2020-2021学年上海外国语大学某中学九年级上学期十月月考数学试卷（含详解）

上海外国语大学附属中学2020-2021学年九年级上学期十月月考数学

试卷

一、填空(2x21=42)

1.AABC边长分别为。，"。，•内6的边长分别^^北,〃，则A4BC与AA4G(选填

“一定”“不一定”“一定不”)相似

「二„a+b-ca-b+c-a+b+c、，3+力)S+c)(c+a)人一0一

2.已知abcWO,且------=-■—=----------,则^——-——-——的值是_____或_____.

cbaabc

3.已知线段AB的长度是。、且满足点P是线段A3上一点，AP2=AB-PB'则8P=

4.在.ADE中，点5和点C分别在A。、AE上，且4?=28D，AC=2CE,则6C:OE=.

5.如图，在梯形A8CO中，AD//BC.AD=3,BC=5,E,E是两腰上点，且

EFHAD,AE:EB-1:2,则EF=

6.如图，在AABC中，。是6c边上的一点，8。：。。=4:1,6为4。的中点，联结8G并延长交AC

于点E，则EG:G3=

7.已知直角三角形斜边上的高为12,且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则斜边上的中线长是

8.一个斜坡长70米，高5米，把重物从坡底沿着斜坡推进20米后停下，此时物体的高度是米

Q.如图，在AABC中，AC,3c边上的高AO和中线AE及NBAC的平分线AE将NBAC四等

分，ZEAD二

A

ro.如图，已知在正方形ABC。中，〃为AO中点，以〃为顶点作ZBMN=NMBC,MN交CD于点

11.如图，已知在A43C中，NC43=60",P为AA8C内一点且

ZAPB=ZAPC=120°,AP=3,BP=2,则CP=

12.如图，P是A48C内一点，过点P分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为

S]=3,S2=12,S3=27,则Sg8c=

B

13.如图，G是AABC的重心，延长BG交AC于点。，延长CG交A8于点E,RQ分别是ABCE和

&3CZ）的重心，则丝=

BC

14.直角梯形ABC。中，BC//AD,ZBAD=90°,ACYBD,已知"1=%,则生=

ADBD

15.一张等腰三角形纸片，底边长为15cm,底边上的高长22.5cm.现沿底边依次从下往上数剪宽度均

为文电的矩形纸条，如图所示，已知剪得纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第张

16.如图所示，在△ABC中，AB=Scm,BC—16tro.点P从点4出发沿A8向点B以2cm/s的速度运

动，点Q从点2出发沿8c向点C以4cm/s的速度运动.如果点尸，。分别从点A,8同时出发，则

秒钟后△PBQ与aABC相似？

17.已知在RrzXABC中，/。=90°,3。=3。九4。=4。，〃，点用,^^分别在边4。、上，将A4BC

沿直线MN对折后，点A正好落在对边8。上，且折痕MN截AABC所成的小三角形（即对折后的重叠

部分）与AABC相似，则折折痕MN=cm

18.已知A（3,2）是平面直角坐标中的一点，点8是x轴负半轴上一动点，联结A3,并以A3为边在x

轴上方作矩形ABCD,且满足5C:48=1:2,设点。的横坐标是。，如果用含”的代数式表示。点的坐

标，那么。点的坐标是.

1Q.如图，四边形43。2。£）生,石五”6是三个正方形、Nl+N2+N3=

20.如图，E、/为AABC的8C边上的点、且BE:EF:FC=1:2:3,中线3。被AE、A/截得的三

线段为x,y,z,则无：y:z=

2L如图，在4LBC中，NACB内、外角平分线分别交54及其延长线于点。、E,BC=2.5AC,则

ABAB

--1--=

ADAE

二、选择题：（每小题3分，共计30分）

22.如图，已知在A4BC中，AC3c于点。，且具有下列条件之一，其中一定能够判定AA3C是直角

三角形共有（）

®ZB+ZDAC=90°②/B=/DAC

^CDAC

③一=④AB?=BD・BC

AD~AB

A.1个13.2个C.3个D4个

23.P是aABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC,如果截得的三角形与

△ABC相似，我们称这条直线为过点P的AABC的“相似线”.Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=30°,当点P

为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？（）

A.1条氏2条C.3条D.4条

24.如图，在矩形ABCO中，AB=2,3C=3,点分别在矩形ABCD各边上,

EF//AC//HG,EH//BD//FG,则四边形瓦6H周长是（）

A.V10B.10C.2V10D.2V13

25.如图，在aZVIBC内有边长分别为a,b,c的三个正方形.则a、仇c满足的关系式是（）

A.b=a+cB.b-acC.b^c^+c2D.b=2a=2c

2a如图，在梯形ABC。中，AB//CD,AD±AB,己知。。=4,4）=12,48=8,后是4。上的一个

动点，如果瓦C,B为顶点构成的三角形是直角三角形，则£>E长为（）

_4

①4；②6；③8；④一

3

4①②B.①③C①③④D.①②③

三、计算题

27.解方程J3x—2+Jx+3=3

X2-26X+18

2.8.------------1-----------

x+32-x~

2。解方程：_2正_4x+7=12x73

x2-5xy+6y2=0

x'+x+y—lly=2

四、解答题

31.已知：如图，中，点£＞、E分别在边A3、AC上，且。E//BC,3E与8交于点S,AS与

BC交于点M.求证：点河是线段3C的中点.

32.在AA3C中，4。8=90°,4。=8。,4/为8(3边上的中线，8，A”于点2C。的延长线交

AE

于点，求一的值

EB

M

D

33.已知，如图，己知△/3。与^ADE均为等腰三角形，BA=BC,DA=DE，如果点。在边8C

上，且N£DC=N84。，点。为AC与。石的交点；

(1)求证：△ABC^^ADE-.

(2)求证：DAOC=ODCE；

34.如图.已知在乙记。中.44。3=90°,48=5,8。=3,点0是边48上任意一点.连接。C,过点

C作CE_LCD,垂足为点C,连接。后，使得/£DC=NA,连接阳

(1)求证：ACBE=BCAD.

(2)设AD=x,四边形BDCE的面积为S,求S关于x的函数解析式及x的取值范围

(3)当求8的值•

上海外国语大学附属中学2020-2021学年九年级上学期十月月考数学

试卷

一、填空(2x21=42)

1.AABC的边长分别为。力,。,乙4/6的边长分别右,北,五，则A4BC与AA4G(选填

“一定”“不一定”“一定不”)相似

【1题答案】

【答案】不一定

【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可.

【详解】解：：A4BC的边长分别为仇的边长分别扬，正，

两个三角形对应边的比分别为：

abc

当a=b=c时，~r=~r=~rf这两个三角形相似，

7ayjb7c

abc

当aWb#c时，〒手f手〒，这两个三角形不相似，

yja7byjc

・・・A4BC与A44G不一定相似，

故答案为：不一定.

【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键.

,ca+b-ca-b+c-a+b+c…(Q+/?)(/?+C)(C+Q)山…口―

2.已知abcWO,且--------=---=-----------，则1——八，——的值是______或

cbaabc

【2题答案】

【答案】□.8□.-1

【分析】先根据已知条件，两两结合，利用比例性质可得两式乘积等于0,那么每一个式子都可能等0,从

而求出a、b、c的关系，然后分两种情况代入求值即可.

..a+b-ca—b+c

【详解】1,------=------

ch

.*.b(a+b-c)=c(a-b+c),

ab+b2-bc-ac+bc-c2=O,

(b-c)(a+b+c)=0,

b=c或a+b=-c,

同理：a=b或b+c=-a,

a=c或a+c=-b,

当b=c,a=b,a=c时，

mb2QX2QX2Q八

原式二------；-----二8；

a

当a+b=・c,b+c=-a,a+c=・b时,

原式也也=/.

abc

故答案为8或-1.

【点睛】本题利用了比例的基本性质、并化简成两式乘积等于0的形式，以及分两种情况代入求值.

3.已知线段A8的长度是。、且满足点P是线段上一点，AP2=AB*PB＞则8P=

【3题答案】

【答案】

2

【分析】设BP=x,则AP=a-x,根据AP2=AB・~B列出方程，然后解一元二次方程即可.

【详解】设BP=x,则AP=a-x

AP?=AB・PB

(a-x)-=a・x,HPx2-3ax+a2=0

解得：%F丁。(舍去)，々3a一非a

2

故答案为三2叵a.

2

【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，本题的关键是求解后一定要注意解得范围，排除错解.

4.在.ADE中，点5和点C分别在A。、AE上，且AB=28r＞，AC=2CE,则8C:D£=

【4题答案】

【答案】2:3

ARAr2

【分析】根据题意得到——二—=一，根据相似三角形的判定定理得到aABCsaADE,根据相似三角

ADAE3

形的性质定理得到答案.

【详解】解:如图，

VAB=2BD,AC=2CE,

.ABAC_2

"AD-'

VZA=ZA,

.".△ABC^AADE,

.BCABAC2

"~DE~^D~~AE~3

故答案为2：3.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

S.如图，在梯形ABCD中，AD//BC.AD=3,8C=5,E,E是两腰上的点，且

EF//AD,A£:=1:2，则所=

【5"题答案】

【答案】?

3

【分析】过点A作AG〃CD交EF于H,交BC于G,易证四边形AHFD、AGCD均为平行四边形，则有

FHAF1

CG=HF=AD=3,BG=2,再由平行线分线段成比例可得——=——=-,可求得EH,进而可求得EF的长.

BGAB3

【详解】解：过点A作AG〃CD交EF于H,交BC于G,

A

・「AD〃BC〃EF,

・・・四边形AHFD、AGCD均为平行四边形，

・・・CG=HF=AD=3,

.\BG=BC-CG=2,

・・・EF//AD,AE:EB=1:2,

..,-E-H---A--E=一I,

BGAB3

12

；.EH=-BG=—,

33

211

，EF=EH+HF=-+3o=—,

33

故答案为：—.

3

【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例，将梯形问题通过作辅助平行线转化为

三角形问题是解答的关键.

6.如图，在AABC中，。是边上的一点，8。：。。=4:1,6为4。的中点，联结BG并延长交AC

于点E，则EG:GB=

【6题答案】

【答案】1：9

【分析】过D做DM〃AC,得出△AEGg^DMG,进而得出EG=MG,再根据平行线分线段成比例定理即

可得出BG与EG关系，从而得出EG:G3=1:9.

【详解】过D做DM〃AC,

ZEAG=ZMDG,ZAEG=ZDMG

为AD的中点

，AG=DG

.二△AEG丝MG

EG=MG,

VBD:DC=4:1

.,.BM:EM=BD:DC=4:1

；.BM=4EM=8EG

BG=9EG

AEG:BG=1:9

故答案是1:9

【点睛】本题主要考察了全等三角形和平行线成比例定理等知识点，根据已知条件做出合适的辅助线是解

题关键.

7.已知直角三角形斜边上的高为12,且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则斜边上的中线长是

【7题答案】

【答案】76

【分析】设两段分别为CD=3x,AD=4x,根据AA3D凶。。列出方程，求得x然后根据直角三角形斜边

中线的性质即可求解.

【详解】由题意得下图：

A

ZABD+NCBD=90°,ZCBD+ZC=90°

ZABD=ZC

又•••ZADB=ZBDC=90°

AABDABCD

.ADBD

••茄一而

设两段分别为CD=3x,AD=4x

——=――>解得x=2j^或—(舍去)

123x

；•AC=7x=14百

...斜边中线的长为7G

故答案为7G.

【点睛】本题考查了一元二次方程方程的实际应用，直角三角形斜边中线的性质，三角形相似的判定和性

质，关键是要舍去一元二次方程的不合理的根.

8.一个斜坡长70米，高5米，把重物从坡底沿着斜坡推进2()米后停下，此时物体的高度是米

【8题答案】

【答案】y

【分析】设物体的高度为x米，根据题意可列式进行求解.

【详解】解：设物体的高度为x米，由题意得:

肌巴解得「普

5x7

故答案为—.

7

【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键.

Q.如图，在AABC中，AB>AC,BC边上的高A£>和中线AE及NBA。的平分线■将㈤。四等

分，ZEAD=

【9题答案】

【答案】45°

【分析】由题意可证得AADC四△ADF,则有AF=AC,FD=DC,再根据三角形内角平分线性质可证得

BFRFAFFF

一=—，一•=-一•，根据比例的合比性质可证得FC2=2EF2，进而有=6FD，AE=41AD，

FCEFADFD

由勾股定理可证得AD=DE,则4DAF为等腰直角三角形，即可求得/EDA的度数.

【详解】解：；AD_LBC,

ZADC=ZADF=90°,又NFAD=/CAD,AD=AD,

△ADC^AADF,

AF=AC,FD=DC,

NBAE=/FAE,

BEABAB

AF平分NBAC,

ABBF

~AC~~FC'

BFBE

~FC~~EF'

BF-FCBE-EF

FC—一—£F-'

BF=BE+EF,FC=CE-EF,BE=CE,

(BE+EF)-(CE-EF)CE-EF

FC-—EF-'

FC2EF

~EF~~FC'

FC2=2EF2，又FC=2FD,

EF2=2FD2<即EF=6FD

,/NEAF=NDAF,

.AEEFr-

..------=------=7Z,

ADFD

AE=y[iAD，

在RtZ\AFD中，=.2—92=仞2,

，DE=AD,

，△ADF是等腰直角三角形，

ZEAD=45°,

故答案为：45。.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角平分线性质、合比性质、勾股定理、等腰直角

三角形的判定与性质，属于三角形的综合题，熟练掌握三角形的相关知识，灵活运用三角形的内角平分线

性质和合并性质是解答的关键.

如图，已知在正方形A8CO中，〃为AD中点，以〃为顶点作=交C。于点

[1O题答案】

【答案】2

【分析】延长MN、BC相交于E,连接MC,易证△ABMGADCM,可得BM=CN,即NMBC=NMCB,再

根据已知和相似三角形的判定可证得△BMCS/\BEM,则有也=区，设正方形的边长为2a,易求得

BEBM

CE=4a,再证明△MDNs^ECN,则空=暨即可求解.

2CNCE

【详解】解：延长MN、BC相交于E,连接MC,

•••四边形ABCD是正方形，

，/A=/D=90。，AB=BC=CD=AD,AD〃BC,

；M为AD的中点，

；.AM=MD,

.,.△ABM^ADCM(SAS),

，BM=CM,

/MBC=NMCB,

VZBMN=ZMBC,NMCB=NE+NCME,ZBMN=ZBMC+ZCME,

.,.ZBMC=ZE,XZMBC=ZMBE,

BMC^ABEM,

.BMBC

设正方形的边长为2a,则AB=BC=2a,AM=DM=a,

由勾股定理得BM=y]AB2+AM2=亚a，

.y/5a_la

.•大后

解得：BE=-a，

2

1

:.CE=BE-BC=-a,

2

VAD/7BC,

・•・△MDN^AECN,

_D__N_—_M__D_—__a__—2个

；•CN-CE-1一，

—a

故答案为：2.

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的等边对

等角、三角形的外角性质等知识，是有关三角形的综合题，难度适中，熟练掌握相似三角形的判定与性

质，作辅助线构造相似三角形是解答的关键.

21.如图，已知在A4BC中，NC4B=60°,P为AABC内一点且

NAPB=NAPC=120°,AP=3,8尸=2,则CP=

[ii题答案】

9

【答案】-

2

【分析】根据三角形的内角和得到/CAP+/ACP=60。，求得/ACP=60"NCAP,由/BAP=60"/CAP,得

到/BAP=/ACP,证得△ABPs^CAP,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解]ZAPB=ZAPC=120°，

ZCAP+ZACP=60°,

/.ZACP=60°-ZCAP,

NC4B=60°,

ZBAP=ZACP=60°-ZCAP,

ZACP=ZBAP,

.".△ABP^ACAP,

•APPC

•3PC

9

故答案为：—

2

【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，根据题意找到三

角形相似的条件证得两个三角形相似，由此解决问题.

12.如图，P是AA3C内一点，过点P分别作直线平行于AA3C各边，形成三个小三角形面积分别为

5]=3,S2=12,S3=21,则SgBc=

【工2题答案】

【答案】108

【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角

形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可.

【详解】解：过P作BC的平行线交AB、AC于点D、E,过P作AB的平行线交AB于点I、G,过P作AC

的平行线交AC于点F、H,

VDE//BC,IG//AB,FH//AC,

二四边形AFPI、四边形PHCE、四边形DBGP均为平行四边形,

△FDP^AIPE^APGHcoAABC,

S1=3,S2=12,S3=27,

AFP：IE：PH=1：2：3,

AAI：IE：EC=1：2：3,

AAI：IE：EC：AB=1：2：3：6,

SAABC：SAFDP=36：1,

.0ABC=36X3=108.

故答案为：108.

【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方.

13.如图，G是A48C的重心，延长8G交AC于点延长CG交45于点E,P,Q分别是&5CE和

△SCZ）的重心，则丝=____________

BC

[13题答案】

【答案】7

6

【分析】连接EP、DQ,并延长，分别交BC于一点F,连接ED、PQ,由题意易得ED〃BC,ED=-BC,

2

PQ〃ED,PQ=；ED,进而可求解.

【详解】解：连接EP、DQ,并延长，分别交BC于一点F,连接ED、PQ,如图所示：

•；G是AABC的重心，延长8G交AC于点。，延长CG交A3于点E,

，AE=BE,AD=DC,

，ED〃BC,ED=LBC,

2

又•:P,。分别是MCE和NBCD的重心，

,EP_DQ

.•万=加=2，

；.PQ〃ED,PQ=^ED,

即丝」；

PQ=LXLBC=-BC,

326BC6

故答案为—.

6

【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段

成比例是解题的关键.

.直角梯形A8CO中，BC//AD,ZBAD=90°,ACrBD,已知生=左，贝1」生=

ADBD

【14题答案】

【答案】y[k

【分析】先画出图形，设AZ>=a(a>0),从而可得3C=%，再根据平行线的性质可得NC84=90。，然

后根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得NACB=NDBA,最后根据相似三角形的判定与性质可得

ACABBC

由此即可得出答案.

HD-AD-AB

【详解】如图，设AD=a(a>0),则8c=3,

BC//AD,ZBAD=9O°,

ZCBA=180°-ZA4D=90°,

ZDBA+ZDBC=ZCBA=90°,

ACABD,

：.NACB+NDBC=90。,

ZACB=ZDBA,

ZCBA=ZBAD=90°

在和口ZMB中,

ZACB=ZDBA

.'.^ABC^_DAB»

.ACABBC

"~BD~~AD~~AB

AB2=ADBC=ka2^

解得AB=或AB=—&a（不符题意，舍去）,

ACABy/ka_a

BDADa

故答案为：yfk-

【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的两锐角互余、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练

掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.

is.一张等腰三角形纸片，底边长为15cm,底边上的高长22.5cm.现沿底边依次从下往上数剪宽度均

为文电的矩形纸条，如图所示，已知剪得纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第张

题答案］

【答案】6

DFAM

【分析】设第x张为正方形，如图，AADE-AABC,则——=——，从而计算出x的值即可.

BCAN

【详解】解：如图，设第x张为正方形，

则DE=3,AM=22.5-3x,

VAADE^AABC,

.DEAM

••=,

BCAN

1522.5

解得x=6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及正方形的性质，注：相似三角形的

对应边之比等于对应边上的高之比.

16.如图所示，在△48C中，AB—Scm,BC—16cn?.点P从点A出发沿AB向点B以2cm/s的速度运

动，点。从点2出发沿BC向点C以4cm/s的速度运动.如果点P,。分别从点A,8同时出发，则

秒钟后△PB。与AABC相似？

【16题答案】

【答案】0.8或2

【分析】设经过x秒两三角形相似，分别表示出BP、BQ的长度，再分①8P与BC边是对应边，②BP与AB

边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可.

【详解】设经过x秒后△PBQ和△ABC相似.

则AP=2xcm,BQ=4xcm.

AB=8cm,BC-16cm,:.BP=(8-2x)cm,分两种情况讨论：

竺

解济

①与边是对应边,则旦吗即

BPBC-2-8

BCAB得

16竺

解

②BP与AB边是对应边,则丝=吗即-82-

ABBC16

综上所述：经过0.8秒或2秒后△PBQ和AABC相似.

故答案为0.8或2.

【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边BP、BQ的长是解题的关键，需要注意分

情况讨论，避免漏解而导致出错.

17.已知在用A4BC中，NC=90°,5C=3cm,AC=4c，〃，点M,N分别在边A。、Afi上，将A4BC

沿直线MN对折后，点A正好落在对边8C上，且折痕MN截AA3C所成的小三角形（即对折后的重叠

部分）与AABC相似，则折折痕MN=cm

【工7题答案】

【答案】二3或」15.

28

【分析】先画草图借草图分析.如图

重叠的小三角形为由对折知NA=NM4W，所以要使AABC和△?1加相似，仙只需

/ANM=NANM=ZACB=90。，此时A'和C重合，N为AC中点，由三角形中位线定理易得MN的

值；或⑦只需NA'MN=NAMN=NAC8=90°，此时4与B点重合，A'M=BM=AM=』AB,再由相

2

似的知识算得MN的值.

【详解】由AC=4,BC=3,/ACB=90。据勾股定理得AB=5.下面分情况讨论：

第一种情况

如图1

当NMNC=90。时，折叠后A点落在C点.

,ZZBCA=90°

ZMNC=ZBCA

又由对折知：NMCN=NA

AAMCN^AABC

由对折知N为AC的中点，据三角形中位线定理得

1J3

MN=—BC=—x3=—(cm)；

222

第二种情况

如图2

'图2

当/NMB=90。时，折叠后A点落在B点.

,/ZC=90°

，ZC=ZNMB

又由对折知/A=NNBM

.".△ABC^ABNM

.MN_BM

又由对折知BM=』AB=1X5=3

222

5

BM-

2

15-ZX

-加

AXI

:.MN48

4C

315

综上分析得MN=—cm或一cm.

28

315

故答案为：大或彳"•

28

【点睛】本题是折叠类问题，考查相似三角形的判定，兼考查分类讨论的数学方法.关键之处在于紧抓折

叠的图形成轴对称及全等解决之.

18.已知A（3,2）是平面直角坐标中的一点，点3是x轴负半轴上一动点，联结AB,并以AB为边在x

轴上方作矩形4BCO,且满足3c:45=1:2,设点。的横坐标是。，如果用含。的代数式表示。点的坐

标，那么。点的坐标是一一.

[18题答案】

【答案】（2,与31

【分析】作辅助线，证明△BCH-AABF,求得也=C乜=些，进而证明△BCH丝4ADE,求出

AFBFAB

AE=BH=1,DE=CH=^^,即可解题.

2

【详解】解：如图，过点C作CHLx轴于H,过A作AFLx轴于F,AG，y轴于G,过D作DELAG于E,

/CHB=/AFO=NAED=90。，

NGAF=90°,NDAE=NFAB,

•.•四边形ABCD是矩形，

，ZABC=90°,

ZBCH=ZABF

.".△BCH^AABF

.BHCHBC

VA(3,2),

，AF=2,AG=3,

:点C的横坐标是a,

/.OH=-a,

VBC：AB=1:2,

BH=-AF=\,CH=-BF=~cl+2

222

VABCH^AABF

...ZHBC=ZDAE,

在△BCH与AADE中

NBHC=NDEA

<NCBH=ZDAE

BC=AD

.".△BCH^AADE,

—a+2

・・・AE=BH=1,DE=CH=---------,

2

EG=3-1=2,

2

D

【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，坐标与图形的性质，全等三角形的图形和性质，中等难度，证明

三角形相似和全等是解题关键.

19.如图，四边形A8CO,CDEE,EF"G是三个正方形、Nl+N2+N3=

题答案】

【答案】90°

【分析】根据正方形的性质得Nl=45。，先求出线段AD、AF、AH的长度（用a表示），求出两个三角形对

应边的比，进而证明△ADFs^HDA,问题即可解决.

【详解】由已知得/1=45°

设正方形的边长为a,

22

则AD=yja+a=y[2a>

..AD缶

.而=k=1r2-,ADDH-_2缶^_3，

.ADDH

••一，

DFAD

・.,ZADF=ZADH

AAADF^AHDA,

AZ3=ZDAF,

,/ZDAF+Z2=45°,

Z3+Z2=45°

Zl+Z2+Z3=90°.

故答案为90°.

【点睛】该题以正方形为载体，主要考查了相似三角形的判定及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关

定理来分析、判断、推理或解答.

2.0.如图，E、尸为AABC的边上的点、且BE:跖：FC=1:2:3，中线BD被AE、A/截得的三

线段为x，y，z,则x：y：z=

【2。题答案】

【答案】6:8:7

【分析】根据已知3E：石/：EC=1：2：3得出F是BC的中点，再结合已知得出点N为三角形ABC的重

心，再根据重心的性质以及相似三角形的性质即可得出结论

【详解】解：•.•3E:£F:EC=1:2:3

BF:FC=3:3^\

，F是BC的中点

；BD是三角形ABC的中线；

...点N为三角形ABC的重心，

AHV:AN=1:2,£>N:BN=1:2

设FN=k,则AN=2k,AF=3k

D

过点B作BG//AF交AE的延长线于G,

/.△BGE^AFAE,

/.BG:AF=BE:EF=1:2

；.BG=1.5k,

BG//AF

.,.△BGM^ANAM,

JBM:M7V=JBG:AN=1.5k:2k=3:4

£W:BN=1:2

3M:MN:DN=3:4:3.5

5M:MN:DN=6:8:7

/.x:y:z=6:8:7

故答案为：6:8:7

【点睛】此题考查了三角形重心的性质与相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是得出点N为三角

形ABC的重心，具有一定的难度.

2,如图，在小钻。中，NACB的内、外角平分线分别交班及其延长线于点。、E,BC=2.5AC,则

-A-B1-A-B=

ADAE

【22题答案】

【答案】5

【分析】根据CD是/ACB的平分线，由三角形的面积可得出处=生，可得出空=6C+AC①;由

ADACDAAC

CE是NACB的外角平分线，得出些=.,进而得出丝=BC—AC②,两式相加即可得出结论.

AEACAEAC

【详解】解：:CD是NACB的平分线，

.S.DC_BD,S"DCBC

AC

^AADCA。^AADC

.BDBC

""~AD~~AC

BD+DABC+ACABBC+AC

：.---------=---------,即url一=---------①;

DAACADAC

；CE是NACB的外角平分线，

.BEBC

"~AE~~AC

BE-AEBC-AC„ABBC-AC

：.--------=---------,即n一=---------②；

AEACAEAC

ARABBC+ACBC-AC2BC

①+②，得fH-----------------------------1------------------=2x2.5=5

ADAEACAC~AC

故答案为：5.

【点睛】此题主要考查了比例的应用，熟练掌握比的性质是解答此题的关键.

二、选择题：（每小题3分，共计30分）

22.如图，已知在A4BC中，AC3c于点。，且具有下列条件之一，其中一定能够判定AA3C是直角

三角形的共有（）

①ZB+ND4c=90°②ZB=NZMC

CDAC

④AB?=BD・BC

AD~AB

A.1个B.2个C.3个D.4个

【22题答案】

【答案】C

【分析】根据题意易得/B+/BAD=90°,ZC+ZCAD=90°,然后由相似三角形的性质与判定及直角三角

形的性质可进行判断.

【详解】解：

AZB+ZBAD=90°,ZC+ZCAD=90°,

①当NB+NZXC=90°时，则有NBAD=/CAD,

不一定能得到NBAC=90。，故不符合题意；

②当=。时，则有/C+/B=90°,

AZBAC=90",

.,.△ABC是直角三角形，故符合题意；

③当三=芷时，NADB=/CDA=90。，

ADAB

.".△ADB^ACDA,

ZB=ZCAD,

AZB+ZC=90°,

.,.△ABC是直角三角形，故符合题意；

④当人笈时，由/B=/B,

.,.△ABD^ACBA,

AZADB=ZCAB=90",

.'.△ABC是直角三角形，故符合题意；

综上所述：能判定aABC是直角三角形的是②③④三个；

故选C.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

23.P是aABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截aABC,如果截得的三角形与

△ABC相似，我们称这条直线为过点P的aABC的“相似线”.RtaABC中,ZC=90°,ZA=30",当点P

为AC的中点时，过点P的aABC的“相似线”最多有几条？（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【23题答案】

【答案】C

【详解】试卷分析：根据相似线的定义，可知截得的三角形与AABC有一个公共角.①公共角为/A时，根据

相似三角形的判定：当过点P的角等于NC时，即图中PD〃BC时，△APDSAACB；当过点P的角等于NB

时，即图中当PFLAB时，AAPF-AABC；②公共角为NC时，根据相似三角形的判定：当过点P的角等于

/A时，即图中PE〃AB时，△CPEsaCAB；当过点P的角等于/B时，根据/CPB<60°,可知此时不成

立；③公共角为NB,不成立.

解：①公共角为NA时：当过点P的角等于NC时，即图中PD〃BC时，△APDS^ACB；当过点P的角等于

NB时,即图中当PF_LAB时,AAPF^AABC；

②公共角为/C时：当过点P的角等于/A时，即图中PE〃AB时，△CPEsaCAB；当过点P的角等于

/B时，VZCPB=ZA+ZABP,.,.PB>PC,PC=PA,/.PB>PA,AZPBA<ZA,AZCPB<60°,可知此时不

成立；③公共角为NB,不成立.

综上最多有3条.

故选C.

24.如图，在矩形A8C。中，A3=2,3C=3,点分别在矩形A3CQ各边上,

M//AC//HG,EH//BD//FG,则四边形瓦的周长是（）

C.2MP.2万

【24题答案】

【答案】D

【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得AC=BD=JB，再根据相似三角形的判定与性质得到

ppRPPHAF

——=——,——=—,两比例式相力口可得EF+EH=BD,再证明四边形EFGH是平行四边形即可求解.

ACABBDAB

【详解】解：•••四边形ABCD是矩形,

，AC=BD,ZABC=90°,

VAB=2,BC=3,

AC=BD=dAB?+BC。=V22+32=V13，

EF//AC//HG,,

.".△BEF^ABAC,

EFBE,EHAE

—=——，同理可得

ACABBDAB

EFEHBEAE

=1,

ACBDABAB

；.EF+EH=BD=713.

•；EF//ACHHG,EH//BD//FG,

...四边形EFGH是平行四边形，

...四边形EFGH的周长为2（EF+EH）=2岳,

故选：D.

【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角

形的判定与性质是解答的关键.

25.如图，在心△48C内有边长分别为a,b,c的三个正方形.则以b、c满足的关系式是（）

C.bi1=a2+c2D.b=2a=2c

【25■题答案】

【答案】A

【详解】解：利用解直角三角形知识，在边长为«和b两正方形上方的两直角三角形中由正切可得

―--=—~,化简得b—a+c,

b-ac

故选A.

26.如图，在梯形ABC。中，AB//CD,AD±AB,已知OC=4,AD=12,AB=8,E是A。上的一个

动点，如果E,C,3为顶点构成的三角形是直角三角形，则长为（）

_