2020届高考数学教研讲义教学：解析几何之综合篇(无答案)

高考总复习之解析几何专题

直线方程及直线与圆的方程

试题分析:

年份高考试题主要考点考查内容

2011浙江文.12直线位置关系直线斜率和垂直条件

2013浙江文.13直线与圆位置关系弦长公式

2013浙江理.15直线斜率与方程中点坐标公式

点差法应用

2014浙江文.5直线与圆位置关系弦长公式和圆的一般

方程

2016浙江文10圆的一般方程圆的一般方程

2019浙江12直线与圆位置关系点到直线的距离

2019浙江15直线斜率与方程中位线，直线与圆

知识点：

1.直线方程

名称方程适用条件

斜截式y=kx+b

与X轴不垂直的直线

点斜式y-y0=k(x-x0)

y一必二.一2

两点式与两坐标轴均不垂直的直线

y2f%一再

截距式-+^=l(aZ?*O)不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线

ab

一般式Ax+By+C=0（A2+*。0）所有直线

2.两条直线的位置关系

位置关系/（:4工+gy+G=04:y=心+”

l2:\x+B2y+G=0l2'y=k2x+b2

4〃4A&k、=k2,b、芋b1

--------工--G--

4B2C2

44+4与=o&,k?=—1

3.距离问题

⑴两点4(Xi，yJ,7^(%2,y2)之间的距离由周=-兀2『+(M-姬.

/、Ar+By+C

⑵点E）（xo，%）到直线1：Ax+By+C=O的距离d=l（'1「n°

A/A2+B2

c-cd

⑶两条平行线间的距离：d=21..

VA2+B2

4.圆的标准方程：圆心为A(a,>)，半径长为r的圆的标准方程是(x—a)2+(y—")2=，.

当a=0=0时，方程为/+/=产，表示以原点为圆心、半径为厂的圆

5.位置关系

(1)点与圆的位置关系

位置关系几何法代数法

点"(毛,%)在圆上一

点在圆上M4|=ro点M在圆A上

222

(x()-a)+(y0-b)=r

点M（玉P%）在圆内O

点在圆内＜厂o点M在圆A内

（%一。f+（%一力了Vr

点M（玉p%）在圆外O

点在圆外网＞「。点M在圆A外

（题一。）2+（%一力）2＞户

（2）直线与圆的位置关系

圆的标准方程为（x—af+U—12=/，圆心A（a,＞）,半径为八

设所给点为MG。,%），则:

位置关系几何法

相切（直线与圆有且仅有一个公共点）d-r

相交（直线与圆有两个公共点）d<r

相离（直线与圆没有公共点）d>r

（3）圆与圆的位置关系:

圆与圆的位置关系圆心距d与两圆的半径关系公切线条数

外离d>/+弓4

外切3

相交2

\r[-r^<d<r^r2

内切d=|4-41

内含d<,-目0

要点分析

利用几何意义求最值

【典例分析】求y=Vx2+4x+9+Jx?+6x+12的最小值为

变式训练1：已知X,y为实数，求2=）1+（丫-2）2+,9+（3-X）2+//+y2的最小值是

变式训练2：已知正实数x,y满足2x+y=2,则x+收+y2的最小值为

变式训练3：已知实数m满足21,且。=m。+〃，+2,则/的最小值为一

变式训练4：已知单位向量a,b,且a-b=O,若/£[0,1],则

\t(b-a)+c^+^-b+(^-t)(a-b)的最小值为

曲线上动点之间距离的最值

22

【典例分析】已知椭圆上+匕=1,直线/:4x—5y+40=0。求椭圆上的点到直线/上一

259

点距离的取值范围______.

变式训练1：抛物线y=-f上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是（)

变式训练2：若点P(a,b)在函数y=-/+31nx的图像上，点Q(c,d)在函数y=x+2

的图像上，则(a—cP+0—dp的最小值为.

变式训练3：已知实数a,b满足ln0+l)+a—3〃=O,实数c,d满足2d—c+J5=0,则

(a-c)2+(b-dp的最小值为—

变式训练4：设P,。分别为圆f+(y—6)2=2和椭圆小y2=［上的点，则P,。两点间

的最大距离是()

A.572B.J46+-\/2C.7+5/2D.6V2

相交弦长度问题

【典例分析】圆(x—4)2+(y—1)2=5内一点P(3,0),则过P点的最短的弦长为

最短弦所在直线方程为.

变式训练1：直线y=kx+3与圆(x—3『+(y—2)2=4相交与卜1”两点，若|MN|N2百，

则k的取值范围是.

变式训练2：(2018全国卷3文.8理6)直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于4,B两

点，点P在圆(x—2)?+y2=2上，则尸面积的取值范围是()

A.P，6]B.4司

C[&，3&][)[2夜，3立]

变式训练3：已知直线x+y+机=0与圆X?+丁=4交于不同的两点A、B,0是坐标原点,

若|豆+西N|同，则实数m的取值范围是.

变式训练4：已知I1：加工一丁一3m=0与12:x+my—3〃2—1=0相父于点P,线段AB是圆

c：(x+iy+(y+l)2=4的一条动弦，且［4q=2有，则|丽+画的最小值是

相切切线问题

【典例分析】在平面直角坐标系中，A,B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆

C与直线2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为()

43

-n-

5B.4JI

5

n

D.4-

变式训练1：已知P(T,2)及圆(x—3y+(y—4)一=4,一光线从点P出发，经x轴上

一点Q反射后与圆相切于点T,则|PQ+|Q1的值为.

变式训练2：由点P向圆0：X?+丁=2引两条切线，切点为A、B,贝IJ丽•丽的最小值是

变式训练3：设m,neR,若直线(m+l)x+(n+l)y—2=0与圆(x—叶+(y—=1相切,

则m+n的取值范围是()

A.[1-73,1+73]

B.(—8,1—,\^3]U[1+^3,+°°)

C.[2-272,2+272]

D.(-8,2-2^2]U[2+272.+<=°)

变式训练4：已知点P(0,2)为圆C：(x—a)?+(y-a)2=2"外一点，若圆C上存在一

点Q,使得NCPQ=60°,则正数。的取值范围是.

变式5：已知圆C：x2+y2=],点p为直线x+2y-4=0上一动点，过点P向圆C引两条切

线PA,PB,A、B为切点，则直线AB经过定点.

课后作业

1.直线双+如一4=0被圆X?+y2+4x-2y+1=0截得的弦长为4,则a?+〃的最小

值是（）

A.3B.V3C.2D.V2

2.由直线3x-4y+5=0上的一动点P向圆X?+）?-4x+2y+4=0引切线，则切线长的最小

值是.

3.过点尸（一3,0）做直线（。+3）%—（。+匕））一3。-48=0（a,b不同时为零）的垂线,

垂足为M,已知点N(2,3),则|MN|的取值范围是.

meR,动直线4：x+加y-1=0过定点A,动直线4："ix-y-2加+3=0过定点8,

若4与交于点P(异于点A5),则俨4+|P且的取值范围__________.

5.已知点A(2,0)B(l,3)是圆*2+丁=4上的定点，经过点B的直线与该圆交于另一点C

当AABC面积最大时，直线8C的方程是.

6.已知圆M:。-/)2+(»-%)2=8，点7(-2,4),从坐标原点。向圆M作两条切线

OP,OQ,切点分别为P,Q,若切线OP,OQ的斜率分别为4,右温网=-1,则17Ml的取

值范围为u

本专题例题/习题错题题序:

高考总复习之解析几何专题

一一圆锥曲线定义应用及轨迹方程

试题分析:

年度高考试题主要考点考察内容

2010浙江理.8直线与双曲线综合双曲线性质，解三角形

2010浙江文.10双曲线的性质解三角形，渐近线方程

2011浙江理.17椭圆性质，向量共线向量共线坐标表示，焦半

径公式

2011浙江理.8文9圆锥曲线综合圆的性质，渐近线方程

2012浙江文17理.16直线与曲线距离问题综合点到直线距离，切线问题

2013浙江理.15直线与抛物线综合,点差法中点坐标公式，距离公式

2016浙江文.13双曲线的定义与性质解三角形，双曲线性质

2018浙江17椭圆标准方程，向量坐标椭圆标准方程，向量坐标，

二次函数求最值

2019浙江15直线与椭圆综合中位线定理，解三角形

知识点：

1.平面内，到两定点大，巴的距离之和为常数2M2。＞片与）的点的轨迹叫做椭圆

2.平面内，到两定点片，入的距离之差的绝对值为常数2a（2a＜片乃）的点的轨迹叫做双

曲线（定义式中去掉绝对值，则仅为双曲线的一支）

3.平面内，到一定点F和一直线/（F不属于/）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

求轨迹的常用方法

（1）直接法：如果动点满足的几何条件是一些几何量（如距离与角）的等量关系，或几何条件

简单明了，易于表达，我们只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程.

（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程,

再由条件确定其待定系数.

(3)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采

用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.

(4)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动.如果相关

点P所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线

方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或

代入法.

求轨迹方程

1.定义法

【典例分析】如图所示，已知C为圆(x+J2F+y2=4的圆心，点A(镜，0),P是圆上

的动点，点Q在直线CP上，且前•扉=0,扉=2前.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方

程.

变式训练1：A4BC的顶点A(—5,0),B(5,0),A钻C的内切圆圆心在直线x=3上，则顶

点C的轨迹方程是()

92

,X-V.

A.----z-=1BE*

916169

22D.J

C.土-匕=l(x>3)1(%>4)

916''916

变式训练2：已知点A(—1,0),B(l,0),动点M的轨迹曲线C满足N4WB=2。，而|•|前

cos2（9=3,则曲线C的方程为.

2.直接法

【典例分析】（2013•陕西）己知动圆过定点A（4,0）,且在y轴上截得弦MN的长为8,则动

圆圆心的轨迹C的方程为.

变式训练1：设F（l,0）,M点在x轴上，P点在y轴上，且谕=2沛，PfllPF,当点P在y轴

上运动时，求点N的轨迹方程.

变式训练2：有一动圆P恒过定点凡（。,0］。>0）且与y轴相交于点A、B,若A铝尤为正三

角形，则点P的轨迹为（）

A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线

3.待定系数法

【典例分析】已知曲线E:ax2+"2=1（">0,人>0）,经过点M（乎，0）的直线1与曲线

E交于点A,B,且诵=—2蕊.若点B的坐标为（0,2）,则曲线E的方程为.

变式训练1:（2013全国卷2理11）设抛物线/=2Px（p>0）的焦点为F,点M在C上，\MF\

=5,若以MF为直径的圆过点（0,2）,则C的方程为（）

（A）;/=4x或y2=8x（B）y?=2x或

(C)y2=4x或V=i6x(D)y2-2x^Ly2=16x

4.相关点法

【典例分析】已知点P是圆0：x2+y2=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D,动点

9

Q满足旃=可而，则动点Q的轨迹方程为.

变式训练1：设直线x-y=4a与抛物线y?=4ox交于两点A,B（。为定值），C为抛物线

上任意一点，求A4BC的重心的轨迹方程.

变式训练2：已知抛物线C：y?=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线乙，乙分别交C于

A,B两点，交C的准线于P,Q两点.若APQ尸的面积是A4BE的面积的两倍，求AB中点

的轨迹方程.

定义的应用

X2y2

【典例分析】【2008浙江12】已知耳、工2为椭圆石+\-=1的两个焦点，过百的直

线交椭圆于A、B两点，若入A+入8=12,则

变式训练1：过双曲线弓•-1-=1左焦点片的直线交双曲线的左支于M,N两点，工为其

右焦点，则M闾+|叫|-|同的值为

变式训练2：已知F是双曲线=1左焦点，点A(l,4),点P是双曲线右支上的动点，

412

则|产月+|/刑的最小值为..

变式训练3：【2016浙江13】设双曲线x2—4=1上的左右焦点分别为《、工，若P点

在双曲线上，且MP6为锐角三角形，则忸制+|尸闾的取值范围为_

变式训练4：设椭圆。：会+七=1的左、右焦点分别为耳，鸟，点M是椭圆上的任意一点,

点A的坐标为(2,1),求制+|”用的取值范围为.

变式训练5：已知直线4:4x—3y+6=0和直线L：x=-l,抛物线y?=4x上一动点P到

直线L和直线4的距离之和的最小值是一

角平分线、中位线相关问题

【典例分析】已知《、心为双曲线。：5-^=1的左右焦点，A为C上的一点，点M坐

标（2,0）,AM为ZF/K的角平分线，则|A闾长为

22

变式训练1：已知耳、B为椭圆房+；］=1的左右焦点，点A（2,3）在椭圆上，则NF；A居

的角平分线所在的直线/的方程为.

x2,

变式训练2：已知P是椭圆C：彳+：/=1上除去长轴端点外的任一点，连接尸片，Pg,

设/大2鸟的角平分线PM交椭圆C的长轴于点M（w,O）,求利的取值范围.

【典例分析】从双曲线55一二=1（。＞0,。＞0）的左焦点为大，引圆x2+y2=。2的

Q_b-

切线/,切点为T,且/交双曲线的右支于点P,点V是耳尸的中点，0为坐标原点，则

\OT\-\OM\-.

22

变式训练1：（2014辽宁15）已知椭圆C:二+.=1,点M与C的焦点不重合,若M关

94

于C的焦点的对称点分别为A、B,线段MN的中点在C上，则同曰+怛川=一

变式训练2：（2019浙江.15）已知椭圆二+匕=1左焦点为尸，点尸在椭圆上且在％轴

95

的上方，若线段尸F的中点在以原点。为圆心，|0月为半径的圆上，则直线尸F的斜率是

变式训练3：已知抛物线C:：/=4x,尸是抛物线C的焦点，例是抛物线C上一点，。为

坐标原点，P(0,2),NQPM的平分线过FM的中点，则M的坐标为_________「

课后习题

1.已知圆G：(x+3)2+y2=4,圆C2:(x-3)2+/=9,动圆同时与圆G及圆C2相外

切，求动圆圆心M的轨迹方程.

2.已知圆M:卜+石丫+/=36,定点N(、后,0),点P为圆M上的动点，点Q在NP上,

点G在MP上，且满足诉=2而，血•诙=(),则点G的轨迹方程为

3.(2013•辽宁)已知F为双曲线C：--—±=1的左焦点，P,Q为C上的点.若PQ的长等

916

于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则AP。产的周长为

4.设片、尸2为椭圆卷+器=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4),

则|尸朋)+归用的最大值为-

5.已知椭圆器+卷二=1的左右焦点分别为《、尸2,点P在椭圆上，若P、片、鼻是一个

直角三角形的顶点，则点P到x轴的距离为().

9.9779

A.-B.3C.----D.一

574

6xv.已知P是椭圆1•+七=1上的一点，大、乃是椭圆的左右焦点，若“片鸟的内切圆半

].--->

径为3，则PF.•的值为.

PF2

7.(2015全国卷1文.16)已知尸是双曲线C：V-二=1的右焦点，P是C左支上一点,

8

A倒,6⑹，当A4PF周长最小B寸，该三角形的面积为

8.已知A是抛物线y2=」x上的动点，点A在y轴上的射影是点C,B是圆

£>:(x-3)2+(y-2)2=1上的动点，则|A5+|AC的最小值是,

xy

9.在平面直角坐标系wy中，已知椭圆C：7+6=1（。>8>0）的半焦距为。，大，工分

别为椭圆C的左右焦点，P为椭圆C上一动点，过点F作的外角平分线/的垂线，

2^FXPF2

交/于点。，若=贝!]/+。2-68-8。的取值范围是,

本专题例题/习题错题题序:

高考总复习之解析几何专题

面积或线段最值问题

试题分析:

年度高考试题主要考点考察内容

2011浙江文.22圆锥曲线综合直线与圆锥曲线综合应用，以

及抽象函数的应用

2012浙江文.22直线与抛物线问题综点差法的应用，以及复合函数

合的化简与求导来求最值

2012浙江理.21直线与椭圆问题综合两点之间距离，以及复合函数

的化简与求导来求最值

2013浙江文.22直线与抛物线问题综弦长公式，以及复合函数换元

化简求最值

2013浙江理.21直线与椭圆、圆问题弦长公式，以及复合函数换元

综合化简求最值

2014浙江文.22直线与抛物线问题综向量坐标运算，以及复合函数

合的化简与求导来求最值

2014浙江理.21切线问题，直线与椭弦长公式，换元基本不等式的

圆综合应用

2015浙江文.19切线问题，圆锥曲线切线问题，中点坐标公式

综合

2015浙江理.19直线与椭圆问题综合中点坐标公式，以及复合函数

换元化简求最值

2016浙江理.19圆锥曲线综合圆的相关性质，以及对立问题

的考察

2017浙江21直线与抛物线问题综直线斜率，弦长公式复合函数

合的化简与求导来求最值

常用的技巧：

1.直译：依照题意顺势做下去.

2.设直线、联立方程、韦达定理求解.

3.设坐标点，找相关点关系求解.

常用结论：

1.椭圆中左右顶点与曲线上异于左右顶点的动点连线的斜率满足勺=一1

a

22

2.已知耳、工为椭圆C：=+二=1（。〉6〉0）的两个焦点，P为椭圆上一点，且

ab

90

F}PF2=0t则APE工的面积二从.tan5

22

3.已知耳、工为双曲线C：=—4=l（a>0,。>0）的两个焦点，P为椭圆上一点，且

a/?"

90

ZFtPF2=2则"它的面积=〃/tan-

4.椭圆或者双曲线中通径均2为b'2L,抛物线中通径为2P.

a

2

5.过(〃2,0),〃2>0的直线与y=2px交于AB,YA-YB=-2mp.(与斜率无关)

6.承上当M为焦点时，匕•匕=—p2.

117

7.抛物线中：—+—

AFBFp

8.设抛物线焦点弦为AB,则以AB为直径的圆与准线相切.

9.圆锥曲线焦点弦A、B与另一顶点D连线交相应准线于M、N,则MN与相应焦点连线垂直.

设直线、联立方程、韦达定理求解最值问题

L与中点相关面积问题

x2y2

【典例分析】(2013全国卷2理.20)过椭圆M：L万=1(。〉匕＞0)右焦点的直线

x+y-j3=O交M于A,B两点,P为AB的中点，且0P的斜率为;.

(1)求M的方程;

(2)C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDJ_AB,求四边形面积的最大值.

变式训练1：（2019浙南名校联盟21）已知点A（x。,%）在抛物线V=4x上，P,Q是直线

y=x+2上的两个不同的点，且线段AP,AQ的中点都在抛物线上.

（1）求为的取值范围；

（2）若4APQ的面积等于6应，求%的值.

变式训练2：（2014浙江文.22）（本小题满分14分）已知A钻P的三个顶点在抛物线C：

f=4y上，/为抛物线C的焦点，点"为AB的中点，PF=3FM；

（1）若|PF|=3,求点M的坐标;

(2)求A4BP面积的最大值.

线段长度问题

3

【典例分析】(2019全国卷1理.19)(12分)已知抛物线C：y2=3%的焦点为F,斜率巧

的直线/与C的交点为A、B,与X轴的交点为P.

(1)若|A月+忸月=4,求/的方程；

(2)若AP=3PB,求|A4.

变式训练1：(2017•杭州模拟)已知抛物线C：幺=2〃乂〃>0),直线］:y=x+l与抛物

线C交于A,B两点，设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2(其中O为坐标原点)，且

(1)求p的值；

(2)如图，己知点M(Xo，y())为圆：X?+/一丁=0上异于o点的

动点，过点M的直线m交抛物线C于E,F两点.若M为线段EF的中点，求但耳的最大

值.

变式训练2：(2013浙江文.22)已知抛物线C的顶点为0(0,0),焦点F(0,1)

(1)求抛物线C的方程：

(2)过点F作直线交抛物线C于A、B两点.若直线AO、B0分别交直线/:y=x-2于

M、N两点，求的最小值.

课后练习

1.（2015浙江理.19）（本题满分15分）

v.21

已知椭圆万+V=1上两个不同的点A,B关于直线y="zx+万对称.

（1）求实数机的取值范围；

（2）求A4OB面积的最大值（。为坐标原点）.

iiQ9

2.（2017浙江.21）如图，已知抛物线，点A（一；,；）3（级）

2424

抛物线上的点P（x,y）（-；<x<|）.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

（第21题图）

（1）求直线AP斜率的取值范围；

（2）求|「41|尸。|的最大值.

高考总复习之解析几何专题

面积或线段最值问题

试题分析:

年度高考试题主要考点考察内容

2010浙江文.22直线与抛物线综合重心公式，点到直线距离

应用

2010浙江理.21直线与椭圆问题综合重心坐标公式，直线与椭

圆位置关系

2011浙江理.21圆锥曲线问题综合切线问题，根与系数关系

2016浙江文.19直线与抛物线问题综合多点共线问题如何处理

2018浙江21圆锥曲线问题综合中点坐标公式，复合函数

换元求最值

2019浙江21直线与抛物线问题综合重心应用，根与系数关系，

弦长公式、基本不等式

常用的技巧：

1.直译：依照题意顺势做下去.

2.设直线、联立方程、韦达定理求解.

3.设坐标点，找相关点关系求解.

常用结论：

L椭圆中左右顶点与曲线上异于左右顶点的动点连线的斜率满足k、.h=-"

a-

22

2.己知耳、乃为桶圆C：5•+方=1（。＞。＞0）的两个焦点，P为椭圆上一点，且

e

92

F'PFi，则"耳F2的面积=/7-tan-

22

xy

3.已知片、B为双曲线C：=1（。＞0,。＞0）的两个焦点，P为椭圆上一点，且

/一炉

00

/F】PF?=9,则F2的面积=从/tan2

2b2

4.椭圆或者双曲线中通径均为二，抛物线中通径为2〃.

a

2

5.过（m。）加＞0的直线与y=2px交于AB,YA*YB=-2mp,（与斜率无关）

2

6.承上当M为焦点时，YA-YB--p.

]12

7.抛物线中：—+—

AFBFp

8.设抛物线焦点弦为AB,则以AB为直径的圆与准线相切.

9.圆锥曲线焦点弦A、B与另一顶点D连线交相应准线于M、N,则MN与相应焦点连线垂直.

设坐标点，找相关点关系求解

切线问题

【典例分析】（2007江苏镇江二模）过y轴正方向上一点C（O,c）作一直线与抛物线y=x?

交于A,B两点，一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线/：丫=-。交于巳、.

（1）若况•无=2求c的值

（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线之切线.

（3）试问（2）的逆命题是否成立？

变式训练1：（2015东北育才五模）已知抛物线C：y?=2pMp>0）的焦点为F,A为C上

异于原点的任意一点，过点A的直线/交C于另一点B,交x轴正半轴于点D,且有FA=FD,

当点A的横坐标为3时，NADF为正三角形

（1）求C的方程

（2）若直线且4和C只有一个公共点E

①证明直线AE过定点，并求出定点坐标.

②AABE的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，说明理由

变式训练2：（2011浙江理.21）（本题满分15分）已知抛物线G：f=y,圆C?：

/+（y—4/=1的圆心为点M.

（1）求点M到抛物线C,的准线的距离;

（2）已知点P是抛物线6上一点（异于原点），过点P作圆G的两条切线，交抛物线储于

A,B两点，若过M,P两点的直线/垂足于AB,求直线/的方程.

重心问题

【典例分析】【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目检测】如图，过抛物线加：y=V

上一点A（点A不与原点0重合）作抛物线M的切线AB交>轴于点B,点C是抛物线M

上异于点A的点，设G为AABC的重心（三条中线的交点），直线CG交y轴于点D.

（1）设4（%0芯卜0*°），求直线A3的方程;

（2）求^\—O~B的\值.

变式训练1：（腾远2018年（浙江卷）红卷）如图，直线/：y=丘+机与抛物线£：X2=4y

相交于A,B两点，F是抛物线E的焦点，若抛物线E上存在点C,使点F恰为AA5c的重

心.

(1)求加的取值范围；

(2)求AOLB面积的最大值.

变式训练2：(2010浙江文.22)(本题满分15分)已知m是非零实数，抛物线C：

2

y2=2/?M〃>0)的焦点F在直线/:*-，〃^一胃-=0上.

(1)若机=2,求抛物线C的方程；

(2)设直线1与抛物线C交于A,B两点，过A,B分别作抛物线C的准线的垂直，垂足为4,4，

AAAF，ABqE的重心分别为G,H.求证.：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的

交点在以线段GH为直径的圆外.

课后作业

1.如图，己知直线PA,PB与抛物线X?=4y分别相切于点A、B.

(1)若点P在直线y=-l上，求证：直线AB过定点

(2)若点P是半椭圆卷+5=1。<0)上的动点，求面积的取值范围.

2.(2020七彩联盟21)过抛物线X?=2p)(〃>0)外一点P作抛物线的两条切线，切点为

M,N,F为抛物线的焦点，证明：

(1)|PF|2=际卜|阿；

(2)ZPMF=ZFPN.

，九2

3.（2010浙江理.21）（本题满分15分）已知阳＞1,直线=O,椭圆

C:二+尸=1,片，鸟分别为椭圆C的左、.右焦点.

（2）当直线/过右焦点鸟时，求直线/的方程;

（2）设直线/与椭圆C交于A,8两点，AA6鸟,A4耳鸟的重心分别为G,".若原点。在

以线段G”为直径的圆内，求实数相的取值范围.

4.（2019浙江.21）如图，已知点F（1,O）为抛物线点/为焦点，过点尸

的直线交抛物线于A,8两点，点C在抛物线上，使得A45c的重心G在x轴上，直线AC

交x轴于点。，且。在点尸右侧.记MFG,ACQG的面积为S,,S2.

（1）求p的值及抛物线的准线方程；

（2）求」的最小值及此时点G的坐标.

S2

高考总复习之解析几何专题

——面积或线段最值问题

试题分析:

年度高考试题主要考点考察内容

2011浙江文.22圆锥曲线综合直线与圆锥曲线综合应用，以

及抽象函数的应用

2012浙江文.22直线与抛物线问题综点差法的应用，以及复合函数

合的化简与求导来求最值

2012浙江理.21直线与椭圆问题综合两点之间距离，以及复合函数

的化简与求导来求最值

2013浙江文.22直线与抛物线问题综弦长公式，以及复合函数换元

化简求最值

2013浙江理.21直线与椭圆、圆问题弦长公式，以及复合函数换元

综合化简求最值

2014浙江文.22直线与抛物线问题综向量坐标运算，以及复合函数

合的化简与求导来求最值

2014浙江理.21切线问题，直线与椭弦长公式，换元基本不等式的

圆综合应用

2015浙江文.19切线问题，圆锥曲线切线问题，中点坐标公式

综合

2015浙江理.19直线与椭圆问题综合中点坐标公式，以及复合函数

换元化简求最值

2016浙江理.19圆锥曲线综合圆的相关性质，以及对立问题

的考察

2017浙江21直线与抛物线问题综直线斜率，弦长公式复合函数

合的化简与求导来求最值

常用的技巧：

1.直译：依照题意顺势做下去.

2.设直线、联立方程、韦达定理求解.

3.设坐标点，找相关点关系求解.

常用结论：

b2

1.椭圆中左右顶点与曲线上异于左右顶点的动点连线的斜率满足勺/2=一彳

a~

22

2.已知耳、工为椭圆C：=+斗=1卜>8>0）的两个焦点，P为椭圆上一点，且

ab

90

F}PF2=e,则AP耳B的面积二•tan,

22

3.已知《、居为双曲线C：三—2=1（。>08>0）的两个焦点，P为椭圆上一点，且

a/r

90

ZF}PF2=仇则的面积=〃/tan-

2b2

4.椭圆或者双曲线中通径均为吆-，抛物线中通径为2P.

a

5.过（〃2,0）〃2>0的直线与y2=2px交于AB,YA-YB=-Imp.（与斜率无关）

2

6.承上当M为焦点时，YA-YB=-^.

119

7.抛物线中：—+—

AFBFp

8.设抛物线焦点弦为AB,则以AB为直径的圆与准线相切.

9.圆锥曲线焦点弦A、B与另一顶点D连线交相应准线于M、N,则MN与相应焦点连线垂直.

切线相关问题

【典例分析】（2011全国卷1理20