2019年湖南省益阳市中考数学试卷（解析版）

2019年湖南省益阳市中考数学试卷

一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.（4分）（2019•益阳）-6的倒数是（）

A.-1.B.LC.-6D.6

66

【考点】17：倒数.

【分析】乘积是1的两数互为倒数.

【解答】解：-6的倒数是-2.

6

故选：A.

【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键.

2.（4分）（2019•益阳）下列运算正确的是（）

A.\（.2）2=.B.（273）2=6C扬后^D.%、f=后

【考点】79：二次根式的混合运算.

【专题】514：二次根式；66：运算能力.

【分析】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可.

【解答】解：A：示=2,故本选项错误；

B：（2^3）2=12,故本选项错误；

C：血与遥不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；

D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法则，属于基础计算能力

的考查，本题较为简单.

3.（4分）（2019•益阳）下列几何体中,其侧面展开图为扇形的是（）

A.B.

c.D.

【考点】16：儿何体的展开图.

【专题】17：推理填空题.

【分析】根据特殊几何体的展开图，可得答案.

【解答】解：A、圆柱的侧面展开图可能是正方形，故4错误；

8、三棱柱的侧面展开图是矩形，故8错误；

C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确；

。、三棱锥的侧面展开图是三角形，故。错误.

故选：C.

【点评】本题考查了几何体的展开图，熟记特殊几何体的侧面展开图是解题关键.

4.（4分）（2019•益阳）解分式方程x+2=3时,去分母化为一元一次方程，正确

2x-ll-2x

的是（）

A.x+2=3B.x-2=3

C.x-2=3（2x-1）D.x+2=3⑵-1）

【考点】84：一元一次方程的定义；B3：解分式方程.

【专题】522：分式方程及应用.

【分析】最简公分母是2x-1,方程两边都乘以（2x-1）,把分式方程便可转化成一元一

次方程.

【解答】解：方程两边都乘以（2x-1）,得

x-2=3（2x-1）,

故选：C.

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转

化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

5.（4分）（2019•益阳）下列函数中，y总随尤的增大而减小的是（）

2

A.y=4xB.y=-4xC.y=x-4D.y=x

【考点】F5：一次函数的性质；F6：正比例函数的性质；H3：二次函数的性质.

【专题】533：一次函数及其应用；535：二次函数图象及其性质.

【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以得到y随x的增大如何变化，从而可以解

答本题.

【解答】解：y=4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，

），=-4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，

），=x-4中），随x的增大而增大，故选项C不符题意，

y=f中，当x>0时，y随x的增大而增大，当xVO时，y随x的增大而减小，故选项。

不符合题意，

故选：B.

【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的

关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答.

6.（4分）（2019•益阳）已知一组数据5,8,8,9,10,以下说法错误的是（）

A.平均数是8B.众数是8C.中位数是8D.方差是8

【考点】WI：算术平均数；W4：中位数；W5：众数；W7：方差.

【专题】542：统计的应用.

【分析】分别计算平均数，众数，中位数，方差后判断.

【解答】解：由平均数的公式得平均数=（5+8+8+9+10）+5=8,

方差=」（5-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（10-8）2]=2.8,

5

将5个数按从小到大的顺序排列为：5,8,8,9,10,第3个数为8,即中位数为8,

5个数中8出现了两次，次数最多，即众数为8,

故选：D.

【点评】此题考查了学生对平均数，众数，中位数，方差的理解.只有熟练掌握它们的

定义，做题时才能运用自如.

7.（4分）（2019•益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM=MN=2,NB=1,以点A为

圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C,连接AC,

BC,则△ABC一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

【考点】KI：等腰三角形的判定.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】依据作图即可得到AC=AN=4,BC=BM=3,48=2+2+l=5,进而得到4C2+BC2

=A片，即可得出AABC是直角三角形.

【解答】解：如图所示，AC=AN=4,BC=BM=3,A8=2+2+l=5,

：.AC1+BC2=AB2,

.♦.△ABC是直角三角形，且NACB=90°,

故选：B.

【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a,b,c满足/+/

=c、2,那么这个三角形就是直角三角形.

8.（4分）（2019•益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活

动中对此开展测量活动.如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为

a,大桥主架的顶端。的仰角为0,已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a,则此时大

桥主架顶端离水面的高8为（）

C.«tana+atanpD.——-——+——-——

tanCLtanP

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】在RtZVlB。和RtZ\A8C中，由三角函数得出8C=atana,8O=atan0,得出CO

=BC+BD=tztana+<7tanp即可.

【解答】解：在和RtZ\A8C中，AB=mtana=K_,tan0=理，

ABAB

:・BC=tztana，BD=atan0,

CD=BC+BD=atana+atanp；

故选：C.

【点评】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题；由三角函数得出和是解题的

关键.

9.（4分）（2019•益阳）如图，PA,P8为圆。的切线，切点分别为A、B,P。交AB于点

C,PO的延长线交圆。于点。，下列结论不一定成立的是（）

A.PA^PBB.NBPD=/APDC.ABVPDD.45平分尸。

【考点】MC：切线的性质.

【专题】55A：与圆有关的位置关系.

【分析】先根据切线长定理得到%=尸8,NAPD=NBPD；再根据等腰三角形的性质得

OPA.AB,根据菱形的性质，只有当AO〃PB,时，AB平分PC,由此可判断。

不一定成立.

【解答】解：•.•必，PB是。。的切线，

：.PA=PB,所以A成立；

NBPD=NAPD,所以B成立；

：.AB1PD,所以C成立；

,：PA,PB是OO的切线，

：.AB±PD,且AC=BC,

只有当AQ〃P8,BO〃必时，A8平分PD,所以。不一定成立.

故选：D.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了切线长定

理、垂径定理和等腰三角形的性质.

10.（4分）（2019•益阳）已知二次函数y=a?+^+c的图象如图所示，下列结论：①呢<0,

@b-2a<0f③-4〃c<0,@a-b+c<0,正确的是（）

y

/\o\x

A.①②B.①④c.②③D.②④

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【专题】535：二次函数图象及其性侦.

【分析】由抛物线的开口方向判断。与。的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。的

关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，能得到：«<0,c>0,

.'.ac<0,故①正确；

②...对称轴xV-1,

--L<-1,a〈0,

2a

：.b<2a,

:.b-2aVO,故②正确.

③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知/-4碇>0,故③错误.

④当x=-l时y>0,.,.a-h+c>0,故④错误；

故选：A.

【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范

围求2“与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.

二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的

横线上）

11.（4分）（2019•益阳）国家发改委发布信息，到2019年12月底，高速公路电子不停车

快速收费（ETC）用户数量将突破1.8亿，将180000000科学记数法表示为1.8X1（/.

【考点】H：科学记数法一表示较大的数.

【专题】511：实数.

【分析】科学记数法的表示形式为“X10"的形式，其中lW|a|<10,〃为整数.确定〃

的值时，要看把原数变成“时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值大于10时，”是正数；当原数的绝对值小于1时，〃是负数.

【解答】解：将180000000科学记数法表示为1.8XI（A

故答案为：1.8X1（）8.

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10”的形式，

其中lW|a|<10,"为整数，表示时关键要正确确定。的值以及"的值.

12.（4分）（2019•益阳）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°,则该多边形的边数

是5.

【考点】L3：多边形内角与外角.

【专题】11：计算题；555：多边形与平行四边形.

【分析】本题需先根据已知条件以及多边形的外角和是360°,解出内角和的度数，再根

据内角和度数的计算公式即可求出边数.

【解答】解：•••多边形的内角和与外角和的总和为900。，多边形的外角和是360°,

多边形的内角和是900-360=540°,

•••多边形的边数是:540°4-180°+2=3+2=5.

故答案为：5.

【点评】本题主要考查了多边形内角与外角，在解题时要根据外角和的度数以及内角和

度数的计算公式解出本题即可.

Y—1Q

13.（4分）（2019•益阳）不等式组1的解集为x<-3.

：x>3

【考点】CB：解一元一次不等式组.

【专题】524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组

的解集.

【解答】解：，一

-x>3②

解①得：x<l,

解②得：-3,

则不等式组的解集是：x<-3.

故答案为：x<-3.

【点评】本题主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求

不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）.

14.（4分）（2019•益阳）如图，直线AB〃C。，OA1OB,若Nl=142°,则N2=52度.

【考点】J3：垂线；JA：平行线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】根据平行线的性质解答即可.

【解答】解：

：.ZOCD=Z2,

'JOALOB,

；./0=90°,

：N1=/OCD+NO=142°,

.*.Z2=ZI-ZG>=142°-90°=52°,

故答案为：52.

【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答.

15.（4分）（2019•益阳）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，aABC的顶

点都在格点上，将AABC绕点。按顺时针方向旋转得到△ABC,使各顶点仍在格点上,

则其旋转角的度数是90°.

【考点】R2：旋转的性质.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】根据旋转角的概念找到/BOB'是旋转角，从图形中可求出其度数.

【解答】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知/BOB'是旋转

角，且/BOB'=90°,

故答案为90°.

【点评】本题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角.

16.（4分）（2019•益阳）小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起,

从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是上.

一6一

【考点】X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况

数即为所求的概率.

【解答】解：画树状图如图:

共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个,

.•.从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为L；

6

故答案为：1.

6

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复

不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两

步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

17.（4分）（2019•益阳）反比例函数y=K的图象上有一点P（2,〃），将点P向右平移1

x

个单位，再向下平移1个单位得到点。，若点。也在该函数的图象上，则人6.

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；Q3：坐标与图形变化-平移.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】根据平移的特性写出点。的坐标，由点P、Q均在反比例函数），=K的图象上，

X

即可得出上=2〃=3（n-1）,解得即可.

【解答】解：・・•点。的坐标为（2,〃），则点。的坐标为（3,〃-1）,

依题意得：k=2n=3（〃-1）,

解得：〃=3,

・・・Z=2X3=6,

故答案为：6.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义,

解题的关键：由P点坐标表示出。点坐标.

18.（4分）（2019•益阳）观察下列等式：

①3-2加=（a-1）2,

②5-2遥=（技亚2,

③7-2/=（V4-V3）2-

请你根据以上规律，写出第6个等式13-2/=（近-巫」.

【考点】37：规律型：数字的变化类；79：二次根式的混合运算.

【专题】514：二次根式.

【分析】第〃个等式左边的第1个数为2〃+1,根号下的数为〃利用完全平方公

式得到第〃个等式右边的式子为（而！-4）2（〃》1的整数）.

【解答】解：写出第6个等式为13-2J还=（我-返）2.

故答案为13-2A/42=（加）5

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行

二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵

活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（8分）（2019•益阳）计算：4sin60°+（-2019）°-（1-）-l+|-273.

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数累；6F：负整数指数基；T5：特殊角的三角函数

值.

【专题】11：计算题；511：实数.

【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数累、负整数指数基法则，以及绝对值的

代数意义计算即可求出值.

【解答】解：原式=4x11-2+2«=抬行-1.

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

22

20.（8分）（2019•益阳）化简：（2_里-4）2x

x2x

【考点】6C：分式的混合运算.

【专题】513：分式；66：运算能力.

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案.

2

［解答］解：原式=金-2）•------2x

x（x+2）（x-2）

_2x-4

x+2

【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于

基础题型.

21.（8分）（2019•益阳）已知，如图，4B=AE,AB//DE,NECB=70°,ZD=110°,

求证：

【考点】KB：全等三角形的判定.

【专题】553：图形的全等；67：推理能力.

【分析】由NECB=70°得NACB=110°,再由A8〃DE,证得再结合已

知条件AB=AE,可利用AAS证得△ABC丝△£!£>.

【解答】证明：由ZEC8=70°得NACB=110°

：.ZACB=ZD

'JAB//DE

.".ZCAB^ZE

.•.在△ABC和△"£）中

"ZACB=ZD

-ZCAB=ZE

,AB=AE

...△ABCdEAO（AAS）.

【点评】本题是全等三角形证明的基础题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证

出来，再把条件用大括号列出来，根据等三角形证明的方法判定即可.

22.（10分）（2019•益阳）某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数（含驾

驶员）进行了随机调查，根据每车乘坐人数分为5类，每车乘坐1人、2人、3人、4人、

5人分别记为A、B、C、D、E,由调查所得数据绘制了如图所示的不完整的统计图表.

类别频率

Am

B0.35

C0.20

Dn

E0.05

（1）求本次调查的小型汽车数量及机，”的值；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若某时段通过该路段的小型汽车数量为5000辆，请你估计其中每车只乘坐1人的

小型汽车数量.

【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图.

【专题】542：统计的应用.

【分析】（1）由C类别数量及其对应的频率可得总数量，再由频率=频数+总数量可得

n的值；

（2）用总数量乘以B、力对应的频率求得其人数，从而补全图形；

（3）利用样本估计总体思想求解可得.

【解答】解：（1）本次调查的小型汽车数量为32+0.2=160（辆），

机=48+160=0.3,n=l-（0.3+0.35+0.20+0.05）=0.1；

（2）8类小汽车的数量为160X0.35=56,。类小汽车的数量为0.1X160=16,

补全图形如下：

频额车辆数

（3）估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量为5000X0.3=1500（辆）.

【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少

画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出

数据的大小，便于比较.也考查了用样本估计总体和频率分布表.

23.（10分）（2019•益阳）如图，在Rt^ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆

O交AC于点M延长MN至。，使NC=MN,连接A£>、CD,C。交圆。于点E.

（1）判断四边形的形状，并说明理由；

（2）求证：ND=NE；

【专题】15：综合题；559：圆的有关概念及性质.

【分析】（1）证明四边形的对角线互相平分，且/CNM=90°,可得四边形AMCD

为菱形；

（2）可证得/CMN=NDEN,由CD=CM可证出NC£>M=/CMN,则

结论得证；

（3）证出△MDCS/^EDN,由比例线段可求出NZ）长，再求MN的长，则BC可求出.

【解答】（1）解：四边形AMCD是菱形，理由如下：

"?M是RtAABC中AB的中点，

CM=AM,

为。。的直径,

AZCNM=90°,

：.MD±AC,

：.AN=CN,

■:ND=MN,

...四边形4MC。是菱形.

（2）•..四边形CENM为。。的内接四边形，

；.NCEN+NCMN=180°,

:NCEN+NDEN=180",

NCMN=ADEN,

•.•四边形AMCQ是菱形，

：.CD=CM,

：.NCDM=NCMN,

：.NDEN=NCDM,

:.ND=NE.

（3）,:NCMN=NDEN,NMDC=NEDN,

：.4MDCs丛EDN,

.MDJDC

•,福/，

设DN=x,则MQ=2x,由此得2x=5,

2x

解得：或x=-依（不合题意，舍去），

/.MN=A/5>

为△ABC的中位线，

:*BC=2MN,

:.BC=2近.

【点评】本题考查了圆综合知识，熟练运用圆周角定理、菱形的判定与性质、直角三角

形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

24.（10分）（2019•益阳）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙

虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式.某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻”

轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润=售价-成本）.由于开发成本

下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%,售价下降10%,出

售小龙虾每千克获得利润为30元.

（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；

（2）该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，

稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾•稻”轮作收入不少于8万元，则稻

谷的亩产量至少会达到多少千克？

【考点】9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不等式组的应用.

【专题】521：一次方程（组）及应用；524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，由题意列出方程

组，解方程组即可；

（2）设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意列出不等式，就不等式即可.

【解答】解：（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，

由题意得：卜*32,

l（l-10%）y-（l-25%）x=3C

解得:卜=8.

ly=40

答：去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元；

（2）设今年稻谷的亩产量为z千克，

由题意得：20X100X30+20X25z-20X60080000,

解得：z》64；

答：稻谷的亩产量至少会达到64千克.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出方

程组或不等式是解题的关键.

25.（12分）（2019•益阳）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于3、C

两点，与y轴交于点。，已知4（1,4）,B（3,0）.

（1）求抛物线对应的二次函数表达式；

（2）探究：如图1,连接OA,作DE〃OA交BA的延长线于点E,连接OE交AO于点

F,M是8E的中点，则是否将四边形08A0分成面积相等的两部分？请说明理由；

（3）应用：如图2,P（〃］，〃）是抛物线在第四象限的图象上的点，且-1,连接

PA.PC,在线段PC上确定一点使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标.

提示：若点月、B的坐标分别为（XI，力）、（X2,>2），则线段AB的中点坐标为（里士丝,

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】16：压轴题；31：数形结合；4A：面积法；64：几何直观.

【分析】（1）函数表达式为：y=a（x-1）2+4,将点B坐标的坐标代入上式，即可求解;

（2）利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；

（3）由（2）知：点N是尸。的中点，即可求解.

【解答】解：（1）函数表达式为：y=a（x-1）2+4,

将点8坐标的坐标代入上式得：0=〃（3-1）2+4,

解得：a=-1,

故抛物线的表达式为：y=-，+2x-3；

（2）OM将四边形。BA。分成面积相等的两部分，理由：

如图1,-JDE//AO,SMDA=SAOEA，

S^ODA+S^AOM-S/\OEA+S&AOM'即：S四边形0MAD=SAOBM，

,•S&OME­S^OBM，

:・S四边形OMAD=S^OBM;

（3）设点PCm,"）,n--ni2+2m+3,而m+n--1,

解得：扰=-1或4,故点尸（4,-5）；

如图2,故点。作QO〃AC交PC的延长线于点Q,

由（2）知：点N是PQ的中点，

将点C（-1,0）、P（4,-5）的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线PC的表达式为：y=-x-l…①，

同理直线AC的表达式为：y=2x+2,

直线OQ〃CA,且直线。。经过点。（0,3）,

同理可得直线。。的表达式为：y=2x+3…②，

联立①②并解得：x=-X即点。（-&,1）,

333

:点N是PQ的中点，

由中点公式得：点N（❷，-X）.

33

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中

（3）直接利用（2）的结论，即点N是P。的中点，是本题解题的突破点.

26.（12分）（2019•益阳）如图，在平面直角坐标系X。），中，矩形4BC。的边AB=4,BC

=6.若不改变矩形A8CO的形状和大小，当矩形顶点4在x轴的正半轴上左右移动时，

矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动.

（1）当NOAO=30°时，求点C的坐标；

（2）设的中点为连接。M、MC,当四边形OMC。的面积为骂时，求OA的长；

2

（3）当点A移动到某一位置时，点C到点。的距离有最大值，请直接写出最大值，并

求此时cos/OA。的值.

【专题】152：几何综合题；556：矩形菱形正方形.

【分析】（1）作CE_L），轴，先证NC£>E=/OA£>=30°得CE=¥D=2,。f=也口2-fE之

=2«,再由/OA£>=30°知。。=岂。=3,从而得出点C坐标；

2

（2）先求出S&DCM=6,结合S四边形OMCD="^■知S^ODM=—<SQOAD=9,设OA=x、

22

OD—y,据此知/+『=36,^-xy—9,得出，+/=2xy,即x=y,代入f+『=36求得x

的值，从而得出答案；

（3）由M为AO的中点，知0M=3,CM=5,由0CW0M+CM=8知当0、M、C三点

在同一直线时，0C有最大值8,连接0C,则此时0C与AO的交点为M,0NA.AD,证

△CM£）S/\OMN得生尸口^=UL据此求得MN=2,0N=L_,AN=AM-MN=—,

ONMNON555

再由8=后再赢及cosNOAO=也可得答案.

OA

【解答】解：（1）如图1,过点C作CELy轴于点E,

:矩形A8CD中，CDVAD,

：.ZCDE+ZADO=90°,

XVZOAD+ZADO=90a,

；.NCDE=NOAD=30°,

.•.在Rt^CEQ中，CE=LCD=2,DE=q口2空2=2炳,

在Rt/XOAO中，ZOAD=30°,

：.0D=1AD=3,

2

二点C的坐标为(2,3+2«)；

(2)为AD的中点,

=

DM3fS〉DCM=6,

乂T73r四边形OMC。———21，

2

,.•S&ODM——9，

2

:♦SFOAD=9,

设。A=x、OD=y,则/+『=36,Xry=9,

2

22：

Ax+y=2xy,即x=y9

将x=y代入，+J=36得/=18,

解得x=3加(负值舍去)，

・・・OA=3&；

(3)。。的最大值为8,

OM—3,CM=J0口2+d.2=5,

・・・0CWCM=8,

当0、M、C三点在同一直线时，。。有最大值8,

连接0C,则此时OC与AD的交点为M,过点。作0N_LAD垂足为N,

；NCDM=NONM=90°,NCMD=NOMN,

:ACMDSK)MN,

.CD=DM=CM即_£=2=§

**0NMNOM'、而而于

解得MN=2,ON=@,

55

：.AN=AM-MN=9,

5

22=

在Rt^OAN中，OA=VON+AN-^-

D

cosZOAD

OA5

【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三

角形的判定与性质等知识点.

考点卡片

1.倒数

(1)倒数：乘积是1的两数互为倒数.

一般地，a*—=1就说a的倒数是L.

aa

(2)方法指引：

①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”.正像减法转化为加法及相反数一

样，非常重要.倒数是伴随着除法运算而产生的.

②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同.

【规律方法】求相反数、倒数的方法

求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“-”即可

求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一

求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置

注意：0没有倒数.

2.科学记数法一表示较大的数

(1)科学记数法：把一个大于10的数记成“X10”的形式，其中。是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：“X10",其中

〃为正整数.】

(2)规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数

位数少1;按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数小

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用

此法表示，只是前面多一个负号.

3.实数的运算

(1)实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

(2)在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

I.运算法则：乘方和开方运算、塞的运算、指数(特别是负整数指数，0指数)运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

4.规律型：数字的变化类

探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要

求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律.

(1)探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法.

(2)利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x,再利用它们

之间的关系，设出其他未知数，然后列方程.

5.分式的混合运算

(1)分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除,

然后加减，有括号的先算括号里面的.

(2)最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.

(3)分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运

算律进行灵活运算.

【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题

1.注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面

的.

2.注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式.分子、分母中有公因式的要进行约

分化为最简分式或整式.

3.注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特

点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程.

6.零指数募

零指数幕：a°=lQWO)

由1,am^am=am-m=^可推出a°=I（。#0）

注意：00#l.

7.负整数指数幕

p

负整数指数累：a^\aP（aWO,p为正整数）

注意：①a¥O；

②计算负整数指数基时，一定要根据负整数指数基的意义计算，避免出现（-3）-2=（-

3）X（-2）的错误.

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序.

8.二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用.学习二次

根式的混合运算应注意以下几点：

①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面

的.

②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多

项式

（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式.

（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当

的解题途径，往往能事半功倍.

9.一元一次方程的定义

（1）一元一次方程的定义

只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1,这样的方程叫一元一次方程.

通常形式是办+6=0（小6为常数，且aWO）.一元一次方程属于整式方程，即方程两边都

是整式.一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0.我

们将ar+b=O（其中x是未知数，心。是己知数，并且叫一元一次方程的标准形式.这

里。是未知数的系数，〃是常数，x的次数必须是1.

（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）

这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面.求方程中字母系

数的值一般采用把方程的解代入计算的方法.

10.二元一次方程组的应用

(一)、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤:

(1)审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

(2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

(3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

(4)求解.

(5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

(二)、设元的方法：直接设元与间接设元.

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎

样设元，设几个未知数，就要列几个方程.

11.解分式方程

(1)解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

(2)解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如

下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式

方程的解.

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程时，一定要检验.

12.解一元一次不等式组

(1)一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组

成的不等式组的解集.

(2)解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组.

(3)一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分.

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

13.一元一次不等式组的应用

对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解.

一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：

(1)分析题意，找出不等关系；

(2)设未知数，列出不等式组；

(3)解不等式组；

(4)从不等式组解集中找出符合题意的答案；

(5)作答.

14.一次函数的性质

一次函数的性质：

k>0,y随x的增大而增大，函数从左到右上升：k<0,y随x的增大而减小，函数从左到

右下降.

由于与y轴交于(0,b),当方>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交

于正半轴；当匕V0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴.

15.正比例函数的性质

正比例函数的性质.

16.反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数(%为常数，ZW0)的图象是双曲线，

①图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值即孙=%

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在y—k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形

的面积是定值的.

17.二次函数的性质

2

二次函数(aWO)的顶点坐标是(-且，4ac-b),对称轴直线冗=-工，

2a4a2a

二次函数(々NO)的图象具有如下性质：

①当。>0时，抛物线(〃W0)的开口向上，xV-足耳，y随x的增大而减小；

2a

2

X>-至时，y随X的增大而增大；x=-上时，y取得最小值4ac-b,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最低点.

②当“V0时，抛物线y=o?+法+c(“WO)的开口向下，时，y随x的增大而增大;

2a

2

x>--L时，y随X的增大而减小；x=-上对，y取得最大值全0_,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最高点.

③抛物线y=or2+bx+c(aW0)的图象可由抛物线丫=〃/的图象向右或向左平移।一旦|个单

2a

位，再向上或向下平移个单位得到的.

4a

18.二次函数图象与系数的关系

二次函数(a#o)

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.

当«>0时，抛物线向上开口；当«<0时，抛物线向下开口；间还可以决定开口大小，⑷

越大开口就越小.

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.

当a与b同号时(即曲>0),对称轴在y轴左；当a与b异号时(即而<0),对称轴在y

轴右.(简称：左同右异)

③.常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与)，轴交于(0,c).

④抛物线与x轴交点个数.

△="-4碇>0时，抛物线与尤轴有2个交点；△=/-4狼=0时，抛物线与x轴有1个交

点；△="-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

19.二次函数综合题

(1)二次函