2023年湖南省邵东高三冲刺模拟数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成

一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为

A.96B.84C.120D.360

2.已知b>%是平面内三个单位向量，若人则的最小值（）

A.729B.V29-3V2C.M-2百D.5

3.正三棱锥底面边长为3,侧棱与底面成60。角，则正三棱锥的外接球的体积为（）

4.下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为［（）,+8）的是（）

A.y=|lg（x+l）|B.v=x2C.y=2*D.y=ln|x|

5.已知抛物线。：/=4尢，过焦点户的直线/与抛物线c交于A,3两点（A在x轴上方），且满足|An=3忸月,

则直线I的斜率为（）

A.1B.6

C.2D.3

6.函数》=肃下在［-6,6］的图像大致为

7.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球

体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（80,52）,则直径在（75,90］内的概率为（）

附：若X~N（〃,b，，则P（〃—b<X,,〃+b）=0.6826,P（〃—2b<X”"+2b）=0.9544.

A.0.6826B.0.8413C.0.8185D.0.9544

v-22

8.已知耳，尸2分别为双曲线C：=-v二=1（4>0,。>0）的左、右焦点，过耳的直线/与双曲线C的左、右两支分别

a'b~

——.BE4

交于AB两点，若匕弓=i，则双曲线C的离心率为（）

\AF2\5

A.V13B.4C.2D.G

9.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正

式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1,粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为

（）

A.（8百+4及+4）兀B.（8员8&+4）兀

C.（8后+40+16）兀D.（86+8立+16）兀

42

10.用数学归纳法证明/+2+3+…+〃2」+”,则当时，左端应在〃=A的基础上加上（）

2

A-k'+1B.（k+l）‘

Gt+iV+(*+iV

c.(J+/)+(1+2)+…+Gt+1)

2

11.已知片，鸟是双曲线C:[-y2=i(“>0)的两个焦点，过点匕且垂直于x轴的直线与c相交于A，B两点,

a"

若|A用=血，则AAB居的内切圆的半径为()

也C迪

3,亍

12.将函数/(x)=sin2x的图象向左平移夕个单位长度，得到的函数为偶函数，则9的值为()

7t7t7171

A.—B.一C.-D.—

12634

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知公差大于零的等差数列｛%｝中，％、%、%依次成等比数列，则&■的值是.

14.如图，直三棱柱ABC—A出G中，NC4B=90°,4C=AB=2,CC,=2,尸是BQ的中点，则三棱锥C-AG。

的体积为.

15.已知数列｛%｝是各项均为正数的等比数列，若％-4=5,则4+8%的最小值为.

16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖揣，如图，在鳖腌P-ABC中，PA_L平面A8C,

ABVBC,且AP=AC=4,过A点分别作4E_LPB于点E,AELPC于点尸，连接£尸，则三棱锥P—AEF的

体积的最大值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知定点A(-3,0),8(3,0),直线AM、8M相交于点"，且它们的斜率之积为-：，记动点”的轨

迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程；

(2)过点T(1,0)的直线与曲线C交于P、。两点，是否存在定点s(七,o),使得直线SP与SQ斜率之积为定值，

若存在，求出S坐标；若不存在，请说明理由。

18.(12分)如图，在直棱柱—中，底面ABC。为菱形，AB=BD=2,BB、=2,BO与AC相

交于点E，A。与AA相交于点。.

(1)求证：AC，平面84。。；

(2)求直线OB与平面。片A所成的角的正弦值.

19.(12分)已知函数/(x)=e""-ln(x+a)(a>0).

(1)证明：函数/(X)在(0,+8)上存在唯一的零点；

(2)若函数/(x)在区间(0,+8)上的最小值为1,求。的值.

20.(12分)已知集合A={x|log2(x+3)W3},B={x\2m-l<x<m+3].

(1)若加=3,则AU3；

(2)若403=8,求实数〃z的取值范围.

21.(12分)已知椭圆C:「+A=l(a>b>0)的两个焦点分别为Fi(—0,0)、F2(72.0).点M(1,0)

a'b"

与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点N的坐标为(3,2),点P的坐标为(m,n)(m#3).过点M任作直线1与椭圆C相交于A、B两点，

设直线AN、NP、BN的斜率分别为ki、k2、k3,若ki+k3=2kz,试求m,n满足的关系式.

22.(10分)已知抛物线A/：f=2py(〃>0)的焦点/到点N(一l,-2)的距离为9.

(1)求抛物线M的方程；

(2)过点N作抛物线M的两条切线，切点分别为A，B,点A、B分别在第一和第二象限内，求AABN的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共4A：=96个，其中含有2个10的排列数共A：=12个,

所以产生的不同的6位数的个数为96-12=84.故选B.

2.A

【解析】

由于力力，且为单位向量，所以可令2=(1，0)，B=(o/)，再设出单位向量£的坐标，再将坐标代入忖+2*忸+办-4

中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果.

【详解】

解：设c=(x,y),a=(1,0),^=(0,1),则>+y2=],从而

=^3(x2+y2)+x2+y2+4x+l+^(x-3)2+(y-2)?

=+2)2+V+J(x_3『+(y-2)2>752+22=晒,等号可取到.

故选：A

【点睛】

此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题.

3.D

【解析】

由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积.

【详解】

如图，正三棱锥A-3CD中，M是底面的中心，则AM是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即

ZABM=60°,由底面边长为3得8用=2x迪=6，

32

:.AM=8Mtan60°=百xVi=3.

正三棱锥A-BCD外接球球心。必在AM上，设球半径为R,

则由BO?=。用2+8例2得配=(3_R>+(百y，解得R=2,

二V」乃R3=&23=注.

333

故选：D.

【点睛】

本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系.掌握正棱锥性质是解题关键.

4.B

【解析】

分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果.

【详解】

对于A,y=|ig1+i)|图象如下图所示:

则函数y=|ig(x+i)|在定义域上不单调，A错误;

对于8,y==&的图象如下图所示：

则y=«在定义域上单调递增，且值域为［0,+8),8正确

对于C,y=2”的图象如下图所示：

则函数y=2,单调递增，但值域为(0,+力)，。错误;

对于。，y=ln|x|的图象如下图所示：

则函数y=In凶在定义域上不单调，。错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题.

5.B

【解析】

设直线/的方程为“=冲+1代入抛物线方程，利用韦达定理可得x+%=4m，X%=-4,由|A丹=3忸目可知

AF=3而所以可得乂=-3%代入化简求得参数，即可求得结果.

【详解】

设A(X1,y),B(x2,y2)(y,>0,%<0).易知直线/的斜率存在且不为o,设为工，则直线/的方程为x=wv+l.

m

与抛物线方程联立得V=4(〃q+l),所以X>2=-4,X+必=4〃z.因为|A尸|=3|B耳，所以赤=3而，得

%=-3%，所以y；=W，即％=-拽，M=25所以‘=」一=6.

一3723my+%

故选:B.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标之间的关系，考查计算能力，属于中档题.

6.B

【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由/(4)的近似值即可得出结果.

【详解】

设>=/(幻=一2二_.,则/(—幻=0二立_=一_NL_=—/(x),所以f(x)是奇函数，图象关于原点成中心对称,

2"+2T2r+2*2'+2T

2x笳2x63

排除选项C.又/(4)=/7>(),排除选项D；/⑹==7,排除选项A,故选B.

LI，LI2

【点睛】

本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择.本题较易，注重了基础知识、基

本计算能力的考查.

7.C

【解析】

根据服从的正态分布可得〃=80,b=5,将所求概率转化为尸(M-b<XW〃+2b),结合正态分布曲线的性质可

求得结果.

【详解】

由题意，4=80,b=5,贝UP(75<X,,85)=0.6826,P(70<X,,90)=0.9544,

所以P(85<X”90)=gx(0.9544-0.6826)=0.1359,尸(75<X,,90)=0.6826+0.1359=0.8185.

故果实直径在(75,90]内的概率为0.8185.

故选：C

【点睛】

本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.

8.A

【解析】

由已知得ABLBg忸用=4x,由已知比值得|AE|=5x,|AB|=3x,再利用双曲线的定义可用。表示出|A制，

|明用勾股定理得出。的等式，从而得离心率.

【详解】

―>______»_____|BF>|4.।iiii

・・・AB・%=0,ABW0,BF2w0,/.ZABF2=90°.又丁f-4=彳，.•.可令忸号二4x,则|第=5x]AB\=3x.设

伺5

|A制=/,得|4/^一|筋|=忸娟一忸q=2Q,即5xT=(3x+r)-4x=2a,解得f=3a,x=a,

・・

•|明|=4a9\BF]=\AB\+\AF.\=6a9

由忸用怛用2=山司?得(6a)2+(4a)2=Qc)2,。2=13〃，。=反，，该双曲线的离心率e=?=9.

故选：A.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点A8到

焦点的距离都用。表示出来，从而再由勾股定理建立a，c的关系.

9.C

【解析】

根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.

【详解】

最上面圆锥的母线长为2夜，底面周长为2兀X2=4兀，侧面积为gx2及x4兀=4&兀，下面圆锥的母线长为2石，

底面周长为2兀*4=8兀，侧面积为5x2&*8兀=86兀，没被挡住的部分面积为7CX42-7CX22=12兀，中间圆柱的

2

侧面积为2兀x2x1=4兀.故表面积为(8后+40+16)万，故选C.

【点睛】

本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.

10.C

【解析】

42

首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…时，当n=k+l时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分

2

别使得n=k,和"1t+1代入等式，然后把n=k+l时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案.

【详解】

当n=k时，等式左端=1+1+…+kl

当n=k+l时，等式左端=1+1+…+1?+1?+1+依+1+…+(k+1)I增加了项(kM)+(k'+l)+(k'+3)+...+(k+1)1.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查数学归纳法，属于中档题./

11.B

【解析】

设左焦点耳的坐标，由A8的弦长可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形

的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.

【详解】

由双曲线的方程可设左焦点6(-c,O),由题意可得AB也S

a

由6=1,可得ci—，

2

所以双曲线的方程为：—r-/=!

2

所以耳(一后,0),6(6,0),

所以S.ABF,=』ABF\F2=1.叵26=戈

-22

三角形ABB的周长为C=AB+整+=A8+(2a+Af；)+(2a+8月)=4a+2A8=40+2夜=6夜

设内切圆的半径为r,所以三角形的面积S=-Cr=--6y/2r=35,

22

所以3>/2r=V6，

解得/•=，!，

3

故选：B

【点睛】

本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角

形的面积可得半径的应用，属于中档题.

12.D

【解析】

利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案.

【详解】

将将函数/("=sin2x的图象向左平移。个单位长度，

可得函数g(x)=sin[2(x+*)]=sin(2x+29)

又由函数g(x)为偶函数，所以2°=1+%心%eZ,解得°=(+与,ZeZ,

TTTT

因为0<°<彳，当左=0时，(p=-,故选D.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用

三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9

13.一

4

【解析】

利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质，化简求出公差与的关系，然后转化求解至的值.

a2

【详解】

设等差数列｛q｝的公差为d,则d>0,

由于内、“6、%依次成等比数列，则4；=442，即（。2+4d）~=4（。2+1°。），

a”生+lOd18d9

•.々＞0,解得4=8d,因此,_!_=_—_-______=____=__

8d4,

9

故答案为：—

4

【点睛】

本题考查等差数列通项公式以及等比中项的应用，考查计算能力，属于基础题.

2

14.-

3

【解析】

证明AB,平面A4.GC,于是Vp-AGc=J%YGc，利用三棱锥的体积公式即可求解•

【详解】

然_L平面ABC,平面ABC,

A4,±AB,又A6J,ACAT^CACMA.

A6_L平面AA1clC,

•・・P是8G的中点,

-KT-AQP==2

2323

2

故答案为：y

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，属于基础题.

15.40

【解析】

设等比数列｛%｝的公比为4,根据4-4=5,可得4=一因为

夕（。一1）

)/

5.2+89、

,根据均值不等式，即可求得答案.

«4+8a2=+8qg=5q—1++2

7

【详解】

设等比数列｛/｝的公比为4,

,/a3-a2=5,

5

q(q—1)

••,等比数列｛4｝的各项为正数,

/.(7>1,

/,、5年+8)

***/+8%+8)=—-----

(9)

=54-1+--4-2>40,当且仅当q—1=3,

Iq—i)

即4=4时，%+8%取得最小值40.

故答案为：40.

【点睛】

本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和

计算能力，属于中档题.

1fi472

10.--------

3

【解析】

由已知可得AAEF、APE产均为直角三角形，S.AF=2y/2,由基本不等式可得当AE=EF=2时，AAE尸的面积最

大，然后由棱锥体积公式可求得体积最大值.

【详解】

由E4_L平面A3C,得D4J_BC,

5l.AB±BC,fiPAHAB=A,平面BIB,贝!]5C_LAE,

XPBLAE,贝ljAE_L平面PBC,

于是AE_LEF,S.AE1PC,结合条件AF_LPC,得PC_L平面AEF,

...△AERAPE/均为直角三角形，由已知得4尸=20,

而以4EF=—XAExEFW—(AE~+EF~)——A=2,

244

当且仅当AE=Ef=2时，取“="，此时AAE尸的面积最大，

三棱锥尸-AEF的体积的最大值为：

Vp一AEF=1XPFXS.AEF==乂2&2=晅.

333

故答案为谑

3

【点睛】

本题主要考查直线与平面垂直的判定，基本不等式的应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属

于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

r2、

17.(1)—+/=1(%^±3)；⑵存在定点S(±3,0),见解析

【解析】

(1)设动点M(x,y),贝心也==，％皿=三(17±3)，利用%求出曲线C的方程.

x+3x-39

x=my+1

(2)由已知直线/过点7(1,0),设/的方程为了=m>+1,则联立方程组

x2+9y2=9

消去X得(m2+9方2+2,孙-8=0,设P(x，M)，。(々，无)利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解指向性方程,

推出结果.

【详解】

解：(1)设动点"(x,y),贝必AM=£^(%#一3),

《MB—~工3),

九一J

化简得：—+y2=lo

9-

v-2

由已知x#±3,故曲线C的方程为、■+>2=I(XW±3)。

(2)由已知直线/过点T(l,0),设/的方程为彳=冲+1,

x=my+l,

则联立方程组《X22_，消去X得（疗+9）卜+2阳-8=0,

.V=

2m

y+%=—~

设P(玉，X)，。(工2，%)，则m+9

8

%%=--7-^-

m+9

X二X

又直线SP与SQ斜率分别为ksp

玉-x（）my}+1-x0

%二>2

x2-x0my2+1—％

b，k=____________________________________

naS<?=22

人（町+1-（Xo-9）m+9（l-xo）°

当天=3时，X/meR,

1

当用=—3时,VmeR,

18°

所以存在定点S(±3,0),使得直线SP与SQ斜率之积为定值。

【点睛】

本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题.

18.(1)证明见解析(2)亘

7

【解析】

(1)要证明AC,平面BBQQ,只需证明AC_L6O,AC_L。。即可:

(2)取用，中点尸，连EF,以E为原点，EA,EB,丽分别为x,Xz轴建立空间直角坐标系，分别求出砺与

----n.OB

平面。与2的法向量n,再利用cos<n,OB>=——计算即可.

\n\x\OB\

【详解】

(1)•••底面ABC。为菱形，

AC1BD

•.•直棱柱ABCD-ABCR,;.DD、，平面ABCD.

VACu平面ABC。.

AC±DD、

•：ACLBD,ACLDDvBDryDD,=D.

：.AC_L平面8gz)1。；

(2)如图，取4R中点口，连EE,以E为原点，EA,EB,而分别为乂Xz轴建立如图所示空间直角坐标系:

AE=6,BE=1,

点8(0,1,0),(0,1,2),。(0,-1,2),A(G,0,0)。一；,1

、22

设平面。与。的法向量为石=(x,y,z),

一一163)

口用=(0,2,0),04=「,《/J,

DR-n=2y=0

有<___733，令尤=2,y=0,z=J^

OB]-n=———x+—y+z=0

得3=(2,0,6)

又砺」-立,』,-1],小砺=-2百,卬=疗,|南=2,

I22J

设直线OB与平面OBQ所成的角为6,

所以sin8=|cos<n,OB>|=|-|=也^

2xJ77

故直线OB与平面OBR所成的角的正弦值为且.

7

【点睛】

本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐

标.

19.(1)证明见解析；(2)-

2

【解析】

(1)求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明/(X)在(0,+8)上存在唯一的零点即可；

(2)根据导函数零点看,判断出了(X)的单调性，从而/()而可确定，利用〃)血=1以及y=Inx的单调性,

X

可确定出七,a之间的关系，从而。的值可求.

【详解】

(1)证明:Vf(x)=ex~a-ln(x+a)(a>0),:.f'(x)=ex-a———.

x+a

•••/-"在区间(0,+8)上单调递增，」一在区间(0,位)上单调递减，

X+Q

・・・函数/'(X)在(0,+8)上单调递增.

又/令g(a)=a—e"(a>0),g'(a)=1—e"<0,

aaea

则g(a)在(0,+8)上单调递减，g(a)<g(0)=—1,故/'(0)<0.

令m=a+l,则f'(m)=f'(a+l)=e------->0

2a+1

所以函数/'(x)在(0,+8)上存在唯一的零点.

(2)解：由(1)可知存在唯一的/€(°，+8),使得r(/)="L'———=0,即*-"=」一(*).

/。玉)+a

函数f'M=e“"一——在(0,+8)上单调递增.

x+a

.•.当xe(O,Xo)时，尸。)<0，单调递减；当xe(%”+8)时，r(x)>0,单调递增.

fa)min="%0)=1-ln(x0+a).

由(*)式得/⑺min=/(9)=^^-In(%+a).

.••V%Tn(Xo+a)=l,显然/+。=1是方程的解.

又•••y=4—Inx是单调递减函数，方程-------In(5+a)=1有且仅有唯一的解/+a=1,

X犬o+Q

把龙0=1-。代入(*)式，得e-2〃=i，即所求实数"的值为万.

【点睛】

本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度

较难.(1)判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；(2)函数的“隐零点”问题,

可通过“设而不求'’的思想进行分析.

20.(1){尤3<xW6}；(2)[-1,2]U[4,+°°)

【解析】

(1)将m=3代入可得集合B,解对数不等式可得集合A,由并集运算即可得解.

(2)由=8可知B为A的子集，即B=A；当3=0符合题意，当B不为空集时，由不等式关系即可求得加

的取值范围.

【详解】

(1)若加=3,则3={x[5<xW6},

依题意A={x|iog2(x+3)<31=|log2(x+3)<log28}={x|-3<xW5},

故AU3={x|-3<xW6}；

(2)因为An8=8,故B=A；

若2〃?一12/%+3,即m，4时，B-0,符合题意；

2)z—12—3

若2加一1<m+3,即根<4时，〈厂，

m+3<5

解得一1<加<2；

综上所述，实数加的取值范围为[-1,2]U[4,+8).

【点睛】

本题考查了集合的并集运算，由集合的包含关系求参数的取值范围，注意讨论集合是否为空集的情况，属于基础题.

尤2

21.(1)-——Fy2=1；(2)m—n—1=0

3

【解析】

试题分析：(1)利用M与短轴端点构成等腰直角三角形，可求得b的值，进而得到椭圆方程；(2)设出过M的直线

1的方程，将1与椭圆C联立，得到两交点坐标关系，然后将kl+k3表示为直线1斜率的关系式，化简后得k|+k3=2,

于是可得m,n的关系式.

试题解析：(1)由题意，c=g，b=L所以a=正+c，2=6

故椭圆C的方程为二+y2=]

3

(2)①当直线1的斜率不存在时，方程为X=l,代入椭圆得，y=土巫

3

不妨设A(1,逅)，B(1,

33

因为k.+k3=2+2+f=2

2+~T~

又ki+k3=2k2,所以kz=l

H—2

所以m,n的关系式为-----=1,即m—n—1=0

m-3

②当直线1的斜率存在时，设1的方程为y=k(x-1)

2

将y=k(x—1)代