2022年湖南省长沙市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

2022年长沙市初中学业水平考试试卷

数学

注意事项：

1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、

考室和座位号；

2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试卷卷上答题无效；

3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；

4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；

5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；

6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选

项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.-6的相反数是（）

1,1

A.B.—6C.—D.6

66

2.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（）

3.下列说法中，正确的是（）

A.调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查

B.“太阳东升西落”是不可能事件

C.为了直观地介绍空气各成分百分比，最适合使用的统计图是条形统计图

D.任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次

4.下列计算正确是（）

AB.5ci—4ci—1C.3a2-2a3=6a1'D.(<z—b)~~ci~~b~

5.在平面直角坐标系中，点(5,1)关于原点对称的点的坐标是()

A.(-5,1)B.(5,-1)C.(1,5)D.(-5,-1)

6.《义务教育课程标准(2022年版)》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定.某班有7名学

生已经学会炒的菜品的种数依次为：3,5,4,6,3,3,4,则这组数据的众数和中位数分别是()

A.3,4B.4,3C.3,3D.4,4

7.为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲，乙两种读本

共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购

买乙种读本的费用为()

A.8x元B.10(18)—x)元C.8(100-%)7CD.(1()0—8尤)元

A.65°B.70°C.75°D,105°

9.如图，PA,PB是的切线，A、8为切点，若NAOB=128°,则NP的度数为()

A.32°B,52°C.64°D.72°

10.如图，在一ABC中，按以下步骤作图：

①分别过点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、。两点；

2

②作直线PQ交AB于点D；

③以点。为圆心，AQ长为半径画弧交PQ于点"、连接AM、BM.

若AB=2>/2，则AM的长为()

A.4B.2C.73D.72

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.若式子G1?在实数范围内有意义，则实数的取值范围是.

12.分式方程士2=—5的解是_____________.

xx+3

13.如图，4、B、C是oO上的点，OCLAB,垂足为点。，且。为OC的中点，若Q4=7,则BC的长为

14.关于的一元二次方程/+2%+/=0有两个不相等的实数根，则实数f的值为.

15.为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体1000名学生中，随机抽取了100名学生进

行调查.结果显示有95名学生知晓.由此，估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有

名.

16.当今大数据时代，“二维码”具有存储量大.保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活

中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”己经展现出无穷威力.看似“码码相同”，实则“码码不同通

常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当

于1000个方格只有200个方格作为数据码.根据相关数学知识，这200个方格可以生成220°个不同的数据二维

码，现有四名网友对22°°的理解如下：

（永远的神）：22°°就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；

（懂的都懂）：22°°等于ZOO?;

JXNQ（觉醒年代）：220°个位数字是6；

QGFW（强国有我）：我知道2地=1024,103=1000,所以我估计220°比1（严大.

其中对2200的理解错误的网友是（填写网名字母代号）.

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、

23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或

演算步骤）

计算:Il+g)一(扬2+2035°.

17.

3x〉—8—:

18.解不等式组：〈

2(1”6②

19.为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数.某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造.如图,

4B表示该小区一段长为20nl的斜坡，坡角N84D=30。，BDLAD于点D.为方便通行，在不改变斜坡高度的

情况下，把坡角降为15°.

（1）求该斜坡的高度8£＞；

（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离.（假设图中C,A,。三点共线）

20.2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题“为推进地下水超采综合治

理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛.为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽

取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表.

成绩W分频数频率

60<x<70150.1

70<x<80a0.2

80<x<9045b

90<x<10060C

(1)表中a=,h=，c=；

(2)请补全频数分布直方图：

(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列

表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率.

21.如图，AC平分N84D,CBLAB,CD±AD,垂足分别为8,D.

(1)求证：ZVlBC也△ADC；

(2)若AB=4,8=3,求四边形ABC。的面积.

22.电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要

双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题.其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗

的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同.问：应该如何分？请你根据

题意解答下列问题：

(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条

给财主.”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“J”，错误的打

“X”.

①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案.()

②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案.()

③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种.()

(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的

数量多40条”，求每个群里狗的数量.

23.如图，在中，对角线AC,8。相交于点。，AB=AD.

(1)求证：AC1BD；

3

(2)若点E,尸分别为A。，A。的中点，连接EF,EF=—,AO=2,求的长及四边形ABC。的周长.

2

24.如图，四边形4BCO内接于。，对角线AC,8。相交于点E,点尸在边49上，连接EF.

(1)求证：AABEsADCE；

AEDEAFFE

(2)当DC=CB,NDFE=2NCDB时，贝|］不一寸=---1---=

BECEABAD

—+-——-=.(直接将结果填写在相应的横线上)

ABADAF

⑶①记四边形ABC。，的面积依次为5,£,耳，若满足避=质+病，试判断,

的形状，并说明理由.

②当℃=CB，AB=n^AD=n,CD=〃时，试用含m,",p的式子表示AE-CE.

11M-N

25.若关于x函数y,当t——4xW，+一时，函数y的最大值为M,最小值为N,令函数/l=------,我们不妨

222

把函数/?称之为函数y的“共同体函数”.

(1)①若函数y=4044x,当f=l时，求函数y的“共同体函数”/?的值；

②若函数丫="+8(攵。0,k,b为常数)，求函数y的“共同体函数的解析式;

2

(2)若函数y=—(x>l),求函数y的“共同体函数”/z的最大值；

x

(3)若函数丁=-犬+4%+左，是否存在实数k,使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”〃的最小

值.若存在，求出&的值；若不存在，请说明理由.

2022年长沙市初中学业水平考试试卷

数学

注意事项：

1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、

考室和座位号；

2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试卷卷上答题无效；

3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；

4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；

5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；

6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选

项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.-6的相反数是（）

1,1

A.B.—6C.—D.6

66

【答案】D

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得.

【详解】解：一6相反数是6.

故选D.

【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.

2.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（）

【答案】B

【分析】根据从正面看的图形是主视图即可求解.

【详解】解：该几何体的主视图是

故选B.

【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图

象是俯视图.掌握以上知识是解题的关键.

3.下列说法中，正确的是（）

A.调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查

B.“太阳东升西落”是不可能事件

C.为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图

D.任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次

【答案】A

【分析】根据全面调查与普查，随机事件，必然事件，统计图的选择，逐项分析判断即可求解.

【详解】解：A.调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查，故该选项正确，符合题意；

B.“太阳东升西落”是必然事件，故该选项不正确，不符合题意；

C.为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故该选项不正确，不符合题意；

D.任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可能是13次，故该选项不正确，不符合题意；

故选A

【点睛】

本题考查了全面调查与普查，随机事件，必然事件，统计图的选择，掌握以上知识是解题的关键.根据确定事件

和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会

发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一

定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件.条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅

容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由普查得到的调

查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，由此根据情况选择即

可.

4.下列计算正确的是()

A.«7-r-a5=a2B.5a-4a-1C.3a2-2a3=6ahD.(a-b)2=a2-b2

【答案】A

【分析】根据同底数累的除法，合并同类项，单项式的乘法，完全平方公式逐项分析判断即可求解.

【详解】解：A.故该选项正确，符合题意；

B.5。-4。=。，故该选项不正确，不符合题意；

C.3a2.2/=645,故该选项不正确，不符合题意；

D.(a-bf=a2-2ab+b2,故该选项不正确，不符合题意；

故选A

【点睛】本题考查了同底数基的除法，合并同类项，单项式的乘法，完全平方公式，掌握运算法则以及乘法公式

是解题的关键.

5.在平面直角坐标系中，点(5,1)关于原点对称的点的坐标是()

A.(-5,1)B.(5,-1)C.(1,5)D.(-5,-1)

【答案】D

【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解.

【详解】解：点(5,1)关于原点对称的点的坐标是(一5,-1).

故选D.

【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反

数是解题的关键.

6.《义务教育课程标准(2022年版)》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定.某班有7名学

生已经学会炒的菜品的种数依次为：3,5,4,6,3,3,4,则这组数据的众数和中位数分别是()

A.3,4B.4,3C.3,3D.4,4

【答案】A

【分析】根据众数及中位数的概念进行判断即可.

【详解】3出现次数最多，

•••众数是3；

把这组数据从小到大排序为：3,3,3,4,4,5,6,

二4位于第四位，

•••中位数4；

故选：A.

【点睛】本题考查了众数及中位数的概念，一组数据中，出现次数最多的数为众数；按从小到大(或从大到小)

顺序排列，处于中间位置的一个数(或两个数的平均数)为这组数据的中位数，熟练掌握这两个知识点是解题的

关键.

7.为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”读书活动.现需购买甲，乙两种读本

共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购

买乙种读本的费用为()

A.8x元B.10(100-％)元C.8(100-%)%D.(100-8x)元

【答案】C

【分析】根据题意列求得购买乙种读本(100-x)本，根据单价乘以数量即可求解.

【详解】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本(100-x)本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本

的费用为8(100-x)元

故选C

【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题关键.

8.如图，AB//CD,AE//CF,N84E=75。，则NDC户的度数为()

A.65°B.70°C.75°D.105°

【答案】C

【分析】根据平行线的性质即可求解.

【详解】如图，设AE,CO交于点G,

\XZ

AB//CD,N84E=75。，

ZDGE=ZBAE^75°

AE//CF

:.ADCF=ZDGE=15°

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.

9.如图，PA,PB是。。的切线，A、8为切点，若NAQB=128°,则/尸的度数为（）

A.32°B.52°C.64°D.72°

【答案】B

【分析】根据切线的性质以及四边形的内角和即可求解.

【详解】解：•••弘，PB是。。的切线，

OA±PA,OB±PB,

:.ZPAO=ZPBO=9Q°,

ZAO3=128°,

则NP=360°-90°-90°-l28°=52°,

故选B.

【点睛】本题考查了切线的性质以及四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键.

10.如图，在ABC中，按以下步骤作图：

①分别过点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、。两点；

②作直线PQ交A8于点。；

③以点。为圆心，AZ）长为半径画弧交尸。于点M、连接AM、BM.

若AB=26，则4M的长为（)

A.4B.2C.百D.72

【答案】B

【分析】根据作图可知PM垂直平分A8,=343,ABM是等腰直角三角形，据此即可求解.

【详解】解：由作图可得PM垂直平分AB，AO=£>M=,AB=J2

2

则.4D0等腰直角三角形

...由勾股定理得：AM=OAD=6X6=2

故选：B.

【点睛】本题考查了作垂线，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握基本作图理解题意是解题的关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是.

【答案】x>19

【分析】根据二次根式有意义的条件可得x—1920,求解即可.

【详解】式子G16在实数范围内有意义，

.-.x-19>0,

解得x219,

故答案为：x>19.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0,熟练掌握知识点是解题的关键.

25

12.分式方程*=-的解是_____________.

x尤+3

【答案】尸2

【详解】解：两边同乘x(x+3),得2(x+3)=5x,

解得x=2,

经检验户2是原方程的根；

故答案为：x=2.

【点睛】考点：解分式方程.

13.如图，A、B、C是。0上的点，OCLAB,垂足为点。，且。为0C的中点，若。4=7,则8c的长为

【答案】7

【分析】根据垂径定理可得0C垂直平分A3,根据题意可得A8平方0C,可得四边形AQBC是菱形，进而根

据菱形的性质即可求解.

【详解】解：如图，连接O8,C4,

A、B、C是：。上的点，OCJ_AB,

r.AD-DB，

。为OC的中点,

：.OD=DC,

二四边形AQBC是菱形，。4=7,

BC=AO=7.

故答案为：7.

【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键.

14.关于的一元二次方程/+2%+/=0有两个不相等的实数根，则实数f的值为.

【答案】t<1

【分析】根据关于x的一元二次方程X2+2X+，=O有两个不相等的实数根，可得△>（）,求解即可.

【详解】关于x的一元二次方程f+2x+r=0有两个不相等的实数根，

.1.A=22-4xlxr>0>

故答案为：t<1.

【点睛］本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程ar?+加+。=o（aN0）的根与△=〃一4ac有如

下关系：当A〉0时，方程有两个不相等的实数根；当△=（）时，方程有两个相等的实数根；当4<0时，方程没

有实数根，熟练掌握知识点是解题的关键.

15.为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体1000名学生中，随机抽取了100名学生进

行调查.结果显示有95名学生知晓.由此，估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有

名.

【答案】950

95

【分析】用1000x而即可求解.

95

【详解】解：估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有1000x商=950（名）

故答案为：950

【点睛】本题考查了用样本估计总体，掌握用样本估计总体是解题的关键.

16.当今大数据时代，“二维码”具有存储量大.保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活

中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码''己经展现出无穷威力.看似“码码相同”，实则“码码不同通

常，一个“二维码''由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当

于1000个方格只有200个方格作为数据码.根据相关数学知识，这200个方格可以生成220°个不同的数据二维

码，现有四名网友对22°°的理解如下：

yros（永远的神）：22°°就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；

（懂的都懂）：22°°等于20（）2;

JXND（觉醒年代）：22°°的个位数字是6；

QGKW（强国有我）：我知道=1024,103=］000,所以我估计22皿比1（严大.

其中对22°°的理解错误的网友是（填写网名字母代号）.

【答案】DDDD

【分析】根据乘方的含义即可判断（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将220°化为

（2.10）2,再与20（）2比较，即可判断。QQD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判

断（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得即可判断QGVW

（强国有我）的理解是正确的.

【详解】22°°是200个2相乘，1TOS（永远的神）的理解是正确的；

2001002

2=（2）丰20（）2,DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；

.2'=2,22=4,23=8,24=16,25=32,

2的乘方的个位数字4个一循环，

.200+4=50,

220°的个位数字是6,JXND（觉醒年代）的理解是正确的；

.-2200=（2IO）20,1060=（103）20,2,°=1024,103=1000,且严〉［。'

.•二?00〉］。60,故QGKW（强国有我）的理解是正确的；

故答案为：DDDD.

【点睛】本题考查了乘方的含义，幕的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键.

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、

23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或

演算步骤）

17.计算：-（V2）2+2035°.

【答案】6

【分析】原式分别根据绝对值的代数意义、负整数指数累、二次根式的乘方以及零指数塞运算法则化简各项后,

再算加减即可.

【详解】解：；-(0)2+2035°

13J

=4+3—2+1

=6

【点睛】本题考查了实数的运算，掌握各部分的运算法则是解答本题的关键.

3x>—8—AQ):

18.解不等式组：〜八三

[2(x-l)<6(2)

【答案】-2<x<4

【分析】分别解两个一元一次不等式，再写出不等式组的解集即可.

【详解】解不等式①，得x>-2,

解不等式②，得x<4,

所以，不等式组的解集为—2<xW4.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键.

19.为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数.某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造.如图，

A8表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角N84£>=30°,89,AO于点D为方便通行，在不改变斜坡高度的

情况下，把坡角降为15°.

(1)求该斜坡的高度2。

(2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离.(假设图中C,4,。三点共线)

【答案】(1)10m(2)20m

【分析】(1)根据含30度角的直角三角形的性质即可求解.

(2)根据N」a4Z>=NC+NA3C,可得NA8C=15°,根据等腰三角形的性质即可求解.

【小问1详解】

NBAD=30。,BD1AD,AB20m

BD=—AB=10m

2

【小问2详解】

C,A,。三点共线，=30。,NACB=15°

ZABC=ZBAD-ZC=150

AC=AB=20m

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等角对等边，掌握以上知识是解题的

关键.

20.2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题“为推进地下水超采综合治

理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛.为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽

取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表.

成绩力分频数频率

60<x<70150.1

70<x<80a0.2

80<x<9045h

90<x<10060C

(1)表中b=,c=；

(2)请补全频数分布直方图：

(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列

表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率.

【答案】(1)30,0.3,0.4

(2)见解析(3)选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为方

【分析】(1)由总人数减去已知的频数即可求出〃的值，再根据频率等于频数除以总数可得氏c的值;

(2)根据a的值补全直方图即可；

(3)根据题意，列表，再根据概率公式求解即可.

【小问1详解】

(2=150-15-45-60=30,

故答案为：30,0.3,0.4；

【小问2详解】

频数分布直方图如图所示:

用分别表示3名女生，用d表示I名男生，列表如下:

ABCd

ABACAdA

BABCBdB

CACBCdC

dAdBdCd

共有12种等可能结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种,

..P（选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生）

122

选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为g.

【点睛】本题考查了统计表和频数分布直方图，涉及求频率，画频数分布直方图，用列表法或画树状图求概率,

准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键.

21.如图，4c平分/BADCBLAB,CD±AD,垂足分别为8,D.

（1）求证：△ABC也△ADC；

（2）若AB=4,CD=3,求四边形A8CD的面积.

【答案】（1）见解析（2）12

【分析】（1）由角平分线的定义和垂直的定义求出NC48=NCA£>,ZB=N£>,结合已知条件，利用“AAS”即

可求证；

（2）由全等三角形的性质得A8=AT>=4,8C=C£>=3,根据三角形的面积公式求出S然。5ACD,再根据四

边形ABC。的面积=SABC+S.CD求解即可.

【小问1详解】

AC平分NBAD,CB±AB,CD±AD,

ZCAB=ZCAD,ZB=ZD,

AC=AC,

:^ABC^ADC（AASy

【小问2详解】

△ABC=AADC,AB=4,CD=3,

：.AB=AD=4,BC=CD=3,

ZB=Z£>=90°,

SABC=^-AB-BC=gx4x3=6,SACD=（.ADCD=gx4x3=6,

四边形ABC。的面积=SABC+SACD=6+6=12.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握它们是解题的关键.

22.电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要

双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题.其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗

的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同.问：应该如何分？请你根据

题意解答下列问题：

（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条

给财主.”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“J”，错误的打

“X”.

①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案.（）

②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案.（）

③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种.（）

（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的

数量多40条”，求每个群里狗的数量.

【答案】（1）7,x,x

（2）数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只

【分析】（1）根据题意，姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外，还可分成97,97,97,9等，这里的每群狗的数

量还需要是正整数，所以答案不是无数种，即可判断；

（2）设数量少的狗群的数量为x只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为（x+40）只，根据狗的总数为

300只，可列一元一次方程，求解即可.

【小问1详解】

根据题意，姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外，还可分成97,97,97,9等，

刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案，

•••这里的每群狗的数量还需要是正整数，

答案不是无数种，

.•.①“，②x,③X,

故答案为：q,x,x；

【小问2详解】

设数量少的狗群的数量为X只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为(X+40)只，由题意得：

x+3(x+40)=300,

解得x=45,

x+40=85(只)，

所以，数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只.

【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，整式加减的运用，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关

键.

23.如图，在ABCO中，对角线4C,8。相交于点O,AB=AD.

(1)求证：ACA.BD；

3

(2)若点E,尸分别为40,40的中点，连接EF,EF=~,AO=2,求8。的长及四边形ABC。的周长.

2

【答案】(1)见解析(2)BD=6,四边形A8CD的周长为4旧

【分析】(1)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；

(2)根据三角形中位线的性质可得QD=2EV=3,进而可得80的长，Rt二40D中，勾股定理求得4)，根

据菱形的性质即可求解.

【小问1详解】

证明：四边形ABCD是平行四边，AB^AD，

，四边形A8CO是菱形，

ACA.BD-,

【小问2详解】

解：点E,尸分别为A。，40的中点，

.•.斯是八40。的中位线，

:.EF=-OD,

2

OD=3,

四边形ABC。是菱形，

1.BD=2OD=6,

AC±BDf

在RtcAQD中，AO=2,00=3,

AD=y/AO2+Ob1=V22+32=V13,

•••菱形形ABCD的周长为4713.

【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，三角形中位线的性质，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关

键.

24.如图，四边形ABC。内接于0,对角线AC,8。相交于点E,点F在边AO上，连接EF.

(1)求证：AABEsADCE；

AEDEAFFE

(2)当DC=CB,NOEE=2NCOB时，WJ-----1--=

BECEABAD

—+-——!-=__________.（直接将结果填写在相应的横线上）

ABADAF

（3）①记四边形ABC。，△ABEaCUE的面积依次为S,S「S2,若满足岔=厩+病，试判断,

△ABEZXCDE的形状，并说明理由.

②当DC=CB，AB=m,AD=n,CO=p时，试用含相，〃，p的式子表示A£-CE.

【答案】（1）见解析（2）0,1,0

（3）①等腰三角形，理由见解析，②—一

p"+mn

【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等，即可得证;

AFDE

（2）由（1）的结论，根据相似三角形的性质可得AE-CE=BE-O£,即可得出---------=0,根据已知条件

BECE

EFDF

可得EF//AB,FA=FE，即可得出右£＞在＞S4D48根据相似三角形的性质可得一=一，根据恒等式变

ABAD

形，进而即可求解.

（3）①记_A0E,▲EBC的面积为S3，S4,则5=6+邑+邑+54,5,52=S3S4,根据已知条件可得邑=S4,

进而可得SABO=S仞c，得出CZ）〃AB,结合同弧所对的圆周角相等即可证明,钻瓦OCE是等腰三角形;

②证明,D4CS.E4B,DCEs.ACD,根据相似三角形的性质，得出

______CD22

EA•AC+CE•AC=AC?=m〃+22,则AC=^mn+p2,EC=--=1',,

ACyjmn+p~

mn

AE=AC-CE=计算AE-CE即可求解.

yjmn+p~

【小问1详解】

证明：AD^AD'

：.ZACD=ZABD,

即ZABE=NDCE,

又/DEC=ZAEB,

；^ABEs/\DCE；

【小问2详解】

△ABE^ADCE.

ABBEAE

"~DC~TE~~DE'

:.AECE=BEDE,

AEDEAECE-BEDE,、

BECEBECE

ZCDB+ZCBD=180°-ZBCD=ZDAB=2ZCDB,

NDFE=24CDB,

：.ZDFE=ZDAB,

:.EF//AB，

:.ZFEA=ZEAB，

DC=CB,

：.ZDAC=ZBAC

:.ZFAE=ZFEA，

..FA=FE，

EF//AB，

:二DFEs二DAB，

EFDF

,AB-AD)

AFFEEFAFDFAFAD,

~AB~AD~~AB~AD~ADAD~AD~，

AFAFAFEF,

ABAD~ABAD~

AFAF,

-----1------=1,

ABAD

--1---1--1------1-----c-0,

ABADAF

故答案为：0,1,0

【小问3详解】

①记右ADE,_EBC的面积为53,S4,

则S=S]+S2+S3+S4,

S,S4BE

51s2=S3s4①

4s=y[s^+y/s^>

即5=号+邑+2新瓦，

.1.S3+邑=2^y5]S2②

由①②可得s3+s4=2店店，

即(病-店『=o,

S3=S4,

•qaq=q+q

…°ABET-ADE-°ABE干0.EBC'

即SABD~SADC,

：.CD//AB,

：.ZACD=ABAC,NCDB=NDBA,

ZACD=ZABD,NCDB=4CAB,

：.AEDC=NECD=NEBA=ZEAB,

.•..ABE,_r>CE都为等腰三角形；

②•.DC=BC，

:.ZDAC^ZEAB,

ZDCA=ZEBA,

:.DAC^,EAB,

.ADAC

"~EA~~AB'

AB=in>AD=n,CD=p,

：.EA-AC=DAxAB=mn,

ZBDC=ZBAC=ZDAC,

：.ZCDE=ZCAD,

又乙ECD=4DCA,

DCEs.ACD,

CDCE

"~AC~~CD'

:.CECA=CD2=p1,

：.EA-AC+CE-AC=AC2=mn+p2,

则AC=xlmn+p2,EC==

7AC际丁7

AE=AC-CE=•[m〃_,,

ylmn+p2

：.AE-EC=FJ.

mn+p~

【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，对于相似恒等式的推导是解题的关键.

11M-N

25.若关于x的函数y,当f——+—时，函数y的最大值为M,最小值为N,令函数〃=------,我们不

222

妨把函数人称之为函数y的“共同体函数”.

⑴①若函数y=4()44x,当r=l时，求函数y的“共同体函数”〃的值；

②若函数丫=履+b(ZHO,人为常数)，求函数y的“共同体函数”/?的解析式；

(2)若函数y=2(%>1),求函数y的“共同体函数”/i的最大值；

X

(3)若函数y=-f+4x+A:,是否存在实数左，使得函数y的最大值等于函数y的''共同体函数”/?的最小

值.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

kk

【答案】(1)①2022；②氏〉0时，h=—,2<0时，h=——

22

⑵I

31

(3)，=2时，存在女=一—

8

【分析】(1)①根据新定义结合正比例函数的性质即可求解；

②根据新定义结合一次函数的性质即可求解；

(2)根据新定义结合反比例函数的性质列出6,根据二次函数的性质即可求解;

(3)根据新定义结合二次函数的性质即可求解.

【小问1详解】

1113

解：①当/'=1时，则14x41-1—