2023年新教材高考数学微34含解析

专练34空间几何体的结构特征、表面积和体积

［基础强化］

一、选择题

1.［2021•全国新高考I卷］已知圆锥的底面半径为地,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A.2B.2m

C.4D.4小

2.［2022•江苏省学情调研］用一平面截正方体，所得截面的面积最大时;截面的几何形状为（）

A.正六边形B.五边形

C.长方形D.三角形

3.棱长为2的正方体4成浦一48G"中，M,N分别为棱能，45的中点，则三棱锥4一ZUW的体积为（）

A.1B.2C.3D.4

4.在梯形45（力中，AABC=^,AD//BC,a'=240=248=2.将梯形/版绕4〃所在的直线旋转一周而形成的曲面

所围成的几何体的体积为（）

2n4n

A--B--

5n

C.D,2n

5.［2020•全国卷I］已知4B,。为球0的球面上的三个点，。。为△48。的外接圆.若。。的面积为4n,AB

=BC=AC=00\,则球。的表面积为（）

A.64nB.48n

C.36nD.32n

6.［2022•全国甲卷（文），10］甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S

甲和S乙，体积分别为/甲和/乙,若伊=2,贝呼=（）

3乙，乙

A./B.2*72

c.VioD.邛^

7.［2022•河北省六校联考］已知小〃是球。的表面上两点，ZAOB=90°,。为该球面上的动点.若三棱锥行

/回体积的最大值为36,则球。的表面积为（）

A.124nB.144n

C.156nD.196Ji

8.

［2022•云贵川桂四省联考］如图所示的某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆

锥高的2倍，且圆锥的母线长是4,侧面积是4",则制作这样一个粮仓的用料面积为（）

A.（V15+4）JiB.（2^15+4）n

C.（3标+4）JtD.（4标+4）JT

9.［2022•新高考I卷，4］南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知

该水库水位为海拔148.5nl时，相应水面的面积为140.0kn?；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.

将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（小

比2.65）（）

A.1.0X109m：（B.1.2X109m：，

C.1.4X109m3D.1.6X109m3

二、填空题

10.［2020•全国卷HI］已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为________.

11.已知圆锥的顶点为S,母线倒，的互相垂直，相与圆锥底面所成角为30°.若的面积为8,则该圆锥的

体积为.

12.如图，己知正方体480一48c〃的棱长为1,则四棱锥4一期〃〃的体积为—

［能力提升］

13.［2020•全国卷I］埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的

高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值

为（）

A后!B木7

A.4b-2

r:+]n也+]

L-42

14.（多选）[2021•全国新高考I卷]在正三棱柱应为1—44G中，49=44=1,点尸满足法=ABC+〃；，其中

Ae[0,1],〃e[0,1],则（）

A.当4=1时，△46/的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥户一4%的体积为定值

C.当儿=^时，有且仅有一个点只使得4RL外

D.当时，有且仅有一个点只使得46,平面45P

2

15.[2022•山东威海模拟]在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为蹩膈，在体积为勺的鳖席

ABCD中,48人平面比2且4?=2,CD=\,则该鳖腌外接球的表面积为

16.[2022•山东潍坊阶段性监测]在棱长为6的正方体/戈力一4844中，M是回的中点，点P是所在平面

PD

内的动点，且满足/加沙=/物匕则*,三棱锥尸一腼的体积最大值是

专练34空间几何体的结构特征、表面积和体积

1.B设圆锥的母线长为1,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则n/=2nX/,解得1=2小.

故选B.

2.C由题意用一平面截正方体，所得截面可以为正六边形、五边形、正方形、长方形、梯形、三角形.而当截

面是以面对角线为长、正方体棱长为宽的长方形时，可知该截面的面积最大，故选C.

3.

A如图，易知，三棱锥4一几脚=/三棱锥4阿，由正方体的结构特征，知〃4J_平面4版V,所以44为三棱

1113

锥以一4掰V的高.因为M,N分别为棱烟，46的中点，所以必4曲y2义2—5*1*1-5）<1*2-5><1义2=5，所以，

113

三棱锥A、一氏MN=/三棱锥队一AM¥=&XS/\A、MNX%A、=qX3X2=l.

4.C

过点c作〃垂直所在直线于点E,梯形ABCD绕4〃所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段的长为底

面圆半径，线段形为母线的圆柱挖去以线段龙的长为底面圆半径，切为高的圆锥，如图所示.

由于/圆柱=n•4?•BC=五X12X2=2n,＞圆锥=；n•6^•DE=gnX12X(2—1)=f~，

JT5冗

所以该几何体的体积V=/ms—，IW=2n-.

oo

5.A如图，由题知△48C为等边三角形，圆Q的半径r=2,即QB=2,：.BC=2事=0Q,

在RtZkOQS中，凶=面+44=16,.•.球0的半径左=仍=4,则S网"=4故选A.

6.C设甲、乙两个圆锥的母线长都为/,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为C，12,高分别为力,4.因为两圆

V^O.故选C.

7.B

如图所示，当点C位于垂直平面4切的直径端点时，三棱锥”一4%的体积最大，设球。的半径为凡此时心.

=%-,KB=JXJX*X月=：〃=36,故7?=6,则球。的表面积为4n「=144”.

J40

8.D设圆锥的底面半径为r,高为h,则4nr=4n,解得r=l,所以仁#42T=炳圆柱的侧面积为2nr•2力

=4^15n,故制作这样一个粮仓的用料面积为(4标+4)n.

9.C由棱台的体积公式，得增加的水量约为)义(157.5—148.5)X(140X106+180X10“+4140义10‘X180X10，)

O

=3X106X(140+180+60巾)*3X10，X(140+180+60X2.65)*1.4XlOYn?).故选C.

]。净

解析：如图为圆锥内球半径最大时的轴截面图.

其中球心为0,设其半径为r,4c=3,QC=1,

Aa川万一0d=2立

,：0a=04r,:.AgA。-0Q=2阻一r,

nifAnr2、历一rr-'历4

又,二△4M9s△/a。，.•.无；=”即彳=二^，故3r=2:一八・,•该圆锥内半径最大的球的体积V=-

V\CnL1OZo

”•圉34

11.8n

解析：

由题意画出图形，如图，设小是底面圆。的直径，连接SO,则SO是圆锥的高.设圆锥的母线长为1,则由相，的,

11r

得-8

△弘占的面枳为8,2-得，=4.在RtAJSO中，由题意知/弘3=30°,所以*]/=2,切=号/=2镉.故该

圆锥的体积XA(^XSO=^X(2^/3)2X2=8n.

oo

1

12-

o

解析：四棱锥的底面做〃〃为矩形，其面积为

又点4到底面防。。的距离，即四棱锥4—冏。〃的高为44G=半,所以四棱锥4—防山。的体积为

1

3,

13.C如图，设正四棱锥的底面边长BC=a,侧面等腰三角形底边上的高PM=h,则正四棱锥的高

p

2

・・・以I也为边长的正方形面积为

一个侧面三角形面积为去汾,

2才1

:・h—-=-ah,

A4A2—2aA—a2=0,

2

两边同除以a?可得4（，|-2-1-l=0

解得（=耳1

「hh、/^+1

又:一＞0,—.故选C.

aa4

14.BD易知，点P在矩形式T心内部（含边界）.

对于A,当4=1时，~BP=Hc+u；=瓦:+〃；，即此时0G线段CG,△四Z周长不是定值，故A错误；

对于B,当〃=1时，~BP^ABC+；=;+八丁二，故此时尸点轨迹为线段5G，而AC〃BC,6G〃平面

48G则有尸到平面4玄的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确；

对于C,当时，BP=^BC+u；,MXBC,为G中点分别为。，H,则丽=加+〃就所以尸点轨迹为线段

他不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，4偿，0,1）,尸（0,0,“），40,0）,则F=（一乎，0,〃一1

F•游=〃（〃-1）=0，所以〃=0或〃=1.故〃0均满足，故C错误;

对于D,当〃斗寸，尻/I瓦4辆，取网CG中点为屏诙+为欣所以。点轨迹为线段的M设d0,先，

因为4Gg,0,0）,所以苏=（一坐，加］）,一7=（—乎，2,—1），所以