专题11勾股定理及其逆定理（讲义）（原卷版）

专题11勾股定理及其逆定理核心知识点精讲1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题；4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题．以体现代数与几何之间的内在联系．【知识网络】考点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.3.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在中，，则，，；②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；③可运用勾股定理解决一些实际问题.考点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.【要点诠释】①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状；②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边；③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.3.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数；②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等；③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）.考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【题型1：勾股定理在图形翻折中的应用】【典例1】如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（）A． B．3 C．1 D．1．如图，中，，，，将沿翻折，使点与点重合，则的长为（

）A． B． C．3.5 D．42．如图，将长方形沿对角线对折，使点落在点处，交于，，，则重叠部分（即）的面积为（

）A．24 B．30 C．40 D．803．如图，将长方形纸片的边沿折痕折叠，使点落在上的点处，若，则的长为（

）A． B． C．1 D．4．如图长方形中，，，点为边上一点，将沿翻折后，点恰好落在边上的点处，则（

）A．2 B． C． D．1【题型2：勾股定理及其逆定理在求图形面积中的应用】【典例2】有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A． B． C．2023 D．20241．如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（

）

A．169 B．144 C．30 D．252．如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，.若．则图中阴影部分的面积为（

）A．6 B． C．5 D．3．李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（

）

A． B． C． D．4．如图，四边形中，E为中点，于点E，，，，，则四边形的面积为（）

A． B． C． D．无法求解【题型3：勾股定理及其逆定理的综合应用】【典例3】暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝，他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为_________km．1．两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放．将两个三角板抽象成如图②所示的△和△，点B、C、D依次在同一条直线上，连接．若，,则点A到直线的距离为______．

2．如图，已知，，，将绕点A逆时针旋转，旋转角为（），当点D恰好落在的边上时，的长为_______．3．在中，，，．以为底在内部作等腰，连接，若，则的长为________________．4．如图，在中，，，点是边上的点，将沿折叠得到，点是点的对称点．若为，则的长是____________．1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为（

）A． B． C． D．2.如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，，则（）A． B． C．12 D．163．如图，在Rt中，，用圆规在上分别截取，，使，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则的面积是（

）A． B．6 C． D．4．如图，在中，，，于点，点为的中点，连接，若，则的长为（

）A． B．8 C． D．1．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．下列结论：其中正确的有（

）①；②；③；④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．13．如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积是（）A．4 B． C． D．4．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为（

）

A．24 B．36 C．48 D．125．如图，中，，分别以为边作等腰直角三角形，，若的面积是3，的面积是4，则的面积是（

）

A． B．10 C．7 D．56．如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（

）A．12 B．6 C． D．7．如图，在中，，，是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（）

A．②④ B．①④ C．②③ D．①③8．如图，所在的直线是的对称轴，，则的面积为．9．如图，中，，，，是边上的中线，．10．如图，在等边中取点使得，，的长分别为3，4，5，则．11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为.12．如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是．

1．（2023·四川泸州·统考中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，252．（2023·广西·中考真题）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（

）A． B． C．或 D．或3．（2023·江苏南京·统考中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（

）

A．点 B．点 C．点 D．点4．（2023·浙江温州·