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文档简介
第二部分专题篇•素养提升(文理)规范解答示例4概率与统计(理科)(2019·全国Ⅰ)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.①证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;②求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.规范解答·分步得分(1)解:X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β). 3分所以X的分布列为 4分X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)(2)①证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.5分因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1). 6分又因为p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列. 7分构建答题模板第一步定元:确定随机变量的意义和取值.第二步定性:确定概率模型并计算随机变量取每一个值的概率.第三步列表:写出随机变量的分布列.第四步求解:利用随机变量的分布列,等比数列累加法并结合题目条件求解.【评分细则】
第(1)问:三个概率写正确给3分;分布列写正确再给1分.第(2)问:①a,b,c三个值正确给1分;写出推导公式给1分,判断首项给1分.②利用等比数列累加列方程给3分;求出p4,写出结论给1分.【跟踪演练】(2018·全国Ⅱ改编)下图是某地区2002年至2018年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.(ⅱ)从计算结果看,相对于2018年的环境基础设施投资额22
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