2018年高考数学 08 数列及其应用教学案 文

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专题08数列及其应用

【2018年高考考纲解读】

高考对本内容的考查主要有：

⑴数列的概念是A级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前〃项和等概念，一般不会单独考查；

(2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是C级，熟练掌握等差数列、等比数列的概念、

通项公式、前〃项求和公式、性质等知识，理解其推导过程，并且能够灵活应用.

(4)通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题.

(5)求数列的通项公式及其前〃项和的基本的几种方法.

⑹数列与函数、不等式的综合问题.

试题类型可能是填空题，以考查单一性知识为主，同时在解答题中经常与不等式综合考查，构成压轴题.

【重点、难点剖析】

1.等差、等比数列的通项公式

等差数列｛&｝的通项公式为2=&+(〃-1)+5—而出等比数列｛&｝的通项公式为a产&『'=码『：

2.等差、等比数列的前〃项和

(1)等差数列的前〃项和为

nai+annn-

Sn=2=nai+d.

特别地，当"0时，S是关于〃的二次函数，且常数项为0,即可设s=a//+珈(a,6为常数).

⑵等比数列的前〃项和

nai,q=1,

特别地，若会1,设a=j」，

则Sn—a—aq.

3.等差数列、等比数列常用性质

(1)若序号R+〃=0+<7，在等差数列中，则有为+@"=@^+@0；特别的，若序号卬+〃=20，贝!I

在等比数列中，则有aja0=a；>•a"特别的，若序号0+〃=2p,则a,・a产或

⑵在等差数列｛aj中，Sk,…成等差数列，其公差为Ad；其中S为前A项的和，且S#0(AGN*)；

在等比数列｛aj中，当—1或A不为偶数时段&-Sk,治一忌，…成等比数列，其中S为前〃项的和

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(〃GN*).

4.数列求和的方法归纳

(1)转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为〃个等差数列或等比数列，然后应用公式求和；

(2)错位相减法：适用于4｝的前〃项和，其中｛a｝是等差数列，｛4｝是等比数列；

(3)裂项法：求｛aj的前〃项和时，若能将a,拆分为4=4—4+1,则ai+a2H----a„—bi-bn+i-,

(4)倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出，那么这

样的数列求和可采用此法.其主要用于求组合数列的和.这里易忽视因式为零的情况；

(5)试值猜想法：通过对S,5,£,…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出S„,然后用数学归纳法给

出证明.易错点：对于S不加证明；

(6)并项求和法：先将某些项放在一起先求和，然后再求S.例如对于数列｛aj：ai—1,a2—3,a3—2,a„+2

—a„+i—a„,可证其满足a〃+6=a”在求和时，依次6项求和，再求S.

5.数列的应用题

(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高

阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、

数学推理予以解决.

(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、

效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型｛aj,利用该数列的通项公式、递推公式或前〃项和公

式.

【题型示例】

题型1、等差、等比数列中基本量的计算

【例1】(2017•高考全国卷I)记S为等差数列｛aj的前〃项和.若34+^5=24,&=48,则回｝的公差为()

A.1B.2

C.4D.8

解析：通解：选C设｛〃｝的公差为d,则

G+3d4-ai+4d=24,

解得44.故选C.

优解：由&=48得。+蹲=16,

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(&+全)­(a+㈤—8,

d=4,故选C.

【2017江苏，9］等比数列｛4｝的各项均为实数,其前〃项的和为S,，已知邑=：$6=：,则%=▲

【答案】32

【解析】当4=1时，显然不符合题意；

4(15_7

1-q4

当qwl时,解得则为=—x27=32.

-力气4

q(l_63q=2

1-q4

【变式探究】【2016年高考北京文数】已知｛〃〃｝为等差数列，S〃为其前〃项和，若％=6,4+。5=0，

贝电二..

【答案】6

【解析】•.•｛〃〃｝是等差数列，1%+%=2%=0，%=0，%i=3d=-6,d=-2,

「・06=6q+15d=6x6+15x(-2)=6,故填：6.【举一反三】(2015•江苏，H)设数列｛&｝满足4=1,

且“1一为=刀+1(T?£N*),则数歹前10项的和为.

解析'.'ai=l,4+1—0»=支+1,.•・02—。1=2,0—02=3,…,&一&-i=〃＞将以上”一1个式子相加得

5G=2+3+...+后------2-----------＞即为=-2-，令医=&,故吃5+1)=*-示」＞

故510=加+方+…+版=，1-/+/-；+...+=一犯二笔

套案—

口木11

【变式探究】(1)(2014•全国大纲卷)等比数列｛a｝中，&=2,a=5,则数列｛Iga｝的前8项和等于()

A.6B.5C.4D.3

(2)(2014・北京)若等差数列｛劣｝满足功+4+国＞0,&+加〈0,则当刀=时，｛劣｝的前刀项和最大.

【命题意图】(1)本题主要考查等比数列的性质、对数的运算.

⑵本题主要考查等差数列的性质，意在考查考生灵活应用等差数列的性质解决问题的能力.

【答案】(DC(2)8

【解析】(1)1gai+lg/T----big备=lg(ai•及....备)=析(a•a)4=lg(2X5)4=+故选C.

(2)•.•数列｛a｝是等差数列，且&+戊+乃9=3苏＞0,・••金＞0.又功+&0=金+d9＜0,・••石K0,・••当刀=8时，其

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前〃项和最大.

【变式探究】设数列｛aj是公差不为0的等差数列，S为其前〃项的和，满足：/+谣=4+屋，S=7.

(1)求数列｛aj的通项公式及前〃项的和S；

⑵设数歹U伉｝满足4=2a“，其前〃项的和为北，当〃为何值时，有〃>512.

【解析】(I)由｛©｝是公差不为0的等差数列,

出+出二威+出,

可设匿=。1+8-1)4,则由

S=7,

Qi+d2+ai+M2=a+3d2+ai+4d2,

得7x6

7ax+^-d=l,

t&i+d3+54d=l0,,由一若。解,0得，a1=-5,

整理，得

,4:2,

所以匿=G+(〃—l)d=2n―7>

Sn.=Ml+g_~声—6M.

(2)由(1)得如=方一7,所以既=2分=25一‘，

k22a-11

又豆^二声寸,应2)，加二%】二万，

所以｛a｝是首项为去,公比为4的等比数列，

/1一4"1

所以它的前八项和北=一厂q—二孜方于是由4>512,

得4>3x4?+l,所以应8时，有L>512.

【规律方法】求等差、等比数列通项与前n项和，除直接代入公式外，就是用基本量法，要注意对通项公

式与前〃项和公式的选择.

【变式探究】已知数列｛&｝的前〃项和为s,a=3,｛行&｝是公比为2的等比数列.

(1)证明：｛aj是等比数列，并求其通项；

⑵设数列｛4｝满足4=log3a〃，其前〃项和为北，当〃为何值时，有7LW2012?

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9=2(3

【解析】⑴证明由题意，得

即1+S=4(1+S—1),同理，得l+S+i=4(1+S).

两式相减，得S+i—S=4(S—ST),

即劣+1=44，&^=4(〃22).

国?

又&=3,所以｛a〃｝是首项为3,公比为4的等比数列，所以为=3•4〃T=3•22T.

⑵解由⑴得&=3•2-所以/=logz(3•2，T)

=log23+2(n—1),所以｛4｝是首项为logz3,公差为2的等差数列，前〃项和为7；=〃log23+〃(〃-1),于

是由A2<Hog23+A(〃-1)W2012,得n<W012,又〃eN*,所以1W〃W44,即〃=1,2,3,…，44时，

7LW2012.

题型2、与等差、等比数列有关的最值问题

【例2X2016高考新课标1卷】设等比数列｛q｝满足ai+a=10,a2+a^5,则&&…a的最大值为.

【答案】64

%+为=1。，q(1+才)=104=8

【解析】设等比数列｛4｝的公比为式470),由＜,得《，解得《1.所以

a,+44~5aU(l+q2)=5q=-

2

-I八_12+_7

日的。,=.产+"7=8'><(—)丁=二”一,于是当〃=3或〃=4时，%%。“取得最大值

26=64.

【举一反三】(2015•四川，16)设数列｛&＞｝(〃=1,2,3,…)的前〃项和S满足S=2a〃-ai,且a”a?+l,

as成等差数列.

(1)求数列｛&｝的通项公式；

(2)记数列的前〃项和为T*,求使得|北一11＜鼻；成立的口的最小值・

Ian\1UUU

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解（1）由已知品二为一。1,有勾=的一5”一1=2&-2&-1（应2）,

即Qi=2^1-1（定2）,

从而02=2^1,03—2^2=4<zi,

又因为G,0+1,0J成等差数列,即3+3=2（02+1）,

所以a1+仞=2（左1+1）,解得3=2,

所以，数列｛曲｝是苜项为2,公比为2的等比数列，故加=2”.

⑵由⑴得工=尹

所以----1

由匕而，得一提—1<r篇，即2”>1000,

因为29=512<1000<1024=21",

所以〃210,

于是，使I北一11<丁器成立的〃的最小值为10.

【规律方法】上述两种求4最值的方法都是运用函数思想.法一是直接研究子数列｛a?.｝.法二是研究

y

（19〃+2—2m）的单调性求其最值.

【变式探究】已知等差数列｛a〃｝的首项为W0,公差"0,由｛aj的部分项组成的数列aSa&,…，ab„,-

为等比数列，其中方=1,bi=2,Z%=6.

⑴求数歹U｛4｝的通项公式4;

⑵若数歹U｛4｝的前〃项和为S，求S的值；

（3）求4=S—Z平的最小值.

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【解析】(1)由出二。1%,

得加1+④2=0I(QI+5d),〃—3au40.

又有0,所以rf=3ai,所以g=4,所以8"二a「4"L

又oj?i=fli+⑸—l)4ai+(bn—l)3<atb

所以。1-4x1=.1+(氏一l)3ai.

因为G和，所以3@—1)+1=4厂1,故儿=早+*

(2)&=匕1+方+为+…+为

=即引俘+D+…+(竽+D

1

二?1+4+…+4旷】)+竽

11-4\2n

31-43

=/|4丁"—1+,2c”)

1(4"—1)

(3)由5；=-|3-+2n\,

得4=S一"红=〈(4"—2006/7-1),若存在AGN*,

yy

使得4W4+1,且4W4T,则4的值最小.

~11

-4”—2006/7-1Wg[4"+i—2006n+1-1],

于是由11

-4〃-2006/7-1WK[4"T—2006n~l-1],

,yy

/口2006_._4X2006与

解得---(z/?eN*),

oo

口/\2983

取〃=5,{An)min=g-

题型三、数列求和问题

【例3X2017山东，文19](本小题满分12分)已知｛a｝是各项均为正数的等比数歹山且6+g=6,。避2=%•

(I)求数列｛a｝通项公式;

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b

(II)｛4｝为各项非零的等差数列,其前n项和S,已知S2“M=bnbn+i,求数列〈字的前〃项和却

【答案】(1)%=2".(II)(=5-哼^

【解析】

(I)设｛4｝的公比为4，由题意知：为(l+g)=6：q'=为才.

又4>0,

解得：q=2,4=2,

所以q=2。

,n)由题意知：[=空等皿=g+1M,

又%+1=”心1也+1H

所以a=2力+1,

2〃+1

2"

因此

3572n—l2zz+l

Tn=Cl+C2+H---:—I----

+『+于+”2"T2〃

又;小捻+《+》2n—l2n+l

H-----1---：-

r\nr\n+\

3fl11A2/1+1

两式相减得一＜=一+|—+-r++—7----=

22(2222"TJ2n+1

所以看=5-等•

【举一反三】【2017山东，文19](本小题满分12分)已知｛aj是各项均为正数的等比数列，且

+Cl[=6,~。3

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⑴求数列｛aj通项公式;

b

(II)｛4｝为各项非零的等差数列,其前n项和S,已知=bnbn+l,求数列上的前〃项和却

【答案】(1)%=2〃.(II)(=5-等•

【解析】

(I)设｛〃｝的公比为4,由题意知：巧(1+4)=6臼1=巧才.

又4>0,

解得：q=2,4=2,

所以%=2T

(ID由题意知：L=(2"+l)g+耳+i)=(2科+1)%］，

又S勿+i=也+i工0,

所以&=2〃+1,

2n+l

2"

因此

f3572«-12〃+1

Tn=Ci+C2++Cn=-+^2+^3++^-1+

2n—l2n+l

H-------------1----r-\-n--+\---

两皿7式3相、〜口减1得,/=3万+(匕1+中1++才1)〉才2M+1

所以(=5—若

【变式探究】【2017北京，文15】已知等差数列｛%｝和等比数列｛%｝满足ai=bi=l,a2+a4=10,feZ>4=a5.

(I)求｛&｝的通项公式;

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(II)求和：4+&+&++b2nT.

3"—1

【答案】(I)a“=2n—l；(II)

2

【解析】

(I)设等差数列｛分｝的公差为d.

因为02+(24=10,所以2<217410-

解得小z

所以On=2?I-l.

(ID设等比数列的公比为q-

因为打匕尸05,所以匕34=9-

解得^=3.

加・

所以与2.n

3n

1

bt+b,b,+,•,+b,t=1+3+3’+…+3”=一

从而3$…：

【变式探究】【2016高考江苏卷】(本小题满分16分)

记。=｛1,2=;100｝.对数列｛%｝(盛")和。的子集「若7=0,定义»=0；若丁=｛A4,…，*，

定义S?=%+%+…+4.例如：T=｛1,3,66｝时，S?=。1+%+。66-现设｛q｝("?7*)是公比为3的等

比数列，且当丁=｛2,4｝时，Sr=30.

(1)求数列｛。“｝的通项公式;

(2)对任意正整数左(1W左W100),若丁之｛1,2,…,k｝,求证：ST<ak+i-

(3)设CqU,£>qCAS。2S0,求证：Sc+Sc口N2$D.

【答案】(1)4=33(2)详见解析(3)详见解析

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【解析】

(1)由已知得4=%—3注1,m£1<.

于是当了=｛2,4｝时，S,=%+4=%+27%=30al.

又邑=30,故3%=30,即q=1.

所以数列｛4｝的通项公式为4=3*1=weN*.

<2）因为TU0.Z…工｝,4=3*-1>。耳61<,

所以SrVq+叼H---1■/=1+3d-----F3*T=—（3*—1）<3*.

2

因此，Sr<ai+1.

（3）下面分三种情况证明.

①若。是C的子集，则

Sc+ScD-SC+SD>SD+SD-2SD.

②若。是。的子集，则Sc+ScD^SC+SC^2SC>2SD.

③若。不是。的子集，且C不是。的子集.

令E=C6正,F=D则EW0,F^0,EF=0.

于是Sc-SE+ScD,SD-SF+ScD,进而由Sc2S。，得SE25尸.

设左是E中的最大数，/为歹中的最大数，则左左，/.

由（2）知，SE<ak+i,于是3"=勾<5尸<SE<a—=3",所以/—I（左，即/Wk.

又k手I,故/WZ—1,

-1a_1q-1

从而5尸《囚+。2++«;=1+3++3'T=三一Vj—<吃一，

i^SE>2SF+l,所以Sc—Sc。22（5厂Sc0）+l,

即Sc+ScD-2so+1.

综合①②③得，

Sc+ScD>2SD.

3.n3.n—l3

【举一反三】已知数列｛a｝满足为=1,52=-L当〃23,〃£N*时,

77—177—277—77—

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⑴求数列｛aj的通项公式；

(2)是否存在AdN*,使得〃24时，不等式S+(24—l)a〃+8124对任意实数4G[0,1]恒成立？若存在,

求出"的最小值；若不存在，请说明理由.

【解析】(1);当心时，於N*时,

A£-1=3_/11]

n~1«—2n—1n~2Vi—2n—

，售=等/..当的寸，｛尚是常数列.

匿+3_s+3__.

，论2时,不了一有_2,®_2汽一）.

1,n=l,

2n-S,ri>2.

1,n=l,

⑵&=、

吩一4〃+4,ri>2.

当«=1时，不等式Si+(2x.—1)0«+8^4可化为乏歹不满足条件.

当应