【新人教版高中数学选择性必修第一册课时作业】空间向量的数量积运算

空间向量的数量积运算

（45分钟100分）

一、选择题（每小题6分，共30分）

1.若a,b均为非零向量，则a-b二|a||b|是a与b共线的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知空间向量a,b满足a・b=0,|a|=l,|b|=2,则|2a-b|=（）

A.0B.2>/2C.4D.8

3.（2013•天水高二检测）已知四边形ABCD满足:AB・BOO,BC•CD>0,

CD-DA>0,DA・AB>0,则该四边形为（）

A.平行四边形B.梯形

C.平面四边形D.空间四边形

4.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中，四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正

方形，则B,D两点间的距离是（）

A.6B.V2C.1D.V3-V2

5.（2013•杭州高二检测）如图，在直三棱柱ABC-AiBC中，AB=BC=AA1,ZABC=

90°,点E,F分别是棱AB,BBi的中点，则直线EF和BG所成的角是（）

A.45°B.60°D.120°

二、填空题（每小题8分，共24分）

6.（2013•安阳高二检测）已知向量a与b的夹角是120°,且|a|=|b|=4,则

b,(2a+b)=

7.如图所示,在几何体A-BCD中，AB平面BCD,BC±CD,且AB=BC=1,CD=2,点E为

CD的中点,则AE的长为

8.如图NBAC=90°,等腰直角三角形ABC所在的平面与正方形ABDE所在的平面

互相垂直,则异面直线AD与BC所成角的大小是.

三、解答题（9题,10题14分,11题18分）

9.如图所示，直三棱柱ABC-ABG中，CA=CB=1,ZBCA=90°

棱AA,=2,M,N分别是AB,A,A的中点.

(1)求尿的长.

(2)求cos〈BA],CBi＞的值.

⑶求证:AiBJLCM

10.(2013•济南高二检测)如图，PA垂直于矩形ABCD所在

的平面,M,N分别是AB,PC的中点，

⑴求证:MNJ_CD.

(2)若NPDA=45。，求证:MNJL平面PCD.

11.(能力挑战题)如图所示，矩形ABCD中,AB=l,BC=a,

PA_L平面ABCD(点P位于平面ABCD上方)，问BC边上

是否存在点Q,使?b_LQD?

答案解析

1.［解析］选A.a•b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|<=>cos<a,b>=1O<a,b>=0,即a,b

同向，故是充分条件；当a与b反向时，不能成立，不是必要条件.

2.【解析】选B.|2a-b|=y（2a-h）2

-\/4a:—4a,b\b

=V4X1-4X0+22=2V2,故选B.

3.【解析】选D.由题意知，BA•BC<0,CB•CD<0,DC•DA<0,AD•AB<0,即四边

形的四个内角均为钝角，所以该四边形为空间四边形.

4.【解析】选D.而二屈+FC+CD

T22—T—

ABD=(BF+FC+CD)2

—♦2222—>—>—♦—♦

=BF+FC+CD2+2(BF•FC+FC•CD+BF-CD)

由题意知，I亦|二|FC|=|CD|=1,

BF-FC=|BF|•|FC|cos135°

=1x1x(一3=一叱，

FC•CD=BF•CD=O,

.,.BD-3+2X(-斗)二3-企，

BD—3—V2-

5.【解析】选B.设AB=a,AC=b,AA^c,

|a|=|c|=1,则|b|=a,

-

E—F=E—B+B一F=I-AB*+-BB^-1a+I'c,

22127

BCI=BC+CCFAC-AB+AAI

=-a+b+c,

=+-

EF•BC1(-a^c),(a+b+c)

77

-_--1a2+,1-a,.b+,1-a•c--1a•c+,1-,b•c+,1-c2

222222

---1a12+-a・b+-b,c+-1c|2

7777

=--+-a・b+0+--a•b.

2222

由题意知，<a,b>=45°,

Aa-b=|a||b|cos<a,b>=1X&Xcos45°=1,

AEF•BC—X1=l,

72

=11+(V2)2+1+2x(—1+0—0)=V2,

.,.cos<EF,BC>=-S^i-

1IEFIIBCJ

1

-2-1

^xV22’

2

，cos<EF,BCQ=60°,

/.EF与BG所成的角为60°.

6.【解析】b・(2a+b)=2a・b+b2=2|a|•|b|cos120°+|b|-2X4X4X(-i)+42=0.

7

答案：0

7.【解析】AE=(AB+BC+CE)2,

=|AB|2+|BC|2+|CE|2+2(AB-BC+AB•CE+BC-CE),

由题意知，I品|二|BC|=1二|CE|,

—>—>

且AB•BC=AB-CE=BC・CE=0・

AAEI3,

AAE的长为百.

答案:百

【举一反三】若将题条件中“BC_LCD”改为“NBCD=120°”，其他条件不变，结

果如何？

【解析】由本题解答知，

AE2=|AB|2+|BC|2+|CE|2+2(AB-BC+AB-CE+BC-CE),

—♦—♦—♦

|AB|=|BC|=1二|CE|,

AB-BC=AB・CE=O,

—♦—♦T

BC・CE=|BC|•|CE|•cos<BC,CE>

=1X1Xcos60°=-,

.,.AE=3+2XL4,

7

故AE的长是2.

答案：2

8.【解析】设正方形ABDE的边长为1,

—>—>—♦—♦—♦

•「AD=AB+AE,BC=AC-AB,

—♦—>—♦—♦—>—♦

，AD・BC=(AB+AE)•(AC-AB)

二AB-AC-AB2+AE・AC-AE・AB,

=07+0-0=7,

|AD|=J(AB+AE)2

-2T—T2

JAB+2AB-AE+AE

=V1+2X0+l=v^2,

|BC|=J(AC-AB)2

-2一一一2

JAC-2AC-AB+AB

=vi-2x0+1=V2,

—>—>

Acos<AD,BC>二乎Bf一二,

|AD||BC|7

，<AD,BC>=120°，故AD与BC所成角为60°.

答案：60°

9.【解析】(1)由题可知，BA=位,BA_LAN,

.,.加2=(BA+AN)2

=BA2+2BA-AN+AN2

=(。2+2xo+i2=3,

，BN=«&即尿的长为V3.

(2)•「BAFBA+AAI，CB「CB+BBi，

—>—>—>»

•••BAi・CBi=(BA+AAj・(CB+BBJ

=BA•CB+BA•BB1+AA1•CB+AA]•BB]

一一-2

=|BA|•|CB|•cos135°+0+0+AA]

=V2X1X(一口)+2?=3,

7

|BA」=\/BA2+AA：

-J(V2)2+22=V6,

|CBil=jBC2+BB：

=V12+22=V5,

—>T

/.cos<BA1,CBM吁吗

IBAJICBJ

,3_%/30

、彳xVi1n

⑶斤A]A+AB,

CiM=：(CiAi+CiBi),

•••A[B・C]M=：(AIA+AB)・(CiAi+CiBj

="A；A・CMA・C；B1+AB・C&AB・C；BJ

由题意知，A】A・CIAFAIA-CiB1二O,

AB・gAi=|AB|•IgA/・cos<AB,JAP

=V2X1Xcos135°=-1,

—♦—♦—♦—♦—♦-♦

AB・C】BF|AB|・|CiBj・cos〈AB,CiB>

=V2X1Xcos45°=1,

C；M=：X(-1+1)=0,

...A]B_LCiM,即AB_LGM.

10.【证明】(1)设AB=a,AD=b,AP=c,

则/N=疝B+BC+CN

=-AB+AD--PC

22

=-AB+AD--(PA+AD+DC)

2—♦7—♦—♦—>

=-AB+AD+-AP--AD--AB

2222

=-(AD+AP)=-(b+c),

72

AMN・CD—(b+c)•(-a)

(a•b+a,c),

7

•.•四边形ABCD是矩形，PA_L平面ABCD,

/.a±b,a±c,/.a•b=a,c=0,

AMN-CD=0,

AMN-LCD,故MN±CD.

(2)由⑴知，MN_LCD,MN=-(b+c),

PD=AD-AP=b-c,

AMN•PD=-(b+c)・(b-c)

=i(|b|2-|c|2),

•.•PA_L平面ABCD,.-.PA±AD,

又NPDA=45°,

.,.PA=AD,/.|b|=|c|,

AMN•PD=O,.-.MN±PD,.-.MN±PD,

,/CD,PDU平面PCD,且CDAPD=D,

.•.MNJ■平面PCD.

【拓展提升】巧用数量积证明垂直问题

垂直问题有线线垂直、线面垂直、面面垂直三类问题，这三类问题通常会转化为

线线垂直问题，证明线线垂直问题又转化为向量的数量积为0,具体方法是：

(1)先确定两个向量为两直线的方向向量.

(2)用已知向量(通常是三个已知向量，其模及其夹角已知)表示方向向量.

⑶计算两个方向向量的数量积，通过线性运算、化简得出其数量积为0,得出两

个方向向量垂直.

(4)把向量垂直的结论转化为两直线垂直.

—>一

11.【解题指南】由PQ_LQD得PQ_LQD,在平面ABCD内，点Q在以AD为直径的圆

上，此时