有：根的判别式、解一元二次方程等，熟悉一元二次方程的知识点

是解题关键.

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19.【答案】15075

【解析】解：(1)由函数图象得：甲乙两地之间的距离是150加n,

轿车的速度为：(150—50x1.8)+0.8=75km/h,

故答案为：150；75；

(2)、•轿车行驶0.8%后两车相遇，

••.C点坐标为(1.8,0),

•••货车从甲地出发1小时后，两车相距150—50x1=100/cm,

点坐标为(1,100),

设线段BC所表示的函数表达式为y=kx+b(k丰0),

代入BQ,100),C(1.8,0)得:\^k+b=0,

A”曰&=—125

解侍：b=225,

.­•线段BC所表示的函数表达式为y=-125x+225(1<x<1.8).

(1)根据图象纵坐标直接得出甲乙两地之间的距离，根据速度=路程+时间可得轿车的速度；

(2)先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可.

此题主要考查了一次函数的应用，要求学生读懂图象，并善于从图象中得到正确的信息，将所给的函数图

象与其表示的实际意义联系起来，并结合图象分析和解决问题.

20.【答案】62

【解析】解：(1)这50名出行学生使用共享单车次数的中位数是言3=3(次)，众数为2,

故答案为：1,2；

(2)这50名出行学生平均每人使用共享单车(1X8+2X13+3x11+4x12+5x6)=2.9(次).

(1)根据中位数的概念求解可得；

(2)利用加权平均数的概念列式计算可得；

本题考查了中位数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体.抓住概念进行解题，难度不大，但是中

位数一定要先将所给数据按照大小顺序重新排列后再求，以免出错.

21.【答案】OA=OB平行四边形的对角线互相平分AF=AB+CF2/

【解析】解：(1)••・点。为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点。，在直线PQ上取两点4B,

•••当。4=。8时，四边形4MBN平行四边形，

故答案为：OA=OB,平行四边形的对角线互相平分；

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(2)AF=AB+CF,

证明：延长FE,交48延长线于H,

又・・・£为的中点,

BE=CE,

•・•AB//CD,

・•・乙HBE=(FCE,

有■△EB”和△£*(7/中,

EFEC=乙HEB

BE=CE

乙HBE=^FCE'

・•・△EB”四△ECF(4SZ),

・•.CF=BH且HE=FE,

又•.・AE1HF,

AH=AF,

・•.AH=AB+BH=AB+CF,

・•.AF=AB+CF,

故答案为：AF=AB+CF；

(3)在AC上取点E,根DE"AB,

图③

・•・乙ADE=乙BAD=90°,

又・・•DE//AB,

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Z.CED=Z.CAB,Z-CDF=Z.CBA,

CEDs△CAB,

.tCD_=DE_=平=1,

••BCAB<192'

.­.EC=迤，

2

AE=迪，

2

在Rt△ADE中，DE=yiAE2-AD2=号，

•••AB=2DE=<3,

S..=—AB,AD=—xx2=q3,

AABDDn22

•••△ABD和△ACD等底等高，

•c=q

△ABDAACD9

.-.sAABC=2SAABD=2Jv、,3,'

故答案为：2/3.

(1)根据平行四边形对角线互相平分得出结论即可；

(2)延长FE交4B延长线于H,证BH=CF,=即可得出结论；

(3)在4C上取点E,使DE“AB,根据△CEDsacaB,根据相似比得出EC,4E的长度，然后利用勾股定

理求出DE,进而得出AB及△ABD的面积，根据△4BD和△ACD面积相等得出结论即可.

本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性

质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键.

22.【答案】5

【解析】解：(1)如图，过点。作。E1BC于E,

•••NA=90°,

：.ABLAD,

■.AB//DE,

■：ADIIBC,NA=90。,

四边形ABED是矩形,

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DE=AB=3,EC=BC-AD=4,乙函:=90。，

CD=、；DE2+EC?=q'32+42=5,

故答案为：5；

(2)-AQ<AD9

0<t<6,

•••PC=\BP-BC\=|4t-10|=^o-it(otf<1.5)；

(3)V四边形ZCPQ是平行四边形，

■■.AQ//CP,AQ=CP,

即£=|4t-10|(0<t<6),

t2=16t2—80t+1009

15力2—80t+100=0,

t=2或坨，

3

(4)①当PC=CD时,|4t-10|=5,

解得，t=@或£；

4