吉林省白山市2024届高三第二次模拟考试数学试题（含答案解析）

吉林省白山市2024届高三第二次模拟考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.将一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12,15,17,0,23,25,27,31,36,37,若该组数

据的30%分位数为19,则"=()

A.19B.20C.21D.22

2.若直线/：x+y=0与圆C:(x-2)2+y2=4交于A,8两点，则|钻|=()

A.2A/2C.V2

3.记等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若儿=483,%=12,则｛%｝的公差为()

4.已知/，机为两条不同的直线，d£为两个不同的平面，且则下列说法

正确的是()

A.“〃/机”是“戊〃夕的充分不必要条件

B.“/，加”是“。，口”的必要不充分条件

C.若切〃异面，则名夕有公共点

D.若名夕有公共点，则/,〃，有公共点

5.若

6.如图所示，一种儿童储蓄罐有6个密码格，由购买者设定密码后方可使用，其中密

码的数字只能在0』,2中进行选择，且每个密码格都必须设定数字，则数字“1”出现奇数

次的不同密码个数为()

A.172B.204C.352D.364

7.阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在

化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆傕曲线中，称圆锥

曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线

4

C：V=8x的焦点为b，顶点为0,斜率为§的直线/过点F且与抛物线C交于两

点，若为阿基米德三角形，则尸卜()

A.VTTB.273C.V13D.714

8.已知四面体ABCD中，ZBAC=ZDAC=ZDAB=90,AB=AD='2.AC=4,点E在

线段A3上，过点A作AFLDE,垂足为尸，则当「.CDF的面积最大时，四面体ACDE外

接球的表面积与四面体ABCD外接球的表面积之比为()

3r4门37c13

AA.-B.-C.—D.—

554515

二、多选题

9.已知函数〃同=02了+爸，则()

A.小一名)的图象关于原点对称

B.“X)的图象关于直线x堵对称

C.“X)在上单调递增

D.8(力=2〃力-垃在(0,2兀)上有4个零点

10.已知z”Z2为复数,则()

A.若z「Z2=Z-,,则-1a为实数

B.忖一平卜团忆一二

C.若z；=2,则=

D.若2；=者，则复数4在复平面内所对应的点位于坐标轴上

I.已知函数的定义域为R,其图象关于(1,2)中心对称，若/(“一;&一"=2-x,

则()

A.〃2-3元)+〃3x)=4B./(x)=f(x-4)

20

C.7(2025)=-4046D.±/«)=-340

1=1

三、填空题

12.已知集合4={*|*-2<0},8=卜|丫=3(2%-3)},若AcB=0,则实数2的取值

范围为.

试卷第2页，共4页

13.已知ASC中，角A,B,C所对的边分别为”,6,c,其中26cosc+2ccos8=〃，则

a=;若2cosAsinBsinC=3sin2A,则当，ABC的面积取得最大值时，

cosA=.

22

14.已知点M,N是椭圆C:j+当=1(。>6>0)上关于原点对称的两个点，点尸是椭圆

ab

C上异于M,N的一点，且以N尸为直径的圆过点M,点。在y轴上，且P,N,。三点

共线，0为坐标原点，若：|0'|,|。。|,|。。|35乙70。成等比数列，则椭圆C的离心率

为.

四、解答题

15.已知函数/(x)=21nx-〃ir+2.

⑴若m=3,求曲线y=〃尤)在x=l处的切线方程；

⑵若Vxe(O,y)J(x)WO,求实数加的取值范围.

16.现有两组数据，A组：1,2,3,4;3组：1,2,3,4,5.先从A组数据中任取3个，构成数

组。I，再从B组数据中任取3个，构成数组。2,两组抽取的结果互不影响.

(1)求数组居的数据之和不大于8且数组％的数据之和大于8的概率；

(2)记X=max%-min。］,其中mind表示数组口中最小的数，max5表示数组。？中

最大的数，求X的分布列以及数学期望E(X).

17.如图在四棱锥S-ABCD中，ABCD为菱形2A8C=120,/S£>C=90,SB=SO.

⑴证明：SC±BD；

(2)若ZASC=90,求平面&4B与平面SBC所成二面角的正弦值.

2

18.已知双曲线C:f-q=l的右焦点为八点2(%,%)(%工。)在双曲线C上,

⑴若%=3,且点P在第一象限，点。关于X轴的对称点为R,求直线PR与双曲线C相

交所得的弦长；

(2)探究：△尸。尸的外心是否落在双曲线C在点尸处的切线上，若是，请给出证明过程；

若不是，请说明理由.

19.已知数列｛%｝的前"项和为黑，若数列｛%｝满足：①数列｛七｝项数有限为N；②

N

Sw=。；③£同=1,则称数列｛%｝为“N阶可控摇摆数列”.

i=l

(1)若等比数列｛4｝(l<w<10)为“10阶可控摇摆数列"，求｛4｝的通项公式；

(2)若等差数列｛a„｝(l<n<2m,meN*)为“2m阶可控摇摆数歹U”，且>am+1,求数列｛4｝

的通项公式；

N

(3)已知数列｛4｝为“N阶可控摇摆数列”，且存在1W机WN,使得乞同=2鼠，探究：

Z=1

数列｛sj能否为"N阶可控摇摆数列"，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.c

【分析】

依据百分位数的概念计算，即可求出。的取值.

【详解】

这组数据有10个数，所以10x30%=3,

则该组数据的30%分位数为故12"=19,解得a=21.

故选：C

2.A

【分析】

根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可求解.

【详解】

圆心C（2,O）到直线/:x+y=0的距离d=u=3,贝=2x63=20.

故选:A.

3.A

【分析】

由等差数列的前"项和公式表示耳4,根据等差数列的性质可求得知=57,进而求解公差d.

【详解】设数列｛见｝的公差为d,依题意，百4=（"|+?"4=7（%+%）=483,

得%+%2=69,故/=57,则d=^p^=5.

故选：A.

4.C

【分析】

对于A,推理说明“〃/机”是“a/力”的必要条件即可判断;对于B,推理说明“/L〃”是

的充分条件即可判断；对于C,通过反证法易判断命题正确；对于D,由d6有公共点和题

设条件，易得/，机可相交或异面即可判断.

【详解】

对于A,由a〃4，/La可得/，尸，又机，尸，故得/〃加，即“〃/机”是“a〃夕的必要条

件，故A项错误；

答案第1页，共14页

对于B,由"z_L£,/_L机可得/u尸或/〃当/u分时，因/_L&,则夕，/?,

当/〃〃时，经过/和平面用内一点可确定平面7,且7c£=/'，贝I]//〃，由/可得,

同理可得。，口，

即“/，〃z”是B”的充分条件,故B项错误;

对于C,运用反证法说明，假设名夕没有公共点，则戊//£,又由/，/加，万可得〃/加，

这与/,相异面矛盾，故假设不成立，即C项正确；

对于D,由名£有公共点可得相交，因/，/〃，，万,则/，相相交或异面，故D项错误.

故选：C.

5.B

【分析】

根据两角和与差的余弦公式和同角三角函数的基本关系求得tawj然后利用二倍角的

4

正切公式求得tan2a=--,再根据两角差的正切公式求解即可.

71

COS---FCC

4cosa-sinal-tana故

【详解】因为=3,tana=-L

cosa+sina1+tana2

2x

2tana4

贝Utan2a=

1-tan26z23

1-

tan2。-tan—-4-1

故tan12二-;4

YC兀

1+tanzcr-tan一

43

故选：B.

6.D

【分析】

分数字“1”出现1次,3次和5次,三种情况下结合组合知识求出答案.

【详解】

若数字“1”出现1次,则有C；x25=192种可能;

若数字“1”出现3次,有或x23=160种可能;

若数字“1”出现5次,则有C：x2=12种可能,

答案第2页，共14页

故数字“1”出现奇数次的不同密码个数为192+160+12=364.

故选：D.

7.C

【分析】

求出直线/的方程，联立抛物线方程，得到两点坐标，求出过点的切线方程，联

立后得到尸（-2,3）,得到答案.

【详解】

依题意，F（2,0）,设直线/:y=9（x-2）,联立〃=耳（”一2），，

3〔丁=阮

贝口2-6尸16=0,解得y=8或尸一2,不妨设M（8,8）,N■，-2）,

设直线PM方程为＞-8=%（x-8）,联立C:/=8》得，

［左（工一8）+8T=8x,左2了2+06左一16左2一8）x+6442—128左+64=0,

△=（16左一169」一8『一4k°（64左2-1281+64）=0,

解得《=；，

故直线PM的斜率A=1,故直线PM:y=；x+4,

同理可得直线PN的斜率k'=-2,故直线PN:y=-2x-l,

f1，

联立〈一2''，解得x=-2,y=3,

y=-2x-l,

即尸（一2,3）,则|OP|=拒.

故选：C.

8.C

【分析】

由题意可知，四面体ABCD中ASLACLAZ）,为长方体的一角，T^AE=X,勾股定理计算

CF,的长，由均值不等式可计算加的面积取最大值时》的值，由此可计算四面体

ACDE外接球的半径与四面体ABCD外接球的半径，从而求出结果.

【详解】

由题意可知，四面体ABCD中ABLACLAD,

答案第3页，共14页

4x

设AE=x,则。石=再百，由等面积法可知，义八南了.

由已知得AC_L平面MD,故AC_LAF,CF=j+；

因为。尸，A尸,ACcA尸=A,故£>?上平面AFC.

故AC_LAF,CF=J4+；?2，

222

痂《1DF°+CF，CD%日内*fT16x［16xBn

olS=-.DFCF<------------------==5,当且仅当J16-----------=J4+即

,CDF2224V16+x2V16+尤2

/=三4R时取等号，

148

此时四面体ACDE外接球的半径R满足（2R）2=AD2+AC2+AE2=—,而四面体ABCD^

接球的半径R满足（2R『0=AB2+AC2+AD2=36,故所求比值为14丹8=夫37.

故选：C.

9.AD

【分析】对于A,由已知可得/合卜-sin2x,且为奇函数，即可判断；对于B,通过

求函数“X）的对称轴即可判断；对于C,求函数“X）的单调递增区间可知“X）在

上先增后减；对于D,把零点个数转化为方程根的个数，通过换元法求解方程的根即可判断.

［详解］/（x一4］=cos—方+普）=-Sin2x,

令方（1）=-sin2x,贝！］F（—x）=-sin（-2A:）=sin2x=-F（x）,

故/卜—/I为奇函数，图象关于原点对称，故A正确；

当2X+N=E,左eZ时，即％=—乂+包，k^Z,

12242

答案第4页，共14页

所以函数的对称轴为X=-勺+”,keZ,当装=一卓+2时，k=3,

242122424

JT

所以不存在整数上使得》=毒，故B错误；

7兀10jr7兀

当一71+2EV2%+丘V2fal时，即---+fai<x<--+fai,

iQjr77r

所以函数/(X)的单调递增区间为一方+也,-五+E,keZ,

57?177r297r41TE

当左=1时，单调递增区间为—,当左=2时，单调递增区间为,

44+乙什NT"乙4

所以“X)在单调递增，在[*,兀]单调递减，故C错误；

\J」L/

令g(x)=2〃x)-亚=0,所以〃x)="令f=2x+),

212

,小个\EI,0兀55兀[、[/7兀9兀15TI1771lJ1

由“«0,2兀)，贝[石■'五J'当仁彳'Y'~4~'丁n时,COSf=y

则g(x)在(0,2可上有4个零点，分别是二，学，粤，孚，故D正确.

126126

故选：AD.

10.ABD

【分析】

根据复数减法的运算法则、共轨复数的定义，结合复数模的运算性质、复数乘法的运算法则

逐一判断即可.

【详解】设

Zj=a+l>i,z2=c+di^a,b,c,deR),Z[-z2=z1-z2-z1=z2-z2<=>2bi=2di<=>b=d,故

Z]-Z2=a-c为实数，故A正确；[Z；-Z]Z2]=[Z](Z]-Z2)=|ZJHZ]-Z2|=|Z]HZ2-Z1|,故B正

确；

令Z[=l-i,Zz=2i,故z；=^,但故C错误；

若Z：=42,贝(|(。+历)2=(。-历)2,故必=0,即<2=0或6=0,故D正确.

故选：ABD

11.ACD

【分析】

根据对称性即可判断A,根据"1)=2,/(3)=-2,f(T)=6的值即可排除B,根据

/(x+4)-/⑺=一8可求解C,根据/(D+/(2)+/(3)+/(4)=T,即可求解D.

答案第5页，共14页

【详解】因为/(力的图象关于(1,2)中心对称,则〃2-力+/(力=4,故A正确；

由)(X)一;(4一尤)=2—尤，可得“X)—/(4—x)=8—4x,贝|“2—x)-〃2+x)=4x,取x=l

得/(1)-/(3)=4,

在/(2r)+/(x)=4中取》=1可得/⑴=2,则〃3)=-2,

由/(一1)+〃3)=4,得〃T)=6H〃3),故B错误；

由〃2-力-〃2+x)=4x,得4-/(力-〃2+x)=4x,

/./(X)+/(J:+2)=4-4J;(1).'./(X+2)+/(X+4)=^1-4X(2),

®-®W/(x+4)-/(x)=-8,又

2025=l+4x506,:.f(2025)=/(1)一8x506=2-8x506=-4046,故C正确；

又由①/(2)+/(4)=-4,.-./(1)+/(2)+/(3)+/(4)=-4,

2054

^/(z)=-4x5+—x(-32)=-340,故D正确.

z=i2

故选：ACD.

12.］一吟

【分析】

根据题意求集合A,2,根据Ac3=0分析求解.

【详解】由题意可知：A={x|x<2),B={x|2x-3>0}=1x|x>|j,

,3

因为Ac3=0,则几(一，

2

所以实数几的取值范围为(-.

故答案为：,

3

13.2-/0.75

4

【分析】

由正弦定理进行边化角运算，化简即可求出。的值；由正弦定理进行角化边运算，然后余弦

定理进行角化边运算，结合平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和可求解出中线的长

度为定值，当中线为高时三角形面积最大，余弦定理可求出此时/A的余弦值.

答案第6页，共14页

【详解】

由正弦定理，2sinBcosC+2cosBsinC=2sin+C)=2sinA=asinA,因为sinAwO,故〃=2；

而2cosAsinBsinC=Bsin?A,由正弦定理，2Z?ccosA=3",

7.22_2

由余弦定理，26c.=3/,得/+c、4/,

2bc

取线段BC的中点为。，延长AO至点E,使AE=2AO,连结8E,CE,

贝UBC2=AC2+AB2-2ACABCOSZCAB,AE2=BE2+AB2-2BE-ABcosZABE，

因为35/046=-85^^46£\_1LBE-AC,CE=AB,

所以8c2+止=8炉+AB?+AC?+为2

即平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和可得，

则有2仅2+°?)=41AO/+储，则|A0|=J7,

则当AO为5c边上的高时，ABC的面积取得最大值，此时b=c=2后，由余弦定理,

,(2同+(2扬2-2?3

cosA=------------7=-----；=----=—.

2x2^x2V24

3

故答案为：2；-

14.受

2

【分析】由题意得跖VLPW,首先设直线"N:y=履，联立椭圆方程得M,N坐标，进一

步由g|ON|,|OQ|,|oQ|cosNNO。成等比数列，可得。的坐标，从而可得PN斜率，注意到

因为以NP为直径的圆过点M,所以

答案第7页，共14页

由题意设直线=（斜率显然存在，否则点尸就不存在了），不妨设点M,N分

别在第一象限、第三象限，

则直线的斜率=-1；

k

y=kx,b

联立解得x=±舟7声

[a2b1

i'ababk、•/ababk

则M,N--/,.

22

+b2^Ic^k+b）IJ//+。21ak2+/

而；IONI,|OQ|,|。4cosNN。。成等比数列,

则|°Q『=JON||ogcosNNOQ=^ON-OQ,

设即），则。。=（。村"[谭k/

21abk

从而％=-y而不重合，也就是丫尸0,

xk2+匕2,

abkabk

解得y=一,则Qo,-

ly]a2k2+b22yJa2k2+b2

abkabk

故直线NP的斜率kpN=kNQ=2』〃2/+]2J〃2.2+/:1,

0+.2

y]a2k2+b2

设月（马,%）,〃（％,y）,N（一%,—y）,

所以%y一%

x-x2

L一匕，故所求离心率e=、1X=且.

所以%

2a2ya22

故答案为：

2

1k1h1

【点睛】关键点点睛：关键是分别表示出原M，怎N，由此结合七

k22a

可顺利得解.

15.⑴x+y=。

答案第8页，共14页

(2)[2,+oo)

【分析】

(1)根据导数的几何意义，结合导数的运算性质、直线的点斜式方程进行求解即可；

(2)对不等式进行常变量分离，构造函数，利用导数研究函数的最值即可.

9

【详解】⑴〃%)=21nx-3%+2=>/<%)=——3,

因此/")=T,而"1)=—1,

故所求切线方程为y+l=-即%+y=0；

(2)依题意，21nx-mx+2<0,故一221nx对任意工£((),出)恒成立.

令g(x)=也±2(x>o),贝小，(x)=邺，

X

令/(尤)=0,解得x=l.

故当xe(O,l)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

当x«L+°o)时,g'(x)<0,g(x)单调递减，

则当x=l时，g(x)取到极大值，也是最大值2.

故实数机的取值范围为［2,m).

9

16.(1)—

20

13

(2)分布列见解析，E(X)=z

【分析】

(1)根据古典概型运算公式，结合对立事件的概率公式、概率的乘法公式进行求解即可；

(2)根据古典概型运算公式，结合数学期望公式进行求解即可.

【详解】(1)记“数组招的数据之和不大于8”为事件“数组％的数据之和大于8”为事

件N,

13

则尸(町=1-W="

答案第9页，共14页

事件N包含的数组有：(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5),共6组,

尸(N)=R=1，故所求概率P=P(M)尸(N)=^.

^5。2U

(2)依题意，X的可能取值为L2,3,4；

(2

(亲11c11C?3

PX=1)==，尸(X=2)=^-----H1—--------Z-=—,

7

5C40'C：CC：C20

22222

小=3)=圣C1C+*1亮c亮3尸—4)爷C母C9

20

17.(1)证明见解析

⑵当

【分析】

(1)根据菱形的对角线的性质、等腰三角形的性质，结合线面垂直的判定定理、性质进行

证明即可；

(2)根据等边三角形的判定定理和性质、结合线面垂直的判定定理、性质建立空间直角坐

标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】(1)记。B交AC于点0,连接SO.

因为ABC。是菱形，所以BO_LAC,且0为m的中点.

因为SB=S£>,所以SO_LBZ),

又因为AC,SOu平面A5C,且AC|'SO=O,所以由平面ASC,

因为SCu平面ASC,所以SCL3D.

(2)取A3的中点尸，连接。尸交AC于点E,连接SE.

因为NA3C=120,所以△ABD是等边三角形，所以

又因为NSOC=90,故5。_1_48,5。门。/=£>,5£),£)尸<=平面5/)产，

答案第10页，共14页

所以AB2平面SDF.又SEu平面尸，所以AB_LSE.

由（1）知BDJ_SE,且ABBD=B,所以SE_L平面ABCD

不妨设AB=2,则AE=AF=£1,AO=4B.COS30=唐.

cos303

在，ASC中，由AS_LSC,得SE?=4£；.£。=毡＞＜拽=§,所以SE=3&.

3333

以。为坐标原点，。氏。。所在直线分别为x轴、＞轴，过点。作垂直平面A5CD的直线为z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系,

Sz木

则A（0,一百,0）,2（1,0,0）,。（0,百,0）,5

所以A3=(1,也,Q),CB=(1,-"0),BS=

设平面的法向量为％=a，y”zj,

m2屈八

n•BS=0,-亍4=。,

所以x

・

勺AB=0%+石”=0,

令y=1得%=一6'---

I/

设平面跖C的法向量为％=（吃,%*2）,

答案第11页，共14页

-73x73+1x1-—

故cos〈4,叼〉=।2---------------------------------------------

J(-A/3)2+12+-(x7(V3)2+l2+(^)2

Vk27

所以平面&LB与平面SBC所成二面角的正弦值为逅.

3

18.⑴Q

13

(2)是，证明见解析

【分析】（1）先求出直线网方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解即可；

（2）先利用直线与抛物线的位置关系求切线方程，再利用圆中弦的性质求出外心坐标，即

可证明.

【详解】⑴依题意，尸（2,3）,吗,3）心,-3）则直线尸尺的斜率为T1［上

则直线尸尺：，—3=4（彳一2）,即y=4x—5；

f—匕=114

联立彳3,得13/_40X+28=0,解得％=2或%=百，

y=4x-53

故所求弦长为4T不x2--=经典.

1313

（2）△PQF的外心落在双曲线C在点尸的切线上，证明过程如下，

设双曲线C在点尸的切线斜率为3则在点尸处的切线方程为

y-y0=k(x-x0),

2

联立12y得(3—左~)彳2_2兀(%—Ax。)x—(%—)—3=0,

x2-2-=l,

3

其中％2/3,贝|A=4/(%-a)2+4(3-%2)[(%-1bo『+3]=0,

2

而其-号=1,故火+3=3%，代入上式可得，ky^-6kxoyo+9xl=O,

解得/=3'，故双曲线C在点尸处的切线方程为y-%=

X-X。），即—

y0

直线尸。的斜率为⑥2=-个，线段人2的中点为E1：,

答案第12页，共14页

故直线尸。的中垂线方程为y-普=、-(尤一1],

22%I4J

联立22%〔.可得y=3x°[2y；-6,故外心坐标为[当±1,岂苧亘],

_2%+14%(44y0)

彳-4，

其满足无胚-专=1,故△P。尸的外心落在双曲线C在点尸处的切线上.

19.(1)«„=士-(-I)"-1(14〃W10)或•(-1)"(1<«<10)

,7-2n+2m+1-*\

(2)a=------z---(l<H<2m,mGNWT)

n2m')

(3)不能，理由见解析

【分析】(1)根据4=1和4*1讨论，利用等比数列前〃项和结合数列新定义求解即可；

(2)结合数列定义，利用等差数列的前“项和及通项公式求解即可；

(3)根据数列｛4｝为“N阶可控摇摆数歹广求得⑶花；，再利用数列6｝的前〃项和得

5]=邑=5==Se=。，然后推得W+S2+S3++又=0与|引+闾+国++卬=1不

能同时成立，即可判断.

10

【详解】(I)若4=1,