2022年北京文汇中学初二（上）期中数学试卷及答案

第1页/共1页2022北京文汇中学初二（上）期中数学一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每题3分，共30分）1.冬季奥林匹克运动会是世界规模最大冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（）A. B. C. D.2.点关于轴对称的点的坐标为（）A. B. C. D.3.下列运算正确的是（）A. B.C. D.4.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（）A.25° B.35° C.40° D.50°5.已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（）A.九边形 B.八边形 C.七边形 D.六边形6.如图，在中，，是的平分线，交于点D，若，，面积是（）A.2 B.5 C.10 D.207.如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（）A. B.C. D.8.若，则m的值为（）A.-8 B.2 C.-2 D.-59.如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A.△ACE≌△BCD B.△BGC≌△AFC C.△DCG≌△ECF D.△ADB≌△CEA10.剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A. B. C. D.二、填空题（每题2分，共16分）11.如果三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的取值范围为__．12.等腰三角形的一个角是70°，则它的另外两个角的度数是______．13.如图，，，垂足分别为，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是______．（写出一个即可）14.计算：①___________；②___________．15.如图，，点D在边上，，则________°．16.要使（x2+ax+1）•（﹣6x3）的展开式中不含x4项，则a=___________．17.如图，是等边三角形，于点D，于点E．若，则___；与的面积关系是：____．18.如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC中点．若，的周长是36，则的最小值为___________．三、解答题（共54分）19.计算（1）（2）20.已知，求的值．21.尺规作图：如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路和公路的距离相等，到两通讯站C和D的距离也相等．如果你是红方的指挥员，请你在下图中标出蓝方指挥部点P的位置．（保留作图痕迹，不必写作法）22.如图，C是AB的中点，CDBE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE．23.《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”请补全上述命题的证明．已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．求证：．证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠．（）（填推理的依据）∵∠ADB是△BCD的外角，∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（）（填推理的依据）∴∠ADB＞∠C．∴∠ABD＞∠C．∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∴∠ABC＞∠ABD．∴∠ABC＞∠C．24.已知，如图，是等边三角形，D是边AC的中点，E是BC延长线上的一点，．求的度数．25.在整式乘法的学习过程中，我们常常利用图形的面积对运算结果加以说明．例如由图①中图形的面积可以得到等式：．（1）利用图②中图形的面积关系．写出一个正确的等式：___________；（2）计算的值，并画出几何图形进行说明．26.已知：如图，，PBN上一点，，．（1）求证：；（2）探究线段BF，BC，AB之间的数量关系，并证明．27.在等边的外侧作直线，，点C关于的对称点为D，连接、、．（1）如图1，若，直接写出度数；（2）如图2，若，过点D作交直线于点E．①依题意补全图形；②求度数（用含的代数式表示）；③在变化的过程中，猜想与的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，直线为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点P的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题：（1）点的一次反射点为________，二次反射点为__________；（2）当点A在第一象限时，点，，中可以是点A的二次反射点的是_________；（3）若点A在第二象限，点，分别是点A的一次、二次反射点，△为等边三角形，求射线OA与x轴所夹锐角的度数．

参考答案一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每题3分，共30分）1.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．【详解】解：A、不是轴对称图形，此项不符题意；B、不是轴对称图形，此项不符题意；C、不是轴对称图形，此项不符题意；D、是轴对称图形，此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键．2.【答案】B【解析】【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为：故选：B．【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．3.【答案】D【解析】【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A、，故A错误；B、，故B错误；C、，故C错误；D、，故D正确；故选：D．【点睛】本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．4.【答案】B【解析】【详解】解：∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，∵∠BAD=40°∴∠B=∠ADB=70°，∵AD=DC，∴∠C=∠DAC，∴∠C=∠ADB=35°．故选：B．5.【答案】B【解析】【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【详解】根据n边形内角和公式，得（n﹣2）•180=1080，解得n=8，∴这个多边形的边数是8，故选B．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．6.【答案】B【解析】【分析】由已知条件，根据角平分线的性质，边上的高等于的长2，再由三角形的面积公式求得的面积．【详解】解：∵是的平分线，，∴点D到的距离为的长，∴．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形面积的计算．本题比较简单，直接应用角平分线的性质进行解题，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】解：可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用，答案可得．【详解】作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D；②任意作一点，作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；③以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；④过点作射线．即：；在与，，，，∴，∴，即运用的判定方法是．故选：C．【点睛】本题考查了基本作图作与已知角相等的角，全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．8.【答案】B【解析】【分析】利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应项的系数相等列式求解即可．【详解】解：∵，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，恒等原理等，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，恒等的两个代数式对应项系数相等，是求解的关键．9.【答案】D【解析】【详解】试题分析：△ABC和△CDE是等边三角形BC=AC，CE=CD，即在△BCD和△ACE中△BCD≌△ACE故A项成立；在△BGC和△AFC中△BGC≌△AFCB项成立；△BCD≌△ACE，在△DCG和△ECF中△DCG≌△ECFC项成立D项不成立.考点：全等三角形的判定定理.10.【答案】A【解析】【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．【详解】按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：．故选：A．【点睛】此题主要考查了剪纸问题，解答此题的关键是根据折纸的方式及剪的位置进行准确分析，可以直观的得到答案．二、填空题（每题2分，共16分）11.【答案】3<a<13【解析】【分析】根据三角形的三边关系解答．【详解】由题意得：8-5<a<8+5，∴3<a<13，故答案为：3<a<13．【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边．12.【答案】55°，55°或70°，40°．【解析】【分析】分70°为等腰三角形的顶角和底角两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出.【详解】解：（1）当顶角为70°时，则它的另外两个角的度数是55°，55°；（2）当底角70°时，则它的另外两个角的度数是70°，40°；所以另外两个角55°，55°或70°，40°．故答案为55°，55°或70°，40°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，难度不大，属于基础题型.13.【答案】或或或【解析】【分析】根据题意直接由全等三角形的判定定理进行分析即可求解．【详解】解：若添加，且，由“”可证；若添加，且，由“”可证；若添加，且，由“”可证；若添加，且，由“”可证；故答案为：或或或（答案不唯一）．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．14.【答案】①.②.【解析】【分析】①运用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可；②运用积的乘方运算和幂的乘方运算法则计算即可．【详解】①；②．故答案为：；．【点睛】此题考查了同底数幂的乘法运算和积的乘方运算，幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．15.【答案】【解析】【分析】先由，得到，继而解得，由等边对等角解得，最后根据三角形内角和180°解题即可．【详解】故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16.【答案】0【解析】【详解】试题分析：根据单项式与多项式相乘的法则展开，然后让x4项的系数等于0，列式求解即可．解：（x2+ax+1）•（﹣6x3）=﹣6x5﹣6ax4﹣6x3，∵展开式中不含x4项，∴﹣6a=0，解得a=0．考点：单项式乘多项式．点评：本题考查了单项式与多项式相乘，不含某一项就是让这一项的系数等于0．17.【答案】①.；②.．【解析】【分析】根据等边三角形三线合一性质，可知，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半解得；由解得，继而解得、，再根据三角形面积公式解得，，整理即可解得的值．【详解】是等边三角形，是的平分线在中，；故答案为：；．【点睛】本题考查等边三角形的性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．18.【答案】12【解析】【分析】连接AP，AH，先求出BC，BH的长．由于是等腰三角形，点H是BC边的中点，故，再根据勾股定理求出AH的长，由MN是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线MN的对称点为点A，故AH的长为的最小值，由此即可得出结论．【详解】连接AP，AH．∵，的周长为36，∴．∵H是BC的中点，∴．∵是等腰三角形，点H是BC边的中点，∴，∴．∵MN是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线MN的对称点为点A，∴，∴，∴AH的长为的最小值，∴的最小值为12．故答案为：12．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．三、解答题（共54分）19.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据单项式乘以多项式的运算法则求解即可；（2）根据多项式乘以多项式的运算法则求解即可．【小问1详解】解：【小问2详解】解：【点睛】此题考查了多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．20.【答案】1【解析】【分析】先利用多项式乘多项式的法则展开，然后合并同类项，再利用整体代入的思想解决问题即可．【详解】解：∵∴原式．【点睛】本题考查的知识点是整式的化简求值，解题关键是利用整体代入的思想进行解题．21.【答案】答案见解析【解析】【分析】作线段CD的垂直平分线MN，作∠CBF的角平分线BE交MN于点P，点P即为所求作.【详解】如图，点P即为所求作．【点睛】本题考查作图的应用与设计，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据平行线的性质和中点的定义以及全等三角形的判定和性质解答即可．【详解】证明：∵C是AB的中点，∴AC=CB，∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴AD=CE．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质及其应用等几何知识点问题．应牢固掌握全等三角形的判定定理．23.【答案】∠ABC＞∠C，ADB，等边对等角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【解析】【分析】根据文字题目的要求写出已知，求证，利用等腰三角形的性质以及三角形的我觉得性质解决问题即可．【详解】已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．求证：∠ABC＞∠C．证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）．∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB（等边对等角），∵∠ADB是△BCD的外角，∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠ADB＞∠C，∴∠ABD＞∠C，∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∴∠ABC＞∠ABD，∴∠ABC＞∠C．【点睛】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24.【答案】【解析】【分析】首先证明，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可解决问题．【详解】解：∵等边三角形，∴，∵D是边AC的中点，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形外角的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．25.【答案】（1）（2），画图见解析【解析】【分析】（1）利用等面积法，使用两种方法求出面积，一种是直接计算大图形的面积，二是根据图形求出四个小图形面积，二者相同即可；（2）根据题意可作出如图所示矩形，同（1）类似，求各个小图形面积和即可．【小问1详解】图②面积可表示为：面积还可表示为：∴可得：，故答案为：；【小问2详解】如图所示：根据图形求面积可得，大面积可表示为：，两个小矩形面积和为：，二者表示为同一图形面积，∴．【点睛】题目主要考查多项式与多项式相乘与几何图形结合进行验证多项式法则，理解并学会作出合适的图形是解题难点．26.【答案】（1）证明见解析（2），证明见解析【解析】【分析】（1）过点作于点，由利用角平分线的性质得到，结合即可利用全等三角形的判定定理证出，再根据邻补角互补可得出，利用等量代换即可证出结论；（2）由可得出，结合即可证出，进而得出，再根据边与边之间的关系即可得出．小问1详解】过点作于点，如图所示．∵，，在和中，∴，，【小问2详解】证明：∵，∴．在和